Kalkulus Multivariabel I - atinaahdika.files.wordpress.com · 3 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus...

21
Kalkulus Multivariabel I Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel I Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20

Transcript of Kalkulus Multivariabel I - atinaahdika.files.wordpress.com · 3 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus...

Page 1: Kalkulus Multivariabel I - atinaahdika.files.wordpress.com · 3 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 11 / 20. Integral

Kalkulus Multivariabel IIntegral Lipat-Dua

dalam Koordinat Kutub

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Statistika FMIPAUniversitas Islam Indonesia

2014

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 1

/ 20

Page 2: Kalkulus Multivariabel I - atinaahdika.files.wordpress.com · 3 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 11 / 20. Integral

Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub

Terdapat beberapa kurva tertentu pada suatu bidang yang lebih mudahdijelaskan dengan menggunakan koordinat Kutub. Misalkan z = f (x , y)menentukan sebuah permukaan atas R (lihat gambar) dan andaikan fkontinu dan tak negatif.

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 2

/ 20

Page 3: Kalkulus Multivariabel I - atinaahdika.files.wordpress.com · 3 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 11 / 20. Integral

Maka volume V benda padat di bawah permukaan tersebut dan di atas Rdapat dinyatakan

V =

∫∫R

f (x , y)dA

Di dalam koordinat kutub, persegi panjang kutub R mempunyai bentuk

R = {(r , θ) : a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β}

di mana a ≥ 0 dan β − α ≤ 2π. Demikian pula, persamaan permukaandapat ditulis sebagai

z = f (x , y) = f (r cos θ, r sin θ) = F (r , θ)

Kita akan menghitung volume V dengan cara baru yaitu denganmenggunakan koordinat kutub.

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 3

/ 20

Page 4: Kalkulus Multivariabel I - atinaahdika.files.wordpress.com · 3 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 11 / 20. Integral

Bagi R menjadi partisi-partisi yang lebih kecil berbentuk persegi panjangkutub R1,R2, . . . ,Rn dengan menggunakan kisi kutub, dan misalkan ∆rkdan ∆θk menyatakan dimensi potongan Rk . Luas A(Rk) dinyatakandengan

A(Rk) = r̄k∆rk∆θk

di mana r̄k adalah jari-jari rata-rata Rk .

V ≈n∑

k=1

F (r̄k , θ̄k)r̄k∆rk∆θk

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 4

/ 20

Page 5: Kalkulus Multivariabel I - atinaahdika.files.wordpress.com · 3 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 11 / 20. Integral

Gunakan limit sebagai aturan pembagian partisi yang mendekati nol, makaakan diperoleh volume yang sebenarnya. Limit ini adalah sebuah integrallipat-dua.

V =

∫∫R

F (r , θ)r dr dθ =

∫∫R

f (r cos θ, r sin θ)r dr dθ

Dari uraian di atas, kita mempunyai dua rumus untuk V yaitu∫∫R

f (x , y)dA =

∫∫R

f (r cos θ, r sin θ)r dr dθ

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 5

/ 20

Page 6: Kalkulus Multivariabel I - atinaahdika.files.wordpress.com · 3 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 11 / 20. Integral

Contoh:Tentukan volume V dari benda padat di atas persegi panjang kutub (lihatgambar)

R ={

(r , θ) : 1 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ θ ≤ π

4

}dan di bawah permukaan z = ex

2+y2.

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 6

/ 20

Page 7: Kalkulus Multivariabel I - atinaahdika.files.wordpress.com · 3 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 11 / 20. Integral

Penyelesaian:Karena x2 + y2 = r2, maka

V =

∫∫R

ex2+y2

dA

=

π/4∫0

3∫1

er2r dr

dθ =

π/4∫0

[1

2er

2

]31

=

π/4∫0

1

2(e9 − e)dθ =

π

8(e9 − e) ≈ 3181 �

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 7

/ 20

Page 8: Kalkulus Multivariabel I - atinaahdika.files.wordpress.com · 3 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 11 / 20. Integral

Daerah Umum

1. Himpunan Sederhana-rHimpunan S dikatakan himpunan sederhana-r jika himpunan tersebutberbentuk

S = {(r , θ) : φ1(θ) ≤ r ≤ φ2(θ), α ≤ θ ≤ β}

V =

θ=β∫θ=α

r=φ2(θ)∫r=φ1(θ)

f (r , θ)r dr dθ

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 8

/ 20

Page 9: Kalkulus Multivariabel I - atinaahdika.files.wordpress.com · 3 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 11 / 20. Integral

2. Himpunan Sederhana-θHimpunan S dikatakan himpunan sederhana-θ jika himpunan tersebutberbentuk

S = {(r , θ) : a ≤ r ≤ b, ψ1(r) ≤ θ ≤ ψ2(r)}

V =

r=b∫r=a

θ=ψ2(r)∫θ=ψ1(r)

f (r , θ)r dθ dr

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 9

/ 20

Page 10: Kalkulus Multivariabel I - atinaahdika.files.wordpress.com · 3 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 11 / 20. Integral

Contoh:Hitunglah

∫∫S

ydA di mana S adalah daerah di kuadran pertama yang

berada di luar lingkaran r = 2, serta di dalam kardioid r = 2(1 + cosθ)

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 10

/ 20

Page 11: Kalkulus Multivariabel I - atinaahdika.files.wordpress.com · 3 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 11 / 20. Integral

Penyelesaian:Karena S adalah himpunan sederhana-r , kita dapat menuliskan integral diatas sebagai integral kutub berulang dengan r sebagai peubahpengintegralan sebelah dalam. Di dalam pengintegralan sebelah dalam ini,θ dibuat tetap; pengintegralan dilakukan di sepanjang garis tebal (padagambar) dari r = 2 sampai r = 2(1 + cosθ).

∫∫S

ydA =

π/2∫0

2(1+cosθ)∫2

(rsinθ)r dr dθ =

π/2∫0

[r3

3sinθ

]2(1+cosθ)

2

=8

3

π/2∫0

[(1 + cosθ)3sinθ − sinθ]dθ

=8

3

[−1

4(1 + cosθ)4 + cosθ

]π/20

=22

3�

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 11

/ 20

Page 12: Kalkulus Multivariabel I - atinaahdika.files.wordpress.com · 3 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 11 / 20. Integral

Integral Probabilitas

Pada materi ini, kita dapat membuktikan bahwa integral dari fungsikepadatan peluang normal standar bernilai satu yaitu

∞∫−∞

f (x)dx = 1

dengan

f (x) =1√2π

e−x2/2

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 12

/ 20

Page 13: Kalkulus Multivariabel I - atinaahdika.files.wordpress.com · 3 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 11 / 20. Integral

Pertama, kita akan menunjukkan bahwa I =∞∫0

e−x2dx =

√π2 .

Ingat kembali bahwa

I =

∞∫0

e−x2dx = lim

b→∞

b∫0

e−x2dx

Misalkan Vb merupakan volume benda padat yang terletak di bawahpermukaan z = e−x

2−y2dan di atas bujursangkar dengan titik potong

(±b,±b), lihat gambar, maka

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 13

/ 20

Page 14: Kalkulus Multivariabel I - atinaahdika.files.wordpress.com · 3 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 11 / 20. Integral

Vb =

b∫−b

b∫−b

e−x2−y2

dy dx =

b∫−b

e−x2

b∫−b

e−y2dy

dx

=

b∫−b

e−x2dx

b∫−b

e−y2dy =

b∫−b

e−x2dx

2

= 4

b∫0

e−x2dx

2

Ternyata volume daerah di bawah z = e−x2−y2

dan di atas seluruh bidangxy adalah

V = limb→∞

Vb = limb→∞

4

b∫0

e−x2dx

2

= 4

∞∫0

e−x2dx

2

= 4I 2

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 14

/ 20

Page 15: Kalkulus Multivariabel I - atinaahdika.files.wordpress.com · 3 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 11 / 20. Integral

Di sisi lain, kita juga dapat menghitung V dengan menggunakan koordinatkutub. Di sini, V adalah limit ketika a→∞ dari Va, volume benda padattersebut di bawah permukaan z = e−x

2−y2= e−r

2, di atas daerah

melingkar berjari-jari a yang berpusat di titik asal (lihat gambar), maka

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 15

/ 20

Page 16: Kalkulus Multivariabel I - atinaahdika.files.wordpress.com · 3 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 11 / 20. Integral

V = lima→∞

Va = lima→∞

2π∫0

a∫0

e−r2r dr dθ

= lima→∞

2π∫0

[−1

2e−r

2

]a0

= lima→∞

1

2

2π∫0

[1− e−a

2]dθ

= lima→∞

π[1− e−a

2]

= π

Dengan memasukkan kedua nilai yang diperoleh untuk V denganmenggunakan integral biasa dan integral dalam koordinat kutub di atas,akan dihasilkan 4I 2 = π atau I = 1

2

√π. �

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 16

/ 20

Page 17: Kalkulus Multivariabel I - atinaahdika.files.wordpress.com · 3 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 11 / 20. Integral

Selanjutnya, setelah diperoleh I =∞∫0

e−x2dx =

√π2 , akan ditunjukkan

bahwa∞∫−∞

1√2π

e−x2/2dx = 1

Berdasarkan sifat simetri,

∞∫−∞

1√2π

e−x2/2dx = 2

∞∫0

1√2π

e−x2/2dx

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 17

/ 20

Page 18: Kalkulus Multivariabel I - atinaahdika.files.wordpress.com · 3 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 11 / 20. Integral

Lakukan substitusi u = x√2

sehingga dx =√

2du. Batas-batas pada

integral tetap sama sehingga kita memperoleh

∞∫−∞

1√2π

e−x2/2dx = 2

∞∫0

1√2π

e−u2√

2du

=2√

2√2π

∞∫0

e−u2du

=2√

2√2π

√π

2= 1

Jadi terbukti bahwa integral dari fungsi kepadatan peluang normal standarbernilai satu. �

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 18

/ 20

Page 19: Kalkulus Multivariabel I - atinaahdika.files.wordpress.com · 3 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 11 / 20. Integral

Latihan

1. Hitung integral-integral berulang berikut

a.π/2∫0

cos θ∫0

r2 sin θ dr dθ

b.π∫0

1−cos θ∫0

r sin θ dr dθ

2. Tentukan luas daerah S dengan menghitung∫∫S

r dr dθ dan sketsa

daerah tersebut terlebih dahulu

a. S adalah daerah di dalam lingkaran r = 4 cos θ dan di luar lingkaranr = 2

b. S adalah daerah di luar lingkaran r = 2 dan di dalam lemniskatr2 = 9 cos 2θ

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 19

/ 20

Page 20: Kalkulus Multivariabel I - atinaahdika.files.wordpress.com · 3 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 11 / 20. Integral

3. Hitung integral berikut dengan menggunakan koordinat kutub dansketsa daerah pengintegralannya terlebih dahulu

a.∫∫S

ex2+y2

dA, di mana S adalah daerah yang dibatasi oleh x2 + y2 = 4

b.∫∫S

√4− x2 − y2dA, di mana S adalah sektor kuadran pertama dari

lingkaran x2 + y2 = 4 di antara y = 0 dan y = x

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 20

/ 20

Page 21: Kalkulus Multivariabel I - atinaahdika.files.wordpress.com · 3 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 11 / 20. Integral

Pustaka

Purcell, E. J & D. Vanberg, 1999. Terjemahan, Kalkulus danGeometri Analitis, Jilid 1 dan 2. Jakarta : Erlangga.

Spiegel. M. & Wrede R.C. 2002. Theory and Problem of AdvancedCalculus. Schaum Outline Series. New York: Mc Graw-Hill.

Purcell, E. J & D. Vanberg, 2003. Terjemahan, Kalkulus , Jilid 2.Jakarta : Erlangga.

Mendelson, Elliot, 1988. Schaum’s Outlines, 3000 Solved Problems inCalculus. New York: Mc Graw-Hill.

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 21

/ 20