BAB 1INTEGRAL

Standar Kompetensi

Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar

Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu.

Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari

fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana.

Menggunakan integral tentu untuk menghitung luas

daerah di bawah kurva dan volume benda putar.

Integral danOperasi Pengintegralan

Operasi pendiferensialan adalah proses menentukan turunan

dari suatu fungsi F′(x) jika fungsi F(x) diketahui.

Misalkan F(x) adalah suatu fungsi umum yang bersifat

F′(x) = f(x) atau F(x) dapat didiferensialkan sehingga F′(x) = f(x).

Dalam hal demikian, maka F(x) dinamakan sebagai himpunan

anti-pendiferensialan (anti-turunan) atau himpunan

pengintegralan dari fungsi F′(x) = f(x).

Notasi Integral

dengan: F(x) dinamakan fungsi integral umum dan F(x) bersifat

F′(x) = f(x) f(x) disebut fungsi integran C konstanta real sembarang disebut sebagai konstanta

pengintegralan

Integral Tak Tentu dari Fungsi Aljabar

Contoh:

Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri

Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri dalam Variabel Sudut

(ax + b)

Contoh:

MENGHTUNG LUAS DAERAH DI BIDANG DATAR

Metode Pendekatan

Pendekatan

dengan menggunakan persegi

Pendekatan

dengan menggunakan persegi panjang

Proses Limit

Menghitung Luas Daerah Pendekatan dengan Menggunakan Persegi

Banyak persegi satuan yang berada di dalam daerah C ada 36 buah. Banyak persegi satuan yang menutupi daerah C ada 62 buah. Maka, luas daerah: 36 < L < 62

Kurva parabola mempunyai persamaan , maka:

Menghitung Luas Daerah Pendekatan dengan Menggunakan Persegi Panjang

Berdasarkan pengamatan pada Gambar (b), jumlah luas persegi panjang yang terletak di dalam daerah C adalah:

Berdasarkan pengamatan pada Gambar (c), jumlah luas persegi panjang yang terletak di dalam daerah C adalah:

Maka, nilai luas L adalah:

Menentukan Luas Daerah dengan Proses LimitLangkah 1

Membagi [a, b] menjadi n buah sub-interval, maka luas masing-masing persegi:

Langkah 2

Luas daerah L didekati dengan jumlah semua luas persegi panjang. Jadi,

atau jika dinyatakan dalam notasi sigma (∑)

dengan adalah integral tentu atau integral Riemann,

dibaca sebagai integral tentu ƒ(x) terhadap x untuk x = a sampai

x = b.

Contoh:

menyatakan luas daerah tertutup yang

dibatasi oleh kurva parabola y = ,, sumbu X, garis x =

1, dan garis x = 2.

MENGHITUNG INTEGRAL TENTU

Teorema Dasar Integral Kalkulus

Notasi Kurung Siku

a, b : Batas bawah dan batas atas pengintegralan. Integral tertutup [a, b] : Wilayah pengintegralan.

Integral Tentu

Contoh:

Sifat-Sifat Integral Tentu

PENGINTEGRALAN DENGAN RUMUS INTEGRAL SUBTITUSI

Bentuk

Langkah 1

Memilih fungsi u = g(x) sehingga dapat diubah

menjadi .

Langkah 2

Tentukan fungsi integral umum f(u) yang bersifat F′(du) = ƒ(u).

Rumus-Rumus:

Hasil Pengintegralan:

PENGINTEGRALAN DENGAN RUMUS INTEGRAL PARSIAL

Berhasil atau tidaknya pengintegralan dengan menggunakan rumus integral parsial ditentukan oleh dua hal berikut:

MENGHITUNG LUAS DAERAH

Luas daerah yang dibatasi

oleh kurva sumbu X

Luas daerah yang dibatasi oleh beberapa

kurva

Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva dengan Sumbu X

atau

Luas Daerah yang Dibatasi oleh Beberapa Kurva

MENGHITUNG VOLUME BENDA PUTAR

Pasangan Daerah di Bidang Datar dengan Benda Putar

MENGHITUNG VOLUME BENDA PUTAR

Daerah yang diputar terhadap sumbu X

Daerah yang diputar terhadap sumbu Y

Daerah antara dua kurva yang diputar terhadap sumbu X

Daerah antara dua kurva yang diputar terhadap sumbu Y

Benda putar adalah suatu benda ruang yang

diperoleh dari hasil pemutaran suatu daerah di bidang datar terhadap

garis tertentu (sumbu rotasi)

Volume Benda Putar dari Daerah yang Diputar terhadap Sumbu X

Volume Benda Putar dari Daerah yang Diputar terhadap Sumbu Y

Volume Benda Putar dari Daerah Antara Dua Kurva yang Diputar terhadap Sumbu X

Volume Benda Putar dari Daerah Antara Dua Kurva yang Diputar terhadap Sumbu Y