MAKALAH KALKULUS II

“INTEGRAL TRIGONOMETRI I”

Kelompok V

Nama : Andrian Runtius Lalang

Edison Tefa

Joanita Gonsalves Poy

Maria Yoneta Leda Lemu

Veronika Y. L. Manggala

Yovita Luruk Fono

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MIPA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS NUSA CENDANA

KUPANG

2014

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, yang oleh

karena kasih dan rahmatNya penulis dapat menyelesaikan makalah ini tepat pada

waktunya.

Makalah yang dibuat oleh penulis ini bertemakan “INTEGRAL

TRIGONOMETRI I” yang berkisar tentang pembuktian rumus dari rumus dasar

integral itu sendiri.

Akhir kata, penulis menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan

dan ada banyak kesalahan oleh karena itu saran dan kritik yang bersifat membangun dari

pembaca demi kesempurnaan makalah ini sangat penulis butuhkan.

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu yang mempelajari perubahan, sebagaimana geometri yang mempelajari bentuk dan aljabar yang mempelajari operasi dan penerapannya untuk memecahkan persamaan. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.

B. Rumusan Masalah

Adapun masalah-masalah yang akan dibahas adalah Mengkaji dan Mendiskusikan Pembuktian serta Penyelesaian Soal Integral Trigonometri.

C. Tujuan

Tujuan dari pembuatan makalah ini adalah Mengkaji dan Mendiskusikan Pembuktian serta Penyelesaian Soal Integral Trigonometri.

BAB II

PEMBAHASAN

A. Rumus Integral Trigonometri

Sebelum mambahas integral untuk fungsi trigonometri, perlu kalian ingat kembali rumus-rumus hubungan perbandingan trigonometri seperti berikut.

1) sin2 x + cos2 x = 12) 1 + tan2 x = sec2 x3) 1 + cot2 x = csc2 x4) cos 2x = cos2 x – sin2 x

= 2 cos2 x – 1 = 1 – 2 sin2 x

5) sin 2x = 2 sin x cos x6) sin x cos y = ½ [sin (x + y) + sin (x – y)]

7) sin y cos x = ½ [sin (x + y) – sin (x – y)]

8) sin y sin x = -½ [cos (x + y) – cos (x – y)]

9) cos x cos y = ½ [cos (x + y) + cos (x – y)]

10) 1 – cos x = 2 sin2 ½ x

11) 1 + cos x = 2 cos2 ½ x

12) sin2 x = ½ (1 – cos 2x)

13) cos2 x = ½ (1 + cos 2x)

14) sin x = cos (π/2 – x)

Untuk dapat menentukan atau menghitung integral, perlu diingat kembali diferensial trigonometri berikut.

1) Jika f ( x ) = sin x maka f ' ( x ) = cos x

2) Jika f ( x ) = cos x maka f ' ( x ) = -sin x

3) Jika f ( x ) = tan x maka f ' ( x ) = sec2x

4) Jika f ( x ) = cot x maka f ' ( x ) = -csc2x

5) Jika f ( x ) = sec x maka f ' ( x ) = sec x tan x

6) Jika f ( x ) =csc x maka f ' ( x ) = -csc x cot x

Rumus Dasar Integral Trigonometri

1. ∫sin x dx=−cos x+c

2. ∫cos xdx=sin x+c

3. ∫ sec2 x dx=tan x+c

4. ∫ csc x cot xdx=−csc x+c

5. ∫ sec xdx=¿ ln ¿ sec x+ tan x∨¿+c¿¿

6. ∫ csc2 x dx=−cot x+c

7. ∫ tan xdx=−ln|cos x|+c

8. ∫ csc x dx=ln¿ csc x−cot x∨+c

9. ∫ sec x tan x dx=sec x+c

10. ∫cot x dx=ln¿ sin x∨+c

11. ∫ tan2 xdx=tan x−x+c

12. ∫cot2 x dx=−cot x−x+c

Pembuktian Rumus

Sebagai catatan bahwa pembuktian rumus yang kami kerjakan ini adalah dari jawaban ke soal dengan menggunakan pendiferensial, jika ada kesalahan mohon dimaklumi..

1. ∫sin x dx=−cos x+C

Kita diferensialkan kedua ruas

d (∫sin x dx ¿=d (−cos x+C¿)

→ sin x=d ¿¿Disini kita akan membuktikan bahwa d ¿d ¿ sin x=sin xTerbukti bahwa d ¿Jika kedua ruas kita integralkan, maka akan diperoleh ∫sin x dx=−cos x+C

2. ∫cos xdx=sin x+C

Kita diferensialkan kedua ruas

d (∫cos xdx ¿=d (sin x+C)¿

→ cos x=d (sin x)Disini kita akan membuktikan bahwa d ¿ d ¿ cos x=cos xTerbukti bahwa d ¿Jika kedua ruas kita integralkan, maka akan diperoleh ∫cos xdx=sin x+C

3. ∫ sec2 x dx= tan x+c

Kita diferensialkan kedua ruasd ¿→ sec2 x=d¿Disini kita akan membuktikan bahwa d ¿ dengan menggunakan aturan pembagian d ¿Misakan: u(x) = sin x → u’(x) = cos x

v(x) = cos x → v’(x) = -sin x

uv=u' v−u v '

v2

=cos x . cos x−sin x . sin x

cos2 x

¿1

cos2 x ¿ sec2 xTerbukti bahwa d ¿Jika kedua ruas kita integralkan maka akan mendapatkan ∫ sec2 x dx=tan x+c

4. ∫ csc x cot xdx=−csc x+c

Kita diferensialkan kedua ruasd ¿)→ csc x cot x=d¿¿¿Disini kita akan membuktikan bahwa d ¿ dengan menggunakan aturan pembagian

d (−csc x+c )=d ( −1sin x

)

Misalkan: u(x) = 1 → u’(x) = 0v(x) = sin x → v’(x) = -cos x

uv=u' v−u v '

v2

¿0−¿¿

¿cos x

sin2 x

¿1

sin x.cos xsin x

= csc x cot xTerbukti bahwa d ¿Jika kedua ruas kita integralkan maka akan kita dapatkan ∫ csc x cot xdx=−csc x+c

5. ∫ sec xdx=¿ ln ¿ sec x+ tan x∨¿+c¿¿Kita diferensialkan kedua ruasd ¿)→ sec x = d ¿)Disini kita akan mebuktikan bahwa d ¿Misalkan u = sec x + tan x → du = sec x tan x + sec2 x

→ d (ln|u|+C )=1u

du

= 1

sec x+ tan x. sec x tan x+sec2 x

= 1

sec x+ tan x. sec x ¿¿

= sec xTerbukti bahwa d ¿Jika kedua ruas kita integralkan maka kita akan mendapatkan

∫ sec xdx=¿ ln ¿ sec x+ tan x∨¿+c¿¿

6. ∫ csc2 x dx=−cot x+c

Kita diferensialkan kedua ruas

d(∫ csc2 x dx¿=d (−cot x+c)¿

→ csc2 x=d ¿Disini kita akan membuktikan bahwa d ¿ d ¿Misalkan: u(x) = - cos x → u’(x) = sin x

v(x) = sin x → v’(x) = - cos x

uv=u' v−u v '

v2

= cos2 x−sin2 x

sin2 x

= 1

sin2 x= csc2 x

Terbukti bahwa d ¿Jika kedua ruas kita integralkan maka akan kita dapatkan ∫ csc2 x dx=−cot x+c

7. ∫ tan xdx=−ln|cos x|+c

Kita diferensialkan kedua ruas d ¿→ tan x=d¿¿Disini kita akan membuktikan d ¿ Misalkan: u = cos x → du = -sin x

d (−ln|u|+c )=1u

.du

= −1

cos x.−sin x

= sin xcos x

= tan xTerbukti bahwa d ¿

Jika kedua ruas kita integralkan maka kita akan mendapatkan

∫ tan xdx=−ln∨cos x∨+c

8. ∫ csc x dx=ln¿ csc x−cot x∨+c

Kita diferensialkan kedua ruas d ¿ → csc x¿ d¿¿Disini kita akan membuktikan bahwa d ¿ Misalkan: u = csc x – cot x → du = -csc x cot x – (-csc2 x)

d (ln|u|+c )=1u

. du

= 1

csc x−cot x.−csc x cot x−(−csc2 x )

= 1

csc x−cot xcsc2 x−csc xcot x

= csc xTerbukti bahwa d ¿Jika kedua ruas kita integralkan maka kita akan mendapatkan

∫ csc x dx=ln¿ csc x−cot x∨+c

9. ∫ sec x tan x dx=sec x+c

Kita diferensialkan kedua ruas

d(∫ sec x tan x dx ¿=d ¿¿¿

→ sec x tan x=d¿¿¿Disini kita akan membuktikan bahwa d ¿ dengan menggunakan aturan pembagian d ¿Misalkan: u(x) = 1 → u’(x) = 0

v(x) = cos x → v’(x) = - sin x

uv=u' v−u v '

v2

= 0−¿¿

= sin x

cos2 x

= sin xcos x

.1

cos x = tan x sec xTerbukti bahwa d ¿Jika kedua ruas kita integralkan maka kita akan mendapatkan

∫ sec x tan x dx=sec x+c

10. ∫cot x dx=ln¿ sin x∨+c

Kita diferensialkan kedua ruas d ¿→ cot x ¿d¿¿Disini kita akan membuktikan bahwa d ¿ Misalkan: u = sin x → du = cos x

d (ln|u|+c )=1u

. du

= 1

sin x.cos x

= cos xsin x

= cot xTerbukti bahwa d ¿Jika kedua ruas kita integralkan maka kita akan mendapatkan ∫cot x dx=ln¿ sin x∨+c

11. ∫ tan2 xdx=tan x−x+c

Kita diferensialkan kedua ruas d ¿→ tan2 x=d¿ d ¿Disini kita akan membuktikan bahwa d ¿ dengan menggunakan aturan pembagian d ¿

Pertama, kita uraikan d ( sin xcos x

)

Misalkan : u(x) = sin x → u’(x) = cos xv(x) = cos x → v’(x) = -sin x

uv=u' v−u v '

v2

= cos x .cos x−¿¿

= cos2 x+sin2 x

cos2 x

= 1

cos2 x

Kedua, kita uraikan d (x ) d ( x )=1

Maka, d ( sin xcos x

)−d (x)= 1

cos2 x−1

¿ 1cos2 x

− cos2 xcos2 x

¿ 1−cos2 xcos2 x

¿ sin2 xcos2 x

¿ tan2 xTerbukti bahwa d ¿Jika kedua ruas kita integralkan maka kita akan mendapatkan hasil

∫ tan2 xdx=tan x−x+c

12. ∫cot2 x dx=−cot x−x+c

Kita diferensialkan kedua ruas d ¿→ cot2 x=d ¿ d ¿Disini kita akan membuktikan bahwa d ¿ dengan menggunakan aturan pembagian d ¿

Pertama, kita uraikan d (−cos xsin x

)

Misalkan : u(x) = -cos → u’(x) = sin xv(x) = sin x → v’(x) = cos x

uv=u' v−u v '

v2

= sin x .sin x−¿¿

= sin2 x+cos2 x

sin2 x

= 1

sin2 x

Kedua, kita uraikan d (x ) d ( x )=1

Maka, d ( sin xcos x

)−d (x)= 1

sin2 x−1

¿ 1sin2 x

− sin2 xsin2 x

¿ 1−sin2 xsin2 x

¿ cos2 xsin2 x

¿cot2 xTerbukti bahwa d ¿ Jika kedua ruas kita integralkan maka kita akan mendapatkan hasil

∫cot2 x dx=−cot x−x+c

B. Contoh dan Pembahasan Soal Integral Trigonometri

Berikut ini beberapa contoh soal beserta dengan penyelesaiannya

1. Hitunglah ∫sin 2 x dx

2. Hitunglah ∫cos12

x dx

3. Hitunglah ∫cos (3−2 x ) dx

4. Hitunglah ∫ sin√ x√x

dx

5. Hitunglah ∫sin12

cos2 12

x dx

Penyelesaian

1. ∫sin 2 x dxMisalkan: y=2 x

dy=2dx

dx=12

dy

∫sin 2 x dx=∫ sin y .12

dy

¿ 12∫ sin y dy

¿−12

cos+c

¿−12

cos2 x+c

2. ∫cos12

x dx

Misalkan: y=12

x

dx=2dy

∫cos12

x dx=∫ cos y2 dy

¿2 sin y+c

¿2 sin12

x+c

3. ∫cos (3−2 x ) dxMisalkan: y=3−2 x

dy=−2 dx

dx=−12

dy

∫cos (3−2 x ) dx=∫ cos y (−12

dy)

¿−12∫ cos y dy

¿−12

sin y+c

¿−12

sin (3−2 x )+c

4. ∫ sin√ x√x

dx

Misalkan: y=√x=x12

dy=12

x12 dx

1

√xdx=2 dy

∫ sin√ x√x

dx=∫sin y .2 dy

¿2∫ sin y dy ¿−2cos y+c ¿−2cos√x+c

5. ∫sin12

cos2 12

x dx

Misalkan: y=cos12

x

dy=−12

sin12

x dx

sin12

x dx=−2 dy

∫sin12

cos2 12

x dx=∫ y2(−2 dy )

¿−2∫ y2 dy

¿−23

y3+c

¿−23

cos3 12

x+c

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Pembuktian rumus dalam Integral Trigonometri ini dilakukan dengan

mendiferensialkan kedua ruas karena untuk mengerjakan langsung hingga mendapatkan

hasilnya itu belum diketahui oleh penulis.

B. Saran

Untuk para pembaca, penulis mengharapkan agar diberi masukan yang bersifat

membangun demi kesempurnaan makalah ini kedepannya.