DINAMIKA FLUIDADINAMIKA FLUIDA

R. BASKARA KATRI ANANDITO, STP, MP.R. BASKARA KATRI ANANDITO, STP, MP.Jurusan Teknologi Hasil PertanianJurusan Teknologi Hasil Pertanian

Universitas Sebelas MaretUniversitas Sebelas MaretSurakartaSurakarta

I. PendahuluanI. Pendahuluan

Aliran fluida dapat merupakan aliran garis arus atau streamline (Gambar a). Kecepatan partikel fluida di tiap titik pada garis arus searah dengan garis singgung di titik itu garis arus tidak pernah berpotongan.

Ketika melebihi suatu kelajuan tertentu, aliran fluida menjadi turbulen. Aliran turbulen ditandai oleh adanya aliran berputar (Gambar b).

II. Persamaan KontinuitasII. Persamaan Kontinuitas

Debit adalah besaran yang menyatakan volume fluida yang mengalir melalui suatu penampang tertentu dalam satuan waktu tertentu.

Q = debit (m3 / s) V = volume (m3) t = selang waktu (s)

Sejumlah fluida melalui penampang pipa seluas A dan setelah selang waktu t menempuh jarak L. Volume fluida adalah V = AL, sedangkan jarak L = vt sehingga debit :

Q = (V/t) = (A L) / t = [A .(vt)] / t

Q = A x v

QV

t

L

v

A1 dan A2 adalah luas penampang pipa pada ujung 1 & 2

ρ1 dan ρ2 adalah massa jenis fluida pada ujung 1 & 2

v1 dan v2 adalah kecepatan partikel-partikel fluida pada 1 & 2

Selama selang waktu Δt, fluida pada 1 bergerak ke kanan menempuh jarak x1 = v1 Δt dan pada 2 bergerak ke kanan menempuh jarak x2 = v2 Δt. Oleh karena itu, volume V1 = A1 x1 akan masuk ke pipa bagian 2 dan volume V2 = A2 x2 akan keluar dari bagian 2. Dengan menyamakan massa fluida yang masuk bagian 1 dan yang keluar dari bagian 2 selama selang waktu Δt, maka diperoleh persamaan kontinuitas.

1

2

Persamaan Kontinuitas :

A1 v1 = A2 v2 = A3 v3 = … = konstan

″Pada fluida tak termampatkan, hasil kali antara kelajuan fluida dan luas penampang selalu konstan.″

Jika Q = A . V, maka

Q1 = Q2 = Q3 = … = konstan

″Pada fluida tak termampatkan, debit fluida di titik mana saja selalu konstan.″

Persamaan kontinuitas dapat diubah :

A v A vv

v

A

A

1 1 2 2

1

2

2

1

″Kelajuan aliran fluida tak termampatkan berbanding terbalik dengan luas penampang yang dilaluinya.″

Umumnya, pipa berbentuk silinder dan penampangnya berbentuk lingkaran dengan luas A = π r2 = (1/4) π D2. Jika dimasukkan ke persamaan kontinuitas, maka :

″Kelajuan aliran fluida tak termampatkan berbanding terbalik dengan kuadrat jari-jari penampang atau diameter penampang.″

v

v

A

A

v

v

r

ra tau

v

v

D

D

v

v

r

ra tau

v

v

D

D

1

2

2

3

1

2

22

12

1

2

22

12

1

2

2

1

2

1

2

2

1

2

4

4

III. Hukum BernoulliIII. Hukum Bernoulli

Fluida mengalir dari titik 1 ke titik 2. Karena titik 1 lebih rendah dari titik 2, maka energi potensial di titik 1 lebih kecil dari energi potensial di titik 2 (EP = m g h). Luas penampang 1 lebih besar dari luas penampang 2. Menurut persamaan kontinuitas (A v = konstan), maka kecepatan di 2 lebih besar dari kecepatan di 1 sehingga energi kinetik fluida di 1 lebih kecil dari energi kinetik di 2 (Ek = ½ m v2). Jumlah energi potensial dan energi kinetik adalah energi mekanik. Dengan demikian, energi mekanik fluida di 1 lebih kecil dari fluida di 2.

Jika energi mekanik di 1 kurang dari energi mekanik di 2, maka menurut Bernoulli fluida tersebut tetap bisa berpindah dari titik 1 ke titik 2.

Usaha adalah gaya kali perpindahan (W = F Δs). Agar usaha W positif, maka beda gaya ΔF = F1 – F2 haruslah positif. Gaya adalah tekanan kali luas penampang (F = P A). Fluida dapat berpindah dari 1 ke 2 karena adanya tekanan.

Persamaan Bernoulli :

(½ ρ v2) adalah energi kinetik per satuan volume dan (ρ g h) adalah energi potensial per satuan volume.

p v gh p v gh1 12

1 2 22

2

1

2

1

2

Untuk fluida tak bergerak (fluida statis), kecepatan v1= v2 = 0, sehingga :

Persamaan di atas adalah bentuk lain dari persamaan tekanan hidrostatis.

Untuk fluida mengalir dalam pipa mendatar (tidak terdapat perbedaan ketinggian antara bagian-bagian fluida) :

p gh p gh

p p g h h

1 1 2 2

1 2 2 1

0 0

p v p v

p p v v

1 12

2 22

1 2 22

12

1

2

1

21

2

Contoh Soal :

Air PAM memasuki rumah melalui sebuah pipa berdiameter 2,0 cm pada tekanan 4,0 atm. Pipa menuju ke kamar mandi lantai kedua pada ketinggian 5,0 m dengan diameter pipa 1,0 cm. Jika kelajuan aliran air pada pipa masukan adalah 3,0 m / s, hitunglah kelajuan, debit, dan tekanan di dalam bak mandi.

Jawab

Misalkan pipa masukan sabagai titik 1 dan pipa bak mandi sebagai titik 2. Data – data yang diketahui untuk titik 1 adalah :

D1 = 2 cm = 2 x 10-2 m ; p1 = 4 atm = 4 x 105 Pa; v1 = 3 m / s dan h1 = 0

Data – data yang diketahui untuk titik 2 adalah :

D2 = 1 cm = 10-2 m; h = 5 m

Kelajuan air dalam pipa bak mandi (v2) dapat dihitung dengan menggunakan persamaan kontinuitas untuk perbandingan diameter

Debit air (Q) dapat dihitung :

vD

Dv

vm

mms

ms

21

2

2

1

2

2

2

22 10

1 103 12

Q A vD

v

Q ms

2 222

2

2 2

43

4

10

412 9 42 10

,

Tekanan air dalam pipa bak mandi dapat dihitung dengan persamaan Bernoulli. (diketahui : ρ air = 1000 kg/m3 dan g = 10 m/s2)

p v gh p v gh

p v v gh

p p v v gh

p Pa

1 12

1 2 22

2

1 12

22

2

2 1 12

22

2

25 2 2 5

1

2

1

21

20

1

21

2

4 101

21000 3 12 1000 10 5 2 8 10

,

Titik 1 di permukaan fluida dengan kelajuan aliran di titik itu adalah v1 dan titik 2 berada di lubang dasar tangki dengan kelajuan aliran di titik itu adalah v2. Tekanan pada titik 2, p2 = p0, karena titik 2 berhubungan dengan udara luar.

Misalkan ketinggian di dasar tangki sama dengan nol, sehingga pada titik 1 dan 2 diperoleh (persamaan bernoulli):

p1 + ½ ρv1

2 + ρgh1 = p2 + ½ ρv22 + ρgh2

p1 + ½ ρv1

2 + ρgh = p0 + ½ ρv22 + 0

Karena p2 = p0; h1 = h; dan h2 = 0

(ρv22)/2 = ((ρv1

2)/2) + p1 – p0 + ρgh

Kedua ruas kemudian dikalikan

dengan (2/ρ), sehingga diperoleh :

2

p2

v2

h

p1 , v1

1

Udara

Fluida

v vp p

gh

A A v v seh ingga

vp p

gh

22

12 1 0

2 1 12

22

22 1 0

2 2

2 2

Jadi, kelajuan v2 tergantung pada perbedaan kedua tekanan (p1- p2) dan kedalaman h di bawah permukaan fluida tangki. Jika bagian atas tangki dibuka, maka p1= p0, dan tidak ada beda tekanan (p1-p2 = 0). Sehingga persamaan menjadi :

Kelajuan fluida menyembur ke luar dari lubang yang terletak pada jarak h di bawah permukaan fluida dalam tangki yang terbuka adalah sama seperti kelajuan sebuah benda yang jatuh bebas dari ketinggian h.

vp p

gh

v gh

v gh

22 1 0

22

2

2 2

20

2

2

Debit fluida yang menyembur ke luar dari lubang dapat dihitung dari persamaan :

Q = A v = A √(2gh) Venturimeter adalah alat yang dipasang pada suatu pipa aliran

untuk mengukur kelajuan fluida.

Aliran v1 akan ditentukan kelajuannya, yang dinyatakan dalam besaran-besaran luas penampang A1 dan A2, serta perbedaan ketinggian cairan pada kedua tabung vertikal h.

Cairan yang akan diukur kelajuannya mengalir dari titik-titik yang tidak memiliki perbedaan ketinggian (h1= h2), sehingga berlaku :

p1 – p2 = ½ ρ (v22 – v1

2) ………………(1)

Dari persamaan kontinuitas diperoleh v2A2 = v1A1, maka

v2 = (A2 / A1) v1………………………(2)

Dengan memasukkan nilai v2 dari persamaan (1) & (2), maka :

Dari gambar tampak bahwa selisih ketinggian vertikal cairan dalam tabung 1 dan 2 adalah h, sehingga selisih p1 & p2 sama dengan tekanan hidrostatis cairan setinggi h

p1 – p2 = ρgh

p pA

Av v

p p vA

A

1 21

2

2

12

12

1 2 12 1

2

2

1

2

1

21

Dengan memasukkan nilai p1 – p2, maka diperoleh :

gh vA

A

vgh

A

A

vgh

A

A

1

21

2

1

2

1

12 1

2

2

12

1

2

2

1

1

2

2

Viskositas (kekentalan) dapat dianggap sebagai gesekan di bagian dalam suatu fluida. Karena adanya viskositas ini, maka untuk menggerakkan salah satu lapisan fluida di atas lapisan lainnya, atau supaya satu permukaan dapat meluncur di atas permukaan lainnya bila di antara lapisan-lapisan ini terdapat fluida, haruslah dikerjakan gaya.

Koefisien viskositas atau viskositas (η) didefinisikan sebagai perbandingan tegangan luncur (F/A) dengan cepat perubahan regangan luncur.

η = (F /A) / (dv / dy)

atau

F = η A (dv / dy)

Satuan viskositas ialah poise. 1 poise = 1 dyne s cm-2

IV. ViskositasIV. Viskositas

Hukum Poiseuille : ″aliran fluida melalui pipa berbentuk silinder sepanjang L dengan jari-jari penampang r adalah :

dengan p1 – p2 adalah beda tekanan antara kedua ujung pipa.

Bila fluida sempurna yang viskositasnya nol mengalir melewati sebuah bola, atau apabila sebuah bola bergerak dalam suatu fluida yang diam, garis-garis arusnya akan membentuk suatu pola yang simetris sempurna di sekeliling bola itu. Jika fluida mempunyai kekentalan maka akan ada gesekan pada gerak benda tersebut yang besarnya Ff = k η v. Koefisien k tergantung dari bentuk geometris benda. Untuk benda yang berbentuk bola, maka k = 6 π r. Sehingga persamaan menjadi

Ff = 6 π η r v hukum stokes

Q

r p p

L

41 2

8

Pada suatu benda yang jatuh bebas dalam fluida kental, selama gerakannya, pada benda tersebut bekerja tiga buah gaya, yaitu gaya berat (w = m g), gaya ke atas yang dikerjakan oleh fluida (Fa), dan gesekan yang dikerjakan fluida (Ff).

Benda akan bergerak makin cepat sampai mencapai kecepatan terminal yang konstan. Pada kecepatan terminal vT tercapai, gaya-gaya yang bekerja pada benda adalah seimbang (ΣFy = 0), sehingga di dapatkan :

Untuk benda berbentuk bola dengan jari-jari r, maka volume benda Vb = (4 / 3) π r3, sehingga

v

g V

rT

b b f

6

vr g

T b f 2

9

2

Untuk mengetahui suatu aliran fluida melalui pipa termasuk laminar atau turbulen, maka perlu diketahui bilangan Reynold-nya.

ρ = massa jenis fluida v = kecepatan alir rata-rata

D = diameter pipa

Jika NR < 2000 maka aliran laminar

Jika 2000 > NR < 3000 maka aliran tidak stabil

Jika NR > 3000 maka aliran turbulen

Nv D

R

CONTOH SOALCONTOH SOAL

1. Cairan sebanyak 250 mL keluar dari pipa berdiameter dalam 7 mm dalam waktu 41 detik. Berapakah kecepatan rata-rata cairan dalam pipa tersebut ?

Jawab :

Q = A . v v = Q / A

Q = (250 x 10-6 m3) / 41 s = 6,1 x 10-6 m3 / s

v = (6,1 x 10-6 m3 / s) / (π x (0,0035 m)2) = 0,158 m / s

2. Berapakah volume air yang keluar dari lubang pada dinding bak besar terbuka setiap menit ? Diameter lubang 3 cm , lubang terletak 5 m di bawah permukaan air.

5 m

2

1

Jawab :

p1 + ½ ρv12 + h1ρg = p2 + ½ ρv2

2 + h2ρg

karena p1 = p2 dan h1 = 5 m , h2 = 0, maka

½ ρv12 + h1ρg = ½ ρv2

2 + h2ρg

kalau bak cukup besar v1 boleh dianggap nol, maka

v2 = √2 g (h1 – h2) = √2 (9,8 m/s2) (5 m) = 9,9 m/s

Q = v2 A2 = (9,9 m/s) (π x (1,5 x 10-2 m)2) = 7 x 10-3 m3 / s

= 0,42 m3 / menit

3. Perhatikan gambar di bawah ini !

Di titik 1, diameter pipa 6 cm, v1 = 2 m / s dan p1 = 180 kPa. Di titik 2, diameter pipa 2 cm. Hitung v2 dan p2

6 cm

2 cm

1 2

Jawab :

Dengan persamaan kontinuitas maka diperoleh :

v2 = v1 x (r2 / r1)2 = (2 m / s) (9) = 18 m / s

Dengan memakai persamaan Bernoulli, karena h1 = h2, maka

p1 + ½ ρ (v12 – v2

2) = p2

P2 = (1,8 x 105 N/m2) + ½ (1000 kg / m3) [(2 m / s)2 – (18 m / s)2]

= 0,2 x 105 N / m2 = 20 kPa

4. Sebuah venturimeter pada titik masuk (titik 1) memiliki diameter pipa 12 cm, sedangkan pada titik 2 memiliki diameter pipa 6 cm. Jika manometer menunjukkan 22 cm, berapakah aliran Q dalam pipa ? Diketahui massa jenis raksa 13,6 g / cm3.

Jawab :

p1 – p2 = ρ g h = (13600 kg / m3) (9,8 m / s2) (0,22 m)

= 2,93 x 104 N/m2

Karena Q = v1 A1 = v2 A2, maka v1 = Q / A1 dan v2 = Q / A2. Pada soal nyata bahwa h1 – h2 = 0, sehingga hukum Bernoulli :

( ) ( )

, / /

, / /( , ) ( , )

, /

p p v v

N m kg mA A

Q

N m kg mm m

Q

Q m s

1 2 12

22

4 2 3

12

22

2

4 2 32 2 2 2

2

3

1

20

2 93 101

21000

1 10

2 93 101

21000

1

0 01131

1

0 00280

0 022