KAJIAN KEKOMPAKAN DI DALAM RUANG BANACHblog.undana.ac.id/jsmallfib_top/PUB2011/AriyantoFST1.pdf ·...

Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach

Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011

KAJIAN SIFAT KEKOMPAKAN PADA RUANG BANACH

Ariyanto*

ABSTRACT

The properties of compactness in Banach spaces in this paper is a generalization of a

compact understanding the system on the real numbers. New concepts formed is

relatively compact, sequentially compact, relatively sequentially compact, and totally

bounded. These paper study about relationship of concepts.

Key words: Banach spaces, compact, compact sequential, totally bounded.

ABSTRAK

Sifat kekompakan di ruang Banach pada tulisan ini merupakan perumuman dari

pengertian kompak pada sistem bilangan real. Konsep-konsep baru yang terbentuk adalah

kompak relatif, kompak sekuensial, kompak sekuensial relatif, dan terbatas total. Tulisan

ini mengkaji keterkaitan konsep-konsep tersebut di atas.

Kata kunci : ruang Banach, kompak, kompak sekuensial, terbatas total.



Ruang bernorma dikatakan lengkap apabila setiap barisan Cauchy di dalam ruang bernorma

tersebut konvergen, dan ruang bernorma lengkap dikenal dengan sebutan ruang Banach.

Pemberian nama ruang bernorma lengkap sebagai ruang Banach disebabkan Banach yang

menemukan struktur sifat-sifat ruang bernorma lengkap dalam meraih disertasi doktornya pada

tahun 1920. Liput terbuka suatu himpunan E di dalam sistem bilangan real dimaksudkan

suatu koleksi himpunan terbuka G yang merupakan himpunan bagian sehingga

E

G , dan suatu himpunan E di dalam sistem bilangan real dikatakan kompak apabila

setiap liput terbuka untuk himpunan E memuat liput-bagian yang banyak anggotanya hingga.

Tulisan ini akan mengitlak (memperumum) pengertian dan sifat-sifat kompak yang dimiliki

sistem bilangan real ke ruang Banach. Implikasi lanjutannya adalah pengertian, konsep dan

sifat-sifat kompak pada sistem bilangan real setelah di bawah ke ruang Banach berhasil

memunculkan struktur sifat yang baru seperti : kompak relatif, kompak sekuensial, kompak

sekuensial relatif, dan terbatas total. Pembahasan pada tulisan ini akan ditampilkan dalam bentuk

teorema atau lemma.

MATERI DAN METODE KAJIAN

Tulisan pembahasan sifat kekompakkan pada ruang Banach ini menggunakan pendekatan

studi literatur. Langkah permulaan dilakukan adalah menghimpun materi yang dibutuhkan yang

diambil dari buku-buku analisis seperti yang tercantum dalam daftar pustaka. Kemudian ,

mempelajari materi penelitian dan mengolahnya dengan bantuan teori-teori dasar dalam

matematika seperti logika, teori himpunan dan analisis dasar.

Teori Dasar

Pada bagian ini akan dibahas pengertian dasar yang akan digunakan sebagai landasan

untuk pembahasan berikutnya. Beberapa konsep, sifat dan teorema pada tulisan ini dianggap

sudah dipahami. Beberapa bukti teorema dalam bagian ini tidak diberikan karena bisa langsung

merujuk ke daftar pustaka.

Ruang Metrik

Pada sub bagian ini akan dibicarakan pengertian dan sifat-sifat dari ruang metrik, sebagai

berikut.

Definisi 1 : Diberikan sebarang himpunan tak kosong X .

i Fungsi :d R yang memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :

1 , 0 ,

, 0 ,

d x y untuk setiap x y

d x y jika dan hanya jika x y



2 , , ,d x y d y x untuk setiap x y dan

3 , , , , ,d x y d x z d z y untuk setiap x y z ,

Disebut metrik atau jarak pada X .

ii Himpunan X dilengkapi dengan suatu metrik d , dituliskan dengan ,d , disebut ruang

metrik. Jika metriknya telah diketahui maka ruang metrik cukup ditulis X saja. Anggota ruang

metrik ,d disebut titik dan untuk setiap ,x y bilangan nonnegatif ,d x y disebut jarak

titik x dengan titik y .

Definisi 2 : Diketahui dX , ruang metrik, dan XS .

1. Apabila x sebarang titik di dalam ruang metrik X dan 0 , maka Himpunan

)(xN yxdXy ,: dinamakan persekitaran dengan titik pusat x dan jari-jari .

2. Titik x X disebut titik limit himpunan S , apabila setiap persekitaran dengan titik pusat x

memuat paling sedikit satu titik Sy dengan xy , atau untuk setiap 0 berlaku

)(xN xS . Koleksi semua titik limit himpunan S disebut derived set dan

dinotasikan dengan S . Himpunan S SS disebut closure( S ). Titik anggota S yang

bukan titik limit disebut titik terasing.

3. Titik x X disebut titik-dalam himpunan S , apabila terdapat persekitaran )(xN sehingga

berlaku )(xN S .

4. Himpunan XS disebut himpunan terbuka apabila setiap anggotanya merupakan titik-

dalam himpunan S .

5. Himpunan XS dikatakan himpunan tertutup apabila cS terbuka. Closure( S ) didefinisikan

juga sebagai irisan semua himpunan tertutup yang memuat S .

6. Himpunan XS dikatakan terbatas apabila ada titik Xx dan bilangan real 0M

sehingga untuk setiap Sy berlaku yxd , M .

7. Diameter himpunan XS , dinotasikan sebagai Sd dan didefinisikan sebagai

Sd sup Syxyxd , setiapuntuk : , . S juga dikatakan terbatas apabila diameternya

hingga.

Teorema 3 : Diketahui dX , ruang metrik, dan XS .

Himpunan S tertutup jika dan hanya jika S memuat semua titik limitnya, atau SS .



Bukti : Syarat perlu : S tertutup, jadi cS terbuka. Andaikan bahwa SS

, yaitu ada Sx

dengan Sx atau cSx . Karena

cS terbuka, maka x merupakan titik-dalam himpunan cS .

Jadi, ada bilangan 0 sehingga berlaku )(xNcS atau )(xN S . Akibatnya untuk

0 tersebut berlaku )(xN xS . Jadi x bukan titik limit himpunan S , kontradiksi

dengan pengambilan Sx .

Syarat cukup : Diketahui SS atau cc SS . Diambil sebarang

cSx , maka cSx

atau x bukan merupakan titik limit himpunan S . Jadi ada bilangan 0 dengan sifat

)(xN xS .

Kemungkinan terjadi, )(xN S atau )(xN xS .

Karena cSx (atau Sx ) maka )(xN S . Jadi, apabila diambil

cSx , maka ada

bilangan 0 sehingga )(xN S atau )(xNcS . Dengan kata lain x merupakan

titik-dalam himpunan cS , sehingga terbukti

cS himpunan terbuka atau himpunan S tertutup.

Definisi 4 : Diketahui dX , ruang metrik. Barisan nx di dalam suatu ruang metrik X

dikatakan konvergen jika ada x X sehingga untuk setiap bilangan 0 terdapat bilangan asli

0n , sehingga untuk setiap bilangan asli 0n n berlaku ,nd x x . Dalam hal ini dikatakan

barisan {xn} konvergen ke x atau barisan nx mempunyai limit x

dan biasa dinotasikan dengan

lim , 0nn

d x x

, atau lim nn

x x

. Barisan yang tak konvergen dikatakan divergen.

Definisi 5 : Diketahui dX , ruang metrik. Suatu barisan nx di dalam X , dan dibentuk

barisan bilangan asli Nknk : sehingga 21 nn ...3 n , maka barisan knx dinamakan

barisan bagian dari nx .

Definisi 6 : Diketahui dX , ruang metrik. Barisan nx di dalam X disebut barisan Cauchy

apabila untuk setiap bilangan 0 terdapat bilangan asli 1n sehingga untuk setiap nm, 1n

berlaku nm xxd , .

Teorema 7 : Diketahui dX , ruang metrik, dan XS .

Apabila x titik limit himpunan S , maka ada suatu barisan nx di dalam S sehingga

nlim xxn .



Teorema 8 : Diketahui dX , ruang metrik.

Apabila setiap barisan nx di dalam X konvergen, maka barisan tersebut merupakan barisan

Cauchy.

Ruang Bernorma

Pada sub bagian ini akan disajikan definisi ruang bernorma disertai sifat-sifatnya.

Definisi 9 : Diketahui X ruang linear atas C atau R .

Fungsi RX :. disebut norma apabila :

1N 0x untuk setiap Xx , dan xx 0 .

2N xx .. untuk setiap Xx dan skalar .

3N yxyx untuk setiap Xyx , .

Ruang linear X yang diperlengkapi norma dinamakan ruang bernorma dan dituliskan dengan

.,X atau X saja.

Teorema 10: Setiap ruang bernorma X merupakan ruang metrik, dengan yxyxd ),(

untuk setiap Xyx , .

Berdasarkan Teorema 10 di atas, setiap ruang bernorma merupakan ruang metrik, maka

semua konsep, pengertian, sifat-sifat, serta teorema-teorema yang berlaku pada ruang metrik

berlaku pula pada ruang bernorma. Demikian pula karena ruang bernorma merupakan ruang

metrik maka vektor disebut pula sebagai titik.

Teorema 11 : Ruang bernorma X dikatakan lengkap apabila setiap barisan Cauchy di dalamnya

konvergen, dan ruang bernorma lengkap disebut Ruang Banach.

Contoh : baC , kontinu ,,: fRbaf koleksi semua fungsi kontinu dari ba, ke

. Terhadap norma 0

f sup baxxf , : merupakan ruang Banach, akan tetapi

terhadap norma 1

f b

adxxf , bukan merupakan ruang Banach.

Definisi 12 : Apabila ruang bernorma X memuat suatu barisan ne yang memenuhi untuk

setiap Xx ada dengan tunggal barisan skalar n sehingga berlaku

neeex . . . n2211 untuk n , maka ne disebut basis untuk X .

Dengan kata lain, untuk setiap Xx dapat disajikan sebagai representasi kombinasi linear dari

1e , 2e , . . . , ne .



Lemma 13 : Apabila nxxx ,...,, 21 himpunan vektor-vektor bebas linear di dalam suatu ruang

bernorma X yang berdimensi hingga, maka ada suatu bilangan 0c sehingga untuk setiap

skalar 1 , 2 , ..., n berlaku,

nn xxx ...2211 c n ...21 .

Teorema 14 : Setiap ruang bagian berdimensi hingga Y dari ruang bernorma X merupakan

himpunan tertutup di dalam X .

Lemma 15 :(Lemma Riesz’s) Diberikan X ruang bernorma berdimensi hingga dan Y , Z

ruang bagian X . Apabila Y tertutup dan ZY , maka untuk setiap bilangan 1,0 ada

Zz sehingga 1z dan yz , untuk setiap Yy .

Bukti : Diambil sebarang Zv dengan Yv , dan dibentuk

a inf Yyyv : . Apabila diambil 1,0 , maka ada Yy 0 sehingga berlaku

a 0yv

a . Diambil cz 0yv di dalam Z , dengan c

0

1

yv maka diperoleh

z 0 yvc

0

0

yv

yv

1 .

Selanjutnya, akan ditunjukkan yz sebagai berikut. Untuk setiap Yy diperoleh

yz yyvc 0

c

yyvc 0 c

c

yyv 0 c 1yv ,

dengan 1yc

yy 0 . Oleh karena itu, menurut definisi a di atas diperoleh 1yv a .

Berdasarkan hasil di atas pula, dengan c0

1

yv maka diperoleh

yz c 1yv ac. 0yv

a

a

a .

Karena Yy diambil sebarang, maka lemma Riesz’s terbukti.

PENGKAJIAN

Pembahasan



Pada sub bagian ini akan membahas pengertian dan sifat-sifat kekompakan yang dimiliki

oleh ruang Banach. Langkah awal akan mendefinisikan dulu pengertian kompak, dan langkah

berikutnya berturut-turut akan menyajikan sifat-sifat kompak di dalam ruang Banach.

Definisi 16 : Koleksi semua himpunan himpunan di dalam ruang Banach X dikatakan liput

(cover) himpunan XS apabila setiap anggota himpunan S termuat paling sedikit dalam satu

anggota koleksi semua himpunan .

Dengan kata lain, merupakan liput himpunan XS apabila S G

G . Apabila setiap

anggota merupakan himpunan terbuka di dalam X , maka disebut liput terbuka (open

cover) untuk S .

Definisi 17 : Diketahui X ruang Banach.

Himpunan XS dikatakan kompak (compact) apabila untuk setiap liput terbuka himpunan

S ada liput bagian berhingga yang juga liput himpunan S .

Jelasnya, S kompak apabila koleksi semua himpunan terbuka merupakan liput terbuka

untuk S , maka ada himpunan berhingga nGGG ,...,, 21 sehingga berlaku S n

i

iG1

.

Contoh : 1. Di dalam ruang Banach X , himpunan berhingga merupakan himpunan kompak.

Jawab : Misalkan himpunan berhingga tersebut adalah S nxxx ,...,, 21 dan G

merupakan liput terbuka untuk S , maka ada anggota S merupakan anggota G untuk paling

sedikit satu . Jadi untuk setiap ix dipilih satu G saja yang memuat ix , sebut saja i

G .

Jadi 1

G , 2

G , ..., n

G merupakan liput bagian berhingga untuk S . Terbukti untuk sebarang

liput terbuka untuk S memuat liput bagian berhingga untuk S . Jadi disimpulkan S kompak.

2. Himpunan S

nn

:1

di dalam sistem bilangan real tidak kompak.


Himpunan XS dikatakan kompak relatif (relatively compact) jika dan hanya jika S (closure

S ) merupakan himpunan kompak.


Himpunan XS dikatakan kompak sekuensial (sequentially compact) apabila setiap barisan

nx di dalam S mempunyai barisan bagian knx yang konvergen ke Sx .




Himpunan XS dikatakan kompak sekuensial relatif (relatively sequentially compact) jika dan

hanya jika S (closure S ) merupakan himpunan kompak.


Himpunan XS disebut net apabila S himpunan berhingga dan Sx

xN

)( X , dan X

disebut terbatas total apabila X memuat suatu net , untuk setiap 0 .

Definisi 22 : Diketahui X ruang Banach, dan liput terbuka untuk X .

Bilangan 0 disebut bilangan Lebesque untuk liput terbuka apabila setiap himpunan

XS dengan )(Sd , ada G sehingga GS .

Teorema 23 : : Diketahui X ruang Banach.

Apabila setiap himpunan tak berhingga XS mempunyai titik limit di dalam X , maka X

kompak sekuensial.

Bukti : Diambil sebarang barisan nx di dalam X . Dibentuk range dari barisan tersebut sebagai

berikut : S nxn : .

Apabila S berhingga, maka ada paling sedikit satu anggota Sx untuk tak berhingga

banyaknya indeks n , sebab nx merupakan fungsi dengan domain himpunan tak berhingga .

Dengan demikian terbentuk suatu barisan knk : sehingga 1n 2n ..., dan

1nx 2nx x ... . Jadi diperoleh suatu barisan bagian yang konvergen ke x XS . Apabila

S tak berhingga, dan S mempunyai titik limit 0x di dalam X maka ada barisan di dalam S

yang konvergen ke 0x . Dipilih 1n sehingga berlaku 01xxn 1 . Kemudian dipilih 2n dengan

21 nn sehingga 02xxn

2

1 . Setelah dipilih 21 nn ... 1kn , maka dipilih kn dengan

1 kk nn sehingga 0xxkn

k

1 . Jadi terbentuk barisan

knx yang konvergen ke 0x .

Dengan kata lain terbukti X kompak sekuensial.

Lemma 24 : Diketahui X ruang Banach.

Apabila himpunan XS tak berhingga yang terbatas total, maka untuk setiap 0 ada

himpunan tak berhingga SM sehingga Md .



Bukti : Diketahui S himpunan tak berhingga dan diberikan sebarang 0 . Misalkan himpunan

H nxxx ,...,, 21 merupakan suatu net3

di dalam X sehingga berlaku X

n

i

ixN1 3

)(

,

yang berakibat S n

i

ixNS1 3

))((

. Dengan demikian paling sedikit ada satu dari himpunan-

himpunan )(3

ixNS yang memuat himpunan tak berhingga, sebut saja M dengan

Md .

Teorema 25 : Diketahui X ruang Banach.

X terbatas total jika dan hanya jika setiap barisan nx di dalam X mempunyai barisan bagian

Cauchy.

Bukti : syarat perlu : Diambil sebarang barisan Diketahui X ruang Banach. Pandang himpunan

A nxn ; . Apabila A berhingga, maka barisan nx mempunyai barisan bagian

berhingga yang konstan. Oleh karena itu, barisan ini merupakan barisan Cauchy. Sekarang

misalkan A tak berhingga, maka berdasarkan Lemma 23 ada himpunan tak berhingga AB 1

dengan 11 Bd . Dipilih 1n sehingga 11Bxn . Selanjutnya dengan cara yang sama, ada suatu

himpunan tak berhingga 12 BB dengan 2

12 Bd . Dipilih 12 nn sehingga 22

Bxn .

Apabila prosedur ini dilakukan terus menerus, maka diperoleh himpunan-himpunan tak berhingga

1 kk BB ... 12 BB dengan i

Bd i

1 ( ni ,...,2,1 ) sehingga untuk setiap bilangan

asli 1 kk nn ... 12 nn berlaku in Bxi ( ni ,...,2,1 ). Berdasarkan proses ini diperoleh

suatu barisan bagian knx dari nx . Apabila diberikan sebarang 0 , maka dipilih 0k

sehingga 0

1

k. Dengan cara yang sama seperti di atas diperoleh

mnx0kB untuk 0km . Jadi

apabila 0, kmj maka berlaku mj nn xx

0

1

k . Oleh karena itu terbukti bahwa setiap

barisan di dalam X mempunyai barisan bagian Cauchy.

Syarat cukup : Andaikan himpunan X tidak terbatas total, maka ada 00 sehingga tidak

terdapat net0 di dalam X . Diberikan sebarang Xx 1 dan dipilih Xx 2 sehingga



12 xx 0 . Hal ini mungkin terjadi sebab himpunan 1x bukan suatu net0 di dalam

X . Selajutnya dipilih Xx 3 dengan 13 xx 0 dan 23 xx 0 , dan ini mungkin

terjadi sebab 21, xx bukan suatu net0 di dalam X . Apabila proses dilakukan secara terus

menerus dengan cara yang sama, maka akan diperoleh himpunan nxxx ,...,, 21 yang bukan

suatu net0 di dalam X dengan sifat ji xx 0 , untuk setiap ji ( kj ,..,2,1 ). Jadi

ada Xxn 1 dengan jk xx 1 0 , untuk kj ,..,2,1 . Oleh karena itu barisan nx tidak

mempunyai barisan bagian Cauchy, kontradiksi dengan yang diketahui.

Teorema 26 : Ruang Banach X kompak sekuensial jika dan hanya jika X terbatas total.

Bukti : Syarat perlu : Karena X kompak sekuensial, maka setiap barisan nx di dalam X

mempunyai barisan bagian knx yang konvergen, yang berakibat barisan

knx merupakan

barisan Cauchy. Jadi, setiap barisan di dalam X mempunyai barisan bagian Cauchy, dan

berdasarkan Teorema 25 terbukti bahwa X terbatas total.

Syarat cukup : Diketahui X terbatas total dan diambil sebarang barisan nx di dalam X .

Menurut Teorema 25, maka barisan nx mempunyai barisan bagian Cauchy knx dan karena

X ruang Banach, maka barisan knx konvergen atau terbukti X kompak sekuensial.

Lemma 27 : Diketahui X ruang Banach. Apabila X kompak sekuensial, maka setiap liput

terbuka untuk X mempunyai bilangan Lebesque.

Bukti : Diketahui X kompak sekuensial dan liput terbuka untuk X . Andaikan tidak ada

bilangan Lebesque untuk liput terbuka , maka untuk setiap n ada himpunan tak kosong

XAn dengan nAdn

1 sehingga nA tidak termuat dalam . Selanjutnya, dipilih

nn Ax , dan karena X kompak sekuensial maka barisan nx di dalam X mempunyai barisan

bagian knx yang konvergen ke 0x . Dipilih 0G sehingga 00 Gx . Karena 0G himpunan

terbuka, maka ada bilangan 0 sehingga )( 0xN 0G . Karena knx konvergen ke 0x ,

maka knx termuat di dalam )( 0xN untuk tak berhingga banyak kn . Dipilih

kn yang

maksimal sehingga kn

x )( 0xN dengan

kn

1

2

. Apabila diambil

knAy maka diperoleh



0xy

kn

1, dan mengingat

knAd

kn

1 maka berakibat 0xy

2

. Oleh karena itu

y )( 0xN , dengan demikian diperoleh kn

A )( 0xN 0G . Kotradiksi dengan fakta bahwa

untuk setiap n , nA tidak termuat di dalam anggota . Dengan kata lain mempunyai

bilangan Lebesque.

Teorema 28 : Diketahui X ruang Banach dan XS .

S kompak jika dan hanya jika S kompak sekuensial.

Bukti : Syarat perlu : Andaikan S tidak kompak sekuensial, maka menurut Lemma 26 ada suatu

himpunan tak berhingga SA dengan A tidak mempunyai titik limit di dalam S . Dengan

demikian setiap anggota S bukan titik limit himpunan A , dan setiap titik anggota A merupakan

titik terasing. Jadi, untuk setiap Ax ada bilangan 0 sehingga AxN )( x , dan

untuk setiap Sy dengan Ay dapat dibuat persekitaran )(yN sehingga AxN )( .

Karena A tak berhingga, maka koleksi semua himpunan

AxxN :)( AySxyN &:)( merupakan liput terbuka untuk S , akan tetapi

liput terbuka tidak memuat liput bagian berhingga. Sebab, apabila menghilangkan satu

persekitaran )(xN saja dari titik Ax maka S tidak terliput lagi, dan kontradiksi dengan

fakta bahwa S kompak.

Syarat cukup : Diberikan sebarang liput terbuka untuk S , maka menurut Lemma 26 liput

terbuka mempunyai bilangan Lebesque 0 , dan berdasarkan Teorema 25 maka S terbatas

total. Oleh karena itu, ada suatu net3

dari himpunan berhingga nxxx ,...,, 21 sehingga

untuk setiap nk ,...,2,1 berlaku

)(

3

kxNd 3

2 . Selanjutnya, ada kG dengan )(

3

kxN kG .

Karena n

k

kxN1 3

)(

S , maka diperoleh nGGG ,...,, 21 merupakan liput bagian berhingga

untuk S , atau terbukti S kompak.

Teorema 29 : Diketahui X ruang Banach dan XS .

Jika S kompak, maka S tertutup dan terbatas.



Bukti : (a) Diambil sebarang 0x X dengan 0x cS , dan untuk setiap anggota Sx dibuat

persekitaran )(xN yxy : , dan persekitaran )( 0xN yxy : dengan

pusat 0x dan jari-jari 2

1 0xx . Jelas bahwa, )(xN )( 0xN untuk setiap Sx .

Oleh karena itu, koleksi semua himpunan persekitaran-persekitaran SxxN : )(

merupakan liput terbuka untuk S . Karena diketahui S kompak, maka ada 1x , 2x , ..., nx S

sehingga berlaku S n

i

ixN1

)(

. Dibentuk himpunan W n

i

xNi

1

0 )(

dengan

2

1i ixx 0 , untuk setiap 1i , 2 , ..., n . Jadi W merupakan suatu persekitaran dari titik

0x dan himpunan bagian semua )( 0xNi

, untuk setiap 1i , 2 , ..., n . Jadi,

W )( ixN , untuk setiap 1i , 2 , ..., n sehingga W )(xN . Akibatnya,

W S atau W cS . Jadi 0x merupakan titik-dalam himpunan cS , jadi

cS terbuka atau

S tertutup.

(b) Untuk setiap Sx dibentuk persekitaran )(1 xN 1 : yxy , yaitu persekitaran

dengan pusat x dan jari-jari 1. Koleksi semua himpunan SxxN : )(1 merupakan liput

terbuka untuk S . Karena diketahui S kompak, maka ada 1x , 2x , ..., mx S sehingga

S n

i

ixN1

1 )(

. Namakan, 1M maks mxxxxxx 13121 ..., , , . Untuk sebarang

Sy ada jx dengan mj 1 , sehingga berlaku y )(1 jxN . Jadi diperoleh

yx1 jxx1 yx j 1 M M1 . Jadi untuk setiap Sy berlaku

yx1 M atau dengan kata lain S terbatas.

Teorema 30 : Diketahui X ruang Banach, dan XS .

Apabila S tertutup dan terbatas, dan X berdimensi hingga maka S kompak.

Bukti : Misalkan Dim( X ) n , dan neee , . . . , , 21 merupakan basis untuk X . Diambil

sebarang barisan mx di dalam S , maka untuk setiap mx anggota S dapat disajikan sebagai

representasi kombinasi linear sebagai berikut,

mx n

m

n

mm exexex . . . )(

2

)(

21

)(

1



Karena diketahui S terbatas, maka ada bilangan 0k sehingga mx k , untuk setiap m .

Menurut Lemma 13, maka diperoleh

k mx n

m

n

mm exexex )(

2

)(

21

)(

1 ... c

n

j

m

jx1

)(, dengan 0c .

Oleh karena itu barisan bilangan )(m

jx terbatas. Jadi ia mempunyai titik limit, katakan titik

limitnya tersebut adalah jx , untuk nj 1 . Akibatnya, barisan mx mempunyai barisan

bagian mz yang konvergen ke z

n

j

jj ex1

. Karena himpunan S tertutup, maka Sz . Ini

menunjukkan bahwa sebarang barisan mx di dalam S mempunyai barisan bagian yang

konvergen dalam S . Dengan kata lain S kompak sekuensial atau S kompak.

Teorema 31 : Diketahui X ruang Banach, dan XS .

S kompak relatif jika dan hanya jika S terbatas total.

Bukti : Syarat perlu : Diketahui S kompak relatif atau S SS kompak. Apabila S

kompak berakibat S kompak sekuensial, maka menurut Teorema 26 S terbatas total. Apabila S

tidak kompak, dan karena S merupakan koleksi semua himpunan titik limit di dalam S , maka

berdasarkan Teorema 23 S kompak sekuensial, dan sekali lagi menurut Teorema 26 terbukti S

terbatas total.

Syarat cukup : Diketahui S kompak relatif, yaitu S kompak.

Apabila S kompak berakibat S kompak sekuensial atau terbukti S terbatas total. Sekarang

apabila S tidak kompak dan karena S merupakan koleksi semua titik limit di dalam S , maka

diperoleh S kompak sekuensial atau terbukti S terbatas total.

Syarat perlu : Diambil sebarang barisan nx di dalam S . Karena diketahui S terbatas total,

maka ada himpunan-himpunan berhingga

)( , . . . ),( ),(2

12

2

11

2

1 iyNyNyN yang merupakan

suatu net1 . Paling sedikit dari persekitaran-persekitaran ini memuat suatu barisan tak hingga,

katakanlah 1,nx dengan 1,nx nx . Selanjutnya. Diambil lagi suatu net2

1, maka paling

sedikit satu dari persekitaran-persekitaran di dalam himpunan berhingga dari suatu net2

1

memuat barisan tak berhingga 2,nx dengan 2,nx 1,nx . Apabila proses dilakukan terus



menerus maka akan diperoleh suatu barisan tak hingga mnx , , untuk suatu m dengan

mnx , 1, mnx sehingga mnx , termuat di dalam persekitaran berdiameter m

1. Misalkan

nnx , merupakan barisan diagonal, maka njjjx , merupakan barisan bagian dari

njnjx ,

yang termuat di dalam persekitaran berdiameter n

1. Jadi diperoleh mmnn xx ,,

) , (min

1

mn,

sehingga nnx , merupakan barisan Cauchy. Karena X lengkap maka barisan nnx , adalah

konvergen. Dengan kata lain barisan nnx , mempunyai barisan bagian yang konvergen atau S

kompak sekuensial. Berakibat S kompak relatif.

SIMPULAN

Berdasarkan keseluruhan uraian di atas diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut :

1. Apabila suatu himpunan tak berhingga mempunyai titik limit di dalam ruang Banach,

maka ruang Banach tersebut kompak sekuensial.

2. Suatu ruang Banach yang kompak sekuensial jika dan hanya jika ruang Banach tersebut

terbatas total.

3. Suatu himpunan di dalam ruang Banach yang kompak jika dan hanya jika himpunan

tersebut kompak sekuensial.

4. Apabila suatu himpunan yang kompak di dalam ruang Banach, maka himpunan tersebut

tertutup dan terbatas.

5. Apabila suatu himpunan yang tertutup dan terbatas di dalam ruang Banach, dan himpunan

itu juga berdimensi hingga maka himpunan tersebut kompak.

6. Suatu himpunan yang kompak relatif di dalam ruang Banach jika dan hanya jika himpunan

tersebut terbatas total.

DAFTAR RUJUKAN



Hutson, V, and PYM, J.S, 1980. Aplications of Functional Analysis and Operator

Theory, Academic Press, London, New York, Toronto, Sydney, San Francisco.

Kreyszig, E, 1978. Introductory Functional Analysis with Aplications , John

Willey&Sons, Canada.

Parzynski, W.R, and Zipse, P.W, 1982. Introduction to Mathematical Analysis, Mc-Hill

Book Company.

Royden, H.L, 1989. Real Analysis. Mamillan Pub.Co., new York, Collier Macmillan

Pub., London.

Rudin, H.L, 1989. Principles of Mathematical Analysis, Mc Graw-Hill International

Company, Singapore.

Simmons, G.F, 1963. Topology and Modern Analysis, Mc Graw-Hill Book Company,

Inc, New York.

KAJIAN KEKOMPAKAN DI DALAM RUANG BANACHblog.undana.ac.id/jsmallfib_top/PUB2011/AriyantoFST1.pdf ·...

Documents

Transcript of KAJIAN KEKOMPAKAN DI DALAM RUANG BANACHblog.undana.ac.id/jsmallfib_top/PUB2011/AriyantoFST1.pdf ·...