kalkulus 1

BAB ISISTEM BILANGAN

1.1 Pendahuluan

Bilangan pertama yang pernah kita jumpai ialah bilangan cacah yang disebut juga

bilangan asli dan bilangan ini ditulis dengan menggunakan numeral (0,1,2…..9). Pada

bab ini memuat materi-materi dasar yang diperlukan dalam mempelajari kalkulus.

Beberapa materi yang disampaikan hanyalah merupakan review, namun demikian ada

pula beberapa yang relative masih baru.

1.1.1 Deskripsi

Pada bab ini akan membahas sistem bilangan dengan materi dasar sebagai

berikut; sistem bilangan real, sifat-sifat bilangan real, sistem bilangan desimal, sistem

bilangan biner, sistem bilangan oktal, sistem bilangan hexadesimal, relasi utama, garis

bilangan, pertidaksamaan, nilai mutlak, selang/interval.

1.1.2 Manfaat dan Relevansi

Bilangan adalah dasar dari matematika, maka kalau kita belajar kalkulus/ilmu

matematika tidak akan lepas dari sistem bilangan, karena semua bentuk operasi

matematika menggunakan sistem bilangan, begitu pula untuk mempelajari matematika

teknik lanjut.

1.1.3 Standart Kompetensi

Seorang sarjana teknik elektro diharapkan dapat menguasai materi sistem

bilangan ini, karena untuk menguasai ilmu teknik elektro tidak lepas dari ilmu matematis

sehingga sebagai dasar ilmu matematis ini, yaitu sistem bilangan harus dimengerti dan

difahami, dan untuk mempelajari materi matematika lanjut diharuskan menguasai sistem

bilangan.

1.1.4 Kompetensi Dasar

1. Mahasiswa dapat mengenali sistem bilangan real, bilangan desimal, bilangan

KALKULUS ITeknik Elektro-UMK

1

biner, bilangan oktal, bilangan hexadesimal, garis bilangan dan sifat-sifatnya.

2. Mahasiswa dapat mengunakan operasi penjumlahan, pengurangan, dan

perkalian dari macam-macam sistem bilangan.

3. Mahasiswa dapat memahami sistem relasi utama.

4. Mahasiswa dapat menyelesaikan pertidaksamaan.

5. Mahasiswa dapat menggunakan metoda nilai mutlak dan interval/selang.

1.2 Sistem Bilangan Real

Pada bagian ini, pembaca diingatkan kembali pada konsep tentang himpunan.

Himpunan adalah sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu. Unsur-unsur

dalam himpunan S disebut anggota (elemen) S. Himpunan yang tidak memiliki anggota

disebut himpunan kosong, ditulis dengan notasi atau { }.

Jika a merupakan anggota himpunan S, maka dituliskan dan dibaca “a

elemen S”. Jika a bukan anggota himpunan S, maka dituliskan dan dibaca “a bukan

elemen S”.

Pada umumnya, sembarang himpunan dapat dinyatakan dengan 2 cara. Pertama,

dengan mendaftar seluruh anggotanya. Sebagai contoh, himpunan A yang terdiri atas

unsur-unsur 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dapat dinyatakan sebagai: .

Cara yang kedua, yaitu dengan menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh

seluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan

anggota himpunan tersebut. Apabila himpunan A di atas dinyatakan dengan cara ini,

maka dapat ditulis: .

Himpunan A disebut himpunan bagian himpunan B, ditulis , jika setiap

anggota A merupakan anggota B. Kiranya tidaklah sulit untuk dipahami bahwa

untuk sebarang himpunan A.

Selanjutnya, akan disampaikan beberapa himpunan bilangan yang dipandang

cukup penting. Himpunan semua bilangan asli adalah . Himpunan ini

tertutup terhadap operasi penjumlahan dan operasi pergandaan, artinya dan

untuk setiap . Oleh karena itu, himpunan semua bilangan asli

membentuk suatu sistem dan biasa disebut sistem bilangan asli. Sistem bilangan asli

bersama-sama dengan bilangan nol dan bilangan-bilangan bulat negatif membentuk

Sistem Bilangan Bulat, ditulis dengan notasi Z,


2

Bilangan rasional adalah bilangan yang merupakan hasil bagi bilangan bulat dan

bilangan asli. Himpunan semua bilangan rasional ditulis dengan notasi Q,

Dalam kehidupan nyata seringkali dijumpai bilangan-bilangan yang tidak

rasional. Bilangan yang tidak rasional disebut bilangan irasional. Contoh-contoh

bilangan irasional antara lain adalah dan . Bilangan adalah panjang sisi miring

segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi tegaknya masing-masing adalah 1 (lihat

Gambar 1.1).

Sedangkan bilangan merupakan hasil bagi keliling sebarang lingkaran terhadap

diameternya (Gambar 1.2).

Himpunan semua bilangan irasional bersama-sama dengan Q membentuk himpunan

semua bilangan real R. Seperti telah diketahui, untuk menyatakan sembarang bilangan

real seringkali digunakan cara desimal. Sebagai contoh, bilangan-bilangan

masing-masing dapat dinyatakan dalam desimal sebagai

Dapat ditunjukkan bahwa bentuk desimal

bilangan-bilangan rasional adalah salah satu dari 2 tipe berikut:

(i) berhenti ( ), atau


3

1

1Gambar 1.1

d1

l1 l2

d2

Gambar 1.2

(ii) berulang beraturan ( ).

Apabila bentuk desimal suatu bilangan tidak termasuk salah satu tipe di atas, maka

bilangan tersebut adalah irasional. Sebagai contoh, bilangan-bilangan:

1.2.1 Sifat-sifat Bilangan Real

Pembaca diingatkan kembali kepada sifat-sifat yang berlaku di dalam R. Untuk

sebarang bilangan real berlaku sifat-sifat sebagai berikut:

1. Sifat komutatif

(i).

2. Sifat asosiatif

3. Sifat distributif

4. (i).

(ii).

(iii).

5. (i).

(ii).

(iii).

6. (i). , untuk setiap bilangan .

(ii). tak terdefinisikan.

(iii). , untuk setiap bilangan .

7. Hukum kanselasi

(i). Jika dan maka .


4

(ii). Jika maka .

8. Sifat pembagi nol

Jika maka atau .

1.3 Sistem Bilangan Desimal

Sistim bilangan desimal untuk membentuk suatu bilangan digunakan simbol yang

dinamakan digit. digit tersebut adalah 0,1,2,3,4,5,6,7,8, dan 9. Banyaknya digit dalam

suatu system disebut radix atau dasar. Sehingga dasar dari bilangan desimal adalah 10.

Sistem bilangan decimal juga melibatkan tanda minus (-) untuk menandai bilangan

negative dan tanda koma untuk menandai pecahan.

Tabel 1. Daftar sistem bilangan desimal dan nilai tempat

Kedudukanke kiri dari koma

4 3 2 1

ke kanan dari koma

1 2 3 4

nilai tempat 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 0,0001

pangkat dari 10 103 102 101 100 10-1 10-2 10-3 10-4

Contoh.

Tentukan nilai dari 5, 3, dan 1 dari bilangan 543,21.

Penyelesaian :

5 adalah digit ketiga dari sebelah kiri tanda koma maka nilainya = 5 x 103-1= 5 x 102 = 500.

3 adalah digit pertama dari sebelah kiri tanda koma maka nilainya = 3 x 101-1 = 3 x 100 = 3.

1 adalah digit kedua dari sebelah kanan tanda koma maka nilainya = 1 x 10-2= 1 x 10-2 =

0,01.

1.4 Sistem Bilangan Biner

Sistem bilangan biner hanya mempunyai dua digit, yaitu 0 dan 1. Sehingga dasar

bilangan untuk sistem biner adalah 2. Untuk mengubah bilangan desimal bulat ke biner

digunakan pembagian berulang oleh dasar sistem bilangan biner (2) hingga

pembilangnya nol (0). Sisanya dari masing-masing pembagian merupakan hasilnya yang

dibaca dari bawah ke atas.

Latihan.KALKULUS ITeknik Elektro-UMK

5

1. Ubahlah 5410 ke bentuk biner.

2. Ubahlah 0,8437510 ke biner.

3. Ubahlah 11001.0102 ke bilangan desimal.

1.5 Sistem Bilangan oktal

Bilangan ini mempunyai delapan digit, yaitu ; 0,1,2,3,4,5,6, dan 7. Sehingga dasar

bilangan oktal adalah 8. Sistem bilangan oktal sering digunakan untuk menunjukkan

informasi biner dari komputer.

Langkah untuk merubah bilangan desimal ke oktal :

1. Untuk mengubah bilangan bulat, digunakan pembagian berulang dengan 8 hingga

pembilangnya nol.

2. Untuk mengubah bilangan pecahan ke bilangan oktal digunakan perkalian

berulang dengan 8 dan kelebihan bilangan bulatnya merupakan hasilnya.

Latihan.

1. Ubahlah 43210 ke oktal.

2. Ubahlah 0,492187510 ke oktal.

3. Ubahlah 701.238 ke desimal.

1.6 Sistem Bilangan Hexadesimal

Sistim bilangan hexadesimal mempunyai enambelas digit, yaitu;

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E, dan F. sehingga dasar dari bilangan hexadecimal adalah

16. Alphabet yang digunakan pada system hexadecimal adalah ‘A’ (alpha), ‘B’ (bravo),

‘C’ (charley), ‘D’ (delta), ‘E’ (echo), dan ‘F’ (fox).

Langkah untuk merubah bilangan desimal ke hexadesimal :

1. Untuk mengubah bilangan bulat, digunakan pembagian berulang dengan 16

hingga pembilangnya nol.

2. Untuk mengubah bilangan pecahan desimal ke bilangan hexadesimal digunakan

perkalian berulang dengan 16 dan kelebihan bilangan bulatnya merupakan

hasilnya.

Latihan.

1. Ubahlah 242010 ke bentuk hexadesimal.


6

2. Ubahlah 0,492187510 ke hexadesimal.

3. Ubahlah A3.F216 ke bilangan desimal.

Tabel 2. Daftar perbandingan antara bilangan desimal, biner, oktal dan hexadesimal.

Desimal Biner Oktal Hesadesimal0123456789101112131415

01101110010111011110001001101010111100110111101111

012345671011121314151617

0123456789ABCDEF

Tabel 3. Daftar untuk mengubah bilangan biner ke oktal atau sebaliknya

Oktal 0 1 2 3 4 5 6 7

Biner 000 001 010 011 100 101 110 111

Contoh.

1. Ubahlah bilangan 110.1012 ke bilangan oktal.

Jawab.

110 . 101 = bilangan biner

6 . 5 = bilangan oktal

2. Ubahlah bilangan 23.468 ke bilangan biner.

Jawab.

2 3 . 4 6 = bilangan oktal

010 011 . 100 110 = bilangan biner

Tabel 4. Daftar untuk mengubah bilangan biner ke hexadesimal atau sebaliknya


7

Hexadesimal 1 2 3 4 5 6 7

Biner 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111

8 9 A B C D E F

1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Contoh.

1. Ubahlah 101100.10102 ke bilangan hexadesimal.

Jawab.

0010 1100 . 1010 = bilangan biner

2 C . A = bilangan hexadesimal

2. Ubahlah F0.CC16 ke bilangan biner.

Jawab.

F 0 . C C = bilangan hexadesimal

1111 0000 . 1100 1100 = bilangan biner

Latihan.

1. Tentukan nilai desimal dari :a. 1102 c. 1108 e. 11016

b. 10.112 d. 76.28 f. 76.216

2. Ubahlah bilangan desimal berikut ke bilangan biner, oktal, dan hexadesimal.a. 132,43 b. 85,96 c. 500,43 d. 205,06

1.7 Operasi Sistem Bilangan

Bilangan Biner

a. Penjumlahan : 0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 1 = 10

b. Pengurangan : 0 – 0 = 0

1 - 1 = 0

1 - 0 = 1

0 - 1 = 1KALKULUS ITeknik Elektro-UMK

8

c. Perkalian : 0 x 0 = 0

0 x 1 = 0

1 x 1 = 1

b. Pembagian : 0 : 0 = 0

0 : 1 = 0

1 : 1 = 1

Contoh.

1. a. b.

2. a. b.

3. a. b.

4. a. b.

Bilangan Oktal

a. Penjumlahan : 1. 2.

b. Pengurangan : 1. 2.

c. Perkalian :

d. Pembagian :

Bilangan Hexadesimal


9

a. Penjumlahan : 1. 2.

b. Pengurangan : 1. 2.

c. Perkalian :

d. Pembagian :

1.8 Relasi Urutan

Himpunan semua bilangan real dapat dibagi menjadi 3 himpunan bagian tak

kosong yang saling asing: (i). Himpunan semua bilangan real positif;

(ii). Himpunan dengan bilangan 0 sebagai satu-satunya

anggota; (iii). Himpunan semua bilangan real negative.

Untuk sebarang bilangan real a dan b, a dikatakan kurang dari b (ditulis

jika positif. Bilangan a dikatakan lebih dari b (ditulis ) jika . Sebagai

contoh, . Mudah ditunjukkan bahwa:

a. Bilangan a positif jika dan hanya jika .

b. Bilangan a negatif jika dan hanya jika .

Jika a kurang dari atau sama dengan b, maka ditulis . Jika a lebih dari atau sama

dengan b, maka ditulis . Sedangkan dimaksudkan sebagai dan .

Artinya b antara a dan c. Berikut ini adalah beberapa sifat yang sangat penting untuk

diketahui. Untuk sebarang bilangan real a, b, dan c:

1. Jika maka untuk setiap bilangan real c.

2. Jika maka .

3. a. Jika dan maka .

b. Jika dan maka .

4. a. Jika maka .


10

b. Jika maka .

5. Untuk sebarang bilangan real a dan b berlaku tepat satu:

6. Jika maka: .

1.9 Garis Bilangan

Secara geometris, sistem bilangan real R dapat digambarkan dengan garis lurus.

Mula-mula diambil sebarang titik untuk dipasangkan dengan bilangan 0. Titik ini

dinamakan titik asal (origin), ditulis dengan O. Pada kedua sisi dari O dibuat skala sama

(segmen) dan disepakati arah positif disebelah kanan O sedangkan arah negatif disebelah

kiri O. Selanjutnya, bilangan-bilangan bulat positif 1, 2, 3, … dapat dipasangkan dengan

masing-masing titik di kanan O dan bilangan-bilangan dengan titik-titik

di sebelah kiri O. Dengan membagi setiap segmen, maka dapat ditentukan lokasi untuk

bilangan-bilangan dst. (Perhatikan Gambar 1.3)

Dengan cara demikian, maka setiap bilangan real menentukan tepat satu titik pada garis

lurus dan sebaliknya setiap titik pada garis lurus menentukan tepat satu bilangan real.

Oleh sebab itu, garis lurus sering disebut pula Garis Bilangan Real.

1.10 Pertidaksamaan

Perubah (variable) adalah lambang (simbol) yang digunakan untuk menyatakan

sebarang anggota suatu himpunan. Jika himpunannya R maka perubahnya disebut

perubah real. Selanjutnya, yang dimaksudkan dengan perubah adalah perubah real.

Pertidaksamaan (inequality) adalah pernyataan matematis yang memuat satu

perubah atau lebih dan salah satu tanda ketidaksamaan (<, >, , ).

Contoh.

a. c.


11

2 1 0 1 2 3

Gambar 1.3

b. d.

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan memiliki arti mencari seluruh bilangan real yang

dapat dicapai oleh perubah-perubah yang ada dalam pertidaksamaan tersebut sehingga

pertidaksamaan tersebut menjadi benar. Himpunan semua bilangan yang demikian ini

disebut penyelesaian. Sifat-sifat dan hukum dalam R sangat membantu dalam mencari

penyelesaian suatu pertidaksamaan.

Contoh.

Tentukan penyelesaian pertidaksamaan .

Penyelesaian:

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan di atas adalah .

Pertidaksamaan tipe lain mungkin lebih sulit diselesaikan dibandingkan

pertidaksamaan-pertidaksamaan seperti pada contoh di atas. Beberapa contoh diberikan

sebagai berikut.

Contoh.

Tentukan penyelesaian pertidaksamaan: .

Penyelesaian: Dengan memfaktorkan ruas kiri pertidaksamaan, maka diperoleh:

Telah diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke dua faktor positif atau

ke dua faktor negatif. Oleh karena itu,

(i). Jika ke dua faktor positif maka:

Sehingga diperoleh: .

(ii).Jika ke dua faktor negatif, maka:


12

Diperoleh: .

Jadi, penyelesaian adalah .

Penyelesaian pertidaksamaan di atas dapat pula diterangkan sebagai berikut: ruas

kiri pertidaksamaan bernilai nol jika . Selanjutnya, ke dua bilangan ini

membagi garis bilangan menjadi 3 bagian: (Gambar 1.4).

Pada bagian , nilai keduanya negatif, sehingga hasil kali

keduanya positif. Pada segmen , bernilai positif sedangkan

bernilai negatif. Akibatnya, hasil kali keduanya bernilai negatif. Terakhir, pada bagian

, masing-masing bernilai positif sehingga hasil kali keduanya

juga positif. Rangkuman uraian di atas dapat dilihat pada Tabel 1. di bawah ini.

Tabel 5.

Tanda nilai

Kesimpulan

+

+

+

+

+

Pertidaksamaan dipenuhi.

Pertidaksamaan tidak dipenuhi.


Jadi, penyelesaian pertidaksamaan adalah .

Metode penyelesaian seperti pada Contoh di atas dapat pula diterapkan pada

bentuk-bentuk pertidaksamaan yang memuat lebih dari 2 faktor maupun bentuk-bentuk

pecahan.

Contoh.

Tentukan penyelesaian .


13

0 2 3 4

x<2 2<x<3 x>3

Gambar 1.4

Penyelesaian: Apabila ke dua ruas pada pertidaksamaan di atas ditambah 1, maka

diperoleh:

Jika , maka diperoleh: . Selanjutnya,

perhatikan table berikut:

Tabel 6

Tanda nilai/nilai

Kesimpulan

+

+

+

0

2

3

+

+

2

0

1

+

3

1

0

+

+

0

0

0









Contoh

Selesaikan .

Penyelesaian: Apabila pada ke dua ruas ditambahkan maka diperoleh:

Nilai nol pembilang adalah , sedangkan nilai nol penyebut adalah 2. Sekarang,

untuk mendapatkan nilai x sehingga diperhatikan tabel berikut:

Tabel 7

Tanda nilai/nilai


14

Kesimpulan

+

+

+

0

4

7

+

+

4

0

3

+

7

3

0

+

+

0

tak terdefinisikan

0









1.11 Nilai Mutlak (Absolute Value)

Nilai mutlak suatu bilangan adalah panjang/jarak bilangan tersebut dari bilangan

0. Jadi, nilai mutlak 5 adalah 5, nilai mutlak 7 adalah 7, nilai mutlak 0 adalah 0, dan

seterusnya.

Definisi; Nilai mutlak , ditulis dengan notasi , didefinisikan sebagai:

.

Definisi di atas dapat pula dinyatakan sebagai:

Sebagai contoh, , , , dst. Selanjutnya, sifat-sifat nilai

mutlak diterangkan sebagai berikut.

Sifat 1. Jika maka:

a.

b.

c. (Ketaksamaan segitiga)


15

Secara geometris, nilai mutlak dapat diartikan sebagai jarak dari a ke x.

Sebagai contoh, jika maka artinya x berjarak 7 unit di sebelah kanan atau di

sebelah kiri 3 (lihat Gambar 1.5).


Dengan mengingat Sifat 1. (b), kiranya mudah dipahami sifat berikut:

Sifat 2. Jika , maka: .

Sebagai contoh,

Secara sama,

Sifat 3. Jika , maka:

(a). .

(b). .

Contoh.

Selesaikan .

Penyelesaian: Menggunakan Sifat 1.1.9 (b), diperoleh:


Contoh .


16

4 3 10

7 unit 7 unit

Gambar 1.5

Tentukan semua nilai x sehingga .

Penyelesaian: Berdasarkan Sifat 1.1.9 (a), maka:

Selanjutnya, karena:

maka, diperoleh: .

Contoh .

Tentukan penyelesaian pertidaksamaan .

Penyelesaian:

(i). Apabila , maka selalu berlaku untuk setiap x. Sehingga

diperoleh: .

(ii). Jika , maka:

Dari (i) dan (ii), diperoleh .

1.12 Selang (Interval)

Diberikan sebarang dua bilangan real a dan b, dengan . Berturut-turut

didefinisikan:


17

Contoh .

Tentukan penyelesaian .

Penyelesaian: Berdasarkan Sifat 1.6 maka diperoleh:


1.13 Latihan Soal

Untuk soal 1 – 21 tentukan penyelesaiannya.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

Untuk soal 22 – 24 tentukan x sehingga masing-masing pernyataan mempunyai arti.

22. 23. 24.

25. Jika dan maka tunjukkan .

26. Jika maka tunjukkan bahwa . Bilangan disebut rata-rata

aritmatika dari bilangan a dan b.


18

27. Jika maka tunjukkan bahwa . Bilangan disebut rata-rata

geometri dari bilangan a dan b. Tunjukkan pula bahwa rata-rata geometri dari

bilangan a dan b kurang dari rata-rata aritmatikanya.

28. Tunjukkan bahwa .

29. Jika dan maka tunjukkan .

30. Jika dan , tunjukkan .

1.14 Daftar Pustaka

K.A. Stroud, Erwin Sucipto, Matematika Untuk Teknik, Edisi ketiga, Erlangga, Jakarta.

K.A. Stroud, D.J. Booth, Matematika Untuk Teknik, Edisi kelima, Erlangga, Jakarta.

BAB IISISTEM KOORDINAT


19

2.1 Pendahuluan

Sistem koordinat adalah suatu cara/metode untuk menentukan letak suatu titik.

Ada beberapa macam sistem koordinat: sistem koordinat cartesius, sistem koordinat

kutub, sistem koordinat tabung, dan sistem koordinat bola. Pada bagian ini hanya akan

dibicarakan sistem koordinat cartesius dan sistem koordinat kutub saja.

2.1.1 Deskripsi

`Pada bab ini akan membahas sistem koordinat dengan materi-materi dasar antara

lain; sistem koordinat cartesius, sistem koordinat kutub, hubungan antara sistem

koordinat cartesius dan sistem koordinat kutub.


Dengan materi sistem koordinat ini diharapkan seorang sarjana teknik elektro

dapat merancang dan membuat sistem titik koordinat dengan benar. Sehingga dalam

perancangan dapat mendekati kebenaran, atau dalam perancangan lebih optimal.


Setelah mempelajari bab ini seorang mahaisiswa diharapkan dapat menguasai

sistem koordinat cartesius dan koordinat kutub sehingga dalam penerapannya pada teknik

elektro lebih maximal.


1. Mahasiswa dapat mengenali dan menguasai operasi sistem koordinat cartesius

dan koordinat kutub

2. Mahasiswa dapat mengunakan hubungan antar koordinat cartesius dengan

koordinat kutub.

2.2 Sistem Koordinat Cartesius

Diperhatikan 2 garis lurus, satu mendatar (horizontal) dan yang lain tegak

(vertical). Selanjutnya, garis mendatar ini disebut sumbu-x sedangkan garis yang tegak

disebut sumbu-y. Perpotongan kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal (origin) dan


20

diberi tanda O. Seperti biasanya, titik-titik disebelah kanan O dikaitkan dengan bilangan-

bilangan real positif sedangkan titik-titik di sebelah kiri O dengan bilangan-bilangan real

negatif. Demikian pula dengan titik-titik di sebelah atas O dan di sebelah bawah O

masing-masing dikaitkan dengan bilangan-bilangan real positif dan negatif.

Oleh ke dua sumbu, bidang datar (bidang koordinat) terbagi menjadi 4 daerah

(kwadran), yaitu kwadran I, kwadran II, kwadran III, dan kwadran IV (lihat Gambar 2.1).

Letak sebarang titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan berurutan .

Titik mempunyai arti bahwa jarak titik P ke sumbu-x dan sumbu-y masing-

masing adalah . Apabila maka titik P berada di sebelah kiri

(atau sebelah bawah) titik asal O dan apabila maka titik P terletak di

sebelah kanan (atau sebelah atas) titik asal O. Dalam hal ini, x disebut absis titik P

sedangkan y disebut ordinat titik P.


21

Kwadran IKwadran II

Kwadran III Kwadran IV

Gambar 2.1

Gambar 2.2

Sistem Koordinat Kutub (Polar)

Pada sistem koordinat Cartesius, letak titik pada bidang dinyatakan dengan

pasangan , dengan x dan y masing-masing menyatakan jarak berarah ke sumbu-y

dan ke sumbu-x. Pada sistem koordinat kutub, letak sebarang titik P pada bidang

dinyatakan dengan pasangan bilangan real , dengan r menyatakan jarak titik P ke

titik O (disebut kutub) sedangkan adalah sudut antara sinar yang memancar dari titik O

melewati titik P dengan sumbu-x positif (disebut sumbu kutub) (lihat Gambar 2.3).

Berbeda dengan sistem koordinat Cartesius, dalam koordinat kutub letak suatu

titik dapat dinyatakan dalam tak hingga banyak koordinat. Sebagai contoh, letak titik

dapat digambarkan dengan cara terlebih dulu melukiskan sinar yang

memancar dari titik asal O dengan sudut sebesar radian terhadap sumbu mendatar arah

positif. Kemudian titik P terletak pada sinar tadi dan berjarak 3 satuan dari titik asal O

(lihat Gambar 2.4 (a)). Titik P dapat pula dinyatakan dalam koordinat ,

dengan k bilangan bulat (lihat Gambar 2.4 (b)). Mudah ditunjukkan pula bahwa koordinat

pun juga menggambarkan titik P (lihat Gambar 2.4 (c)). Pada koordinat yang

terakhir, jarak bertanda negatif. Hal ini dikarenakan titik P terletak pada bayangan sinar

.


22

Gambar 2.3

3 3

r

O

Secara umum, jika menyatakan koordinat kutub suatu titik maka koordinat

titik tersebut dapat pula dinyatakan sebagai berikut:

atau dengan k bilangan bulat.

Kutub mempunyai koordinat dengan sebarang bilangan.

2.3 Hubungan Antara Sistem Koordinat Cartesius dan Sistem Koordinat Kutub

Suatu titik P berkoordinat dalam sistem koordinat Cartesius dan

dalam sistem koordinat kutub. Apabila kutub dan titik asal diimpitkan, demikian pula

sumbu kutub dan sumbu-x positif juga diimpitkan, maka kedudukan titik dapat

digambarkan sebagai berikut:


23

(b)(a)

(c)

3

3

O

Gambar 2.4 Berbagai pernyataan koordinat kutub untuk suatu titik.

r y

x

O x

y

Dari rumus segitiga diperoleh hubungan sebagai berikut:

(1.1)

atau:

(1.2)

Contoh.

Nyatakan ke dalam system koordinat Cartesius.

a. b. c.

Penyelesaian: Dengan menggunakan persamaan (1.1):

a. .

Jadi, .

b. .

Jadi, dalam system koordinat Cartesius .

c. .

Jadi, .

Apabila maka persamaan (1.2) dapat dinyatakan sebagai:

(1.3)


24

Gambar 2.5

Hati-hati apabila menggunakan persamaan (1.3), karena akan memberikan 2

nilai yang berbeda, . Untuk menentukan nilai yang benar perlu

diperhatikan letak titik P, apakah di kwadran I atau II, ataukah dikwadran II atau IV.

Apabila dipilih nilai yang lain, maka .

Contoh.

Nyatakan ke dalam sistem koordinat kutub:

a. b.

Penyelesaian: Dari persamaan (1.3), diperoleh:

a.

Selanjutnya, karena letak titik P di kwadran IV, maka:

, atau

.

Jadi, atau .

b.

Selanjutnya, karena letak titik Q di kwadran II, maka:

, atau

.

Jadi, atau .

Contoh.

Nyatakan persamaan ke dalam sistem koordinat Cartesius.

Penyelesaian: Jika ke dua ruas persamaan di atas dikalikan dengan r maka diperoleh:


25

Selanjutnya, karena dan maka:

yaitu persamaan lingkaran dengan pusat dan jari-jari .

Contoh.

Nyatakan ke dalam system koordinat kutub.

Penyelesaian: Dengan substitusi maka diperoleh:

2.5 Latihan Soal

Untuk soal 1 – 8, nyatakan masing-masing dengan dua koordinat yang lain, satu dengan

dan yang lain dengan .

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

Untuk soal 9 – 16, nyatakan dalam sistem koordinat Cartesius.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

Untuk soal 17 – 23, ubahlah ke dalam sistem koordinat kutub.

17. 18. 19. 20.

21. 22. 23.

Untuk soal 24 – 29, nyatakan masing-masing persamaan ke dalam sistem koordinat

Cartesius.

24. 25. 26.

27. 28. 29.

Nyatakan persamaan pada soal 30 – 32 ke dalam sistem koordinat kutub.

30. 31. 32.

33. Tunjukkan bahwa jarak titik dan adalah:KALKULUS ITeknik Elektro-UMK

26

2.6 Daftar Pustaka



BAB IIIMATRIKS

3.1 Pendahuluan

Bahwa matrik merupakan induk materi dari determinan. Banyak penjelasan

memasukan materi determinan didalam matrik. Karena cakupan materi terlalu luas

dikaji, maka dipisahkan kajiannya dalam dua pokok bahasan.

Matrik adalah himpunan bilangan real atau bilangan komplek yang tersusun

berdasarkan baris dan kolom. Baris adalah bagian yang horizontal, kolom meruapakan

bagian yang vertikal. Matrik dinamakan juga dengan array atau larik. Matrik disusun

berdasarkan jumlah kolom dan baris lebih sering disebut dengan ordo (mxn). m

merupakan jumlah baris dan n adalah jumlah kolom.

3.1.1 Deskripsi


27

Pada bab ini akan mempelajari matriks dengan materi dasar antara lain; dasar

matriks, macam-macam matriks, peningkatan matriks, aljabar matriks, transformasi

elementer, invers matriks, metode invers matriks.


Dalam mempelajari matriks sangat erat hubungannya dengan teknik elektro,

khususnya untuk penyelesaian dalam rangkaian listrik. Untuk itu harus betul-betul materi

ini difahami dan dimengerti agar dalam penyelesaiannya pada teknik elektro dapat

menghasilkan sistem yang baik..


Mahasiswa diharapkan dapat memahami dan menguasai materi matriks mulai dari

dasar matriks sampai pengoperasiannya, sehingga dalam penerapannya pada teknik

elektro dapat menghasilkan sistem yang baik, khususnya pada rangkaian listrik.


1. Mahasiswa dapat mengenali dasar matriks.

2. Mahasiswa dapat mengunakan operasi penjumlahan, pengurangan, dan

perkalian matriks.

3. Mahasiswa dapat merubah persamaan linier menjadi persamaan matriks.

4. Mahasiswa dapat menyelesaikan metoda invers.

5. Mahasiswa dapat menggunakan metoda eleminasi gauss.

3.2 Dasar Matriks

Matriks adalah sekumpulan bilangan riil (atau elemen) atau kompleks yang

disusun menurut baris dan kolom sehingga membentuk jajaran (array), persegi panjang.

Bentuk umumnya:

Dengan kata lain suatu larikan bilangan-bilangan yang berbentuk empat persegi panjang.


28

A =

A adalah notasi matriks sedang amn adalah elemen matriks. Deretan horisontal elemen-

elemen disebut baris dan deretan vertikal disebut kolom. Indeks m menunjukkan nomor

baris elemen berada, indeks n menunjukkan nomor kolom elemen berada, misal a23

artinya elemen a berada pada baris 2 dan kolom 3.

Matriks diatas memiliki m baris dan n kolom, dan disebut juga dimensi m kali n

(mn).

Matriks dengan dimensi baris m = 1, seperti:

B = [ b1 b2 bn],

disebut dengan vektor baris atau matriks baris. Sedang dengan dimensi kolom n = 1, seperti:

C =

Matriks yang semua unsurnya bernilai 0, seperti:

A = disebut dengan matriks nol.

3.3 Macam-Macam Matriks

a) Matriks bujur sangkar (MBS) adalah sebuah matriks dimana m = n, misal

matriks 33, adalah:

A =

Diagonal yang terdiri dari a11, a22, dan a33 adalah diagonal utama matriks.


29

MBS banyak digunakan pada penyelesaian sistem persamaan linier, dalam

sistem ini jumlah persamaan (baris) dan jumlah bilangan tak diketahui

(kolom) harus sama untuk mendapatkan penyelesaian tunggal.

b) Matriks diagonal adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen kecuali

diagonal utama adalah 0, dan berbentuk:

A =

c) Matriks saklar, adalah matriks diagonal yang unsur-unsurnya sama besar

tetapi bukan nol atau satu.

d) Matriks identitas, adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal

utama bernilai 1 atau dapat juga disebut matriks satuan, seperti bentuk

berikut ini:

I =

e) Matriks segitiga atas (MSA), adalah matriks yang semua elemen dibawah

diagonal bernilai 0, bentuknya sebagai berikut:

A =

f) Matriks segitiga bawah (MSB), adalah matriks yang semua elemen diatas

diagonal bernilai 0, bentuknya sebagai berikut:


30

A =

g) Matriks simetris, bila aij = aji, misalnya matriks simetris 33:

A =

h) Matriks simetris diagonal nol, bila aij = -aji, misalnya matriks simetris 33

yang semua unsur diagonalnya aji = 0.

A =

i) Matriks pita, adalah matriks yang mempunyai elemen sama dengan 0,

kecuali pada satu jalur yang berpusat pada diagonal utama, bentuknya sebagai

berikut:

A = , disebut juga dengan matriks tridiagonal.

j) Matriks transpose, adalah matriks yang terbentuk dengan mengganti baris

menjadi kolom dan kolom menjadi baris (notasinya AT).

Untuk matriks: A = ,


31

maka transposenya (AT) adalah AT =

k) Matriks ortogonal adalah matrik bujur sangkar yang memenuhi aturan:

[A]T . [A] = [A] [A]T = [I]

3.4 Peningkatan matriks

Matriks dapat ditingkatkan dengan menambahkan kolom (kolom-kolom) pada

matriks asli, misalnya suatu matriks koefisien berdimensi 33,

A =

bila matriks ini akan ditingkatkan dengan menambahkan matriks identitas

sehingga menjadi matriks 36, yang mempunyai bentuk sebagai berikut:

bentuk ini lebih menguntungkan bila dilakukan operasi pada dua matriks,

dengan demikian operasi tidak dilakukan untuk dua matriks, tetapi hanya pada

satu matriks yang ditingkatkan.

3.5 Aljabar Matriks

MBS dapat dikenakan suatu operator matematika seperti penjumlahan, pengalian,

dan pengurangan.

a) Kesamaan dua matriks

Dua matriks A dan B dikatakan sama bila elemen-elemen matriks A sama

dengan elemen-elemen matriks B dan ukuran keduanya adalah sama, aij = bji

untuk semua nilai i dan j.

Notasi dan kesamaan matriksKALKULUS ITeknik Elektro-UMK

32

Untuk menyatakan matriks (m x n) akan kita gunakan huruf besar tebal,

misalnya A. Untuk matriks baris atau kolom kita gunakan huruf kecil tebal,

misalnya;

Menurut definisinya dua matriks dikatakan sama jika semua elemen yang

bersesuaian letak sama, dan kedua matriks tersebut harus berorde sama.

b) Penjumlahan dan pengurangan matriks

Bila A = [aij] dan B = [bij] merupakan dua matriks dengan dimensi mn, maka

untuk operasi penjumlahan atau pengurangan (A B) dari kedua matriks

tersebut, adalah sama dengan matriks C = [cij] dengan dimensi mn, dimana

setiap elemen matriks C adalah jumlah (selisih) dari elemen-elemen yang

berkaitan dari A dan B.

Agar dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan, maka orde keduanya

haruslah sama. Selanjutnya jumlah atau selisihnya diperoleh dengan

menambahkan atau mengurangkan elemen-elemennya yang bersesuaian.

C = A B = [aij bij] = [cij]

Contoh soal:

Jika A = dan B =

Maka:

A + B = =

A B = =


33

A + A + A = + + =

c) Perkalian matriks

Perkalian matriks A dengan skalar g didapat dengan mengalikan semua

elemen dari A dengan skalar g, jika gA = C, maka cij = gaij.

(1). Perkalian dengan skalar : mengalikan matriks dengan sebuah bilangan

(yaitu skalar) berarti mengalikan masing-masing elemennya dengan

bilangan tersebut.

(2). Perkalian dua buah matriks : dua buah matriks dapat dikalikan satu

terhadap yang lain hanya jika banyaknya kolom dalam matriks yang

pertama sama dengan banyaknya baris dalam matriks yang kedua.

Contoh soal:

Jika A = dan g = 5, maka C = gA = 5 =

Perkalian dua matriks A dan B dapat dilakukan bila cacah kolom A sama

dengan cacah baris B, dan kedua matriks disebut dengan conformable.

Perkalian suatu matriks 1m, yaitu A = [ a11 a12 a1m] dengan matriks

m1 yaitu:

B = adalah sebuah matriks C berukuran 11, yang berbentuk:


34

C = [a11b11 + a12b21 + + a1mbm1] atau

[a11 a12 a1m] = [a11b11 + a12b21 + + a1mbm1]

Operasi perkalian adalah baris dengan kolom, tiap elemen dari baris dikalikan

dengan elemen dari kolom dan kemudian dijumlahkan.

Contoh soal:

[2 3 4] = [2(1) + 3(2) + 4(3)] = [2 + (6) + 12] = [8]

Perkalian antara matriks mp, yaitu A = [aij] dan matriks pn, yaitu B = [bij] adalah matriks mn, yaitu C = [cij] dengan nilai cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj

= aikbkj.

Dimana untuk i = 1, 2, …, m dan j = 1, 2, …, n

Contoh soal:

A = , B = dan X =

AB = =

BA = =

AX = =

3.6 Transformasi Elementer


35

Transformasi elementer pada sebuah matrik tidak mengubah baik orde maupun

bentuk matriks.

Transformasi elementer ialah:

a) Pertukaran tempat baris ke-i dengan baris ke-j diberi simbol Hij, pertukaran

tempat kolom ke-i dengan kolom ke-j diberi simbol Kij.

Contoh: [A] = H32 → [A] = K31 → [A] =

b) Perkalian setiap unsur baris ke-i dengan bilangan skalar k (k ≠ 0) diberi simbol

Hi(k) perkalian setiap unsur kolom ke-i dengan bilangan skalar k (k ≠ 0) diberi

simbol Ki(k)

Contoh soal: [A] =

H2 (2) → [A] = setiap baris ke-2 dikalikan dengan 2

K3 (-2) → [A] = setiap kolom ke-3 dikalikan dengan -2

c) Penambahan pada setiap unsur baris ke-i dengan k kali (k skalar) unsur yang

sesuai dari baris ke-j diberi simbol Hij(k).

Penambahan unsur yang sesuai dari kolom j pada setiap unsur kolom ke-i dengan

k kali (k skalar) diberi simbol Kij(k).

Contoh soal: [A] =

H32 (-1) → [A] = baris ke-2 dikalikan (-1) lalu dijumlahkan baris ke-

3.

K31 (1) → [A] = kolom ke-1 dikalikan (1) lalu dijumlahkan kolom ke-

3.KALKULUS ITeknik Elektro-UMK

36

TUGAS:

Selesaikan dengan menggunakan metode transformasi elementer berdasarkan baris

(H) menjadi Matriks Segitiga Bawah (MSB) : [A] = →

3.7 Invers Matriks

Pada aljabar biasa bila terdapat hubungan antara dua besaran a dan x ialah

kebalikan.

Contoh soal:

1) Menggunakan determinan, hitung [A]-1 bila [A] =

Penyelesaian:

Nilai determinan A = |A| = –17.

Dengan algoritma [A]-1 = adj [A]

A11 (baris 1 dan kolom 1 ditutup) = (+1) = –3

A12 = (–1) = 10, A13 = (+1) = 2, A21 = (–1) = 2

A22 = (+1) = –18, A23 = (–1) = –7, A31 = (+1) = – 8

A32 = (–1) = 21, A33 = (+1) = 11

[A] = → [A] =

→ [A]T =


37

[A]-1 = adj [A] → → [A]-1 = → =

2) Menggunakan transformasi elementer, hitung [A]-1 bila [A] =

~

Penyelesaian:

~

= =

=

Tugas:

Hitung [A]-1 bila [A] = , dengan:

a) Menggunakan determinan, dengan algoritma [A]-1 = adj [A]

b) Menggunakan transformasi elementer, dengan algoritma ~

3.8 Metode Invers Matriks

Persamaan umum:

a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1

a21 x1+ a22 x2 + + a2n xn = b2

:


38

H1

~ H21 (-1)

H2

~

H12

~

:

an1 x1 + an2 x2 + + ann xn = bn

dapat ditulis dalam bentuk matriks, menjadi sebagai berikut:

atau AX = B

dengan: A adalah matriks koefisien nn.

X adalah kolom vektor n1 dari bilangan tak diketahui.

B adalah kolom vektor n1 dari konstanta.

Nilai pada vektor kolom X dapat dicari dengan cara mengalikan kedua ruas

persamaan dengan matriks inversi, yaitu A1AX = A1B, karena A1A = I, maka nilai-

nilai dari elemen X = A1B,

Contoh soal:

Diketahui suatu persamaan, yaitu: 2x + y = 4 2x + 3y = 8

Maka persamaan diatas dapat ditulis = + = → A + X = B → X =

A X B

Untuk nilai A = → [A]-1 = adj [A] = =

Sehingga nilai dapat dicari yaitu: = ,

Jadi nilai x = 1 dan y = 2.

Definisi:


39

Untuk membentuk invers dari matriks bujur sangkar, langkah-langkah yang harus

dilakukan antara lain :

a. Hitung determinan dari suatu matrik bujur sangkar.

b. Bentuk matriks kofaktor C

c. Tuliskan transpose matriks C, yaitu CT

d. Bagilah masing-masing elemen CT dengan hasil determinan.

e. Matriks terakhir yang diperoleh adalah matriks invers (A-1).

Contoh.

Tentukan invers matriks

a. Hitung determinan dari suatu matrik bujur sangkar.

b. Bentuk matriks kofaktor C

A11 = +(2-0)=2; A12 = -(8-30)=22; A13 = +(0-6)=-6;

A21 = -(4-0)=-4; A22 = +(2-18)=-16; A23 = -(0-12)=12;

A31 = +(10-3)=7; A32 = -(5-12)=7; A33 = +(1-8)=-7;

c. Tuliskan transpose matriks C, yaitu CT

d. Bagilah masing-masing elemen CT dengan hasil determinan.

e. Matriks terakhir yang diperoleh adalah matriks invers (A-1).KALKULUS ITeknik Elektro-UMK

40

3.9 Latihan soal

1. Jika

Tentukanlah : (a). A + B (b). B – A

2.

Tentukanlah : (a). A x B (b). 3 . A

3. Jika

Tentukanlah : (a). (b). adj. A.

4. Tentukan invers matriks

5. Nyatakanlah sistem persamaan berikut dalam bentuk matriks.

3.10 Daftar Pustaka




41

BAB IVLIMIT FUNGSI

4.1 Pendahuluan

Apabila nilai suatu fungsi digunakan pada variabel dan konstanta dalam suatu

pernyataan (expression), maka pernyataan itu sendiri memiliki nilai numerik yang

diperoleh dengan mengikuti aturan prioritas dengan nilai limit dari suatu fungsi itu

sendiri.

4.1.1 Deskripsi


42

Pada bab ini akan membahas limit fungsi yang dapat digunakan pada teknik

elektro dengan pembahasan sebagai berikut; limit fungsi aljabar dengan beberapa nilai

variabel, limit fungsi trigonometri dengan beberapa nilai variabel.


Dengan mempelajari limit fungsi ini harapannya kita dapat menentukan nilai

pendekatan dari suatu sistem yang kita buat sehingga dalam suatu perancangan rangkaian

teknik elektro apabila ada satu fungsi yang tidak ada nilainya maka kita dapat mencari

nilai pendekatannya dari fungsi tersebut.


Mahasiswa diharapkan dapat memahami dan menguasai dari materi limit fungsi,

sehingga dalam penerapannya pada teknik elektro khususnya dalam merancang dan

membuat sistem dapat menghasilkan suatu rangkaian yang lebih baik.


1. Mahasiswa dapat mengenali dan memahami dasar limit fungsi aljabar.

2. Mahasiswa dapat mengenali dan memahami dasar limit fungsi trigonometri.

3. Mahasiswa dapat mengunakan operasi limit fungsi aljabar dan trigonometri

dengan beberapa nilai variabel.

4.2 Limit Fungsi Aljabar

Jika variabelnya mendekati bilangan riil maka;

a. Langsung disubtitusikan asalkan hasilnya tidak bilangan tak tentu ( , , ~, -

~ ).

b. jika disubtitusikan menghasilkan bilangan tak tentu maka langkah-langkahnya :

- difaktorkan

- disederhanakan

- disubtitusikan.


43

Contoh.

1. limit

x→2

Penyelesaian :

2. limit

x→1

Penyelesaian :

Karena hasilnya maka harus disederhanakan atau difaktorkan.

3. limit

x→2

Penyelesaian :



44

Jika variabelnya mendekati ~

Untuk menyelesaikan limit fungsi aljabar yang variabelnya mendekati ~ maka

caranya adalah pembilang dan penyebut dibagi dengan variable pangkat tertinggi.

Contoh.

1. limit

x→~

Penyelesaian :

4.3 Limit Fungsi Trigonometri


45

Jika variabelnya mendekati sudut tertentu maka ;

a. Langsung disubtitusikan asalkan hasilnya tidak bilangan tak tentu ( , , ~, -

~ ).

b. jika disubtitusikan menghasilkan bilangan tak tentu maka langkah-langkahnya :

- difaktorkan

- disederhanakan

- disubtitusikan.

Contoh.

1. limit

x→900

Penyelesaian :

2. limit

x→

Penyelesaian :


46


Jika variabelnya mendekati 0

Rumus-rumusnya adalah :

a. limit b. limit

x→0 x→0

c. limit d. limit

x→0 x→0

Beberapa dalil trigonometri yang mendukung penyelesaian limit adalah :

a.

b. -

-

-

c.

Contoh.


47

1. limit

x→0

Penyelesaian :

2. limit

x→0

Penyelesaian :

3. limit

x→0

Penyelesaian :

4.4 Latihan Soal


48

Kerjakan soal no 1 – 5 menggunakan fungsi trigonometri dan soal no. 6 – 10

dengan menggunakan fungsi aljabar.

1. limit

x→0

2. limit

x→0

3. limit

x→~

4. limit

x→a

5. limit

x→0

6. limit

y→3

7. limit

x→0

8. limit

x→~

9. limit

x→1

10. limit

x→5

4.5 Daftar Pustaka




49

DAFTAR RIWAYAT HIDUP PENELITI

Nama Lengkap dan Gelar : Moh. Dahlan, ST.,MT.

Tempat dan Tanggal Lahir : Rembang, 01-07-1969

Jenis Kelamin : Laki-laki

Fakultas/Jurusan : Teknik/Teknik Elektro

Pangkat/Golongan/NIY : Penata Tk. I/III D/0610701000001141

Bidang Keahlian : Teknik Elektro

Alamat Kantor/Telepon/Faks. :Fakultas Teknik UMK PO.BOX. 53 Gondang Manis BAE Kudus/443844/(0291)437198

Alamat Rumah/Telepon :Perum. Sumber Indah II, B/24, Kudus

(0291) 446255, 08156623948

Pengalaman penelitian :

Tahun Judul Penelitian Jabatan Sumber Dana

2000Pengembangan Mikrokomputer IBM PC

XT/AT Sebagai Emulator IC EPROM 2764

Ketua APBU UMK

2002 Alat Pendeteksi Urutan Fasa Ketua APBU UMK

2003 Pembuatan Alat Trainner RAM 6116 Ketua APBU UMK

2003Pemanfaatan Digital Gerbang Dasar Untuk

Otomatisasi Pompa Air Pengisi Tandon

Ketua APBU UMK

2004Analisa Gangguan yang Terjadi di Dalam Transformator Daya dan Cara Pengamanannya

Ketua APBU UMK

2005 Pembuatan CDI pada Kelistrikan Sepeda Motor Sebagai Pengganti Sistem Pengapian

Ketua APBU UMK


50

Mekanik (Platina)

2006Pembuatan CDI pada Kelistrikan Sepeda Motor Sebagai Pengganti Sistem Pengapian Mekanik (Platina)

Ketua DIKTI (Penelitian Dosen

Muda)

2008Deteksi Gangguan Pada Saluran Distribusi 20 kV Menggunakan Artificial Immune System

Ketua APBU UMK

2009Desain Konfigurasi Paralel Filter Hybrid untuk Meminimais Ukuran Filter Aktif

Ketua APBU UMK

2009Sistem Informasi Perlintasan Kereta Api Berbasis Mikrokontroler

Ketua APBU UMK

2010Pemanfaatan Aplikasi Jejaring Sosial Facebook untuk Media Pembelajaran

Ketua APBU UMK

Publikasi :

Tahun Judul Penerbit/Jurnal

2002

Alat Trainner/Pelatihan RAM ( Random Acces

Memory ) Sebagai Memory Utama pada

Perangkat Komputer

Majalah Ilmiah MAWAS UMK, ISSN: 0853-0335, Edisi No. 17/Des/2002

2007

Analisis Letak Gangguan Pada Saluran Distribusi 20 kV Menggunakan Artificial Immune System Melalui Negative Selection”Dalam seminar nasional “Diversifikasi Sumber Energi Untuk Mendukung Kemajuan Industri dan Sistem Kelistrikan Nasional . Universitas Sebelas Maret-Surakarta, 24 Maret 2007 ”.

Prosiding Seminar Nasional ISBN

979-498-333-0

2008

Deteksi Gangguan Saluran Distribusi 20 kV

Menggunakan Artificial Immune System melalui

Negative Selection

Majalah Ilmiah MAWAS UMK, ISSN: 0853-0335, Edisi No. 2/Des/2008

2008

Pengembangan Mikro Computer IBM PC XT/AT Sebagai Emulator IC Eprom 2764

Majalah Ilmiah JURNAL SAINS DAN TEKNOLOGI UMK, ISSN: 1979-6870, Edisi No. 1/Des/2008

2008Analisa Gangguan yang Terjadi di Dalam Transformator Daya dan cara Pengamanannya

Majalah Ilmiah JURNAL SAINS DAN TEKNOLOGI UMK, ISSN: 1979-6870, Edisi No. 1/Des/2008

2009Desain Konfigurasi Paralel Filter Hybrid Untuk Meminimais Ukuran Filter Aktif

Majalah Ilmiah JURNAL SAINS DAN TEKNOLOGI UMK, ISSN: 1979-6870, Edisi No. 2/Juni/2009

2009Akibat Ketidakseimbangan Beban Terhadap Arus Netral dan Losses pada Transformator Distribusi

Majalah Ilmiah JURNAL SAINS DAN TEKNOLOGI UMK, ISSN: 1979-6870, Edisi No. 2/JDes/2009

2010 Sistem Informasi Perlintasan Kereta Api Berbasis Majalah Ilmiah JURNAL SAINS KALKULUS ITeknik Elektro-UMK

51

Mikrokontroler DAN TEKNOLOGI UMK, ISSN: 1979-6870, Edisi No. 1/Juni/2010

Demikian daftar riwayat hidup kami buat dengan sebenar-benarnya, dan dapat

dipergunakan seperlunya.

Kudus, 12 Januari 2011

Moh. Dahlan, ST., MT.


52

kalkulus 1

Documents

Transcript of kalkulus 1