Teori Himpunan -...

Click here to load reader

  • date post

    07-Feb-2018
  • Category

    Documents

  • view

    302
  • download

    19

Embed Size (px)

Transcript of Teori Himpunan -...

  • Teori Himpunan

    Author-IKN

    9/8/151

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Jenis HimpunanRelasi HimpunanOperasi HimpunanHukum-Hukum Operasi HimpunanRepresentasi Komputer untuk Himpunan

    2 9/8/15

    Materi

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Himpunan Sekumpulan elemen unik, terpisah, dan tanpa urutan

    tertentu. contoh: himpunan mahasiswa IK

    Notasi x D artinya x adalah elemen himpunan D x D artinya x bukan elemen himpunan D

    3 9/8/15

    Teori Himpunan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Enumerasi/eksplisit Contoh: D = {a,b,c,d}

    Implisit Contoh: D = {1,2,3,}

    Notasi Baku N = himpunan bilangan asli Z = himpunan bilangan bulat Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan real C = himpunan bilangan kompleks

    4 9/8/15

    Representasi Himpunan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Notasi pembentuk himpunan Contoh: D = {x|x Z, 0

  • Definisi Kardinalitas (bilangan kardinal) dari sebuah himpunan

    adalah banyaknya elemen dalam himpunan tersebut. Kardinalitas himpunan A dinotasikan |A|

    Contoh: Jika A = {a,b,c,d}, maka |A| = 4 Jika N = {x|x2 8x + 12 = 0}, maka |N| = 2

    6 9/8/15

    Kardinalitas

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Himpunan Semesta (Universal) Himpunan yang anggotanya merupakan semua objek

    yang mungkin ada. Dinotasikan dengan S atau U

    Himpunan Kosong (Null Set) Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki

    elemen. Dinotasikan dengan {} atau Contoh: F = {x|x < x}

    7 9/8/15

    Relasi Himpunan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Himpunan Bagian (Subset) A dikatakan himpunan bagian (subset) dari B jika hanya

    jika setiap anggota A merupakan anggota B dan dilambangkan dengan A B.

    Contoh: Himpunan B = {c,d} merupakan himpunan bagian dari

    himpunan A = {a,b,c,d}.

    8 9/8/15

    Relasi Himpunan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Himpunan Sama Himpunan A dan B dikatakan sama dan dinotasikan A = B,

    jika dan hanya jika A B dan B A. Contoh:

    Himpunan A = {a,b,c,d} dan B = {b,c,a,d} adalah himpunan yang sama

    9 9/8/15

    Relasi Himpunan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Himpunan Bagian Sejati (Proper Subset) Himpunan A dikatakan himpunan bagian sejati (proper

    subset) dari B jika A B dan minimal ada satu anggota B yang bukan anggota A, biasa ditulis A B.

    Contoh: Himpunan A = {c,d} merupakan himpunan bagian dari

    himpunan B = {a,b,c,d}.

    10 9/8/15

    Relasi Himpunan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Himpunan Kuasa (Power Set) Himpunan kuasa dari himpunan A adalah himpunan yang

    memuat semua himpunan bagian S. Himpunan kuasa S dinotasikan sebagai P(S). Contoh:

    Himpunan A = {a,1,2} memiliki himpunan bagian : ,{a},{1},{2},{a,1},{a,2},{1,2},{a,1,2}

    Maka P(A) = {,{a},{1},{2},{a,1},{a,2},{1,2},{a,1,2}} Kardinalitas untuk himpunan kuasa P(S) adalah |

    P(S)| = 2|S|

    11 9/8/15

    Relasi Himpunan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Himpunan Berpotongan Himpunan A dan B dikatakan berpotongan jika dan hanya

    jika ada elemen A yang menjadi elemen B. Contoh:

    A = {x|x2 8x + 12 = 0} dan B = {x|x2 4 = 0} berpotongan P = {x|x2 8x + 12 = 0} dan Q = {1,3,5} tidak berpotongan

    12 9/8/15

    Relasi Himpunan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Himpunan Saling Lepas Himpunan A dan B dikatakan saling lepas dan dinotasikan

    A||B jika dan hanya jika kedua himpunan tidak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama

    Contoh: A = {x|x2 8x + 12 = 0} dan B = {x|x2 4 = 0} tidak saling

    lepas P = {x|x2 8x + 12 = 0} dan Q = {1,3,5} saling lepas

    13 9/8/15

    Relasi Himpunan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Himpunan Ekivalen Dua himpunan berhingga A dan B dikatakan ekuivalen jika

    hanya jika banyak elemen kedua himpunan tersebut sama Contoh:

    Himpunan A = {1,2,3,4} dan B = {a,b,c,d} adalah himpunan ekivalen

    Himpunan P = {a,b,c} dan Q = {p,q,r,s} adalah himpunan tak ekivalen

    14 9/8/15

    Relasi Himpunan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Gabungan (Union) Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan semua

    elemen A atau semua elemen B atau elemen keduanya. Secara notasi dapat ditulis

    A B = {x|x A x B} Contoh:

    Jika P = {a,b,c,d} dan Q = {c,d,e,f}, maka P Q = {a,b,c,d,e,f}

    A B dan B A merupakan dua himpunan yang sama. Kedua himpunan A dan B merupakan himpunan bagian

    dari himpunan A B.

    15 9/8/15

    Operasi Himpunan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Irisan (Intersection) Irisan himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen

    persekutuan dari himpunan A dan B. Secara notasi dapat ditulis

    A B = {x|x A x B} Contoh:

    Jika P = {a,b,c} dan Q = {1,2}, maka P Q = . Jika P = {a,b,c,d} dan Q = {c,d,e,f}, maka P Q = {c,d}

    A B dan B A merupakan dua himpunan yang sama. Kedua himpunan A dan B masing-masing memuat A B.

    16 9/8/15

    Operasi Himpunan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Komplemen Komplemen suatu himpunan A adalah himpunan semua

    elemen dalam semesta yang bukan elemen A. Secara notasi dapat ditulis

    Ac = {x|x S x A} Contoh:

    Jika P = {a,b,c} dan S= {a,b,c,d,e,f,g}, maka Pc ={d,e,f,g} A Ac = S dan A Ac = Sc = dan c = S (Ac) c = A

    17 9/8/15

    Operasi Himpunan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Selisih (Difference) Selisih himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen

    A yang bukan elemen B. Secara notasi dapat ditulis A B atau A/B

    A B = {x|x A x B} Contoh:

    Jika P = {a,b,c} dan Q= {1,2}, maka P Q = P Jika P = {a,b,c,d} dan Q = {c,d,e,f}, maka P Q = {a,b}

    A B dan A Bc merupakan himpunan yang sama.

    18 9/8/15

    Operasi Himpunan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Selisih Simetris (Symmetric Difference) Perbedaan simetris himpunan A dan B adalah himpunan

    yang elemennya ada pada himpunan A atau B tetapi tidak pada keduanya.

    Secara notasi dapat ditulisA B = {x|(x A x B) (x (A B))}

    Contoh: Jika P = {2,4,6} dan Q= {2,3,5}, maka P Q = {3,4,5,6}

    19 9/8/15

    Operasi Himpunan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Gabungan A B

    Irisan A B

    21 9/8/15

    Diagram Venn

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Komplemen Ac

    Selisih A B

    22 9/8/15

    Diagram Venn

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Perbedaan Simetri A B

    23 9/8/15

    Diagram Venn

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Misalkan himpunan semesta S = {1,2,3,,10}, A = {2,4,7,9}, B = {1,4,6,7,10}, dan C = {3,5,7,9}. Tentukan himpunan hasil operasi, serta gambar diagram Venn-nya.

    24 9/8/15

    Latihan Soal

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Diketahui himpunan A = {a,b,1,2,3}, B = {a,2,4,5} Tentukan A B, A B, A B, B A, A B. Hitunglah |A|, |B|, |A B|, |A B|. Tentukan himpunan P(A B) dan P(A) P(B).

    25 9/8/15

    Latihan Soal

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Dari 75 mahasiswa yang tinggal di sebuah asrama, 47 orang memiliki radio, 18 orang memiliki TV, 39 orang memiliki tape, 10 orang memiliki radio dan TV, 12 orang memiliki TV dan tape, 30 orang memiliki radio dan tape, dan 6 orang memiliki ketiganya. Berapa orang yang hanya memiliki tape? Berapa orang yang tidak memiliki satupun? Berapa orang yang memiliki radio dan TV tapi tidak

    memiliki tape Berapa orang yang hanya memiliki satu macam saja?

    26 9/8/15

    Latihan Soal

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Hukum Komutatif A B = B A A B = B A

    Hukum Asosiatif (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C)

    Hukum Distributif A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)

    27 9/8/15

    Hukum-Hukum Operasi Himpunan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Hukum Identitas A = A A S = A

    Hukum Komplemen A Ac = S A Ac =

    Hukum Dobel Komplemen (Ac)c = A

    28 9/8/15

    Hukum-Hukum Operasi Himpunan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Hukum Idempotent A A = A A A = A

    Hukum Dominasi A S = S A =

    Hukum De Morgan (A B)c = Ac Bc (A B)c = Ac Bc

    29 9/8/15

    Hukum-hukum Operasi Himpunan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Hukum Penyerapan/ Absorpsi A (A B) = A A (A B) = A

    Komplemen S dan Sc = c = S

    Hukum Selisih Himpunan A B = A Bc

    30 9/8/15

    Hukum-Hukum Operasi Himpunan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Pembuktian dengan Diagram Venn Tunjukkan bahwa A (B C) = (A B) (A C)

    31 9/8/15

    Pembuktian Prosisi Himpunan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Pembuktian dengan Tabel Keanggotaan Tunjukkan bahwa A (B C) = (A B) (A C)

    32 9/8/15

    Pembuktian Prosisi Himpunan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Pembuktian dengan Aljabar Himpunan Tunjukkan bahwa (A (B C))c = (Cc Bc) Ac

    (A (B C))c = Ac (B C)c (hukum De Morgan) = Ac (Bc Cc) (hukum De Morgan) = (Bc Cc) Ac (hukum komutatif) = (Cc Bc) Ac (hukum komutatif)

    33 9/8/15

    Pembuktian Prosisi Himpunan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Buktikan hukum De Morgan dengan menggunakan tabel keanggotaan

    34 9/8/15

    Latihan Soal

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Bagaimana himpunan-himpunan disimpan dan dimanipulasi dalam sebuah komputer?Himpunan didefinisikan dalam sebuah program dengan mengacu pada sebuah himpunan semesta S. Dalam konteks ini terdapat pengecualian terhadap aturan umum mengenai urutan elemen.

    35 9/8/15

    Representasi Komputer untuk Himpunan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Himpunan A direpresentasikan dengan sebuah string n bits, {b1 b2 bn}, dimana n adalah bilangan kardinal dari S.Aturan pengisian nilai bi = 1 jika elemen ke-i dari S berada dalam A bi = 0 jika elemen ke-i dari S tidak berada dalam A

    36 9/8/15

    Representasi Komputer untuk Himpunan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} Tentukan representasi dari {2,3,5,7} sebagai sebuah bit

    string. Carilah himpunan yang direpresentasikan oleh bit string

    1001011011.

    Jawaban: 0110101000 {1,4,6,7,9,10}

    37 9/8/15

    Representasi Komputer untuk Himpunan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Operasi Irisan, gabungan dan komplemen dapat dinyatakan dalam

    bit string.

    Proses perhitungan Operasi untuk mendapatkan bit string dari A B disebut

    operasi bitwise and. Operasi untuk mendapatkan bit string dari A B disebut

    operasi bitwise or. Operasi untuk mendapatkan bit string dari Ac disebut

    operasi bitwise not.

    38 9/8/15

    Representasi Komputer untuk Himpunan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • Contoh Jika bit string untuk himpunan A adalah 00101110 dan bit

    string untuk himpunan B adalah 10100101. Maka tentukan bit string untuk: A B, A B, dan Ac.

    Jawab A B = 00100100 A B = 10101111 Ac = 11010001

    39 9/8/15

    Representasi Komputer untuk Himpunan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • 40 9/8/15

    Latihan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • 41 9/8/15

    Latihan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • 42 9/8/15

    Latihan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • 43 9/8/15

    Latihan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • 44 9/8/15

    Latihan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • 45 9/8/15

    Latihan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • 46 9/8/15

    Latihan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • 47 9/8/15

    Latihan

    MUG2B3/ Logika Matematika

  • THANK YOU489/8/15

    Slide 1MateriTeori HimpunanRepresentasi HimpunanRepresentasi HimpunanKardinalitasRelasi HimpunanRelasi HimpunanRelasi HimpunanRelasi HimpunanRelasi HimpunanRelasi HimpunanRelasi HimpunanRelasi HimpunanOperasi HimpunanOperasi HimpunanOperasi HimpunanOperasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram VennDiagram VennDiagram VennLatihan SoalLatihan SoalLatihan SoalHukum-Hukum Operasi HimpunanHukum-Hukum Operasi HimpunanHukum-hukum Operasi HimpunanHukum-Hukum Operasi HimpunanPembuktian Prosisi HimpunanPembuktian Prosisi HimpunanPembuktian Prosisi HimpunanLatihan SoalRepresentasi Komputer untuk HimpunanRepresentasi Komputer untuk HimpunanRepresentasi Komputer untuk HimpunanRepresentasi Komputer untuk HimpunanRepresentasi Komputer untuk HimpunanLatihanLatihanLatihanLatihanLatihanLatihanLatihanLatihanSlide 48