SOAL – SOAL KALKULUS SEMESTER I

OLEH

NAMA NPM

1. LAURENSIUS TAMBA 121000422. SARTIKA CANDRA DEWI SINAGA 121500323. ROH DAME TINDAON 121500184. RIRIS MARGARETA SIADARI 121500445. DEVIANRY SIAGIAN 121500016. HENNI SINAGA 12150050

PRODI : PENDIDIKAN MATEMATIKA- A

MATA KULIAH : KALKULUS I

DOSEN PEMBIMBING : YANTI MARBUN SPd.

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS HKBP NOMMENSEN

PEMATANGSIANTAR

2012/2013

Bab 1

pendahuluan

Sistem Bilangan Rill

1. 13

[12¿) +

16

] = 13[ 12 ( 3−4

2 )+ 16]

= 13[ 12 (−1

12 )+ 16]

= 13(−1

24+ 1

6)

= 13(−1+4

24)

= 13( 3

24)

= 3

72

= 1

24

2. 2+3

1+52

= 2 + 372

= 2 + 67

= 207

Ketaksamaan

3.2

6 y−2 +

y

9 y2−1− 2 y+1

1−3 y = 2

6 y−2+ y

9 y2−1− 2 y+1

−(3 y−1)

= 2

6 y−2+ y

9 y2−1+ 2 y+1(3 y−1)

= 2

2(3 y−1)+ y

(3 y−1 )(3 y+1)+ 2 y+1(3 y−1)

= (3 y+1 )+ y+(3 y+1)(2 y+1)

(3 y−1 )(3 y+1)

= 6 y2+9 y+2

9 y2−1

4. nyatakanlah apakah masing- masing yang berikut benar atau salah.

a) -2 < -20 salah

b) 1 > -39 benar

c) -3 < 59

benar

d) -4 > -16 benar

e) 67

<3439

benar

f) −57

<−4459

salah

5. mana diantara yang berikut bilangan rasional dan bilangan tak rasional

a) √4 rasionalb) 0,375 tak rasionalc) 1+√2 tak rasionald) (1+ √3 )² tak rasionale) 5√2 tak rasional

1.gunakan cara penulusan untuk memerikan selang-selang berikut

a) 2( )7

peny: (2,7) HP:{x │2<x<7 }

b) -2 -1 0

peny: (−∞ ,−2 )HP:{ x∨x ≤−2 }

Nyatakan himpunan penyelesaian dari ketaksamaan dengan cara penulisan selang dan sketsakan grafik nya

3. 4 x−7<3 x+5

Dikurang 3 x+5

(4 x−7 )−(3x+5 )< (3 x+5 )−(3x+5 )

(4 x−7 )−(3x+5 )<0

x−12<0

Ditambah 12

x−12+12<0+12

x<12

(−∞,12)

4. 2 x+16<x+25

Dikurang x+25

(2 x+16 )−( x+25 )<( x+25 )−( x+25 )

2 x+16−x−25<0

x−9<0

Ditambah 9

x<0+9

x<9

(−∞,9)

5. 7 x−1≤10 x+4

dikurang 10 x+4

(7 x−1 )− (10 x+4 ) ≤ (10 x+4 )−(10 x+4)

7 x−1−10 x−4≤ 0

−3 x−5≤ 0

Ditambah 5

−3 x−5+5≤ 0+5

−3 x≤ 5

Dibagi(-3)

x≥−53

Carilah himpunan penyelesaian dari ketaksamaan berikut

1. |x+1|<4=①│x+1│¿4

x+1>4

x+1−4>0

x−3>0

x>3

②│x+1│←4

x+1←4

x+1+4<0

x+5<0

x←5

HP:{X │−5< X<3 }

Nilai Mutlak, Akar Kudrat,Kuadrat

2.¿3x5

+1∨≤ 4

•|3x5

+1∨≥ 4 •|3x5

+1∨≤−4

3x+55

≥ 4 3x+5

5≤−4

3x+55

−4≥ 0 3x+5

5+4 ≤0

3x+5−205

≥ 0 3x+5+20

5≤ 0

3x−155

≥ 0 3x+25

5≤0

3 x−15≥ 0 3x+25≤ 0

3 x≥ 15 3x≤−25

x≥ 5 x≤−25

3

HP:{X │−25

3≤ X ≤ 5 }

Buktikan bahwa implikasi yang di tunjukkan adalah benar

3. |x+2|<0,3=¿∨4 x+8∨¿1,2

PENY: 4|X+2|¿1,2

|X+2|¿1,24

|X+2|¿0,3

4.2 X2−5 X−4 ≤0

x1,2=−b±√b2−4 ac2a

= −(−5 ) ±√¿¿¿

= 5±√25+324

= 5±√574

=5± 1,88

4

X1=1,25+1,88=3.13 X2=1,25-1.88=−0,63

HP :{X │−0,63≤ X ≤ 3,13}

Selesaikan ketaksaman – ketaksamaan berikut

5. |2 x−5|<¿x+4∨¿

(2 X−5)2<(X+4)2

4 X2−10 X+25<X2+8 X+16

4 X2−10 X+25−X 2+8 X+16<0

3 X2−28 X+9<0

X=9 ATAU X=13

HP :{X │ X ≤13

atau x ≥9 }

1. Buktikan lah bahwa segitiga yang titik-titik sudut nya adalah ( 5,3 ),( -2, 4 ),dan ( 10, 8 ) adalah

Segitiga sama kaki.

Peny:

A(10,8),B(5,3) ,dan C(-2,4)

d(A,B)=√¿¿ d(A,C)¿√¿¿

= √¿¿ = √¿¿

= √¿¿ = √¿¿

= √25+25 = √144+16

= √50 = √166

Sistem Koordinat Persegi- Panjang

dikuadratkan

= 5 √2 = 4 √10

d(B,C) = =√¿¿

= √¿¿

= √¿¿

= √49+1

= √50

=5√2

2. Tentukan jarak antara (-2,3) dengan titik tengah potongan garis yang di gabungkan (-2,-2)dan (4,3).

Peny: misalkan A(-2,3) dan titik tengah potong garis P(-2,-2),Q(4,3)

Maka titik tengah X=x1+x2

2=−2+4

2=1

Maka titik tengah Y=y1+ y 2

2=−2+3

2=1

2

Maka B(1,12

)

d(A,B)=√¿¿

=√ [1−(−2) ]2+¿¿

=√32+¿¿

=√9+ 254

=√ 36+254

d (A,B) =√612

3. Carilah persamaan lingkaran yang memenuhi persyaratan yang di berikan

Garis tengah AB, dengan A=(-1,2)dan B(3,8).

Peny: Maka titik tengah X=x1+x2

2=−1+3

2=1

Maka titik tengah Y=y1+ y 2

2=2+8

2=5

P(1,5)

d(B,P)=√¿¿

=√¿¿

=√¿¿

=√4+9

=√13

PERSAMAAN LINGKARAN: d2 =¿

√132=(X−1)2+(Y −5 )2

13 =(X−1)2+(Y −5 )2

4. dalam soal ini tentukanlah pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan yang diberikan.

4 x2+4 y2+4x-12y+1=0

Peny: 4 x2+4 y2+4x-12y+1=0 dibagi dengan 4

x2+ y2+x-3y+14

=0

Pusat lingkaran: a=1 A=−12

a=−12

(1 )=−12

b=−3→B=¿−12

b=−12

(−3 )=32

r=√ 14=1

2

5. Sebuah tali secara ketat mengelilingi dua lingkarn dengan persamaan( x−1¿¿2 +¿+2¿¿2=16dan

¿ berapakah panjang tali ini?

Persamaan lingkaran 1: ( x−1¿¿2 +¿+2¿¿2=16

Pusat lingkaran= x:1 dan y:−2

R =√16=4

Persamaan lingkaran 2:¿

Pusat lingkaran:x=−9dan y=10

R =√16=4

Soal 1.6

Cari sebuah persamaan untuk tiap garis,kemudian tuliskan dalam bentuk Ax+By+C=0

1 melaliu(2,3)dengan kemiringan 4

Jwb :

y-y1= m(x-x1)

y-3=4(x-2)

y-3=4x-8

y-3-4x+8=0

(-4x-y+5)0

4x+y-5=0

2 melaui(3,-4) dengan m= -2

Jwb.

y+4= -2(x-3)

y+4= -2x+6

y= -2x+6-4

y= -2x+2

2x+y-2=0

3.melalui (4,1 )dan (8,2)

Garis Lurus

Jwb.

m=y2− y1

x2−x1

m=2−18−2

m¿ 14

persamaan garis

y− y1=m(x−x¿¿1)¿

y−1=14

( x−4 ) × 4

4 y−4=x−4

−x+4 y=0

x−4 y=0

4. Tuliskan persamaan garis melalui (3,-3)a. sejajar garis y= 2x+ 5

b. tegak lurus garis y = 2x +5

c.sejajar garis 2x+3y=6

Jwb.

a. sejajar garis y = 2x+5

y− y1=(x−x1)

y –(-3)=2(x-3)

y+3 = 2x-6

y+3—2x+6=0

y-2x+9=0

2x-y-9=0

b. Tegak lurus garis y = 2x+5

y− y1=m(x−x1)

y- (-3) =2(x-3)

y+3= 2x-6

y+3-2x+6 =0

2x-y+9= 0

m1.m2=−1

2 X m1=-1

m1=−12

Persamaan garis

y− y1=m(x−x¿¿1)¿

y− (−3 )=−12

( x−3)

y+3=−12

x+32

×2

2 y+6=−x+3

2 y+x+6−3=0

2 y+x+3=0

x+2 y+3=0

c.sejajar garis 2x+3y=6

jwb: 2x+3y=6

3y=-2x+6

y=−23

x+6

m=−23

Persamaan garis:

y− y1=m(x−x1)

y− (−3 )=−23

(x−3)

y+3=−23

x+2

y+3+ 23

x−2=0

2 x+3 y+3=0

5.melalui(2,3)dan(4,8)

jwb m=y2−¿ y1

x2−x1

¿

m=8−34−2

m=52

Melalui (2,3)

y− y1=m(x−x1)

y−3=52( x−2)

( y−3=52

x−5 )×2

2 y−6=5 x−10

−5 x+2 y−6+10=0

(−5 x+2 y+4=0 ) ׿

5 x−2 y−4=0

Gambar sketsa grafik dari persamaan yang diberikan .

1. y=x + 1

x= 0 y=1 A(0,1)

y=0 x= -1 B(0,-1)

0=x3+3

−1=x3

x=3√−1

¿−1

1

-1

2.16 x2+ y2=16

Titik potong pada sumbu x maka y=0

Jawab:16 x2+02=16

16 x2=16

GRAFIK PERSAMAAN

x2=16

16

x2=1

x=± 1

Tipot (1,0) (-1,0)

Tipot pada sumbu x=0

y2=16

y=4

Tipot(0,4) (0, -4)

4

-1 1

-4

3. y= -3x + 15

y= 3 x2−3 x+12

jawab: -3x + 15 + 3 x2−3 x+12

0=3 x2−3 x+3 x+12-15

0=3 x2-3

0=3(x2−1)

x2=1

x=± 1

x =1 , y = -1

x =3 x2−3 x+12

=3(1)2 – 3(1) + 12

=3 – 3 + 12

= 12 ( 1,12)

y=3 x2−3 x+12

=3(-1)2 – 3(1) +12

=3-3+12

=6+12

=18 (-1, 18)

4. x2+ y2=36

y=0 , x2+02=36

x2=36 6

x=√36=±6 4

(6,0) dan (-6,0) 2

x=0 ,02+ y2=36 -6 -4 -2 0 2 4 6 x

y=√36 2

y=±6 4

(0,6) dan (0,-6) 6

5.( x−2 )2+ y2=4

Jika x=0, maka: (0−2 )2+ y2=4

4+ y2=4

y2=4−4=0

y=0

Sehingga koordinat : (0,0)

Jika y=0, maka: ( x−2 )2+02=4

x2−4 x+4=4

x (x−4 )=0 4

x=4 2

Sehingga koordinatnya: (0,0); dan (4,0) -4 -2 0 2 4

Bab 2

Fungsi dan limit

1. Untuk φ (t )= √ t(1+t 2)

hitung lah

a.φ(0)¿ √0(1+0 )

=0

b.φ(x¿¿3)= √x3

(1+( x2 )3)=

x32

1+x6 ¿

c.φ(−t)= √−t

(1+(−t)2)=

−t12

1+ t2

d.ϕ( x+2 )=√ ( x+2 )¿¿

e.ϕ( 14 )= √( 1

4 )(1+( 1

4 )2)

=

12

(1+ 116 )

=

12

1716

=1634

= 817

f.ϕ( 1z4 )= √ 1

z 4

(1+z2 )=

1z2

(1+z2 )= 1

( z2+z4 )

2. Untuk g (u )= 3(u−2 ) , cari dan sederhanakan

[g ( x+h )−g ( x ) ]h

.

Penyelesaian:

[g ( x+h )−g(x )]h

=

3x+h−2

− 3x+2

h=

3x−6−(3 x+3h−6)( x+h−2 ) ( x−2 )

.1h=

3x−6−3 x−3h+6( x+h−2 ) ( x−2 )

.1h=

−3( x+h−2 ) ( x−2 )

3. Carilah daerah asal mula dari

a. F ( z )=√2 z+3→ syaratusahakan janganbilangannegatif

FUNGSI DAN GRAFIK

maka daerah asal mula selang [32

,∞ ¿

b. g (v )= 1( 4v+1 )

→syarat bilangantidak mengasilkan ∞

maka daerah asal mula selang (−∞ ,14

¿∪( 14

,∞)

4. manakah dari grafik tersebut merupakan grafik fungsi

Syarat: daerah asal tidak dapat memetakan dua kali

a. b.

tidak fungsi fungsi

alasan: karna grafik berbentuk elips alasan:

c. d.

tidak fungsi fungsi

alasan: karna terdapat 2 titik yang sama alasan:

5. Sketsakan grafik dan nyatakan apakah fungsi yang di berikan genap atau ganjil atau tidak sama

Sekali

a. g (t )={ 1 jika t ≤ 0t+1 jika0<t<2t 2−1 jika t ≥ 2

penyelesain:

y

3

2

1

x

-1 1 2

b. h ( x )={−x2+4 jikax ≤ 13 x jikax>1

penyelesaian:

y

3

2

1

0 1 x

1. Jika f ( x )=√x2−1 dan g ( x )=2x

, cari rumus-rumus untuk berikut dan nyatakan daerah asal

nya

a) ( f . g ) ( x )=√ x2−1 . 2x

daerah asal

b) f 4 ( x )+g4 ( x )=(√ x2−1 )4+( 2x )

4

=( x2−1 )2+ 8

x4 daerah asal

c) ( f ° g )(x ) =f ( g ( x ) )=√( 2x )

2

−1=2x−1=

2−xx

daerah asal

d) ( g° f ) ( x )=2

√x2−1 daerah asal

Penyelesaian:

2. Cari f dan g sedemikian sehingga p=f ° g

a. p ( x )= 2¿¿

penyelesaian : f ( x )= 2

x3 g ( x )=x2+x+1

b. p ( x )=log ( x3+3 ) penyelesaian: f ( x )=log x g ( x )=x3+3

3. Sketsakan grafik darig ( x )=|x+3|−4 dengan petama-tama mensketsakan h ( x )=|x|dan

kemudian dangan menggeserkan

penyelesaian:

y y

Operasi pada Fungsi

x -3 -2 -1 1 2 3 x

y=|x| y=|x+3|

y y

x x

-1 -3 -2 -1

-2 -1

-3 -2

-4 -3

-4

y=|x|−4 y=|x+3|−4

4. Sketsakan grafik dari f ( x )=¿ dengan memanfaat kan pergeseran

Penyelesaian:

y y

x x

-2 -1 1 2

y=|x2| y=|x−2|2

y y

x x

-1 -1 1 2

-2 -2

-3 -3

-4 -4

y=|x|2−4 y=|x−2|2−4

5. Sketsakan grafik dari g ( x )=(x+1)2-3 dengan memanfaatkan penggeseran

Penyelesaian:

y y

x x

-1 1

-1 -1 -1

-2 -2

-3 -3

1. Konversikan ukuran radian berikut menjadi derejat

a)7π6

=7.1806

=1266

=21 °

b)−π

3=−180

3=−60°

c)−π

5=−180

5=−35°

d)−11π

12=−11.180

12=−1980

12=−165°

e)7π4

=7.1804

=12604

=315 °

2. Hitung tanpa menggunakan kalkulator

a) tan( π3 )=tan( 180

3 )=tan 60 °= sin 60 °cos60 °

=

√3212

=12

√3 .21=√3

b) sec( π3 )=¿¿

sec ( 1803 )=sec 60°= 1

cos60 °= 1

12

=2

c) cot ( π3 )=cot( 180

3 )=cot 60 °= 1tan 60 °

= 1

√3

d)csc( π

4 )=csc( 1804 )=csc 45 °= 1

sin 45 °= 1

12

√2=2√2

e) tan(−π6 )=tan(−180

6 )=−tan 30 °=−( sin 30 °cos30 ° )=−(

12

√32

)=−( 12

∙2

√3 )=−1

√3

Fungsi Trigonometri

f) cos (−π3 )=cos (−180

3 )=cos−60 °=−12

3. Periksa kebenaran berikuta) ¿

sec2t+sec t−sect +1=tan2 t

sec2t+1=tan2t tan2t=tan2 t ( terbukti )

b) sect−¿ sin t tan t=¿cos t ¿¿

1

sin t−sin t .

sin tcos t

=cos t

1

sin t −sin t ( sin t

cos t )=cos t

1−sin2 tcos t

=cos t

cos2 tcos t

¿cos t

cos t=cos t ( terbukti )

c) cos t ¿¿

cos t ( sin tcos t

+ cos tsin t )=csc t

cos t ( sin2 t+cos2 tcos t sin t ) ¿csc t

cos t ( 1cos t sin t )=csc t

cos t

cos t sin t=csc t

1sin t

=csc t

csc t=csc t ( terbukti)

4. Periksa bahwa yang berikut ini adalah kesamaan

a)sin ucsc u

+ cosusecu

=1→sin u secu+cscu cosu

csc usec u=1

sin u1

cosu+ 1

sin ucosu

1sin u

1cosu

=1

sin ucos u

+ cosusin u

1sin u

1cosu

=1

sin2u+cos2 usin ucosu

¿

sin2 ucos2 u=1

1=1 ( terbukti )

b) (1−cos2 x¿ (1+cot2 x )=1→ sin2 x (1+ cos2 xsin2 x )=1

sin2 x ( sin2 x+cos2 xsin2 x )=1

sin2 xcos2 x=1

1=1 ( terbukti)

5. Sketsakan grafik pada[−π ,2 π ]

y=sin(t−π4 )

t −π −34

π−π

2−π

40 π

4π2

34

ππ 5

4π

32

π74

π2π

(t− π4 ) −5

4π

−π −34

π−π

2−π

40 π

4π2

34

ππ 5

4π

32

π74

π

sin( t−π4 ) 1

2√2

0 −12

√2−1 −1

2√2

0 12√2

1 12√2

0 −12

√2−1 −1

2√2

1

12√2

−π 34

π−π2

−π

4 0

π4

π2

34

π π54

π32

π74

π 2 π

−12

√2

−1

Soal2.4

1.Periksa lah limit tersebut

a) lim ¿ x→3❑

(2 x−8)=(2.3−8 )= (6−8 )=−2

b)lim ¿ x→1

❑

5x−x2

x2+2 x−4=

5 (1 )−(1 )2

(1 )1+¿2 ( 1)−4= 5−11+2−4

=−4¿

2. lim ¿ x→0❑

tan x2x

lim ¿ x→0❑

tan xx

.12

¿12

3. Gambarkan gungsi f dari limit yang ditunjukan atau nilai fungsi atau nyatakan bahwa limit tersebut tidak ada

a. lim ¿ x→−3❑

f (x)=2

b. f (−3 )=1

c. f (−1 )tidak ada

d.lim ¿ x→−1❑

f (x)=¿ 2,5

e. f (1 )=2

f. lim ¿ x→1❑

f (x ) tidak ada

g. lim ¿ x→1⁻❑

f (x )=1

h. lim ¿ x→1⁻❑

f (x) tidak ada

y

3

2 sketsa grafik

1

-3 -2 -1 1 2 3 x

4. Sketsakan grafik dari

f ( x )={ x2 jika x≤ 0x jikax<x<11+x2 jika x≥ 1

Kemudian cari masing-masing yang berikut atau nyatakan jika tidak ada.

a) lim ¿ x→0❑

f ( x )=0

b) f (1 )=2

c) lim ¿ x→1❑

f (x ) tidak ada

d) lim ¿ x→1⁻❑

f=1

y

2

1

-1 0 1 x

5. Sketsakan grafik dari g ( x )={−x+1 jika x<1x−1 jika1< x<25−x2 jika x≥ 2

Kemudian cari masing-masing yang berikut atau nyatakan jika tidak ada

A. lim ¿ x→1❑

g(x )=0

B. g (1 )tidak ada

C. lim ¿ x→2❑

g(x )=2

D. lim ¿ x→2⁺❑

g(x )=2

Sketsa grafik

1

-2 -1 0 1 2

Teorema Limit

Gunakan teorema A untuk mencari limit. Berikan pembenaran tiap langkah dengan mengacu pada pernyataan bernomor. 6

1. lim ¿ x→0❑

[ (4 x2−3 ) (7 x3+2 x )]= lim ¿ x→ 0❑

( 4 x2−3 ) lim ¿x → 0❑

(7 x3+2 x ) 5,4

¿ (lim ¿x →0❑

4 x2−lim ¿x →0❑

3 )( lim ¿ x→0❑

7x3+ lim ¿ x→0❑

2x )

8,1,3

¿ [4 ( lim ¿ x→0❑

x)2−3 ]. [7( lim ¿ x→0

❑x )

3+2 (lim ¿ x→0

❑x )]

2

¿ (4.0−3 ) (7.0+2.0 )=0

8 4

2. lim ¿ t →−2❑

(2 t ¿¿3+15)13¿=[ lim ¿t →−2❑

(2 t3+15 ) ]13=¿¿

8,1,3 2

=[2 (lim ¿ t →−2❑

t )3+15]

13

=¿ [2 (−2 )3+15 ]13=−1

8

3. lim ¿w →5❑

( 2w4−9w3+19 )−12 =[ lim ¿ w →5

❑❑(2w4−9w3+19)]

−12

5,4

= ¿¿

3,1

=[2 (lim ¿w →5❑

w )4−9 (lim ¿ w →5

❑w )

3+19 ]

−12

2

=[2.54−9.53+19 ]−12

=[ 2.625−9.125+19 ]−12

=[ (1250−1125+19 ) ]−12

=[ 144 ]−12

=1

√144

=1

12

Cari limit yang ditunjukan atau nyatakan bahwa itu tidak ada

4. lim ¿ x→−1❑

x2+7 x+6x2−4 x−5

=¿ lim ¿ x→−1❑

( x+6 ) ( x+1 )( x−5 ) ( x+1 )

¿

¿ lim ¿x →−1❑

(x+6 )(x−5 )

=−1+6−1−5

=56

5. lim ¿ t →−1❑

t 2+7 t+7t 2−4 t−5

=(−1 )2+7 (−1 )+7

(−1 )2−4 (−1 )−5

¿1+7 (−1 )+7

1+4−5=1

0 = (tidak ada)

Kekontinuan Fungsi

Nyatakan apakah fungsi yang ditunjukan kontinu atau tidak ,jika kontinu jelasakan sebab nya.

1) f ( x )=4 x2−2 x+12Penyelesaian: fungsi tersebut kontinu karna tidak berbentuk akar atau bagi sehingga memiliki Limit, fungsinya ada dan nilai limit dan fungsi nya sama.

2) g ( x )= 3 x2

x−2

Penyelesaian : fungsi tidak kontinu karna salah satu syarat dari ketiga syarat tak terpenuhi yaitu fungsi bentuk pembagian sehingga nilai limit dengan fungsi tidak sama

3) f ( x )={ x+3 jika x<2x2+1 jika x≥ 2

Penyelesaian:

5

4 3

2

1

-1 0 1 2

Ket: lim ¿ x→2

❑

+¿ f ( x )=5

¿

lim ¿ x→2❑

−¿ f ( x )=5

¿ lim ¿ x→2

❑f (x )=5

f (2 )=5

Maka, fungsi tersebut kontinu

Fungsi yang diberikan tidak terdefenisi di suatu titik tertentu.bagaimanakah harus mendefenisikan nya di sana agar kontinu di titik itu.

4) f ( x )= x2−9x−3

Penyelesaian:

Fungsi tersebut kontinu di titik f(3)¿6

Dititik mana jika ada,fungsi takkontinu?

5)f ( x )={ x jika x<0x2 jika0≤ x ≤12−x jika x>1

Penyelesaian:

y

3

2

1

0 1 2 3

Ket: fungsi tersebut kontinu dititik 0 dan 1

Fungsi yang tidak kontinu tidak ada

Bab 3

Turunan

Dua masalah dengan satu tema

1.cari kemiringan garis singgung pada kurva y=x2-3x+2 dititik dengan x=-2;1,5;2;5

Jawab:

= lim ¿h→0

❑¿¿¿

= lim ¿h→0❑

c2+2ch+h2−3c−3h+2−c2+3c−2h

= lim ¿h→0❑

h(2c+h−3)h

= lim ¿h→0❑

2c+h−3

= 2c-3

x→−2 m=2(-2)-3 =-4-3 =-7

x→ 1,5 m=2(1,5)-3 =3-3 =0

x→2 m=2(2)-3 =4-3 =1

x→5 m=2(5)-3 =10-3 =7

Jadi, m=(-7,0,1,7)

2. jika sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat sehinggah jarak berarah dari

Titik asal ke titik setelah t detik adalah (-t2+4t)meter,kapan partikel akan berhenti

(yaitu bilamana kecepatannya menjadi nol) ?

Jawab:

V=lim ¿h→0❑

f (c+h )−f (c)h

=lim ¿h→0❑

f (c+h )2+4 (c+h )+c2+4ch

=lim ¿h→0❑

−2ch+4 h−h2

h

= lim ¿h→0❑

−2c+4−h

V= -2c+4

0 = -2c+4

2c= 4

C= 2sekon

3. cari persamaan garis singgung pada y=2

(x−2) dititik (0,-1)

Jawab:

Mtan = lim ¿h→0❑

f (0+h )−f (0)h

lim ¿h→0

❑

20+h−2

− 20−2

h

lim ¿h→0

❑

2h−2

−−2−2

h

lim ¿h→0❑

−4−2(h−2)h¿¿

¿

lim ¿h→0❑

−4−2h+4h(−2h+4 )

lim ¿h→0❑

−2hh(−2h+4)

lim ¿h→0❑

−2(−2h+4) =

−2−2.0+4

=−24

=−12

y-y1 = m(x-x1)

y-(-1) = -12

(x-0)

y+1 = -12

x+0

y+ 12

x+1=0 (×2 )

2 y+x+2=0

Soal 4 dan 5

Turunan

Dari soal berikut taksirlah kemiringan (kemiringan = naik/jarak) dari garis singgung yang digambar pada kurva!

y

7

5

3

2

1 2 3

Penyelesaian:

Kemiringan = naik/ jarak

=6

2,5=4

Sama seperti soal diatas carilah kemiringannya!

y

14

10

6

4

1 2 3 4 5 6 x

Penyelesaian:

Kemiringan = naik/jarak

=12−6

=−2

1. fx = f (x + h) − f ( x )

lim = [(x + h)4 ] ( x 4 )h→ 0

lim = x 4+4 x3 h + 4 xh3 + h3+h4+ x4

hh→0

lim = 4 x3h+4 xh3+h4

hL→0

Lim = h( 4 x3 +4 xh2+h3)h

h→0

Lim 4 x3+4 x2+h3

h→04 x3 +4 x (0 )2+(0 )3

= 4 x3

2. f ( x ) = x2 + 3x +4

f ( x ) Lim f( c+h )− f ( c )h

k→0

Lim(x+ )2+3 ( x+h )+4−( x2+3x+4 )h

h→0

Lim2 xh +h2+3hh

h→0

Lim h(2x+h+3 )h

h→0

= 2x+3

3 . f ' ( x ) = Limh→0

f(c+h )− f (c )h

limh→0

2( x+h )+6

−2¿ x+6 ¿¿

¿ limh→0

2 ( x+6 )−2 (x+h )+6( x+h+6 ) ( x+6 )

⋅1h

¿ ¿ limh→0

2+12−2x−2h−12( x+h+6 ) ( x+6

. 1¿ h ¿¿

¿ ¿ limh→0

−2h( x+h+6 ) ( x+6 )

.1h

¿ ¿ = −2

( x+6 )2¿¿

4 . 9 (x ) =1

√3 x

limh→0

( x+h )−f ( x )h

limh→0

1

√3 ( x+h )h

−13 x

limh→0

√3x−(√3 x+3h )

√3 x+h(√3 x )

.1h

limh→ 0

−h3 x+3 x . 3h

.1h

= −13x

5 . f ( x ) = 2x3

limh→0

f( x+h )−f ( x )h

limh→0

2 ( x+h )32 x3

h

limh→ 0

2 ( x2+3x2h+3xh2+h3 )−x3

h

limh→0

h (6 x2+6 xh+2h2)h

= 6 x2

Aturan pencarian turunan

Carilah Dy dari soal-soal berikut!

y=2x2

penyelesaian :

dy=4 x

y=√2 x5

Penyelesaian: Dy=5√2 x4

y=2x−6+x−1

Penyelesaian: Dy=−12x−7−1

y=( x4−1 ) ( x2+1 )

Penyelesaian: f . g ( x )=f ' ( x ) g ( x )+f ( x ) g ' ( x )

dy=¿ 4 x3 ( x2+1 )+( x4−1 )2 x

¿(4x5+4 x3 ¿+(2x¿¿5−2x )¿

¿6x5+4 x3−2 x

y=2 x−1x−1

Penyelesaian: fg=

f ' ( x ) g (x )−f ( x ) g' (x )g2(x)

dy=2 ( x−1 )− (2 x−1 ) 1

( x−1 )2

¿(2x−2 )−(2 x−1)

x2−2 x+1

¿−1

x2−2x+1

Jika f (3 )=7 , f ' (3 )=2 , g (3 )=6 g' (3 )=−10 ,

(a) ( f −g )' (3 )=2− (−10 )=12

(b) ( f . g )' (3 )=2.6+7 (−10 )=12−70=−58

(c) ( gf )

'

(3 )=2.6+(−70)

(6)2 =−5836

=−2912

Cari persamaan garis singgung pada y=1

( x2+1 ) di titik (1 ,12 )

Penyelesaian:dydx

=0 ( x2+1 )−1(2x )

( x2+1 )2

¿−2 x

x2+2 x+1

m=dydx

=−2 (1 )

(1 )2+2 (1 )=−2

3

Persamaan garis singgung

y - y1 = m(x-x1)

y - 12

= - 23

(x-1)

y- 12

=- 23

x + 23

y + 23

x - 12

- 23

= 0

6y +4x – 3 – 4 =0

4x +6y – 7 =0

Tinggi s dalam kaki dari sebuah bola di atas tanah pada saat t detik di berikan oleh

s=−16 t2+40t−100

(a) berapa kecepatan sesaatnya pada t=2?

(b) bilamana kecepatan sesaatnya 0?

Penyelesaian:

s=−16 t2+40t−100

dsdt

=v=−32 t+40=0

a). Kecepatan sesaatnya saat t = 2

v=−32 (2 )+40

v=−64+40

v=−24kaki/sekon

Jadi, kecepatan bola ketika t=2 adalah -24 kaki/sekon

b). t pada saat v=0

v=−32 t+40

0=−32 t+40

32 t=40

t=4032

=1,25 sekon

Jadi bola berhenti(v=0) pada saat t=1,25 sekon

Sebuah bola mengelinding sepanjang bidang miring sehingga jarak s dari titik awal setelah t detik adalah s=4,5 t 2+2 t kaki.kapankah kecepatan sesaatnya akan sebesar 30 kaki/detik?

Penyelesaian:

s=4,5 t 2+2 t

dsdt

=v=9t+2

30=9 t+2

−9 t=−28

t=−28−9

=289

Jadi bola akan memiliki kecepatan sesaat sebesar 30 kaki/ detik pada saat t=289

detik

Turunan sinus dan kosinus

Carilah Dy dari y=cot x=cos xsin x

!

Penyelesaian:

y=cot x= sin xcos x

D y=D (cot x )= D (sin x )cos x−sin xD (cos x )(cos x )2

¿ cos xcos x+sin x sin x

cos2 x

¿ cos2 x+sin2 xcos2 x

¿ cos2 xcos2 x

+ sin2 xcos2 x

¿1+ tan2 x

¿ sec2 x

Carilah turunan dari y=sec x= 1cos x

!

Penyelesaian:

y=sec x= 1cos x

D y=D ( sec x )=D( 1cos x )

¿D (1 ) (cos x )− (1 ) D (cos x )

(cos x )2

¿(0 ) (cos x )−(1 ) (−sin x )

cos2 x

¿ sin x

cos2 x

¿ sin xcos x ( 1

cos x )¿ tan x sec x

Carilah turunan dari y=csc x= 1sin x

Penyelesaian:

y=csc x= 1sin x

D y=D (csc x )=D( 1sin x )

¿D (1 ) (sin x )−(1 ) D (sin x )

(sin x )2

¿(0 ) (sin x )−(1 ) (cos x )

sin2 x

¿− cos x

sin2 x

¿(−cos xsin x )( 1

sin x )

¿−cot xcsc x

Carilah Dy dari y=sin x

sin x+cos x

Penyelesaian:

y= sin xsin x+cos x

D y=D ( sin xsin x+cos x )

¿D (sin x ) (sin x+cos x )−(sin x ) D (sin x+cos x )

(sinx+cos x )2

¿(cos x ) (sin x+cos x )−(sin x ) (cos x−sin x )

(sin x+cos x )2

¿[ (cos x ) (sin x )+(cos x ) (cos x ) ]−[ (sin x ) (cos x )−(sin x ) (sin x ) ]

(sin x+cos x )2

¿sin xcos x+cos2 x−sin x cos x+sin2 x

(sin x+cos x )2

¿sin2 x+cos2 x(sin x+cos x )2

¿1

(sin x+cos x )2

¿ (sin x+cos x )−2

Carilah turunan dari y=x2 sin x !

Penyelesaian:

y=x2 sin x

D y=D ( x2 sin x)

¿ D ( x2 ) (sin x )+( x2 ) D (sin x )

¿2 x sin x+x2cos x

¿ ( x ) (2 sin x+xcos x )

Aturan rantai

1. y= (x3-3x2+11x)9 →y= u9 , u=x3-3x2+11x

Dxy= Du9.Du

=9u8.(3x2-6x+11)

=9(x3-3x2+11x)8.(3x2-6x+11)

2. y=3

(4 x3+11 x )7 →y=

3

u7 = 3u-7

u= (4x3+11x)

Dxy=D3u-7.Du

=3.Du-7.D(4x3+11x)

=3.-7.u-8.(12x2+11)

=-21.u-8. (12x2+11)

=-21 (4x3+11x)-8(12x2+11)

=−21

(4 x3+11 x )8 .(12x2+11)

=−21 (12 x2+11)

( 4 x3+11 x )8

3. y =( x2−1x+4 )

4

→ y= u4, u= x2−1x+4

Dxy = Du4. Du

=4u3. D( x2−1x+4 )

= 4u3. ( D ( x2−1 ) (x+4 )−( x2−1 ) D ( x+4 )( x+4 )2 )

= 4.( x2−1x+4 )

3

. ( 2x ( x+4 )−( x2−1 ) (1 )( x+4 )2 )

=4.( x2−1x+4 )

3

. ( (2 x2+8 x )−( x2−1 )( x+4 )2 )

=4. ( x2−1x+4 )

3

.( x2+8 x+1( x+4 )2 )

4. y=sin( 3 x−12 x+5 ) → y= sin u, u= ( 3 x−1

2 x+5 )Dxy= D(sin u). Du

= cos u. D( 3 x−12 x+5 )

= cos ( 3 x−12 x+5 ) .( D (3 x−1 ) (2x+5 )−(3 x−1 ) D (2 x+5 )

(2 x+5 )2 )

=cos ( 3 x−12 x+5 ) .( (3 ) (2 x+5 )− (3 x−1 ) (2 )

(2x+5 )2 )

= ( (6 x−15 )−(6 x−2 )(2x+5 )2 ) .cos( 3 x−1

2 x+5 ) = ( −13

(2x+5 )2 ) .cos (3 x−12x+5 )

5. Dt[sin3 (cos t ) ] → y= u3, u = sin v, v= cos t

Dty= Duy . Dvu . Dtv = 3u2. cos v. –sin t

= 3 . [sin (cos t ) ]2 . cos (cos t). –sin t

= 3. [sin2 (cos t ) ] .¿ = -3. Sin t. [sin2 (cos t ) ] . [cos (cos t ) ]

Notasi leibniz

1. y= x2+1x

→y= u

dydx

=dydu

¿ ddy ( x2+1

x ) ¿

2x ( x )−( x2+1 ) (1 )x2

¿ 2x2−x2−1x2

¿ x2−1x2

2. y= 1

u−2=u−2

dan u= sin x

dydx

= dydu

.dudx

dydx

=-2.u-3. Cos x

=−2

u3.cos x

= −2

(sin x )3.cos x

=−2

sin3 x.cos x

= -2 . 1

sin2 x.cos xsin x

= -2 csc2 x . cot x

3. y= ( x2+1cos x )

4

→y= u4, u= x2+1

cos x

dydx

=dydu

.dudx

= ddu

(u4) . ddx

(u)

= 4u3. ( d ( x2+1 ) . (cos x )−( x2+1 ) d (cos x )( cos x )2 )

= 4 . ( x2+1cos x )

3

. ( 2x .cos x−( x2+1 ) (−sin x )cos2 x )

= 4 . ( x2+1cos x )

3

.( 2 xcos x+( x2+1 ) (sin x )cos2 x )

4. y= sin3[cos2(x2)] →y= u3, u= sin v, v=w2, w= cos z, z= x2

dydx

= dydu

.dudv

.dvdw

.dwdz

.dzdx

.

= 3u2 . cos v . 2w . sin z . 2x

= 3 (sin [cos2 (x2)])2 . (cos (cos2 (x2)) . 2 (cos (x2)) . (sin (x2)) . 2x

=3 sin 2(cos 2x2) . cos (cos 2 x2) . 2 cos x2 . sin x2 . 2x

= 12x sin2 (cos 2 x2) . cos (cos 2 x2) . cos x 2 . sin x2

5.dds

[ ( s2+3 )3−(s2+3 )−3 ] = (3. ( s2+3 )2

.2 s¿−(−3. ( s2+3 )−4.2 s)

=6 s ( s2+3 )2+6 s ( s2+3 )−4

Turunan tingkat tinggi

Carilah d3 y /dx3 dari soal 1-3!

1. y=2x5−x4

Jawab: dydx

=10 x4−4 x5

d2 ydx2 =40x3−20x 4

d3 ydx3 =120 x2−80 x3

2. y= 1x−3

Jawab:

y= (x−3 )−1 dydx

=¿

dy2

dx2 =(−2 )[−( x−3 )−3] (1 )=2 ( x−3 )−3

d3 ydx3 =(−3 ) [2 ( x−3 )−4 ] (1 )=−6 ( x−3 )−4

3. y=cos ( x2 ) Jawab: dydx

=−sin ( x2 ) (2x )=−2 x sin x2

d2 ydx2 =(−2 )¿

d3 ydx3 =¿

Dalam soal 4-5 carilah f’’(2)!

4. f(t)=1t

jawab:

f’(t)=t-2

f’’(t)=−2 t−3=−21

t 3

f’’(2)=(−2) 1

23 =−14

5. f ( x )=x ( x2+1 )3

Jawab:

f ' ( x )=(1 ) [ (3 ) ( x+1 )2 ] (2 x )=6 x (x+1)2

f ' ' ( x )=(6 )(x¿¿2+1)2+6 x (2 ) ( x2+1 ) (2 x )=6 ( x2+1 )2+24 x2(x2+1)¿

f ' ' (2 )=6 (22+1)2+24¿

Pendifensialan implisit

1.cos (xy )= y2+2x

cos (xy )− y2=2 x

−sin ( xy )( y+xdydx )−2 y

dydx

=2

− y sin ( xy )−xdydx (sin ( xy )−2 y

dydx )=2

−dydx

sin ( xy )−2 ydydx

=2+ y sin ( xy )

dydx

=2+ y sin(xy )

−x sin ( xy )−2 y

2. cari persamaan garis singgung

x2 y2+3 xy=10 y (2,1)

x2 y2+3 xy−10 y=0

(2 x y2+2 x2 y y ' )+ (3 y+3xy ' )−10 y '=0

2 x2 y y '+3 x y '−10 y '=−2x y2−3 y

y ' ( 2x2 y+3x−10 )=−2 x y2−3 y

y '= −2x y2−3 y2x2 y+3x−10

subsitusikan (2,1)

y '=−2.2 .¿¿

y '=−74

Persamaan garis

y− y1=m(x−x1)

y−1=−74

(x−2)

y=−74

x+ 72+1

y=−74

x+ 92

7 x+4 y−18=0

3.cari dydx

dari y=3√x+ 1

3√x

y= 3√x+ 13√x

y=x13 +x

−13

dydx

=13

x−23 1

3x

−43

4.jika y=sin(x¿¿2)+2 x3¿cari dxdy

Peny:

y=sin x2+2 x3

sin x2+2x3= y

cos ( x2 ) .2 xdxdy

+6 x2 dxdy

=1

dxdy

(2 x cos ( x2 )+6 x2)=1

dxdy

= 12 x cos¿¿

5.caridydx

dari y=4√1+cos ( x2+2 x )

Peny:dydx

= 1

(4 4√1+cos ( x2+2 x ))3.−2 x−2sin ( x2+2 x )

¿(−2x−2 )sin ( x2+2 x )

(4 4√1+cos ( x2+2x ))3

Bab 4

Penggunaan turunan

Maksimum dan minimum

Carilah nilai maksimum dan minimum

1. f ( x )=x2+3 x

f ' ( x )=2 x+3

2 x+3=0

2 x=−3

x=−32

Maka titik kritis :−2 ,−32

,3

f (−2 )=x2+3 x

¿−22+3(−3)

¿4−6

¿−2→ titik minimum

f (−32 )=x2+3 x

(−32 )

2

+3(−32 )

94−9

2=9−18

4=−9

4

f (3 )=x2+3x

¿(3)2+(3)

¿9+9

¿18→maximum

2. f ( x )= x

x2+2

[−1,4 ]

f ' ( x )= D (x ) ( x2+2 )−xD (x2+2)

( x2+2 )2

D=x2+2−x (2 x)

( x2+2 )2

D=−x2+2x2+2

−x2+2=0

−x2=−2

x=√2

Maka titik kritis: −1 ,√2 , ,4

f (−1 )= x

x2+2= −1

(−1)2+2=−1

3→ minimum

f (−1 )= √2

(√2 )2+2=1,41

4=0.35

f ( 4 )= 4

( 4 )2+2= 4

10=0,4→maximum

3. f ( x )=x3−3x+1

f ' ( x )=3 x2−3

3 x2−3=0

3 x2=3

x2=1

x=√1

x=± 1

(−32

,3)→maka [−32

,−1,1,3]

Titik kritis: −32

,−1,1 ,dan3

f (−32 )=x3−3x+1

¿(−32 )

3

−3(−32 )+1

¿(−278 )+ 9

2+1

¿ −27+36+88

¿ 178

f (−1 )=x3−3 x+1

¿ (−1 )3−3 (−1 )+1

¿−1+3+1

¿3

f (1 )=( x )3−3 x+1

¿1−3+1

¿−1→minimum

f (3 )=¿

¿ (3 )3−3 (3 )+1

¿27−9+1

¿19→maksimum

4.g ( x )=x25 ; I=[−1,32 ]

¿ 25

x−35

¿0

Maka,titik kritis nya [−1,0,32 ]

g (−1 )=x25

¿−125

¿1

g (0 )=0

g (32 )=3225

¿25 (2

5 )

¿4

5.dono mempunyai 200 meter kawat duri

x lebar=x=1

panjang=y=3

y

x+3 y=200

y=2003

−13

x

Luas total yang di berikan oleh A=xy=2003

x−13

x2

0=2003

x−13

x2

Maka batas 0≤ x≤ 200 interval [ 0,200 ]

dAdx

=2003

−23

x

Jadi terdapat 3 titik kritis (0,23

,100¿

Kedua titik ujung nya 0 dan 100 memberikan A=0 sedangkan x=−23

menghasilkan A=44,59

X=200 meter dan y=200

3meter