BAB I HIMPUNAN 1

BAB I

HIMPUNAN

1.1 PENGERTIAN

Definisi : Himpunan adalah kumpulan benda atau hal – hal lain yang telah terdefinisi

secara jelas. Benda atau hal­hal lain tersebut disebut elemen atau unsure atau

anggota himpunan.

Himpunan biasanya diberi symbol huruf capital dan anggota himpunan dibatasi dengan

tanda kurung kurawal. { … }

Contoh :

1. A = {b, c, d} artinya bahwa himpunan A mempunyai anggota b, c dan d atau dengan kata

lain dapat dikatakan b, c dan d merupakan anggota himpunan A.

Untuk menyatakan bahwa suatu benda atau object menjadi anggota suatu himpunan

digunakan lambang � dan untuk menyatakan bahwa suatu objek bukan merupakan

anggota himpunan digunakan symbol �.

2. A = {b,c,d} dan B = {e,f} maka

b � A dan b � B

c � A dan c � B

d � A dan d � B

1.2 PENULISAN HIMPUNAN

Penulisan himpunan yang biasa dipergunakan ada dua bentuk yaitu;

A. Bentuk Enumerasi yaitu penulisan himpunan dengan menuliskan semua anggota

himpunan dianta dua kurung kurawal

Contoh :

1. A = { a, b, c, d, e } menyatakan himpunan 5 hurup pertama.

2. B = { 1, 3, 5, 7, 9, 11 } menyatakan himpunan 6 bilangan ganjil.

3. C = { 11, 13, 17, 19 } menyatakan himpunan 4 bilangan prima.

B. Notasi Pembentuk Himpunan yaitu penulisan himpunan dengan menuliskan sifat

anggotanya pada suatu notasi diantara dua kurung kurawal.

BAB I HIMPUNAN 2

Contoh : 1. A = { x | x = lima hurup pertama abjad }.

2. B = { x | x = enam bilangan ganjil pertama }.

3. C = { x | 10 < x < 20 , x � bilangan prima }.

C. Diagram Venn yaitu menuliskan himpuan dalam bentuk diagram dimana himpunan

semestanya digambarkan dengan segi empat sedangkan himpunan­himpunan yang ada

dilingkungannya digambarkan dengan lingkaran.

Contoh :

CONTOH :

1. Tuliskan dalam bentuk enumerasi himpunan­himpunan berikut serta

kardinalitasnya:

a. A = { x | x � himp bil bulat, 2 < x < 10 }

b. B = { x | x � himp bil bulat, x2 + 1 � 10 }

c. C = { x | x � himp bil bulat, x bilangan ganjil, ­5 < x < 5 }

JAWAB

a. A terdiri dari semua bilangan bulat antara 3 dan 9, sehingga

A = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } dan n ( A ) = 7

b. B memuat semua bilangan bulat yang memenuhi persamaan

x2 + 1 = 10, sehingga B = { ­2, ­3, 1, 2, 3 } dan n ( B ) = 5

c. C = { ­3, ­1, 1, 3 } dan n ( C ) = 4

U

A B

BAB I HIMPUNAN 3

1.3 KEANGGOTAAN HIMPUNAN

Pada dasarnya himpunan dipakai untuk mengelompokan anggota yang sejenis atau memiliki

sifat yang mirip saja, tapi bila dipakai untuk menyatakan himpunan dari himpunan lain atau

kelompok­kelompok yang berbedapun tidak dapat disalahkan, sebagai contoh ;

A = { a, 1, b, 2, c, 3 }

P = { a, b, { a, b }, c, d }

S = { a, {a}, {{a}} }

1.4 KARDINALITAS HIMPUNAN

Misal S adalah himpunan yang angota­angotanya berhingga banyaknya, maka jumlah

banyaknya angota didalam himpunan S disebut kardinalitas dari himpunan S

Notasi : n (S) atau |S|

1.5 SIMBOL­SIMBOL BAKU HIMPUNAN

Dalam mempelajari himpunan ada beberapa himpunan yang memakai simbul baku yang

sering dipakai oleh beberapa buku. Simbul­simbul himpunan baku ini diantaranya :

P = Himpunan bilangan positip = { 1, 2, 3, 4 . . . }

N = Himpunan bilangan asli = { 0, 1, 2, 3 . . . }

Z = Himpunan bilangan bulat = { . . . ­2, – 1, 0, 1, 2, . . . }

R = Himpunan bilangan riil

1.6 JENIS­JENIS HIMPUNAN

Dalam ilmu matematika dikenal ada beberapa macam himpunan, antara lain :

1.6.1 HIMPUNAN KOSONG

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong

dilambangkan dengan tanda {} atau �.

Contoh :

A = { } atau A = �

BAB I HIMPUNAN 4

1.6.2 HIMPUNAN SEMESTA (S)

Hinpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua objek­objek yang sedang

dibicarakan. Himpunan semesta juga sering disebut himpunan universum atau semesta

pembicaraan.

Himpunan semesta biasa diberi symbol S

Contoh :

Besi dan tembaga termasuk logam, jika orang menyebut besi dan tembaga berarti orang

tersebut sedang membicarakan masalah logam maka dikatakan { logam } merupakan

himpunan semesta dari { besi, tembaga } atau dapat ditulis S = { besi, tembaga }

1.6.3 HIMPUNAN LEPAS

Yaitu dua buah himpunan yang tidak memiliki anggota yang bersekutu. Himpunan lepas

diberi symbol //

Contoh :

Jika A = { x | x � P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.

1.6.4 HIMPUNAN SAMA

Definisi : himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap

angota himpunan A juga merupakan angota himpunan B demikian pula sebaliknya.

Notasi : A = B

Contoh ;

1. P = { a, b, c, d } dan Q = { d, c, b, a} , maka P = Q

2. Perhatikan himpunan­himpunan berikut :

{ a }, { a, b, c }, { a, c, D }, { c, b, a }, { a, b }

Manakah dari himpunan­himpunan tersebut yang sama dengan himpunan A = { b, c,

a } ?

Jawab :

Himpunan { a, b, c } dan { c, b, a } identik atau sama dengan himpunan A karena

mereka mempunyai tiga buah elemen yang sama. Himpunan­himpunan yang lain

BAB I HIMPUNAN 5

tidak sama dengan himpunan A karena mereka tidak mengandung semua elemen

dari himpunan A atau mengandung elemen lain.

3. Perhatikan himpunan­himpunan

{ 4, 2 }, { x | x x2 ­ 6x + 8 = 0 } , { x | x adalah genap, 1 < x < 5 }

Manakah dari himpunan­himpunan tersebut yang sama dengan B = { 2, 4 } ?

Jawab :

Semua himpunan di atas sama dengan himpunan B karena mereka semua memuat

elemen 2 dan 4 (tidak elemen lainnya).

1.6.5 HIMPUNAN BERPOTONGAN

Dua himpunan dikatakan saling berpotongan jika terdapat minimal 1 anggota yang

menjadi anggota kedua himpunan tersebut.

1.6.6 HIMPUNAN BAGIAN

DefInisi : Himpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika

setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B

Notasi : A � B

A � B; A himpunan bagian dari B bila tiap anggota himpunan A adalah elemen B.

Contoh:

A = { 2, 3, 4} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} , maka A � B

Catatan :

Banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan misalkan A, adalah 2n(A). Dimana n(A)

adalah bilangan kardinal yang menunjukkan jumlah elemen dari himpunan A.

1.6.7 HIMPUNAN EKUIVALEN

Definisi : himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika

kardinal kedua himpunan tersebut sama.

Notasi : A ~ B

BAB I HIMPUNAN 6

Contoh ;

X = { p, q, r, s } dan Y = { 2, 3, 5, 7 } , maka X ~ Y

1.6.8 HIMPUNAN KUASA

Himpunan kuasa (Power Set) adalah himpunan seluruh himpunan bagian dari suatu

himpunan.

Contoh :

S = { 0, 1 } maka himpunan kuasanya Ρ(S) = { Ø, {0}, {1}, {0, 1} }

1.6.9 HIMPUNAN TERHINGGA

Definisi : Himpunan terhingga adalah himpunan yang banyak anggotannya terhingga.

Contoh:

P = { x | x adalah bilangan asli yang kurang dari 10 }

P adalah himpunan terhingga, karena elemen­elemennya terhingga yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9.

1.6.10 HIMPUNAN TAK HINGGA

Definisi : Himpunan tak hingga adalah himpunan yang banyak anggotanya tidak

terhingga atau tidak terbatas.

Contoh:

A = { x | x adalah bilangan asli }

A adalah himpunan tak hingga, karena elemen­elemennya tidak terbatas atau tak

berhingga.

BAB I HIMPUNAN 7

1.7 OPERASI HIMPUNAN

1.7.1 UNION (GABUNGAN)

Definisi : Union himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari semua angota yang

termasuk dalam himpunan A atau atau himpunan B atau keduanya.

Notasi : A B dibaca A union B

Contoh

1. A = { a, b, c, d } dan B = { e, f, g }

Maka A � B = { a, b, c, d, e, f, g }

Union A dan B dapat didefinisikan secara ringkas sebagai berikut

A � B = { x | x � A atau x � B }

Berlaku hukum A � B = B � A

A dan B kedua­duanya juga selalu berupa subhimpunan dari A � B, yaitu ; A � (A �

B) dan B � (A � B)

2.. Terdapat himpunan :

U = {1, 2, 3, …, 9}

A = {1, 2, 3, 4} ; B = {2, 4, 6, 8} ; C = {3, 4, 5, 6}

Tentukan :

a. A � B c. B � C

b. A � C d. B � B

A

BAB I HIMPUNAN 8

Jawab :

a. Untuk menentukan A dan B, kita gabung semua elemen­elemen dari A bersama­

sama dengan elemen­elemen B. Dengan demikian, 

    A � B = {1, 2, 3, 4, 6, 8} 

b. Begitu pula dengan A � C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 

c. B � C = {2, 4, 6, 8, 3, 5} 

d. B � B = B = {2, 4, 6, 8} 

 

1.7.2 INTERSECTION (IRISAN)

Definisi   :   Irisan  himpunan  A  dan  himpunan  B  adalah  himpunan  dari  angota­

angotanya  dimiliki  bersama  oleh  A  dan  B,  yaitu  angota­angota  yang 

termasuk A dan juga termasuk B.  

Notasi : A B   yang dibaca ”A irisan B” 

 

 

 

Contoh :

1. S = { a, b, c, d } dan T = { b, d, f, g } 

Maka S � T = { b, d } 

Dapat dinyatakan dengan A � B = {x | x � A dan x � B} 

Setiap  himpunan  A  dan  himpunan  B  mengandung  A �  B  sebagai  subhimpunan, 

yaitu 

(A � B) �  A dan (A � B) �  B 

 

Jika  himpunan  A  dan  himpunan  B  tidak mempunyai  elemen­elemen  yang  dimiliki 

bersama,  berarti  A  dan  B  terpisah,  maka  irisan  dari  keduanya  adalah  himpunan 

kosong. 

A  B 

S    

BAB I HIMPUNAN 9

2. Terdapat himpunan sebagai berikut 

A = {0, 1, 3, 4, 6} ;  B = {0, 3, 6} ; C = {5, 6} 

Tentukan : 

a. A � B    b.  A � C  c.  B � C 

JAWAB 

a. A � B = { 0, 3, 6 } 

b. A � C = { 6 } 

c. B � C = { 6 } 

 

1.7.3 DIFFERENCE (SELISIH)

Definisi :  Selisih  dari  himpunan  A  dan  himpunan  B  adalah  himpunan  dari  elemen­

elemen yang termasuk A tetapi tidak termasuk B. 

Notasi : A – B  dibaca ”selisih A dan B” atau ”A kurang B” 

dapat dinyatakan dengan A – B = { x � x � A dan x � B} 

Himpunan A mengandung A – B sebagai subhimpunan, berarti 

(A – B) � A 

Contoh :

1. Terdapat himpunan sebagai berikut 

    A = { 0, 1, 3, 4, 6 } ;    B = { 0, 3, 6 } ;    C = { 5, 6 } 

Tentukan : 

a. A – B  b. A – C  c. B ­ C 

 

JAWAB 

   a. A ­ B = { 1, 4 } 

   b. A ­ C = { 0, 1, 3, 4, } 

   c. B ­ C = { 0, 3 } 

 

BAB I HIMPUNAN 10

1.7.4 COMPLEMENT (KOMPLEMEN)

Definisi : Komplemen dari himpunan A adalah himpunan dari elemen­elemen yang tidak 

termasuk A, yaitu selisih dari himpunan semesta U dan A.  

Notasi : A’ = { x � x � U dan x � A} atau A’ = {x � x � A} 

 

 

 

 

 

 

 

1.7.5 SYMETRIC DIFFERENCE (BEDA SETANGKUP)

Definisi  :  Beda  setangkup  dari  himpunana  A  dan  B    adalah  suatu  himpunan  yang 

elemennya ada pada himpunan A atau B tapi tidak dikeduanya. 

Notasi : A �  B  dibaca ” Beda setangkup  A dan B  dapat dinyatakan pula dengan : 

A �  B  = ( A �  B ) – ( A �  B ) 

 

 

 

 

 

1.7.6 CARTESIAN PRODUCT (PERKALIAN CARTESIAN)

Definisi   :   Perkalian  kartesian  dari  himpunan  A  dengan  himpunan  B  adalah 

himpunan  yang  agota­angotanya  semua  pasangan  berurutan  (  ordered 

pair  )  yang mungkin  dibentuka  dengan  unsur  pertama  dari  himpunan A 

dan unsur kedua deari himpunan B. 

Notasi : A x B = { ( a, b) | a �  A dan b �  B . 

A

A  B 

S 

        ­­­­­­­     ­­­­­­­ 

      ­­­­­­­­        ­­­­­­­ 

         ­­­­­        ­­­­­­ 

BAB I HIMPUNAN 11

Contoh : 

A = { 1, 2, 3 } dan B = { a, b } , maka  

A x B = { (1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b) } 

Latihan Soal­soal

1. Tulislah dalam bentuk enumerasi himpunan berikut, lalu berapa nilai kardinalitasnya. 

a. P = { x | x adalah bilangan ganjil, ­ 4 ≤ x < 7 } 

b. Q = { x | x adalah bilangan prima. 15 < x ≤ 31 } 

2. Sebutkanlah kardinalitas himpunan berilut ; 

a. A = { a, b, { a, b, c }, c, d } 

b. P = { a, {a}, {{a}} } 

c. Z = { a, {a, 1, 2 }, { a, b, {a, b}} } 

3. Tulislah dalam bentuk enumerasi himpunan 

a. I = { x | 2 < x ≤ 19 , x �  bilangan prima }. 

b. S = { x | x = lima hurup pertama abjad }. 

4. Jika S merupakan 6 bilangan ganjil dihitung dari 1, A merupakan bilangan ganjil yang ke­3 

dan  ke­4,  B  merupakan  bilangan  ganjil  dari  1  sampai  7.    Lukiskan  diagram  venn  dan 

tunjukkan anggota himpunan masing­masing! 

5. Jumlah taruna AKPELNI adalah 1215 taruna, terdiri dari 578 taruna semester I, 470 taruna 

semester  III  sisanya  taruna  semester  V  dan  VII.    Gambarkan  dengan  diagram  venn  dan 

tunjukkan anggotanya.    

6. Diagram venn berikut menunjukkan data 45 taruna. 

 

A : taruna yang senang bermain catur 

B : taruna yang senang bermain basket 

BAB I HIMPUNAN 12

Berapakah taruna yang : 

a. Senang bermain catur 

b. Senang bermain basket 

c. Senang bermain catur dan basket 

d. Tidak senang bermain catur 

e. Tidak senang bermain basket 

f. Tidak senang bermain catur dan basket 

7. Suatu  perusahaan  pelayaran mempunyai  44  kapal. Masing­masing  kapal  digunakan untuk 

kapal penumpang 25 armada, untuk kapal barang 30 armada dan untuk kedua­duangya 20 

armada. 

a. Gambarkan diagram venn berdasar data tersebut! 

b. Berapa banyak kapal yang tidak digunakan untuk penumpang maupun barang? 

8. Suatu  perusahaan  pelayaran  memiliki  14  kapal,  2  kapal  diantaranya  tidak  dioperasikan 

karena  rusak.   Hal  ini menyebabkan 8 kapal digunakan untuk penumpang dan barang, 11 

kapal sebagai kapal barang. 

a. Gambarkan diagram venn berdasar data tersebut! 

b. Berapa kapal yang digunakan untuk kapal penumpang 

c. Berapa kapal yang digunakan khusus untuk kapal penumpang 

d. Berapa kapal yang digunakan khusus untuk kapal barang 

9. Di  Jakarta  terdapat  14  kantor  perusahaan  pelayaran.    11  kantor  mengusahakan  untuk 

penumpang  dan  9  kantor  mengusahakan  penumpang  dan  barang  secara  bersamaan.  

Gambarkan diagram venn­nya! 

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������