04/13/23 1

Pendugaan Nilai Tengah

Statistik Industri

Semester Genap 2012/2013

04/13/23 2

Pendugaan Nilai Tengah

Salah satu penduga titik bagi nilai tengah populasi adalah xbar.

Nilai tengah contoh xbar akan kita gunakan sebagai nilai dugaan titik nilai tengah populasi

Bila n besar maka xbar akan merupakan nilai dugaan yang sangat akurat bagi

Selang Kepercayaan bagi , diketahui. Bila xbar adalah nilai tengah contoh acak berukuran n yang diambil dari suatu populasi dengan ragam 2 diketahui maka selang kepercayaan (1-) 100% bagi adalah:

nzxnzx // 2/2/

04/13/23 3

Contoh

Suatu contoh acak 36 mahasiswa tingkat akhir menghasilkan nilai tengah dan simpangan baku IPK berturut-turut sebesar 2.6 dan 0.3. Buat selang kepercayaan 95% dan 99% nilai tengah dari IPK seluruh mahasiswa tingkat akhir.

Jawab:

1. Diketahui xbar = 2.6, nilai dapat diduga dengan s = 0.3 (ingat jika n>30 maka s contoh bisa digunakan untuk menduga ), dari tabel nilai z0.025=1.96 (selang kepercayaan 95%)

2. Sehingga:

2.6 – 1.96*0.3/36 << 2.6 + 1.96*0.3/36

2.50 << 2.70

3. Untuk selang kepercayaan 99%, Z0.005=2.575, sehingga

2.6 – 2.575*0.3/36 << 2.6 + 2.575*0.3/36

2.47 << 2.73

04/13/23 4

PENGUJIAN HIPOTESIS MENGENAI NILAI RATA-RATA

Pengujian satu jenis sampel bisa dilakukan dengan Uji satu pihak (One tail test) atau Dua pihak (Two tail test) Two tail test digunakan bila Ho berbunyi “sama

dengan” dan Ha berbunyi “tidak sama dengan” One tail test digunakan bila Ho berbunyi “lebih

besar atau sama dengan” dan Ha berbunyi “lebih kecil”

04/13/23 5

UNTUK MENGUJI HIPOTESIS MENGENAI NILAI RATA-RATA POPULASI,

MAKA DAPAT DIBUAT PERUMUSAN HIPOTESIS SEBAGAI BERIKUT:

Ho : u = uo

H1 : u ≠ uo

PENGUJIAN DWI ARAH

PENGUJIAN SATU ARAH

UNTUK MENGUJI HIPOTESIS MENGENAI NILAI RATA-RATA POPULASI

DENGAN MELIHAT SATU SISI SAJA

Ho : u = uo Ho : u > uo

Ho : u < uoHo : u = uo

lawan

lawan

04/13/23 6

Ho : u = 75.000

H1 : u ≠ 75.000

Ho : u> 75.000

Ho : u < 75.000

UJI DWI ARAH

UJI SATU ARAH, ARAH KANAN

UJI SATU ARAH, ARAH KIRI

UNTUK PENGUJIAN HIPOTESIS MENGENAI NILAI RATA-RATA (u) APABILA RAGAM POPULASI DIKETAHUI (δ2 diketahui), MAKA DAPAT MENGGUNAKAN UJI Z BERIKUT:

Z = x – uo

δ/ √n

DENGAN TARAF NYATA α, MAKA UNTUK PENGUJIAN DWI ARAH NILAI KRITISNYA ADALAH –Z α/2 dan Z α/2

04/13/23 7

Hipotesis Alternatif: METODE PEMBELAJARAN A LEBIH UNGGUL DARI PADA METODE PEMBELAJARAN B

UJI SATU PIHAK (KANAN) H: θ = θo A: θ > θo (daerah kritis)

penolakan H

daerah penerimaan H

α

Hipotesis H diterima jika: z ≤ z1- α

04/13/23 8

Hipotesis Alternatif: DENGAN SISTEM INJEKSI PENGGUNAAN BAHAN BAKAR LEBIH IRIT DARIPADA SISTEM BIASA

UJI SATU PIHAK (KIRI) H: θ = θo A: θ < θo

(daerah kritis)

penolakan H daerah penerimaan H

α

Hipotesis H diterima jika: z ≥ z1- α

04/13/23 9

Hipotesis Alternatif: SALAH SATU DARI METODE PEMBELAJARAN LEBIH UNGGUL DARIPADA METODE PEMBELAJARAN YANG LAIN

UJI DUA PIHAK H: θ = θo A: θ ≠ θo

penolakan H penolakan H daerah penerimaan H ½ α ½ α

Hipotesis H diterima jika: -z1/2(1- α) < z < z1/2(1- α)

04/13/23 10

EXAMPLE

SUATU PERUSAHAAN ALAT-ALAT OLAH RAGA TELAH MENGEMBANGKAN TEHNIK BARU DALAM PEMBUATAN PRODUKNYA, DAN MENGKLAIM BAHWA DAYA TAHAN (KEKUATANNYA) MAMPU MENAMPUNG BEBAN SEBERAT 15 KG, DENGAN SIMPANGAN BAKU 0,5 KG. JIKA DIAMBIL 50 BUAH ALAT OLAH RAGA TERSEBUT DAN SETELAH DIUJI DIPEROLEH BAHWA u = 15 KG, SESUAI PERNYATAAN YG DIBUAT PERUSAHAAN TERSEBUT. GUNAKAN TARAF NYATA α = 0.01

PENYELESAIAN Ho : u = 15 Kg H1 : u ≠ 15 kg α = 0.01 Daerah kritis: Z< -2.56 dan Z> 2.56 dimana

Perhitungan : x = 14.8 kg ; n = 50

Z = x – uo

δ/ √n

Z = x – uo

δ/ √n

Z = 14.8 – 15

0.5/ √50

-2.828

04/13/23 11

KEPUTUSAN: TOLAK Ho DAN AMBIL KEPUTUSAN BAHWA RATA-RATA KEKUATAN OLAH RAGA TIDAK SAMA DENGAN 15 KG TETAPI DALAM KENYATAANNYA LEBIH RENDAH DR 15 KG

-2.56

TERIMA Ho

2.56

Tolak Ho Tolak Ho

α/2 α/2

-2.8

04/13/23 12

Kasus bila ukuran contoh kecil; tak diketahui

Bila xbar dan s adalah nilai tengah dan simpangan baku contoh berukuran n<30, yang diambil dari populasi berbentuk genta yang ragamnya 2 tak diketahui, maka selang kepercayaan(1-) 100% bagi diberikan oleh rumus:

nstxnstx // 2/2/

04/13/23 13

Rumus yang dipergunakan untuk menguji hipotesis satu sampel

t = Nilai t yg dihitungX = rata rata Xμ0 = nilai yang dihipotesiskans = simpangan bakun = jumlah anggota sampel

X – μ0

t = s / n

04/13/23 14

Contoh Soal

DALAM SUATU PROSEDUR REGISTRASI MAHASISWA DI SUATU UNIVERSITAS TERTENTU MEMBUTUHKAN WAKTU RATA-RATA 50 MENIT. DENGAN WAKTU INI DIRASAKAN CUKUP LAMA, UNTUK ITU TELAH DIKEMBANGKAN PROSEDUR BARU. INGIN DIKETAHUI APAKAH PROSEDUR BARU YG DICOBA ITU CUKUP EFEKTIF DAN EFISIEN DALAM SOAL WAKTU. SUATU CONTOH YG TERDIRI DARI 12 MAHASISWA DIAMBIL KETIKA MELAKUKAN REGISTRASI DAN DIPEROLEH RATA-RATA 42 MENIT DENGAN SIMPANGAN BAKU (S) 11,9 MENIT. UJI HIPOTESIS DENGAN MENGGUNAKAN TARAF NYATA α = 0.05 (GUNAKAN PENGUJIAN SATU ARAH)

04/13/23 15

PENYELESAIAN

Ho : U = 50 MENIT H1 : u < 50 menit Α = 0.05 Daerah kritis: T< -1.796, dimana

t = x – uo

s/ √ n dengan derajat bebas v = 12-1 = 11 Perhitungan: x = 42 menit, s = 11,9 menit dan n = 12

sehingga

t = x – uo = 42 - 50 = - 2.33

s/ √n 11.9/√ 12

Keputusan: Tolak Ho pd taraf nyata 0.05, karena:

t = -2.33 berada dalam daerah kritis. Dengan demikian dapat dibuat kesimpulan bahwa prosedur regiatrasi yang baru lebih efisien dalam hal waktu

04/13/23 16

Contoh Soal Hipotesis : daya tahan karyawan bekerja didepan komputer

secara terus menerus adalah 4 jam sehari. Diambil sampel 31 orang secara random dari total populasi. Data yg dikumpulkan adalah :

3 2 3 4 5 6 7 8 5 3 4 5 6 6 7 8 8 5 3 4 5 6 2 3 4 5 6 3 2 3 3 Jika ditotal maka data tersebut = 144 Diketahui :

n = 31, µ0 = 4 jam/hari Rata-rata X = 144/31 = 4,645 Simpangan baku = 1,81

04/13/23 17

Jadi rata-rata karyawan untuk berada didepan komputer tanpa behenti adalah 4,645/hari

Selanjutnya rata-rata tersebut akan diuji apakah ada perbedaan secara signifikan atau tidak dengan nilai yang dihipotesiskan yaitu 4 jam/hari

04/13/23 18

Menggunakan rumus X – μ0

t = s / n

4,645 - 4t = 1,81 / 31

t = 1,98t = 1,98

04/13/23 19

Dilihat tabel t Dengan melihat

dk(derajat kebebasan) yaitu n-1, yaitu 31-1 = 30

Dengan taraf kesalahan 5% dgn menggunakan uji dua pihak maka nilai tabel t = 2,042

04/13/23 20

Untuk membuat keputusan apakah hipotesis diterima atau tidak maka dibandingkan antara t hitung dengan t tabel.

t hitung = 1,98 t tabel = 2,042 Kesimpulan, karena t hitung lebih kecil dari t tabel, atau karena t

hitung berada di dalam daerah penerimaan Ho (lihat gambar), maka hipotesis (Ho) diterima.

Berarti hipotesis yang menyatakan bahwa daya tahan pegawai bekerja di depan komputer tanpa tergangu sama sekali adalah 4 jam dapat dipergunakan untuk semua populasi.