INTEGRAL

XII IPA 2

0

16 DESEMBER 2014SMAN 1 SIMPANG EMPAT

KAB TANAH BUMBU

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yang maha Esa, karena berkah dan karunianya

lah kami dapat menyelesaikan makalah pembelajaran matematika yang berjudul

“INTEGRAL” tepat pada waktunya.

Makalah ini tidak akan selesai tepat waktu tanpa bantuan dari berbagai

pihak. Oleh karena itu, penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada:

1. Ibu Hastati selaku pembimbing mata pelajaran matematika

2. Semua pihak yang telah mendukung pembuatan makalah ini yang tidak

dapat penulis sebutkan satu persatu

Tak ada gading yang tak retak. Demikian pula, taka da karya yang

sempurna. Oleh karena itu, penulis mengarapkan kritik dan saran yang

membangun guna pembelajaran untuk masa yang akan datang. Akhir kata,

semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan dapat membuat pembaca

memahami lebih lanjut mengenai integral.

Simpang Empat, 16 Desember 2014

Penulis

i

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR......................................................................................

DAFTAR ISI....................................................................................................

BAB I PENDAHULUAN.................................................................................

1.1 Latar Belakang........................................................................................

1.2 Batasan Masalah......................................................................................

1.3 Rumusan Masalah...................................................................................

1.4 Tujuan......................................................................................................

1.5 Manfaat....................................................................................................

BAB II PEMBAHASAN..................................................................................

2.1 Sejarah Integral.......................................................................................

2.2 Pengertian Integral..................................................................................

2.3 Integral Tak Tentu...................................................................................

2.4 Integral Tertentu......................................................................................

2.5 Integral Luas Daerah...............................................................................

2.6 Volume Benda Putar...............................................................................

2.7 Kegunaan Integral...................................................................................

BAB III PENUTUP..........................................................................................

3.1 Kesimpulan..............................................................................................

3.2 Saran........................................................................................................

DAFTAR PUSTAKA.......................................................................................

ii

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang memiliki sifat

universal, dimana matematika ini memiliki peran penting di semua bidang

ilmu pengetahuan. Melalui perkembangan penalaran dan abstraksi,

matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukuran dan

pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika.

Matematika secara praktis mendaji salah satu kegiatan manusia sejak

adanya rekaman tertulis.

Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di

berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu

sosial seperti ekonomi, dan psikologi. Matematika terapan, cabang

matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke

bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan

matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan

disiplin- disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori

permainan. Para matematikawan juga bergulat di dalam matematika murni,

atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri, tanpa adanya

penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi latar

munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.

Salah satu cabang dari Ilmu Matematika yang patut di pelajari adalah

Integral. Integral adalah lawan dari proses diferensial. Integral terbagi atas

beberapa jenis yaitu integral tertentu dan integral tak tentu. Perbedaan antara

integral tertentu dan integral tak tentu yaitu jika integral tertentu memiliki

batasan-batasan ,integral tak tentu tidak memiliki batasan –batasan.

Penguasaan mata pelajaran Matematika khususnya mengenai integral

bagi peserta didik juga berfungsi membentuk kompetensi program

1

keahlian . Dengan mengajarkan Matematika khususnya dalam hal integral

diharapkan peserta didik dapat menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari

dan mengembangkan diri di bidang keahlian dan pendidikan pada tingkat

yang lebih tinggi. Oleh karena itu, disini kami akan membahas lebih lanjut

mengenai integral.

1.2 Batasan Masalah

Batasan yang akan dibahas dalam makalah ini ialah mengenai integral

dalam pembahasan siswa SMA. Jadi, dalam makalah ini kami hanya akan

membahas mengenai apa yang dipelajari oleh siswa SMA mengenai

integral. Seperti sejarah integral, pengertian integral,jenis integral, operasi

integral dan kegunaan integral dalam kehidupan sehari – hari.

1.3 Rumasan Masalah

1. Bagaimana sejarah integral?

2. Apa yang dimaksud dengan integral?

3. Apa yang dimaksud dengan integral tak tentu?

4. Apa yang dimaksud dengan integral tertentu?

5. Apa yang dimaksud dengan integral luas daerah?

6. Bagaiman cara menyelesaikan volume benda putar dengan integral?

7. Apa saja kegunaan integral dalam kehidupan sehari – hari?

1.4 Tujuan

1. Untuk mengetahui sejarah integral

2. Untuk mengetahui pengertian integral

3. Untuk mengetahui integral tak tentu

4. Untuk mengetahui integral tertentu

5. Untuk mengetahui integral luas daerah

2

6. Untuk mengetahui penyelesaian volume benda putar dengan

menggunakan integral

7. Untuk mengetahui kegunaan integral dalam kehidupan sehari – hari

1.5 Manfaat

1. Siswa dapat mengetahui sejarah integral

2. Siswa dapat mengetahui pengertian integral

3. Siswa dapat mengetahui integral tak tentu

4. Siswa dapat mengetahui integral tertentu

5. Siswa dapat mengetahui integral luas daerah

6. Siswa dapat mengetahui penyelesaian volume benda putar dengan

menggunakan integral

7. Siswa dapat mengetahui kegunaan integral dalam kehidupan sehari – hari

3

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Sejarah Integral

Hitung integral merupakan metode matematika dengan latar

belakang sejarah penemuan dan pengembangan yang agak unik. Metode

ini banyak di minati oleh para ilmuwan lain di luar bidang matematika.

Beberapa ilmuwan yang telah memberikan sumbangan terhadap penemuan

dan pengembangan metode matematika hitung integral ini, di antaranya

adalah:

1. Archimedes (287-212 SM), seorang fisikawan sekaligus

matematikawan dari Syracuse, Yunani. Pada abad kedua sebelum

masehi, Archimedes telah menemukan ide penjumlahan untuk

menentukan luas sebuah daerah tertutup dan volume dari benda putar.

Diantaranya adalah rumus lingkaran, luas segmen parabola, volume

bola, volume kerucut, serta volume benda putar yang lain. Ide

penjumlahan ini merupakan salah satu konsep dasar dari Kalkulus

Integral.

2. Isaac Newton (1642-1727 M), seorang matematikawan sekaligus

fisikawan dari Inggris. Isaac Newton dan Gottfried wilhelm Leibniz

dalam kurun waktu yang hampir bersamaan, meskipun bekerja sendiri-

sendiri, telah menemukan hubungan antara Kalkulus Differansial dan

Kalkulus Integral. Walaupun konsep luas daerah yang dibatasi oleh

kurva tertutup (integral tertentu) telah lebih dahulu diketahui, tetapi I

4

Newton dan Leibniz merupakan dua tokoh terkemuka dalam sejarah

Kalkulus. Sebab, mereka mampu mengungkapkan hubungan yang erat

antara antiderivatif dengan intagral tertentu. Hubungan ini dikenal

dengan Teorema Dasar Kalkulus.

3. Gottfried wilhelm Leibniz (1646-1716 M), seorang ilmuwan jenius dari

Leipzig, Jerman. Leibniz seorang ilmuwan serba-bisa. Ia mendalami

bidang hukum, agama, filsafat, sejarah, politik, geologi, dan

matematika. Selain Teorema Dasar Kalkulus yang dikembangkan

bersama Newton, Leibniz juga terkenal dengan pemakaian lambang

matematika. Lambang dx/dy bagi turunan dan lambang ∫ bagi integral

merupakan lambang-lambang yang diusulkan oleh Leibniz dalam

Hitung Differensial dan Hitung Integral.

4. George Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866 M), seorang

matematikawan dari Gottingen, Jerman. Meskipun Teorema Dasar

Kalkulus telah dikemukakan oleh Newton, namun Riemann memberi

definisi mutakhir tentang integral tentu. Atas sumbangannya inilah

integral tentu sering disebut sebagai Integral Riemann.

Asal Usul Notasi   Integral

Konon dalam sejarah matematika, pelajaran integral lebih dikenal

dengan anti-differensial atau kalo disekolah kita lebih mengenal kata

“turunan” dibanding kata “differensial”. jadi Integral itu adalah kebalikan

dari turunan. Baik integral ataupun differensial, keduanya merupakan

bagian dari ilmu Kalkulus dalam Matematika. Menurut sejarah, tokoh yang

5

mengembangkan dan memperkenalkan konsep differensial dan anti-

differensial (integral) dalam ilmu matematika adalah Gottfried Wilhelm

Leibniz, atau lebih dikenal dengan Leibniz saja.

Nah, lambang integral seperti cacing berdiri dahulunya dikenal

dengan “Notasi Leibniz”, karena Leibniz lah yang memperkenalkan konsep

integral dalam Matematika, lambang integral seperti ini : ∫, diambil dari

huruf pertama nama si Leibniz, yaitu huruf “L”, namun pada zaman dahulu

orang menuliskan huruf “L” dalam bentuk yang indah, seperti berikut ∫.

2.2 Pengertian Integral

Integral dapat di artikan sebagai menyusul ditemukannya masalah

dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana

menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi.

Lambang integral adalah ‘ ∫ ’ .

Agar lebih dapat di mengerti perhatikan pernyataan berikut :

F1(x) = x 2 + 5x – 6 maka F1’(x) = 2x + 5

F2(x) = x 2 + 5x + 12 maka F2’(x) = 2x + 5

F3(x) = x 2 + 5x maka F3’(x) = 2x + 5

Pada fungsi-fungsi yang berbeda konstanta di peroleh bentuk turunan /

derivatif yang sama. Operasi dari F(x) menjadi F’(x) mer sebaliknya dari

F’(x) menjadi F(x) disebuit dengan INTEGRAL (anti turunan).

2.3 Integral Tak Tentu

Integral tak tentu atau antiderivatif adalah suatu bentuk operasi

pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. fungsi ini

belum memiliki nilai pasti (berupa variabel), atau batas atas dan batas

bawah sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini

disebut integral tak tentu.

6

Adapun beberapa aturan yang dapat digunakan dalam penyelesaian integral:

∫ dx=x+c

∫ ( f ( x )± g ( x ) ) dx=∫ f ( x )dx+∫ g(x )dx

∫ xn dx= 1n+1

xn+c

∫ k xn dx= k xn+1

n+1+c

Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri

Untuk merancang aturan integral tak tentu dari fungsi-fungsi trigonometri,

perlu diingat kembali turunan fungsi – fungsi trigonometri sebagaimana

diperhatikan dalam table berikut:

Dengan menggunakan aturan integral tak tentu yang mempunyai sifat

bahwa:

F’(x) = f(x) dan turunan fungsi-fungsi trigonometri dalam table di atas,

maka integral tak tentu dari fungsi-fungsi trigonometri dapat dirumuskan

sebagai berikut :

7

Sedangkan aturan integral tak tentu dari fungsi-fungsi trigonometri dalam

variabel sudut ax+b dapat dirumuskan sebagai berikut :

Dalam penyelesaiannya integral tak tentu memiliki tiga cara penyelesaian,

yaitu:

1. Penyelesaian Cara Biasa

Secara umum:

Jika y ,=dydx

atau dy= y ' dxmaka∫ dy= y=∫ y ' dx

Jadi, dapat disimpulkan dengan x ≠ -1

Untuk mencari integral dari fungsi trigonometri perlu diingat kembali

tetang turunan fungsi trigonometri, maka:

¿∫sin ax=−1a

cos ax+c

¿∫cos ax=1a

sin ax+c

Contoh soal :

2. Penyelesaian Cara Subtitusi

8

Integral subtitusi pada prinsipnya sama dengan integral pemisalan.

Prinsip integral Subtitusi ada 2 yaitu salah satu bagian dimisalkan

dengan u ,sisanya yang lain (termasuk dx) harus diubah dalam du.

Bentuk umumnya : ∫F ¿¿

Misal u = g(x) dan du = g’(x) dx, didapat

Contoh :

3. Integral Parsial

Integral parsial atau pengintegralan sebagian berdasar pada turunan

suatu fungsi hasil kali. Disebut Integral Parsial, karena sebagian

bentuk dilakukan operasi turunan sebagian operasi Integral.

Bentuk rumus:

Bagian u dikerjakan operasi turunan dan bagian dy dikerjakan operasi

integral, dengan bentuk ∫ v dulebih sederhana dari bentuk ∫u du.

Contoh:

9

2.4 Integral Tertentu

Pengertian atau konsep integral tentu pertama kali dikenalkan oleh

Newton dan Leibniz. Namun pengertian secara lebih modern dikenalkan

oleh Riemann.

Integral tentu adalah proses pengintegralan yang digunakan pada

aplikasi integral. Pada beberapa aplikasi integral dikenal istilah batas bawah

dan batas atas sebuah integral, batas inilah yang kemudian menjadi ciri khas

sebuah integral dinamakan sebagai integral tertentu. Sebab berbeda dengan

integral tak tentu yang tidak memiliki batas, maka pada integral tertentu ada

sebuah nilai yang harus disubtitusi yang menyebabkan tidak adanya lagi

nilai C (konstanta ) pada setiap hasil integral dan menghasilkan nilai

tertentu.

Secara umum integral tentu dari sebuah fungsi dengan batas tertentu

dapat dirumuskan sebagai berikut :

Jika f kontinu pada [a,b], maka ∫a

b

f ( x )dx=[F (x )] ba= F(b)- F(a) dengan F

antiturunan seberang dari f , yakni suatu fungsi sedemikian sehingga F’ = f

Suatu fungsi f yang kontinu terdefinisi untuk Interval [a,b] kita bagi menjadi

n bagian yang sama dengan lebar.

SIFAT:

10

Jika f(x) ≥ 0 dalam interval a ≤ x ≤ b, maka ≥ 0

Jika f(x) ≤ 0 dalam interval a ≤ x ≤ 0, maka ≤ 0

Contoh :

2.5 Integral Luas Daerah

Misalkan L menyatakan himpunan semua bilangan L yang dapat

diperoleh sebagai jumlah luas daerah persegi-panjang kecil sebagaimana

dalam Gambar 12.2. Maka ‘luas daerah’ di bawah kurva y = f (x) mestilah

11

lebih besar daripada setiap anggota L. Tampaknya masuk akal untuk

mendefinisikan ‘luas daerah’ di bawah kurva y = f (x) sebagai bilangan

terkecil yang lebih besar daripada setiap anggota L, yakni sup L.

a. Menentukan Luas Daerah diatas Sumbu X

Misalkan R adalah daerah yang di batasi oleh kurva y=f(x) , garis x=a,

dan raris x=b , dengan F(x) ≥ 0 pada [a,b] maka luas daerah R adalah

sebagai berikut: L(R)=∫a

b

f (x)dx

b. Menentukan Luas Daerah dibawah Sumbu X

Misalnya S adalah daerah yg dibatasi oleh kurva y = f(x) , sumbu x,

garis x = a , dan garis x = b, dengan F(x) ≤ 0 pada [a,b] maka luas

daerah S seperti yg telah di bahas pada subbab sebelumnya adalah

sebagai berikut

L(S)=−∫a

b

f (x )dx

c. Menentukan Luas Daerah Yang Di Batasi Kurva Y=F(X) Dan Sumbu X

Misalkan T adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x,

garis x=a, dan garis x=c, dengan f(x)>= 0 pada [a,b] dan f(x)<=0 pada

[b,c], maka luas daerah T adalah sebagai berikut:

12

L(S)=∫a

b

f (x ) dx−∫b

c

f (x)dx

d. Luas Daerah yang Terletak Diantara 2 Kurva

L(U )=∫a

b

[ f ( x )−g(x )] dx

Contoh :

2.6 Volume Benda Putar

2.7 Kegunaan Integral Dalam Kehidupan Sehari – hari

1. Ekonomi

Mencari fungsi asal dari fungsi marginalnya (fungsi turunannya).

Mencari fungsi biaya total.

Mencari fungsi penerimaan total dari fungsi penerimaan marginal.

Mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal.

Fungsi tabungan dari fungsi tabungan marginal.

Fungsi kapital dari fungsi investasi.

2. Teknologi

Penggunaan laju tetesan minyak dari tangki untuk menentukan

jumlah kebocoran selama selang waktu tertentu

Penggunaan kecepatan pesawat ulang alik Endeavour untuk

menentukan ketinggian maksimum yang dicapai pada waktu

tertentu.

13

Memecahkan persoaalan yang berkaitan dengan volume, paanjang

kurva, perkiraan populasi, keluaran kardiak, gaya pada bendungan,

usaha, surplus konsumen.

3. Fisika

Analisis rangkaian listrik arus AC.

Analisis medan magnet pada kumparan.

Analisis gaya-gaya pada struktur pelengkung.

4. Matematika

Menentukan luas suatu bidang,

Menentukan volume benda putar,

Menentukan Panjang busur

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Integral merupakan salah satu cabang ilmu matematika. Integral

adalah Integral dapat di artikan sebagai menyusul ditemukannya masalah

dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana

menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi.

Lambang integral adalah ‘ ∫ ’ . Integral terbagi atas integral tertentu dan

integral tak tentu. Integral tak tentu memiliki tiga cara dalam

penyelesaiannya yaitu cara biasa, cara subtitusi, dan integral parsial. Pada

integral tertentu proses pengintegralan yang digunakan pada aplikasi

integral. Dengan konsep integral kita dapat menentukan luas daerah dan

volume benda putar. Dalam kehidupan sehari – hari, integral memiliki

14

beraneka macam manfaat baik dalam bidang ekonomi, teknologi, fisika,

matematika, maupun bidang lain dalam kehidupan.

3.2 Saran

Penguasaan mata pelajaran Matematika khususnya mengenai integral

bagi peserta didik juga berfungsi membentuk kompetensi program

keahlian . Dengan mengajarkan Matematika khususnya dalam hal integral

diharapkan peserta didik dapat menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari

dan mengembangkan diri di bidang keahlian dan pendidikan pada tingkat

yang lebih tinggi. Namun, kebanyakan dari peserta didik kebingungan

dalam menyelesaikan persamaan – persamaan integral, sehingga diharapkan

untuk pendidik dapat menjelaskan konsep integral dengan metode yang

lebih mudah untuk dimengerti peserta didik.

DAFTAR PUSTAKA

Sukino. 2007. Matematika SMA. Jakarta : Erlangga

Integral.(www.zhettyhully.blogspot.com, diakses tanggal 16 Desember

2014)

Konsep menghitung luas daerah dengan integral.

(www.terampilmatematika.blogspot.com, diakses tanggal 16 Desember

2014)

Kegunaan Integral. (www.baenoezxavii.wordpress.com, diakses tanggal 16

Desember 2014)

15