Integral Cauchy-Goursat yang di perluas

1. Hitunglah ∫C

❑dz

(z−3), jika C :|z−2|=2

f ( z )= 1z−3 tidak analitik di z=3 yang berada di dalam interior C . Dibuat lintasan

tertutup C1 di dalam C berpusat di z=3 yaitu C1 : | z−3 |=1

2 . Diperoleh z=3+ 1

2e i t

,

0≤t≤2π dan dz=1

2e i t dt

. Menurut Teorema Cauchy Goursat yang diperluas,

∮C

dz( z−3 )

=∮C1

dz( z−3 )

=∫0

2 π12i ei t dt12ei t

=i ∫0

2 πdt

= 2π i .

2. Hitunglah

∫C

❑

( 3 z2−2 z )dz

C1: Busur lingkaran x2+ y2=1 dari titik (−1,0) ke (0,1)

C2: Ruas garis dari titik (0,1) ke (1,0)

Karena f ( z )=3 z2−2 z analitik pada C yang memuat z1=−1dan z2=1. Harus di pilih lintasan sembarang dari z1dan z2. Lintasan yang paling mudah menurut gambar di atas adalah lintasan K : y=0 ,−1≤ x ≤1. Dengan demikian di peroleh :

∫C

❑

( 3 z2−2 z )dz=∫−1

1

( 3x2−2 x )d x

¿¿

¿13−12−((−1 )3−(−1 )2)¿

¿1−1−(−1−1 )

¿2

3. Hitunglah

∫C

❑

( z2+3 z )dz

C1: Busur lingkaran x2+ y2=1 dari titik (−2 ,0) ke (0 ,2)

C2: Ruas garis dari titik (0,2) ke (2 ,0)

Karena f ( z )=z2+3 z analitik pada C yang memuat z1=−2dan z2=2. Harus di pilih lintasan sembarang dari z1dan z2. Lintasan yang paling mudah menurut gambar di atas adalah lintasan K : y=0 ,−2≤x ≤2. Dengan demikian di peroleh :

∫C

❑

( z2+3 z )dz=∫−2

2

(x2+3 x )dx

¿¿

¿ 13(2)

3

+ 32(2)2−( 1

3(−2 )

3

+ 32

(−2 )2)¿

¿ 83+ 12

2−(−8

3+ 12

2 )¿ 8

3+ 8

3=16

3=5

13