BAB II

HIMPUNAN

2.1 Definisi

Himpunan didefinisikan sebagai kumpulan objek-objek yang berbeda dan tidak memperhatikan urutan penulisan

2.2 Penyajian himpunan

a. Tabulasi atau enumerasib. Notasi pembentuk himpunan (set builder) c. Diagram Venn

a. Tabulasi atau enumerasi

Contoh 2.1Misal B adalah himpunan bilangan genap positif yang tidak lebih dari seribu.B = { 0, 2, 4, … , 1000}

Contoh 2.2Misal C adalah himpunan bilangan ganjil positif yang lebih kecil dari 100.C = { 1, 3, 5, … , 97, 99}

b. Notasi pembentuk himpunan (set builder)

Contoh 2.3A adalah himpunan bilanganb ril lebih kecil dari 100 dan lebih besar dari 1.A = { x | x ∈ R, 1 < x < 100}

c. Diagram Venn

Misal A = {1, 2, 3, 4} B = { 3, 4, 5, 6, 7, 8}

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9, 10}

Diagram Venn

S

1

2

3

4

5 6

7 8

9 10

A B

2.3 Kardinalitas

Kardinalitas menunjukkan jumlah anggota himpunan.

Jika terdapat himpunan A, maka kardinalitas A ditulisn(A) atau |A|

Contoh 2.4Jika A = { x | x bilangan prima, x ≤ 10}Maka dapat ditulis A = {2, 3, 5, 7}Jadi |A| = 4

Contoh 2.5Jika B = {x|x2 – 6x + 9 = 0 }Maka dapat ditulis B = { 3 }Jadi |B| = 1

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Jadi untuk hiompunan kosong |A| = 0. 2.4 Himpunan kosong

K = { x | x bilangan ril , x 2 + 1 = 0 }Maka |K| = Ø atau { } . Contoh 2.6Himpunan kosong dilambangkan dengan Ø atau { } .

Misal terdapat himpunan A dan B. Jika seluruh anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B, maka dikatakan bahwa A merupakan himpunan bagian B, dan ditulisA ⊆ B.2. 5. Himpunan bagian (subset)

Jika setidak-tidaknya terdapat satu anggota himpunan B tidaktermasuk anggota himpunan A, maka ditulis A ⊂ B Lambang ⊆ adalah lambang himpunan bagian tak sebenarnya (improper set). Sedangkan lambang ⊂ adalah lambang himpunan bagian sebenarnya (proper set)Jika A ⊆ B dan B ⊆ A, maka A = B

Contoh 2.7 L = { x | x bilangan prima, x < 5} dan M = { x | x 2 – 5x + 6 = 0 }

2.6 Kesamaan himpunanHimpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika A adalah himpunan bagian B dan B merupakan himpunan bagian A. Dengan menggunakan lambang matematika kita dapatmenulisnya dalam bentuk A = B ↔ A ⊆ B dan B ⊆ A.Agar lebih jelas, tulis kedua himpunan tersebut diatas dalam bentuk enumerasi.L = { 2,3}M = { 2,3}Jadi L = M

Contoh 2.8 A = { 2 } B = { x | x 2 = 4 }Karena B = { -2 , 2 }Maka A ≠ B.Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal A = kardinal B. 2.7. Ekivalensi himpunan

Dalam bentuk lambang matematika dapat ditulis menjadi A ~ B ⇔ |A| = |B|Contoh 2.9Jika A = { x | x = P , 1 ≤ x ≤ 5} dan B = { Ani, Ali , Badu, Hasan, Wati }Karena |A| = |B|, maka A ~ B .

Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak mempunyai anggota yang sama. 2.8. Himpunan saling lepas

S A BContoh 2.10A = { x | 1 ≤ x ≤ 5} dan B = { Ani, Ali , Badu, Hasan, Wati }Karena anggota A tidak ada satupun yang sama dengan anggota B, maka A // B.

Dalam bentuk lambang dapat ditulis dengan A//B. Jika digambarkan dengan diagram Venn maka bentuknya seperti gambar berikut.

Himpunan kuasa (power set) adalah suatu himpunan A yang anggota-anggotanya merupakan semua himpunan bagian A, termasuk himpunan kosong dan dan himpunan A itu sendiri . Himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan P(A) atau 2 A.Contoh 2.11Jika M = { 1,2,3 }, maka himpunan kuasa dari M adalah 2A = { Ø, {1} , {2} , {3} , {1,2} , {1,3} , {2,3} , {1,2,3}}

2.9. Himpunan kuasa

2.10. Operasi himpunanIrisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan A dan himpunan B. Dalam bentuk notasi A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B}.

2.10.1 Irisan

Diagram Venn operasi irisan adalah seperti gambar berikut. Bidang yang diarsir adalah irisan A dan B atau A ∩ B.A B

S

Contoh 2.12Jika A = { 2 , 3 , 6 , 7 } B = { 2 , 7 , 9 , 10 }Maka A ∩ B = { 2 , 7 }Contoh 2.13Jika K = { x ,y | x + y = 4, x,y ∈ R } L = { x ,y | x − y = 2, x,y ∈ R }Maka K ∩ L = { 3 , 1 }

S A B

27

3 6

7 910

S K L

31

Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau B. Dalam bentuk notasi ditulis sebagai A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B}. 2.10.2 Gabungan

A BS

Diagram Venn operasi gabungan adalah seperti gambar berikut. Bidang yang diwarnai adalah gabungan A dan B atau A ∪ B

Contoh 2.14Jika A = { 1 , 2 , 3 , 6 , 7 , 9 } B = { 2 , 3 , 4 , 7 , 9 , 10 }Maka A ∪ B = { 2 , 3 , 7 , 9 } .S A B

2379

1 6

4

10

Komplemen suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan semesta tapi bukan anggota himpunan A. Dalam bentuk notasi ditulis Ā = { x | x ∈ S dan x ∉ A}.

2.10.3 Komplemen

Diagram Venn untuk Ā seperti gambar berikut. Bidang yang diarsir adalah Ā.S

S

A

A

Contoh 2.15Jika S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } A = { 2 , 3 , 4 , 5 }Maka Ā = { 1 , 6 , 7 , 8 , 9 } .2 3

4 5

S A

A

1 67 8 8 9

2.10.4 Selisih Jika terdapat himpunan A dan himpunan B, maka A – B adalah himpunan yang anggota-anggotanya hanya merupakan anggota himpunan A saja. Dalam bentuk notasi ditulis sebagai ,A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B}. Diagram Venn dari operasi ini adalah bidang yang diarsir pada gambar berikut.A B

S

A BS

Contoh 2.16Jika A = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } B = { 3 , 4 , 5, 10 }Maka A – B = { 6 , 7 , 8 , 9 } .6 7

8 9

3

4

5

10

S

A B

2.10.5 Beda setangkup Beda setangkup (symmetric difference) himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya hanya merupakan anggota himpunan A saja atau himpunan B saja. A ⊕ B = (A ∪ B) – ( A ∩B) = ( A – B ) ∪ ( B – A ) . Diagram Venn dari operasi ini adalah bidang yang diarsir pada gambar berikut.

Contoh 2.17Jika A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } B = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 }Maka A ⊕ B = { 1 , 9 , 10 }.2 34 56 7 8

19

10

S A B

Jika terdapat himpunan A dan himpunan B maka perkalian Kartesian A x B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan pasangan terurut (ordered pairs) dengan komponen pertama berasal dari himpunan A dan komponen kedua berasal dari himpunan B.

2.10.6 Perkalian Kartesian

Hal yang perlu diingat :• Jika A dan B ≠ Ø, maka A x B ≠ B x A• Jika A = Ø atau B = Ø maka A x B = B x A = Ø• |A x B| = |A| . |B|

Dalam bentuk notasi dapat ditulis sebagai ,A x B = { (a,b) | a ∈ A dan b ∈ B}.

Misal C = { 1 , 2 , 3 } D = { a , b } C x D = { (1,a) , (1,b) , ( 2,a) , (2,b) , (3,a) , (3,b)}Contoh 2.18

| A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|2.10.7 Prinsip Inklusi-Eksklusi

|A ⊕ B| = |A| + |B| - 2|A∩B| |A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| – |A∩B| – |B∩C| – |A∩C| + |A∩B∩C|

Misal F adalah suatu sifat yang melibatkan sejumlah himpunan dan operasinya, maka kita akan mendapatkan dual dari sifat F (ditulis dengan lambang F*) dengan cara mengganti:2.10.8 Sifat-sifat operasi himpunan dan prinsip dualitas

∪ dengan ∩∩ dengan ∪Ø dengan SS dengan ØBerikut disajikan beberapa sifat dari operasi himpunan dan dualnya.

Hukum Dual 1. Identitas : A ∪ Ø = A A ∩ S = A 2. Null : A ∩ Ø = Ø A ∪ S = S 3. Komplemen : A ∪ Ā = S A ∩ Ā = Ø 4. Idempoten : A ∪ A = A A ∩ A = A 5. Penyerapan : A ∪ ( A ∩ B)

= A

A ∩ ( A ∪ B) = A 6. Komutatif : A ∪ B = B ∪

A

A ∩ B = B ∩ A 7. Asosiatif : A ∪ ( B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C

A ∩ ( B ∩ C ) =(A ∩ B) ∩ C 8. Distributif : A ∪ ( B ∩ C)

= ( A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A ∩ ( B∪ C) =( A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 9. De Morgan : 10. 0/1 : Ø = S S = Ø

A ∪ B = A ∩ B A ∩ B = A ∪ B

2.11. Himpunan ganda (multiset) dan operasinya

Sebagai contoh, jika Q = { 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 4 , 7 , 8 , 8 , 9 } , maka multiplisitas 2 adalah 3, sedangkan multipilisitas 8 adalah 2 dst.

Pada himpunan ganda, setidak-tidaknya terdapat satuanggota yang muncul lebih dari satu kali . Selain itu kita juga mengenal isti lah multiplisitas , yaitu jumlahkemunculan anggota dari suatu himpunan ganda.

2.11.1 Operasi GabunganMisal S dan T adalah multiset. Operasi gabungan antara keduanya akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya sama dengan multiplisitas maksimum anggota-anggota pada himpunan ganda S dan T.Jika S = { Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Ali } T = { Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Ali , Ali , Gani }S ∪ T = { Ani, Ani, Ani , Karim, Karim, Karim, Ali , Ali , Gani }

Contoh 2.19

Misal S dan T adalah multiset . Operasi irisan antara keduanya akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya sama dengan multiplisitas minimum anggota-anggota pada himpunan ganda S dan T.2.11.2 Operasi Irisan

Jika S = { Ani, Ani , Karim, Karim, Karim, Ali } T = { Ani, Ani, Ani , Karim, Karim, Ali , Ali , Gani } S ∩ T = { Ani, Ani, Karim, Karim, Ali }Contoh 2.20

- Jika multiplisitas anggota yang sama antara S dan T lebih besar pada S, maka cari S–T - Jika multiplisitas anggota yang sama antara S dan T lebih besar pada T, maka multiplisitas anggota yang sama tersebut sama dengan 0.

2.11.3 Operasi selisih

Jika S = { Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Ali }T = { Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Ali , Ali , Gani } S – T = { Karim, Karim }Contoh 2.21

Misal S dan T adalah multiset. Operasi selisih S – T akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya ditentukan dengan cara:

Misal S dan T adalah multiset. Operasi penjumlahan S + T akan menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya merupakan jumlah dari multiplisitas masing-masing anggota yang sama.2.11.4 Operasi jumlah

Jika S = { Ani, Karim, Karim, Karim, Ali } T = { Ani, Ani , Karim, Ali , Ali , Gani } S+T= {Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Karim, Ali , Ali , Ali , Gani }Contoh 2.21

Pernyataan himpunan dapat dibuktikan dengan menggunakan diagram Venn, tabel keanggotaan, sifat operasi himpunan atau definisi .2.12. Pembuktian pernyataan himpunan

Untuk membuktikan kebenaran dari pernyataan himpunan dengan menggunakan diagram Venn, pertama-tama Gambarkan diagram Venn untuk ruas kiri dan ruas kanan kesamaan. 2.12.1 Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn

Jika ternyata kedua gambar dari diagram Venn tersebut sama maka kesamaan tersebut terbukti benar.Buktikan bahwa : A ∪ ( B ∩ C) = ( A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Contoh 2.21

Penyelesaian

SA

B

C

SA

B

C

=

A ∪ ( B ∩ C) ( A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Terbuktikan bahwa A ∪ ( B ∩ C) = ( A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

=

2.12.2 Pembuktian dengan menggunakan tabel keanggotaan

Buktikan bahwa A ∪ ( B ∩ C) = ( A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Selain diagram Venn kita juga dapat menggunakan tabel keanggotaan untuk membuktikan kebenaran dari pernyataan himpunan.Contoh 2.22Bukti

A B C A∪B A∪C B∩C A∪(B∩C

)

(A∪B) ∩

( A∪C)

A B C A∪B A∪C B∩C A∪(B∩C

)

(A∪B) ∩

( A∪C)0 0 0 0 0 0 0 0

A B C A∪B A∪C B∩C A∪(B∩C

)

(A∪B) ∩

( A∪C)0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 0 0

A B C A∪B A∪C B∩C A∪(B∩C

)

(A∪B) ∩

( A∪C)0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 0 00 1 0 1 0 0 0 0

A B C A∪B A∪C B∩C A∪(B∩C

)

(A∪B) ∩

( A∪C)0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 0 00 1 0 1 0 0 0 00 1 1 1 1 1 1 1

A B C A∪B A∪C B∩C A∪(B∩C

)

(A∪B) ∩

( A∪C)0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 0 00 1 0 1 0 0 0 00 1 1 1 1 1 1 11 0 0 1 1 0 1 1

A B C A∪B A∪C B∩C A∪(B∩C

)

(A∪B) ∩

( A∪C)0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 0 00 1 0 1 0 0 0 00 1 1 1 1 1 1 11 0 0 1 1 0 1 11 0 1 1 1 0 1 1

A B C A∪B A∪C B∩C A∪(B∩C

)

(A∪B) ∩

( A∪C)0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 0 00 1 0 1 0 0 0 00 1 1 1 1 1 1 11 0 0 1 1 0 1 11 0 1 1 1 0 1 11 1 0 1 1 0 1 1

A B C A∪B A∪C B∩C A∪(B∩C

)

(A∪B) ∩

( A∪C)0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 0 00 1 0 1 0 0 0 00 1 1 1 1 1 1 11 0 0 1 1 0 1 11 0 1 1 1 0 1 11 1 0 1 1 0 1 11 1 1 1 1 1 1 1

A B C A∪B A∪C B∩C A∪(B∩C

)

(A∪B) ∩

( A∪C)0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 0 00 1 0 1 0 0 0 00 1 1 1 1 1 1 11 0 0 1 1 0 1 11 0 1 1 1 0 1 11 1 0 1 1 0 1 11 1 1 1 1 1 1 1Perhatikan bahwa kolom 7 dan 8 sama, artinya A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) (terbukti).

Contoh 2.23(Ā ∪ B) ∩ (A ∪ B) gunakan hukum distributifB ∪ (Ā ∩ A) gunakan hukum komplemenB ∪ ∅ gunakan hukum identitasB

2.12.3 Pembuktian dengan menggunakan sifat operasi himpunanBuktikan bahwa : (Ā ∪ B) ∩ (A ∪ B) = B

Cara lain untuk membuktikan kebenaran pernyataan himpunan adalah dengan menggunkan sifat operasi himpunan.Bukti