KALKULUS

PENDAHULUAN

Tujuan PengajaranSetelah mempelajari materi Kalkulus I,mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):Keterampilan dasar kalkulus yang didukung olehkonsep, metode, dan penalaran yang baikKemampuan bernalar dengan logis dan sistematis;Kemampuan dan kreativitas dalam menyelesaikanmasalah yang relevan dengan kalkulus;Kesiapan untuk mempelajari matakuliah lain yangmemerlukan kalkulus.

Materi dan Buku Rujukan Bab I. Pendahuluan Bab II. Fungsi dan Limit Bab III. Turunan Bab IV. Penggunaan Turunan BabV. Integral (Pendahuluan)

Edwin J. Purcell, Dale Varberg, Calculus With Analysis Geometry 8th- Prentice Hall, 2000

Mengapa Belajar Kalkulus?Secar Teknis Kalkulus adalah metode matematika yang menggunakan proses infinite untuk menyelesaikan masalah2 finite.Tujuan utama Kalkulus adalah menganalisa dua masalah fundamental: - problems of change (e.g. motion) - problems of content (e.g. area, volume)

Pengenalan AwalBilangan Real dan Notasi Selang

Bilangan Real dan Notasi SelangBilangan real meliputi bilangan rasional (seperti dan2) dan irasional (seperti 2 dan ). Bilangan rasionalmeliputi semua bilangan bulat (positif, nol, dan negatif)dan pecahan murni. Himpunan semua bilangan realdilambangkan dengan R.

Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap operasipenjumlahan dan perkalian), sifat urutan (tentang ), dan sifat kelengkapan.

Sifat kelengkapan memungkinkan kita menyatakan R sebagai suatu garis (yang tak berlubang), yang disebut garis bilangan real.

Garis BilanganPada garis bilangan real, setiap titik menyatakan sebuah bilangan real. Sebaliknya, setiap bilangan real dapat dinyatakan sebagai sebuah titik pada garis bilangan real. (Sebagai perbandingan, himpunan semua bilangan rasional tidak dapat dinyatakan sebagai sebuah garis.) Untuk selanjutnya, R menjadi himpunan semesta kita.

Notasi selang di bawah ini akan sering dipakai:(a,b) = { x R | a < x < b }[a,b] = { x R | a x b }[a,b) = { x R | a x < b }(a,b] = { x R | a < x b }(-,b)= { x R | x < b }(-,b]= { x R | x b }(a,) = { x R | x > a }[a,) = { x R | x a }

Kerja Kelompok Di KelasBuat macam macam selang dan GambarkanPresentasikan sesuai urutan kelompokSiapkan Pertanyaan untuk kelompok lainnyaKerjakan Beberapa soal yang berkaitan

Pertemuan 2Pendahuluan (Lanjutan)

Sistem bilangan(review)N : bilangan asliZ : bilangan bulatQ : bilangan rasionalR : bilangan realN : 1,2,3,.Z :,-2,-1,0,1,2,..Q :Contoh Bil Irasional

BilanganNyataKhayalIrrasionalRasionalBulatPecahan2; -2; 1,10,126827684340------0,12361; 8 ;4 ; 2/7

*

Semua bilangan bulat adalah bilangan rasional, tapi tidak semua bilangan rasional berupa bilangan bulatSemua bilangan pecahan adalah bilangan rasional, tapi tidak semua bilangan rasional berupa bilangan pecahanSemua bilangan irrasional adalah bilangan berdesimal, tapi tidak semua bilangan berdesimal adalah bilangan irrasional.Bilangan Asli : Semua bilangan bulat positif, tidak termasuk nol. A = {1,2,3,4,5,6,..}Bilangan Cacah : Semua bilangan positif atau nol. A = {0,1,2,3,4,5,6,..}Bilangan Prima : bilangan asli yang besarnya tidak sama dengan satu dan hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri. P = {2,3,5,7,11..}

*

Sifatsifat bilangan real Sifat-sifat urutan :Trikotomi Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = yKetransitifan Jika x < y dan y < z maka x < zPerkalian Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz

Garis bilangan01Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebutdengan garis bilangan(real)-3Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang Selang

SelangHimpunan selang Jenis-jenis selangGrafikaa

PertidaksamaanPertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk aljabar dengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan.Bentuk umum pertidaksamaan :

dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku banyak (polinom) dan B(x) 0, E(x) 0

PertidaksamaanMenyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini disebut juga Himpunan Penyelesaian (HP)Cara menentukan HP :Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi : , dengan cara :

PertidaksamaanRuas kiri atau ruas kanan dinolkanMenyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnyaDicari titik-titik pemecah dari pembilang dan penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadratGambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul

Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian

Hp = 1

Contoh : Tentukan Himpunan PenyelesaianHp 2

Contoh : Tentukan Himpunan PenyelesaianTitik Pemecah (TP) : dan 3++++--3Hp =

Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaiandan dan 4dan dan dan

Hp = 0Dari gambar tersebut dapat disimpulkan : Hp =

Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian5.TP : -1, , 33++++---1--Hp =

Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian6.

Untuk pembilang mempunyai nilaiDiskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu positif, Jadi TP : 2,-3Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah.-32--++--Hp =

Pertidaksamaan nilai mutlakNilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai jarak x dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif.Definisi nilai mutlak :

Pertidaksamaan nilai mutlakSifat-sifat nilai mutlak:atau 6. Ketaksamaan segitiga 12345

Soal Latihan Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 123456

PERTEMUAN 3Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan

Sistem koordinat Cartesius untuk bidang terdiri dari dua sumbu koordinat, sumbu x dan sumbu y, yang saling tegak lurus dan berpotongan di titik asal (0,0).

Bidang Cartesius terbagi atas empat kuadran. Setiaptitik pada bidang Cartesius dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan (x,y), dan sebaliknya pasangan bilangan (x,y) menyatakan titik tertentu pada bidang.Jarak antara dua titik P(x1,y1) dan Q(x2,y2) adalah d(P,Q) = [(x1 x2)2 + (y1 y2)2]1/2.Persamaan lingkaran yang berpusatdi (a,b) dan berjari-jari r pada bidangAdalah (x a)2 + (y b)2 = r2.

Persamaan lingkaran yang dimaksud(x a)2 + (y b)2 = r2.

Persamaan umum garis lurus pada bidang adalahAx + By + C = 0dengan A, B tak keduanya nol. Jika B 0, persamaantadi dapat dinyatakan sebagaiy = mx + cdengan m menyatakan gradien atau kemiringan garistersebut. Persamaan garis lurus yang melalui P(x0,y0)dengan gradien m adalahy y0 = m(x x0)

Contoh GrafikDiberikan suatu persamaan (dalam x dan y), seperti y =x2 menggambar grafiknya pada bidang Cartesius. Perhatikan bahwa grafik y = x2 simetris terhadap sb-y. (Buat dengan menghitung beberapa titik y sebagai ordinat, setelah menetapkan titik x sebagai absis)

Gambar yang dimaksud

LatihanGambarkan Garfik Persamaan Berikut :x2 + (y 7)2 = 12.6x 5y = 8.x = y2.

Tugas Diskusi KelompokSelesaikan soal di Buku PurcellTiap sub Bab berikut :1.2 no. 14,15, 17.1.3 no. 3,5, 7, 13, 17, 211.4 no. 3, 11, 17, 21, 251.5 no. 7, 10, 12.1.6 no. 9, 13, 17, 231.7 no. 1, 11, 17, 19.

************************************