BAB I

PENDAHULUAN

Pembahasan pada bagian pendahluan ini mencakup beberapa sub pokok

bahsan, antara lain : Sistem Bilangan Riil, Desimal dan Kalkulator, Ketaksamaan,

Nilai Mutlak, Sistem Koordinat Siku Empat, Garis Lurus, dan Grafik Persamaan.

A. Sistem Bilangan Riil

Kalkulus didasarkan atas sistem bilangan riil. Berikut sifat-sifatnya,

sistem bilangan riil terdiri atas himpunan unsur yang dinamakan bilangan riil

dan dua operasi dasar yang dinamakan penjumlahan dan perkalian. Untuk

memaparkan bilangan riil itu dan sifat-sifatnya, dimulai dari beberpa sistem

bilangan yang lebih sederhana, yaitu:

1. Bilangan Bulat dan Rasional

Diantara sistem bilangan riil yang paling sederhana adalah bilangan-

bilangan asli. 1, 2, 3, 4, 5, ….

Bilangan asli ini dapat digunakan untuk menghitung jumlah obyek

seperti orang, mobil, dan sebagainya. Jika bilangan asli dikombinasikan

dengan tanda negatif dan nol, maka didapat bilangan bulat.

…… -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ……

Selanjutnya untuk menyatakan hasil pengukuran sesuatu (panjang,

berat, tegangan, dan sebagainya) yang biasanya sangat bervariasi dan tidak

selalu menghasilkan bilangan bulat, maka ukuran seperti itu dinyatakan

dalam bentuk bilangan pecah atau pecahan.

0,2 1,5 1,33 100,89 pecahan decimal

5/6 11/2 2 ¾ 7 8/9 pecahan biasa

Bilangan-bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk dengan p adan q

bulat dan q 0 disebut bilangan rasional.

Kalkulus 1

1

2. Bilangan Irrasional

Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan

sebagai pecahan biasa yang dicirikan dengan bilangan pembilang

(nominator) dan bilangan penyebut (denominator) 2/3

2 adalah bilangan pembilang

3 adalah bilangan penyebut

Bilangan rasional tidak dapat difungsikan untuk mengukur semua

panjang. Hal yang mengejutkan ini ditemukan oleh orang Yunani kuno

beberapa abad sebelum Masehi. Mereka memperlihatkan bahwa

merupakan panjang sisi miring sebuah segitiga siku-siku samakaki (gambar

2).

Gambar 2.

Bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi dari dua

bilangan bulat. Jadi adalah suatu bilangan irrasional. Demikian juga ,

, ,.

3. Bilangan-bilangan Riil

Sekumpulan bilangan rasional dan irrasional yang dapat mengukur

panjang, bersama-sama dengan negatif dan nol dinamakan bilangan-

bilangan riil. Bilangan-bilangan riil dapat dipandang sebagai pengenal

(label) untuk titik-titik sepanjang sebuah garis mendatar. Disini bilangan-

Kalkulus 1

2

21

1

bilangan ini mengukur jarak ke kanan atau ke kiri (jarak berarah) dari satu

titik tetap yang disebut titik asal dan diberi label 0 (gambar 3).

Gambar 3.

Setiap titik mempunyai label tunggal bilangan riil yang disebut

koordinat titik tersebut. Mulai sekarang, N melambangkan bilangan asli

(bilangan bulat positif), Z melambangkan bilangan bulat (termasuk positif,

negatif dan nol), Q menyatakan himpunan bilangan rasional (hasil bagi

bilangan bulat) dan R himpunan bilangan riil dan I menyatakan himpunan

bilangan kompleks (gambar 4).

N Z Q R I dengan dibaca “himpunan bagian dari”

Himpunan bilangan kompleks ditentukan sebagai a + bi dimana a dan

b bilangan bulat dan i = . Kenyataannya, jika dikatakan bilangan tanpa

Kalkulus 1

3

0 1 32-3 -1-2

½ - ½ 2 37

3

N. Bilangan asli

Z. Bilangan bulat

Q. Bilangan rasional

R. Bilangan ril

I. Bilangan kompleks

Gambar 4.

penjelasan khusus maka dapat dianggap bahwa yang dimaksud adalah

bilangan riil.

4. Operasi Hitung

Dengan dua bilangan riil x dan y dapat dilakukan penambahan atau

perkalian keduanya untuk memperoleh dua bilangan riil baru x + y dan x . y

(biasa xy). Pengurangan didefinisikan sebagai:

x – y = x + (-y) dan

Pembagian didefenisikan:

Penambahan dan perkalian mempunyai sifat-sifat yang dikenal

sebagai berikut:

a. Hukum komutatif : x + y = y + x dan xy = yx

b. Hukuman asosiatif : x + (y + z) = (x + y) + z dan x (yz) = (xy) z

c. Hukuman distributif: x (y + z) = xy + xz

d. Elemen identitas : Terdapat dua bilangan riil yang berlainan 0

dan 1, yang memenuhi x + 0 = x dan x . 1 = x

e. Balikan (invers) : Setiap bilangan x mempunyai balikan aditif

(disebut juga sebuah negatif) –x yang

memenuhi x + (-x) = 0, juga setiap bilangan

x kecuali 0 mempunyai balikan perkalian

(disebut juga kebalikan) x—1, yang memenuhi

x . x-1 = 1.

Soal-soal

1. Nyatakan mana diantara yang berikut ini yang rasional dan mana yang

tidak rasional

a. b. 0,375

c. 1 + d. (1 + )2

Kalkulus 1

4

e. (3 ) (5 ) f. 5

B. Desimal dan Kalkulator

Sebuah bilangan rasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal. Ini

berdasarkan definisi bilangan ini yaitu selalu dapat dinyatakan sebagai hasilnya

bagi dua bilangan bulat. Jika pembilang dibagi dengan penyebut, akan

diperoleh suatu desimal.

Misalnya:

= 0,25 = 0,625

= 1,545454 … = 0,8333 ….

Bilangan-bilangan irrasional juga dapat dinyatakan sebagai desimal-desimal.

Contoh: = 1,4142135623 …..

= 1,7320508075 …..

= 3,1415926535 …..

e = 2,718281828459045 …..

Pernyataan desimal suatu bilangan rasional dapat mempunyai akhir

(misalnya ¼ = 0,25) atau akan berulang dalam daur yang tetap selamanya

(misal = 1,545454 …..).

Sebuah desimal yang mempunyai akhir dapat dipandang sebagai suatu

desimal berulang yang angka-angka akhirnya semuanya nol. Misalnya:

= 0,2500000 …..

= 0,6250000 …..

Kalkulus 1

5

Jadi setiap bilangan rasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal

berulang. Kenyataan sebaliknya juga berlaku, yaitu setiap desimal berulang

menyatakan suatu bilangan rasional.

Contoh:

Buktikan bahwa: 1. x = 0,136136136 …..

2. y = 0,2717171 …..

Menyatakan bilangan-bilangan rasional.

Jawab:

Soal 1. x = 0,136136136 …..

Angka perulangan ada 3, maka kurangkan x ke 1000x didapat:

1000 x = 136,136136136

x = 0,136136136

999 x = 136

x =

Soal 2. y = 0,2717171

Angka perulangan ada 2, maka kurangkan y ke 100y didapat:

100 y =27,1717171

y = 0,2717171

99 y = 26,9

y = =

Soal-soal

Soal 1 sampai 6, ubah tiap bilangan rasional menjadi desimal dengan melakukan

pembagian panjang.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

Kalkulus 1

6

Dalam soal 7 sampai 10, ubah masing-masing desimal berulang menjadi suatu

hasil bagi dua bilangan bulat.

7. 0,123123123 ….. 8. 0,271717171 …..

9. 2,56565656 ….. 10. 3,929292 …..

dalam soal 11 sampai 14, cari lampiran desimal yang terbaik, yang dapat

dilakukan oleh kalkulator anda.

11. 12.

13. 14.

15. Perlihatkan bahwa 2x3 – 7x2 + 11x – 2 = [(2x – 7) x + 11]x – 2

Untuk menghitung suku deren kanan untuk x = 3 tekan tombol-tombol berikut

pada sebuah kalkulator aljabar.

2 3 7 3 11 3 2

Gunakanlah pemikiran itu untuk menghitung persamaan ruas kanan yang

diberikan dengan harga-harga:

a) x =

b) x = 2,15

c) x = 11,19

16. Gunakanlah cara yang diberikan pada soal 15 untuk menghitung

x4 – 3x3 + 5x2 + 6x – 10 pada setiap nilai x yang diberikan

a) x = 1

b) x =

c) x = 13,33

C. Ketaksamaan

Kalkulus 1

7

x - = x + = x - =

Menyelesaikan suatu persamaan adalah merupakan hal yang sudah biasa

dilakukan. Umpama 7x – 2 = 19 atau x2 – x –12 = 0. Namun hal yang tak

kurang pentingnya dalam kalkulus adalah pengertian penyelesaian

ketaksamaan, misalnya 7x – 2 < x atau x2 – x – 12 > 0

Menyelesaikan suatu ketaksamaan adalah mencari semua himpunan

bilangan riil yang memuat ketaksamaan berlaku. Berbeda dengan persamaan

dimana himpunan pemecahannya secara normal terdiri dari satu bilangan atau

mungkin sejumlah bilangan berhingga, sedangkan himpunan pemecahan suatu

ketaksamaan biasanya terdiri dari suatu keseluruhan selang bilangan, atau juga

kadang-kadang terdiri dari gabungan beberapa selang.

Di sini akan diperkenalkan beberapa jenis selang yang akan muncul

dalam pekerjaan nanti dan akan diperkenalkan istilah dan cara penulisan

khusus untuk selang ini.

Ketaksamaan ganda a < x < b menyatakan selang terbuka yang terdiri

dari semua bilangan antara a dan b, dan tidak termasuk titik-titik ujung a dan b,

dinyatakan dengan lambang (a,b)

(-1, 5 ) = {x : -1< x < 5}

Ketaksamaan a < x < b menyatakan selang tertutup yang berpadanan

yang memuat titik-titik ujung a dan b, ini dinyatakan dengan [a,b].

[-1, 5 ] = {x : -1< x < 5}

Berikut ini ditunjukan beberapa kemungkinan dan diperkenalkan cara

penulisannya

Penulisan Himpunan Penulisan Selang Grafik

{x : a < x < b } (a,b)

Kalkulus 1

8

0-1-2 321 654 87( )

0-1-2 321 654 87[ ]

( )[ ][ )( ]

])

[(

{x : a < x < b } [a,b]

{x : a < x < b } [a,b)

{x : a < x < b } (a,b]

{x : x < b } (- ,b]

{x : x < b } (- ,b)

{x : x > a } [a, )

{x : x > a } (a, )

R (- ,)

Prosedur untuk menyelesaikan ketaksamaan sama seperti hanlnya dengan

persamaan, yaitu terdiri dari pengubahan ketaksamaan satu langkah demi satu

langkah. Pembantu utama adalah sifat-sifat urutan pada bagian terdahulu. Ini

berarti bahwa kita dapat melaksanakan operasi-operasi tertentu pada suatu

ketaksamaan tanpa mengubah pemecahannya, seperti:

1. Kita dapat menambahkan bilangan yang sama pada kedua ruas suatu

ketaksamaan.

2. Kita dapat mengalikan kedua pihak ketaksamaan dengan suatu bilangan

positif.

3. Dapat dilakukan pengalian kedua pihak dengan suatu bilangan negatif,

tetapi kemudian kita harus membalikan arah tanda ketaksamaan.

Contoh 1 : Tentukan himpunan jawaban ketaksamaan 2 + 3x < 5x + 8 dan

tentukan interval serta grafiknya pada garis bilangan.

Jawab: 2 + 3x < 5x + 8 maka

2 + 3x – 2 < 5x + 8 – 2

3x < 5x + 6

3x – 5x < 6

-2x < 6

- x < 3

Kalkulus 1

9

x > - 3

Telah dapat dibuktikan bahwa jika 2 + 3x < 6x + 8, maka x > -3.

Himpunan (-3,)

Contoh 2: Tentukan himpunan penyelesaian dari ketaksamaan 4 < 3x – 2 <

10. Berikan interval serta grafiknya.

Jawab: 4 < 3x – 2 < 10 tambahkan 2 untuk ketiga ruas persamaan

6 < 3x < 12 atau

2 < x < 4

Jadi penyelesaiannya {x 2 < x < 4 } atau (2,4] atau

Contoh 3: Tentukan himpunan penyelesaian adari ketaksamaan x2 – x < 6,

dan tentukan interval dan garfiknya.

Jawab: x2 – x < 6

x2 – x – 6 < 0

(x – 3) (x + 2) < 0

Terlihat bahwa –2 dan 3 adalah titik-titik pemecah. Titik-titik

membagi garis riil menjadi tiga selang (- ,-2); (-2,-3 ) ( 3, ). Pada

tiap selang ini (x –3) (x+2) bertanda tetap, yaitu selang positif atau

negatif.

Kalkulus 1

10

(-3 0

]2 3 54

0

-1 1(

Untuk mencari tanda-tanda ini dalam tiap selang kita pakai titik uji –3,

0 dan 5 (sumbarang titik pada ketiga selang tersebut akan memenuhi).

Hasilnya diperlihatkan dibawah ini:

Titik Uji Nilai dari

(x-3) (x+2)

Tanda

-3 6 +

0 -6 -

5 14 +

Hal yang diperoleh ini dilukiskan sebagai berikut:

Contoh 4: Tentukan himpunan penyelesaian dari ketaksamaan x2 + 2x – 15 >

0 dan tentukan interval dan grafiknya

Jawab: x2 + 2 x – 15 > 0

(x + 5) (x – 3) > 0 diperoleh titik pemecah –5 dan 3.

Titik-titik membagi garis bilangan menjadi tiga interval (-,-5);

(-5,3); (3,). Diambil titik-titik uji –6; 0 dan 4. Semua titik pemecah

dan titik uji akan memberikan informasi seperti dibawah ini.

Kalkulus 1

11

0 3 5-2-3

( - ) ( + )( + )

Titik pemecah

Titik uji

3-2( )

0

Didapat himpunan penyelesaian: (- , -5) ( 3, )

Contoh 5: Tentukan himpunan penyelesaian dari ketidaksamaan

dengan menentukan interval dan grafiknya.

Jawab: Mengalikan kedua ruas dengan 2x–1 akan menimbulkan dilema,

karena 2x–1 mungkin positif atau mungkin negatif. Kalau dia negatif,

maka perkalian akan mengubah arak pertidaksamaan. Kita amati

bahwa tanda pertindaksamaan atau hasil bagi hanya dapat

berubah tanda pada titik-titik dari pembilang dan penyebut, yaitu pada

titik-titik –5 dan ½. Titik-titik uji diambil –6, 0 dan 1, akan

memperlihatkan hasil seperti berikut:

atau

4Titik-titik pemecah adalah x = -5 dan x = ½

Kalkulus 1

12

0 3 4-5-6

(+)) (

Titik-titik pemecah

Titik-titik uji

0

-5

-6

(+)[

Titik-titik pemecah

Titik-titik uji

(-)

1 2

(+)½

Didapat titik-titik (himpunan) penyelesaian [-5, ½).

Soal-soal

Untuk soal 1 sampai dengan 9, tentukan himpunan jawaban dan lukis

grafiknya.

1. 5x + 2 > x – 6 2.

3. 13 > 2x –3 > 5 4. 2 < 5 – 3x < 11

5. 6.

7. 4x2 + 9x < 9 8. (x + 2) (2x – 1) ( 3x + 7) > 0

9. x3 – 5x2 – 6x < 0

D. Nilai Mutlak

Konsep nilai mutlak sangat berguna dalam kalkulus dan anda perlu

terampil dalam menggunakannya. Nilai mutlak suatu bilangan riil x,

dinyatakan oleh x, didefinisikan sebagai berikut:

x = x untuk x > 0

= - x untuk x < 0

Contoh: 3 = 3, 0 = 0, -7 = -(-7) = 7

Jadi nilai mutlak x selalu tak negatif. Adalah benar bahwa -x = x

Nilai mutlak dengan baik dapat dibayangkan sebagai jarak tak berarah,

jadi x adalah jarak titik x ke titik 0. Dengan jalan yang sama, x - a adalah

jarak titik x ke a (dengan a).

Kalkulus 1

13-5 0 5

Sifat-sifat nilai mutlak

1. ab = a b 3. a + b < a + b

2. 4. a - b > a - b

Teorema : x < a, jika dan hanya jika – a < x < a untuk a > 0

Sebagai akibat: x < a, jika dan hanya jika – a < x < a untuk a > 0

Teorema : x > a, jika dan hanya jika x > a atau x < - a

Sebagai akibat: x > a, jika dan hanya jika x > a atau x < - a

Semua fakta di atas membantu kita dalam menyelesaikan soal yang

menyangkut ketaksamaan nilai mutlak, karena teori-teori di atas itu

memberikan cara untuk menghilangkan harga mutlak.

Contoh 1: Tentukan himpunan jawaban ketaksamaan x -5 < 4. Gambarkan

hasilnya pada garis bilangan.

Jawab: Jika x -5 < 4, maka – 4 < x – 5 < 4 atau

- 4 + 5 < x – 5 + 5 < 4 + 5

Kalkulus 1

14

0 1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1

xa

xaax

1 < x < 9

Contoh 2: Tentukan himpunan jawab ketaksamaan 3x + 2 > 5

Jawab: 3x + 2 > 5 jika dan hanya jika 3x + 2 > 5 atau 3x + 2 < - 5

Bila 3x + 2 > 5 3x + 2 < - 5

3x > 3 3x < - 7

x > 1 x <

Jawabannya adalah: (- , ) (1, ).

Contoh 3

Jika maka x lebih besar dari -3; yaitu -3 < x < 3. Berlainan jika

maka x < -3 atau x > 3

Contoh 4

Selesaikan ketaksamaan dan perlihatkan himpunan peyelesaiannya

Pada garis rill

Penyelesaian :

Grafik

Kalkulus 1

15

)(0 1 9

(1,9)

(2.5,5.5)

Contoh 5

Selesaikan ketaksamaan , kemudian perlihatkan himpunan

penyelessaian pada garis rill

Penyelesaian :

Himpunan peneyelesaian berupa gabungan dua selang yaitu himpunan

(-,4/]}U[2,)

Akar kuadrat

Setiap bilangan positif mempunyai akar dua akar kuadrat. Misal 9 adalah -3 dan 3.

untuk a ≥ 0, lambang , disebut akar kuadrat utama dari a, yang menunjukkan

akar kuadrat tak negatif

Rumus kuadrat

Penuyelesaian untuk ax2 + bx + c = 0

Kalkulus 1

16

Soal-soal:

Tentukan himpunan jawaban ketaksamaan berikut:

1. 4x + 3 > 7 2. 5x - 3 > 3x + 5

3. 3x2 + x > 1 4. 7x < 4 – x

5. 5x -6 > 1 6. x + 7 < 7

7. 3x - 4 < 2 8. 5 - x > 7

9. 7 – 4x < 9 10. 2x - 5 > 3

11. 9 – 2x > 4

Kalkulus 1

17

12. 2x2 -5x – 4 ≤ 0

E. Sistem Koordinat Siku Empat

Sekarang akan dipelajari pasangan bilangan riil. Suatu kumpulan dari dua

bilangan riil berbentuk pasangan bilamana urutan pasangan dibuat dinamakan

pasangan terurut bilangan riil. Jika x adalah bilangan riil pertama dan y yang

kedua, dinyatakan pasangan berurut ini dengan menulis keduanya di dalam

kurung biasa dengan suatu koma yang memisahkannya, yaitu (x,y). Perhatikan

bahwa pasangan terurut (3,7) berbeda dengan pasangan berurut (7,3).

Definisi: Himpunan semua pasangan terurut bilangan riil dinamakan bidang

bilangan, dan setiap pasangan terurut (x,y) dinamakan titik di dalam

bidang bilangan. Bidang bilangan dinyatakan dengan R2.

Bila sebelumnya dapat diidentifikasi R dengan titik-titik pada mata

sumbu (ruang berdimensi satu), sekarang dapat diidentifikasikan R2 dengan

titik-titik di dalam mata ilmu ukur bidang (ruang berdimensi dua). Metode

untuk menuliskan R2 pertama kali dikenalkan oleh matematik Bangsa Prancis

Rem Descarter (1596 – 1650), yang banyak berjasa dalam mengorganisasikan

Ilmu Ukur Analitik dalam tahun 1637.

Suatu garis mendatar dipilih dalam bidang ilmu ukur dan dinamakan

sumbu X. Suatu garis tegak dipilih dan dinamakan sumbu Y. Titik potong

sumbu X dan sumbu Y dinamakan titik asal dan dinyatakan dengan huruf O.

suatu satuan panjang dipilih, dan biasanya satuan panjang pada setiap sumbu

tersebut sama. Kita tetapkan arah positif pada sumbu X ke kanan titik O dan

arah positif sumbu Y ke atas titik O. lihat gambar:

Kalkulus 1

18

Sekarang perhatikan suatu pasangan terurut bilangan riil (x,y) dengan

suatu titik P di dalam bidang ilmu ukur. Lihat gambar 2. jarak P ke sumbu Y,

ditentukan positif bila P di kanan sumbu Y dan negatif bila y di kiri sumbu Y,

dinaman absis (atau koordinat x) dari P dan dinyatakan dengan x. Jarak P ke

sumbu X ditentukan positif bila P di ata sumbu x dan negatif bila P di bawah

sumbu X, dinamakan ordinat (atau koordinat y) dari P dan dinyatakan dengan

y. absis dan ordinat suatu titik dinamakan koordinat kartesis tegak lurus dari

titik itu. Terdapat koresponden satu-satu diantara titik-titik di suatu bidang ilmu

ukur dan R2, yaitu setiap titik dikaitkan dengan pasangan terurut yang tunggal

(x,y) dan setiap pasangan terurut (x,y) dikaitkan dengan satu titik. Konsep

ordensi satu-satu dinamakan Sistem koordinat kartesis tegak lurus. Gambar 6

memberikan ilustrasi suatu sistem koordinat kartesis tegak lurus dengan

beberapa titik.

Kalkulus 1

19

OX

Y

(a)

OX

Y

(b)

Gambar 1.

x (absis P)

y (Ordinat P)

P (x,y)

Gambar 2.

Sumbu X dan Y dinamakan sumbu koordinat. Kedua sumbu tersebut

membagi bidang atas empat bagian yang dinamakan kuadrat. Di kuadrat

pertama absis dan ordinatnya positif, yaitu kuadrat kanan atas. Kuadrat lainnya

diberi nomor sesuai dengan arah yang berlawanan putara jarum jam sehingga

kuadrat keempat terletak di kanan bawah. Lihat gambar 4.

Karena adanya koresponden satu-satu tersebut, kita mengidentifikasi R2

dengan Ilmu Ukur. Dengan alasan ini kita menamakan suatu pasangan berurut

(x,y) sebagai titik. Dengan acara yang sama suatu garis diri R2 dihubungkan

dengan suatu garis di bidang ilmu ukur.

Rumus Jarak, Lingkaran dan Rumus Tumpuh

Sekarang akan dibahas masalah menentukan jarak antara dua titik di R2.

Jika A adalah titik (x1,y2) adan B adalah titik (x2,y1), (yaitu A dan B memiliki

Kalkulus 1

20

Y

XO

(1,2)

(2,0)

(8,5)

(-6,0)

(0,-4)

Y

X

Kuadrat kedua

Kuadrat pertama

Kuadrat ketiga

Kuadrat keempat

Gambar. 3 Gambar. 4

ordinat yang sama tetapi absis berbeda). Maka jarak dari A ke B dinyatakan

dengan d(AB) dan didefinisikan: d(AB) = x2 – x1

Perhatikan gambar 1(a), 1(b) dan 1(c)

Jika adalah titik A(3,4) aan B(9,4), maka jarak d(AB) = 9 - 3 = 6.

Gambar 1(a). Pada gambar 1(b) diketahui titik A(-8,0) dan B(6,0) maka jarak

AB = 6 + 8 = 14, dan gambar 1(c) diketahui titik A(4,2) adan B(1,2), maka

(AB) = 1 - 4 = - 3 = 3. Kemudian jika C adalah titik (x1,y1) dan D

adalah titik (x1, y2) maka jarak dari C dan D dinyatakan dengan d(CD) dan

didefinisikan sebagai d(CD) = y2 – y1.

Kalkulus 1

21

Y

X

A (3,4) B (9,4)

d(AB) = 6

Gambar 1(a)

Y

XA (-8,0) B (6,0)

d(AB) = 14

Gambar 1(b)

Y

X

B (1,2) A (4,2)

d(AB) = - 3 = 3

Gambar 1(c)

Contoh: Perhatikan gamabr 2(a) dan 2(b). Jika titik C(1,-2) dan D(1,-8) maka

jarak CD dinyatakan dengan d(CD) = -8 – (-2) = -6 = 6. Jika C

adalah titik (-2,-3) an D(-2,4) maka jarak CD = 4 – (-3) = 7 = 7

Sekarang kita ingin mendapatkan rumus untuk menghitung jarak P dan Q

dengan menggunakan koordinat kedua titik. Jika P(x,y) dan Q(x2,y2) adalah dua

titik dibidang, kita menggunakan dalil Pythagoras dari Ilmu Ukur bidang yang

menyatakan:

“Dalam suatu segitiga siku-siku, jumlah kuadrat panjang sisi-sisi siku-

sikunya sama dengan kuadrat panjang sisi miring’

Gambar 10 menunjukkan P, Q dan M segitiga siku-siku dengan PQ

adalah sisi miring dan titik M (x2,y1) dengan menggunakan dalil Pythagoras

diperoleh:

d(PQ) = ................................................................. ( 1 )

Kalkulus 1

22

Y

X

D(1,-8)

C(1,-2)

Gambar 2(a)

Y

X

D(-2,4)

C(-2,-3)

O

Gambar 2(b)

Dalam rumus (1) kita tidak memakai

tanda + didepan akar di ruas kanan,

karena d(PQ) adalah mata bilangan

tak negatif. Rumus (1) berlaku untuk

semua posisi yang mungkin bagi P

dan Q di dalam ke empat kuadrat.

Kita menyatakan hasil ini dalam

teorema berikut:

Teorema: Jarak tak berarah dua titik P(x1,y1) dan Q (x2,y2) ditentukan oleh:

d(PQ) =

Perhatikan bahwa jika P dan Q terletak pada garis mendatar yang sama,

maka y1 = y2 dan jarak d(PQ) = maka d(PQ) = y1 – y2

Selanjutnya, bila P dan Q terletak pada garis tegak yang sama, maka x1 =

x2 dan d(PQ) = = x1 – x2

Contoh 1: Tentukan jarak antara:

a) P(-2,7) dan Q(3,-5)

b) A(-2,-8) dan B(7,5)

Jawab: a) d(PQ) = =

= = = 13

b) d(AB) = =

= = =

Kalkulus 1

23

Q(x2,y2)

M(x2,y1)P(x1,y1)

Gambar 3.

Contoh 2: Buktikan bahwa segitiga dengan titik sudut A(-2,4); B(-5,1) dan

C(-6,5) adalah sama kaki, dengan cara menujukkan bahwa dua

sisinya sama panjang.

Perhatikan gambar 4.

d(BC) = = =

d(AC) = = =

d(AB) = = =

Jadi d(BC) = d(AC) =

Dengan demikian ABC sama kaki

PERSAMAAN LINGKARAN

Definisi:Suatu lingkaran adalah himpunan semua titik dibidang yang berjarak

sama dari suatu titik tetap. Titik tetap tersebut dinamakan pusat

lingkaran dan jarak yang tetap dinamakan jari-jari lingkaran

Dengan definisi di atas, maka rumus (persamaan) lingkaran hanya sebuah

langkah kecil saja dari rumus jarak.

Kalkulus 1

24

A(-2,4)

B(-5,1)

C(-6,5)

Gambar 4.

Misalkan perhatikan lingkaran dengan jari-jari 5 dan berpusat di (2,3).

Gambar 5, misalkan (x,y) menyatakan titik sembarang pada lingkaran itu.

Menurut rumus jarak:

Bila kedua ruas dikuadratkan, akan diperoleh: (x –2)2 + (y – 3)2 = 25

Persamaan ini disebut persamaan lingkaran.

Secara lebih umum, lingkaran dengan jari-jarijari r dan pusat m(,)

mempunyai persamaan (x - )2 + (y - )2 = r2 yang disebut persamaan baku

sebuah lingkaran.

Gambar 6 menunjukkan lingkaran yang berpusat di (,) yang berjari-jari

r, jika pusat lingkaran ini ada dititik asal maka = 0 dan = 0 sehingga

persamaan menjadi x2 + y 2 = r2. Lingkaran ini ditunjukkan oleh gambar 7.

Kalkulus 1

25

Y

O

Gambar 7.

P(x,y)

(,)

O

Gambar 6.

Y

X

Xr

r

-r

-r

P(x,y)

(2,3)

O

Gambar 5.

Y

X

5

Keterangan: Persamaan x2 + y2 = 9 adalah suatu lingkaran yang berpusat di

(0,0) dan berjari-jari 3.

Contoh: Tunjukkan bahwa persamaan x2 + y2 + 6x – 2y – 15 = 0 adalah suatu

lingkaran, dan tentukan pusat dan jari-jarinya.

Jawab: Persamaan yang diberikan dapat ditulis sebagai:

(x2 + 6x)2 + (y2 – 2y)2 = 15

Dengan cara menambah 9 dan 1 pada kedua ruas persamaan, kita

peroleh:

(x2 + 6x + 9) + (y2 – 2y + 1) = 15 + 9 + 1 = 25

(x + 3)2 + (y – 1)2 = 25

Terlihat bahwa ini adalah suatu persamaan lingkaran yang berpusat di

(-3,1) dan jari-jari 5.

Dari persamaan baku lingkaran (x - )2 + (y + )2 = r2 .................... (1)

Hilangkan kurungnya dan tau suku-sukunya sehinga diperoleh

x2 + y2 - 2x - 2y + 2 + 2 + r2 = 0 ......................................................... (2)

Persamaan (2) berbentuk x2 + y2 + Ax + By + C = 0 ................................. (3)

dimana A = -2 ; B = -2 dan C = 2 + 2 – r2 ........................................... (4)

Persamaan (1) dinamakan bentuk umum suatu persamaan lingkaran

sedangkan (x - )2 + (y - )2 = r2 dinamakan bentuk pusat dan jari-jari, maka

persamaan lingkaran ditulis dalam kedua bentuk ini yaitu bentuk pusat dan jari-

jari dan bentuk umum.

Sekarang timbul pertanyaan apakah persamaan yang berbentuk

x2 + y2 + Ax + By + C = 0 merupakan suatu lingkaran atau bukan? Untuk

menentukan hal ini kita berusaha untuk menuliskan persamaan ini adalam

bentuk pusat dan jari-jari. persamaan tersebut dapat ditulis sebagai:

x2 + y2 + Ax + By = - C

dan untuk melengkapi bentuk kuadrat dari suku-suku tersebut dengan

menambahkan pad akedua ruas, maka hasilnya adalah:

Kalkulus 1

26

) ........................................... (5)

Bentuk (5) akan berbentuk lingkaran jika dan hanya jika

Ada tiga kemungkinan: (1) A2 + B2 – 4C > 0

(2) A2 + B2 – 4C = 0

(3) A2 + B2 – 4C < 0

Kemungkinan (1): A2 + B2 – 4C > 0

Maka r2 = sehingga Pers (5) merupakan suatu lingkaran

dengan jari-jari = dan pusat

Kemungkinan (2): A2 + B2 – 4C = 0

Persamaan (5) menjadi . Terlihat disini r = 0, sehingga

lingkaran yang didapat adalah suatu lingkaran titik.

Kemungkinan (3): A2 + B2 – 4C < 0

Terdapat bahwa ruas kanan bilangan negatif, sdangkan diruas kirinya jumlah

kuadrat dua bilangan riil. Jadi tidak terdapat nilai riil x dan y yang memenuhi

persamaan tersebut. sehingga persamaan tersebut adalah himpunan kosong.

Dari apa yang diuraikan di atas dapat diambil kesimpulan sebagai

berikut: Grafik suatu persamaan berderajat dua dalam R2 dalam x dan y dengan

koefisien x2 dan y2 sama dan tidak memiliki suku xy membentuk suatu

lingkaran, satu lingkaran titik atau himpunan kosong.

Contoh 1. Diketahui persamaan berbentuk 2x2 + 2y2 + 12x – 8y + 31 = 0

Tentukan apakah persamaan itu bebrbentuk atau lingkaran titik atau

lingkaran kosong.

Kalkulus 1

27

Jawab: 2x 2 + 2y 2 + 12x – 8y + 31 = 0

: 2

x2 + y2 + 6x – 4y + = 0

(x2 + 6x) + (y2 – 4y) = -

(x2 + 6x + 9) + (y2 – 4y + 4) = - + 13

(x + 3)2 + (y –2)2 = -

Karenanya grafik berbentuk himpunan kosong

Contoh 2. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui P(4,5); Q(3,-2) dan

R(1-4)

Jawab: Bentuk persamaan umum lingkaran

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Karena ketiga titik P, Q dan R harus terletak pada lingkaran, koordinat

titik tersebut harus memenuhi persamaan, jadi:

16 + 25 + 4A + 5B + C = 0

9 + 4 + 3A – 2B + C = 0

1 + 16 + A – 4B + C = 0 atau

4A + 5B + C = - 41

3A – 2B + C = - 13

A – 4B + C = - 17

Dari ketiga persamaan di atas dapat ditentukan harga A, B dan C

yaitu: A = 7 ; B = -5 dan C = - 44

Jadi persamaan lingkaran adalah: x2 + y2 + 7x – 5y – 44 = 0

Kalkulus 1

28

Soal-soal

Soal 1 sampai 4, lukis titik-titik yang diberikan dalam bidang R2 dan tentukan

jarak antara titik-titik tersebut.

1. (3,-2) dan (5,3) 2. (-5,1) dan (6,3)

3. (4,2) dan (2,4) 4. (3,4) dan (7,2)

5. Tentukan panjang ruas garis segitiga dengan titik sudut A(3,5); B(2,4) :

dan C(-1,-4)

6. Buktikan bahwa segitiga dengan titik sudut A(3,-6); B(8,2) dan C(-1,-1)

adalah suatu segitiga siku-siku.

7. Buktikan bahwa titik A(6,-13); B(-2,2); C(13,10) dan D(21,-5) adalah

suatu titik sudut suatu bujursangkar. Hitunglah panjang diagonalnya.

8. Jika suatu ruas garis adalah (-4,2) dan titik tengahnya (3,-1), tentukan titik

ujung yang satu lagi dari ruas garis tersebut.

Dalam soal 9 sampai dengan 12, tentukan suatu persamaan lingkaran yang

berpusat di C dan berjari-jari r. Tulis persamaan tersebut dalam dua bentuk,

bentuk pusat jari-jari dan bentuk umum.

9. C(4,-3) dan r = 5

10. C(0,0) dan r = 8

11. C(-5,-12) dan r = 3

12. C(-1,1) dan r = 2

13. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (1,2) dan melalui titik (3,-

1)

14. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik (2,8); (7,3); dan (-

2,0)

15. x2 + y2 – 6x – 8y + 9 = 0

16. 2x2 + 2y2 – 2x + 2y + 7 = 0

17. 3x2 + 3y2 + 4y - 7 = 0

18. x2 + y2 – 10x – 10y + 25 = 0

Soal 19 dan 20 selidikilah apakah grafiknya berbentuk lingkaran titik atau

lingkaran kosong.

19. x2 + y2 – 2x + 10y + 19 = 0Kalkulus 1

29

20. 4x2 + 4y2 + 24x – 4y + 1 = 0

F. Garis Lurus

Garis lurus adalah suatu hal paling sederhana dari sebuah kurva. Kita

pandang suatu garis yang melalui dua buah titik, yakni A (3,2) dan B (8,4)

yang diperlihatkan pada gambar 1.

Suatu garis adalah sebuah objek geometri, yang bila ditempatkan pada

suatu koordinat bidang akan mempunyai persamaan. Untuk mengetahui

persamaan suatu garis lurus, kita harus memahami konsep kemiringan

(gradien).

Dari gambar 2. Jika kita pandang garis dari titik A ke titik B, terlihat

terjadi perubahan tegak (kenaikan) sebesar 2 satuan ukuran dan perubahan

mendatar (penurunan) sebesar 5 satuan. Dalam hal ini dikatakan bahwa garis

tersebut mempunyai tanjakan (kemiringan) 2/5. Secara umum untuk sebuah

garis yang melalui A (x1, y1) dan B (x2, y2), dimana x1 x2, kemiringannya

didefinisikan oleh `

Tentu akan timbul suatu pertanyaan bagi kita, yakni apakah nilai yang

didapat untuk sembarang kemiringan garis itu tergantung kepada pasangan

yang dipakai untuk A dan B?. Untuk itu mari kita lihat gambar 3 berikut.

Kalkulus 1

30

Segitiga sebangun dalam gambar 3 ini memperlihatkan bahwa

Jadi titik-titik A’ dan B’ akan memenuhi sebagaimana halnya A dan B.

Tidak menjadi masalah apakah A terletak di kiri atau di kanan B, karena

. Yang pokok adalah bahwa koordinat-koordinat dikurangkan

dalam urutan sama pada pembilang dan penyebut.

Kemiringan m adalah ukuran kecuraman suatu garis (lihat gambar 4).

Dari gambar ini terlihat bahwa garis mendatar mempunyai kemiringan nol,

garis yang naik ke kanan kemiringannya positif, dan yang menurun ke kanan

mempunyai kemiringan negative. Semakin besar kemiringan suatu garis berarti

semakin curam garisnya. Sedangkan untuk garis vertical, konsep kemiringan

ini tidak terdefinisikan.

`

Gambar 4

Garis-garis dengan Aneka Kemiringan

Sekarang kita lihat konsep kemiringan titik. Seperti dibicarakan di awal

tadi, seperti gambar 5, kita ketahui bahwa lurus melalui titik (3, 2) dan

mempunyai kemiringan 2/5, lalu ambil sekarang sembarang titik pada garis

lurus itu, misalnya titik (x, y). Jika kita gunakan titik ini dan titik (3, 2) untuk

mengukur kemiringan garis itu, kita pasti memperoleh nilai 2/5, yakni

atau setelah sama dikalikan dengan –3, kita dapatkan y-2 = 2/5 (x-3).Kalkulus 1

31

Perhatikan bahwa persamaan yang terakhir ini dipenuhi oleh semua titik

pada garis lurus itu bahkan oleh titik (3, 2) sendiri. Konsep yang baru kita

jelaskan di atas berlaku secara umum, yakni bahwa garis yang melalui titik

tetap dengan koordinat (x, y) dengan kemiringan m memenuhi persamaan:

)

Hal ini disebut sebagai kemiringan titik dari persamaan garis lurus.

Bila kita pandang sekali lagi garis pada contoh, garis melalui (8, 4)

seperti halnya (3, 2). Jika dipakai (8, 4) sebagai (x1, y1) kita dapat persamaan

y - 4 = = 2/5 (x – 8), sepertinya berbeda dari y – 2 = 2/5 (x – 3), tetapi

sesunggunya dapat dimudahkan menjadi 5y – 2x = 4.

Contoh 1. Carilah persamaan garis yang melalui (-4, 2) dan (6, -1).

Penyelesaian: Kemiringan m adalah , selanjutnya dengan

menggunakan titik (-4, 2) sebagai titik tetap, kita dapatkan

persamaan garisnya y – 2 = -3/10 (x + 4).

Selanjutnya kita lihat bagaimana bentuk persamaan perpotongan suatu

garis. Persamaan suatu garis dapat dinyatakan dalam berbagai bentuk.

Dimisalkan kemiringan sebagai m untuk suatu garis dan b perpotongannnya

dengan sumbu y, artinya bahwa garis tersebut memotong sumbu y pada titik (0,

b), seperti diperlihatkan pada gambar 6.

Kalkulus 1

32

Dengan memilih (0, b) sebagai (x1, y1) dan menerapkan bentuk

kemiringan y – b = m (x – 0), yang dapat ditulis ulang y = mx + b. Inilah yang

disebut sebagai kemiringan perpotongan.

Hal ini menarik untuk diamati, karena setiap kali kita melihat persamaan

seperti itu, kita mengetahui itu adalah persamaan suatu garis dan juga dapat

kita cari kemiringan perpotongan y nya. Misalkan kita lihat persamaan

3x – 2y + 4 = 0

Jika diselesaikan untuk y, kita dapatkan y = 3/2x + 2. Ini adalah persamaan garis

dengan kemiringan 3/2 dan perpotongan y pada (0, 2).

Sekarang kita tinjau garis tegak. Garis-garis tegak tidak sesuai dalam

pembahasan di atas, karena garis tersebut tidak mempunyai kemiringan. Tetapi

tentu saja garis tegak mempunyai persamaan.

Kalkulus 1

33

Dari gambar 7, persamaan garisnya adalah x = 5/2, karena sebuah titik

berada pada garis jika dan hanya jika memenuhi persamaan ini. Persamaan

sembarang garis tegak dapat dinyatakan danam bentuk x = k, dimana k adalah

suatu konstanta. Patut dicatat bahwa persamaan suatu garis mendatar dapat

ditulis dalam bentuk y = k.

Bentuk Ax + By + C = 0. Akan sangat menarik untuk mempunyai suatu

bentuk yang meliputi semua garis, termasuk gari-garis tegak. Ambil misalnya:

1. y – 2 = -4 (x + 2)

2. y = 5x – 3

3. x = 5

Ini dapat ditulis ulang (dengan memindahkan semuanya ke ruas kiri) sebagai

berikut:

1. 4x + y + 6 = 0

2. –5x + y + 3 = 0

3. x + 0y – 5 = 0

Jelas semuanya berbentuk Ax + By + C = 0, A dan B keduanya tak nol.

Persamaan ini disebut persamaan linier umum. Dengan memikirkan

sesaat kita dapat melihat bahwa sembarang persamaan garis lurus dapat dibuat

dalam bentuk ini. Sebaliknya grafik persamaan linier umum ini selalu berupa

suatu garis lurus.

Sekarang bagaimana pula dengan garis sejajar?. Jika dua garis

mempunyai kemiringan yang sama, maka jelas keduanya sejajar. Jadi y = 2x +

2 dan y = 2x +5 merupakan garis sejajar. Keduanya mempunyai kemiringan 2.

Garis yang kedua adalah 3 satuan di ats yang pertama untuk setiap nilai x, lihat

gambar 8 berikut.

Kalkulus 1

34

Demikian pula garis-garis dengan persamaan –2x + 3y + 12 = 0 dan 4x –

6y = 5 adalah garis sejajar. Untuk melihat ini, selesaikan persamaan tersebut

untuk y ( yakni cari bentuk kemiringan perpotongan), kita akan dapatkan

masing-masing y = 2/3x – 4 dan y = 2/3x – 5/6, Keduanya mempunyai kemiringan

yang sama 2/3, jadi jelaslah bahwa garis itu sejajar. Selanjutnya kita dapat

mengatakan bahwa dua garis taak tegak adalah sejajar jika keduanya

mempunyai kemiringan yang sama.

Contoh 2. Carilah persamaan garis melalui (6, 8) yang sejajar dengan garis

yang mempunyai persamaan 3x – 5y = 11.

Penyelesaian: Jika kita selesaikan 3x – 5y = 11 untuk y, kita dapatkan

y = 3/5x – 11/5, dari sini terbaca bahwa kemiringan garis itu adalah 3/5. Persamaan garis yang diinginkan adalah y – 8 = 3/5 (x –6)

atau dalam bentuk persamaan linier 3x – 5y + 22 = 0.

Selanjutnya masri kita lihat garis yang saling tegak lurus. Apakah

terdapat persyaratan kemiringan yang sederhana yang mencirikan garis-garis

yang tegak lurus? Ya, dua garis tegak yang saling tegak lurus jika dan hanya

jika kemiringan keduanya saling berbalikan negatif.

Untuk melihat kenapa ini benar, pandanglah dua garis tak tegak l1 dan l2.

Dengan tidak menyalahi generalisasi, kita menganggapnya berpotongan pada

titik asal, karena jika tidak demikian kita dapat menggesernya sedemikian rupa

Kalkulus 1

35

sehingga kemiringannya tetap. Misalkan P1 (x1, y1) suatu titik pada l1 dan P2

juga suatu titik pada l2 seperti pada gambar 9.

Menurut dalil Pythagoras dan kebalikannya, P1OP2 merupakan sudut

siku-siku jika dan hanya jika [d(P1, O)]2 + [d(P2, O)]2 = [d(P1, P2)]2, yakni jika

dan hanya jika (x12 + y1

2) + (x22 + y2

2) = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2.

Setelah penguraian dan penyederhanaan, persamaan ini menjadi 2x1x2 +

2y1y2 = 0 atau .

Sekarang y1/x1 adalah kemiringan dari l1, sedangkan y2/x2 adalah

kemiringan dari garis l2. Sehingga P1OP2 adalah sudut siku-siku jika dan hanya

jika kemiringan dua garis berbanding terbalik satu sama lainnya.

Garis-garis y = 3/4x dan y = -4/3x saling tegak lurus. Demikian juga 2x –

3y = 5 dan 3x +2y = -4, karena setelah diselesaikan untuk y didapat kemiringan

garis pertama adalah 2/3 dan garis kedua mempunyai kemiringan –3/2.

Contoh 3. Carilah persamaan yang melalui titik potong garis-garis dengan

persamaan 3x + 4y = 8 dan 6x – 10y = 7, yang tegak lurus dengan

garis pertama.

Penyelesaian: Untuk mencari titik potong dua garis ini persamaan pertama

dikalikan –2 dan hasilnya ditambahkan pada persamaan kedua

–-6x – 8y = - 16

6x – 10y = 7

- 18y = - 9 y = 1/2

Kalkulus 1

36

Dengan mensubtitusikan y = 1/2 dalam satu persamaan awal akan

menghasilkan x = 2. Titik potongnya adalah (2, 1/2).

Bilamana persamaan pertama diselesaikan untuk y

(membuatnya dalam bentuk kemiringan perpotongan), diperoleh

y = -3/4x + 2. Garis yang tegak lurus padanya mempunyai

kemiringan 4/3. Persamaan garis yang diminta adalah:

y – 1/2 = 4/3 (x – 2).

Soal-soal

Dari soal 1 sampai 8, cari nilai kemiringan garis lurus antara titik-titik yang

diberikan.

1. A (2, 3) dan B (4, 8) 5. P (3, 0) dan Q (0, 5)

2. A (4, 1) dan B (8, 2) 6. P (-6, 0) dan Q (0, 6)

3. A (-4, 2) dan B (3, 0) 7. P (-1,732, 5,014) dan Q (4,315, 6,175)

4. A (2, -4) dan B (0, -6) 8. P (, 3) dan Q (1,642, 2)

Dari soal 9 sampai 16 cari persamaan garis dan tuliskan dalam bentuk

persamaan linier umum Ax + By + C = 0.

9. Melalui titik (2, 3) dengan kemiringan 4

10. Melalui titik (3, -4) dengan kemiringan –2

11. Dengan perpotongan pada y = 4 dan kemiringan –2

12. Dengan perpotongan pada y = 5 dan kemiringan –2

13. Melalui titik (2, 3) dan titik (4, 8)

14. Melalui titik (4, 1) dan titik (8, 2)

15. Melalui titik (2, -3) dan titik (2, 5)

16. Melalui titik (-5, 0) dan titik (-5,4)

Dari soal 17 sampai 20 carilah kemiringan perpotongan pada y untuk tiap garis.

17. 3y = 2x – 4

18. 2y = 5x + 2

19. 2x + 3y = 6

20. 4x + 5y = -20

21. Tuliskan persamaan garis melalui titik (3, -3) yang:

Kalkulus 1

37

a. sejajar garis y = 2x + 5

b. tegak lurus y = 2x + 5

c. sejajar garis 2x + 3y = 6

d. tegak lurus garis 2x + 3y = 6

e. sejajar garis yang melalui titik (-1, 2) dan titik (3, -1)

f. sejajar garis x = 8

g. tegak lurus garis x = 8

22. Cari nilai k untuk mana garis 4x + ky = 5

a. melalui titik (2, 1)

b. sejajar sumbu y

c. sejajar garis 6x – 9y = 10

d. mempunyai perpotongan pada x dan y sama

e. tegak lurus garis y – 2 = 2 (x + 1)

23. Tuliskan persamaan garis melalui titik (0, -4) yang tegak lurus pada garis y

+ 2 = -1/2 (x – 1).

24. Cari nilai k sedemikian rupa sehingga garis kx – 3y = 10:

a. sejajar garis y = 2x + 4

b. tegak lurus garis y = 2x + 4

c. tegak lurus garis 2x + 3y = 6.

G. Grafik Persamaan

Penggunaan koordinat untuk titik-titik pada bidang memungkinkan kita

untuk memerikan suatu kurva (objek geometri) dengan memakai suatu

persamaan (ojek aljabar). Kita melihat bagaimana ini dilakukan untuk

lingkaran-lingkaran dan garis-garis dalam pasal terdahulu. Sekarang kita ingin

melihat proses kebalikannya, yakni menggambarkan suatu persamaan. Grafik

suatu persamaan dalam x dan y terdiri atas titik-titik di bidang yang koordinat-

koordinat (x, y) nya memenuhi persamaan (persamaannya benar).

Bagaimana menggambarkan grafik?. Untuk menggambarkan suatu

persamaan, misalnya y = 2x3 – x + 19 ikuti tiga langkah sederhana berikut:

Kalkulus 1

38

1. Dapatkan koordinat-koordinat beberapa titik yang memenuhi persamaan.

2. Rajah titik-titik tersebut pada bidang.

3. Hubungkan titik-titik tersebut dengan sebuah kurva mulus.

Cara termudah untuk langkah 1 adalah dengan membuat table nilai-nilai.

Berikan nilai yang berpadanan dari salah satu peubah (variable) dengan peubah

lainnya.

Contoh 1. Gambar grafik persamaan y = x2 – 3

Penyelesaian: Prosedur tiga langkah dapat dilihat pada gambar 1.

Selanjutnya kita amati kesimetrian grafik. Kita dapat

menghemat kerja dan menggambarkan grafik yang lebih tepat

jika kita dapat mengenali simetri tertentu dari suatu grafik itu,

yakni dengan memeriksa persamaan yang berpadanan. Lihat

grafik y = x2 – 3 di atas daan yang digambarkan lagi pada

gambar 2 berikut.

Kalkulus 1

39

Jika bidang koordinat dilipat sepanjang sumbu y, kedua cabang akan berimpit.

Misalnya (3, 6) akan berimpit dengan (-3, 6), (2, 1) akan berimpit dengan (-2,

1) dan secara lebih umum (x, y) akan berimpit dengan (-x, y). Secara aljabar ini

berpadanan dengan kenyataan bahwa penggantian x oleh –x dalam persamaan

y = x2 – 3 menghasilkan persamaan yang setara.

Pandang suatu persamaan sembarang. Jika penggantian x oleh –x

menghasilkan suatu persamaan setara, maka grafik persamaan adalah simetri

terhadap sumbu y. Serupa, jika penggantian y oleh –y menghasilkan persamaan

setara, maka grafiknya simetri terhadap sumbu x. Persamaan x = 1 + y2 adalah

jenis grafik yang simetri terhadap sumbu x itu (lihat gambar 3).

Tipe ketiga adalah simetri terhadap titik asal. Hal ini terjadi jika

penggantian x oleh –x dan y oleh –y menghasilakn persamaan setara. Secara

geometri ini berpadanan terhadap titik-titik (x, y) dan (-x, -y)yang berada pada

sebuah garis yang melalui titik asal dan sama jauh dari titik asal. Persamaan y

Kalkulus 1

40

= x3 memberikan contoh yang baik, karena –y = (-x)3 setara terhadap y = x3

(lihat gambar 4).

Contoh 2. Sketsakan grafik y = x3

Penyelesaian: lihat gambar 4.

Catatan. Dalam menggambar grafik y = x3 di atas dipakai skala

lebih kecil untuk sumbu y. Hal ini untuk memperlihatkana porsi

grafik yang lebih besar.

Sekarang kita amati perpotongan garis kurva pada masing-masing

sumbu. Titik-titik dimana grafik memotong kedua sumbu memainkan peranan

penting dalam banyak hal. Misalnya, pandang

y = x3 – 2x2 – 5x + 6 = (x + 2)(x - 1)(x – 3)

Perhatikan bahwa y = 0 bilamana x = -2, 1, dan 3. Bilangan-bilangan –2,

1, dan 3 disebut perpotongan pada sumbu x. Sama halnya dengan itu x = 0

bilamana y = 6, sehingga 6 disebut perpotongan pada sumbu y.

Contoh 3. Sketsakan grafik y2 – x + y – 6 = 0 dengan memperlihatkan semua

perpotongan secara jelas.

Penyelesaian: Dengan meletakkan y = 0 dalam persamaan yang diberikan,

didapat x = -6, sehingga perpotongan pada x adalah –6. Dengan

meletakkan x = 0 dalam persamaan, didapat y2 + y – 6 = 0 atau

(y + 3)(y – 2) = 0. Berarti perpotongan pada y adalah –3 dan 2.

Kalkulus 1

41

Pemeriksaan kesimetrian menunjukkan bahwa grafiknya tidak

simetri (lihat gambar 5).

Grafik-grafik dari contoh 1 dan 3 berupa parabola. Jika suatu persamaan

berbentuk y = ax2 + bx + c atau x = ay2 + by + c dengan a 0, grafiknya akan

selalu berbentuk parabola. Pada kasus pertama grafik terbuka ke atas atau ke

bawah dan pada kasus kedua terbuka ke kiri atau ke kanan sesuai dengan

apakah a > 0 atau a < 0. Perhatikan bahwa persamaan pada contoh 3 dapat

ditulis dalam bentuk x = y2 + y – 6.

Contoh 4. Cari titik-titik perpotongan garis y = -2x + 2 dan parabola y = 2x2 –

4x – 2 dan sketsakan kedua grafik pada bidang yang sama.

Penyelesaian: Kita harus selesaikan kedua persamaan secara serempak

-2x + 2 = 2x2 – 4x – 2

0 = 2x2 – 2x – 4

0 = 2 (x – 2)(x + 1)

x = -1 x = 2

Selanjutnya mensubtitusikan nilai tersebut didapat nilai yang

berpadanan adalah 4 dan –2, karena itu titik-titik

perpotongannya adalah (-1, 4) dan (2, -2). Lihat gambar 6.

Kalkulus 1

42

Soal-soal

Dari soal 1 sampai 5 gambarlah sketsa grafik persamaan yang diberikan.

Periksa simetri dan yakinkan untuk mencari semua perpotongan pada x dan y.

1. y = -x2 + 4

2. 3x2 + 4y = 0

3. x2 + y2 = 36

4. 4x2 + 9y2 = 36

5. y = x3 – 3x

Dari soal 6 sampai 10 gambarkan grafik kedua persamaan yang diberikan. Cari

juga titik perpotongan antara dua grafik.

6. y = -x + 1 dan y = x2 + 2x + 1

7. y = -2x + 1 dan y = -x2 - x + 3

8. y = 1,5x + 3,2 dan y = x2 – 2,9x

9. y = 4x + 3 dan x2 + y2 = 4

10. y – 3x = 1 dan x2 + 2x + y2 = 15.

Kalkulus 1

43