HIMPUNAN 1

Teori Himpunan

• Definisi (Liu, 1985) : “Kumpulan dari objek-objek yang berbeda”.

• Digunakan untuk mengelompokkan sejumlah objek (yang disebut dengan elemen, unsur atau anggota)

• Biasanya himpunan dinotasikan dengan huruf besar seperti: A, B, C, ...

• Objek dalam himpunan disimbolkan dengan huruf kecil

Teori Himpunan

Penyajian Himpunan

1. Enumerasi

2. Simbol Baku

3. Notasi Pembentuk Himpunan

4. Diagram Venn

Penyajian HimpunanEnumerasi

Menuliskan tiap-tiap (semua) anggota himpunan diantara dua kurung kurawal (dalam kurung kurawal)

{ anggota himpunan }

Contoh:• Misalkan A adalah hewan-hewan peliharaan di rumah,

yaitu anjing, kucing , burung. Maka A dapat ditulis :

A = {anjing, kucing, burung}

• B = {1, 2, 3, 4}

Penyajian HimpunanSimbol Baku

Menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati untuk mendefinisikan himpunan tertentu pula

N = Himp. Bil. Alami (natural) = {1, 2, 3, ...}

Z = Himp. Bil. Bulat = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}

P = Himp. Bil. Bulat positif = {1, 2, 3, ...}

Dll...

Penyajian HimpunanNotasi Pembentuk Himpunan

• Menuliskan sifat-sifat yang ada pada semua anggota himpunan antara dua kurung kurawal

• Menggunakan pernyataan yang merupakan syarat bagi tiap anggota himpunan

• Notasi: {x│syarat yang harus dipenuhi anggota himpunan}

Penyajian HimpunanNotasi Pembentuk Himpunan

• Contoh:A = {x│x himp, bil bulat positif lebih kecil dari

5} ≡ A = {1, 2, 3, 4}B = {x│x himp, bil genap positif lebih kecil

atau sama dengan 8} ≡ B = {2, 4, 6, 8}

• Kadang-kadang suatu himpunan hanya dapat dinyatakan dengan salah satu cara, tetapi adapula yang dapat dinyatakan dengan dua cara sekaligus.

Perhatikan

Nyatakan himpunan-himpunan dibawah ini dalam notasi-notasi himpunan

a. A = himp. bil bulat antara 1 dan 5

b. B = himp. yang anggotanya adalah: kucing, meja, buku, air

c. C = himp. bilangan riil yang lebih besar dari 1

Penyelesaian

Enumerasi Notasi pembentuk himpunan

A = {1, 2, 3, 4, 5} A = {x Bulat | 1 ≤ x ≤ 5}∈

B = {kucing, meja, buku, air} B tidak bisa dinyatakan dengan cara menuliskan sifat-sifatnya karena tidak ada sifat yang sama diantara anggota-anggotanya

C tidak bisa dinyatakan dengan menuliskan anggota-anggotanya karena jumlah anggota C tidak berhingga banyaknya

C = {x Rill | x > 1}∈

Perhatikan

Perbedaan antar himpunan dan anggota himpunan, {a} ≠ a. Demikian pula {{a}} ≠ {a} karena {a} adalah himpunan yang anggotanya adalah a, sedangkan {{a}} adalah himpunan yang anggotanya adalah {a}

Penyajian HimpunanDiagram Venn

• Diperkenalkan oleh John Venn (1881)

• Menggambarkan keadaan himpunan-himpunan

• Menyajikan himpunan secara grafis

• Tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran

• Memiliki himpunan semesta (U atau S) yang digambarkan dengan segi empat

Penyajian HimpunanDiagram Venn

Contoh:

• U = {1, 2, 3, ... , 9}

• A = {2, 3, 4}

• B = {1, 5, 6}

Keanggotaan Himpunan

1. Untuk menyatakan keanggotaan dapat menggunakan simbol ∈

2. Untuk menyatakan bukan keanggotaan dapat menggunakan simbol ∉

3. Anggota himpunan dapat merupakan himpunan lain

Keanggotaan Himpunan

Contoh-1:

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

4 A∈7 A∉

Keanggotaan Himpunan

Contoh-2:

A = {3, 4, 5}

B = {1, 2, {3, 4, 5}, 6}

A B∈

Keanggotaan Himpunan

Contoh-3:

X = {x | x adalah himp bil positif lebih kecil dari

5}

Dapat ditulisX = {x | x P, x < 5}∈

Kardinalitas

• Menunjukan “jumlah anggota dari suatu himpunan”

• Notasi: n(A) atau |A|• x = {x│x himp, bil genap positif lebih kecil atau

sama dengan 8}

|x| = 4

• Y = {y | y adalah bilangan bulat}

|y | = ∞

Himpunan Kosong (Null Set)

• Himpunan yang memiliki jumlah anggota = 0

• Suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota

• Notasi: atau {}∅• A = {x | x < x}, maka |A| = 0

• X = {x | x adalah orang rusia yang kuliah di teknik informatika STIKOM DB Jambi}

Himpunan Bagian (Subset)

• Jika dan hanya jika setiap anggotanya merupakan anggota himpunan lain

• Simbol : ⊆• Contoh:

– Apabila himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B ( A B)⊆

– {1, 2, 3, 4} {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}⊆

Himpunan Bagian (Subset)

• Suatu himpunan merupakan anggota himpunan dari himpunan itu sendiri– A A⊆– {1, 2, 3} {1, 2, 3} ⊆

• Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari semua himpunan

∅⊆ A

Dengan Logika

• A B ≡ (( x) x A ⊆ ∀ ∈ → x B)∈• Berarti B memuat A, disimbolkan (B A, ⊇

Super Set)

• Jika ada anggota A yang bukan anggota B, berarti A bukan himpunan bagian B, maka dapat ditulis?

Diagram Venn A B⊆

Himpunan yang sama

1. Jika dan hanya jika setiap anggota A merupakan anggota B dan setiap anggota B merupakan anggota A

A = B ↔ A B dan B A⊆ ⊆contoh: A = {1, 2, 3, 4} dan

B = {x | x N, x < ∈5}

maka : A = B

Himpunan yang sama

2. Urutan anggota tidak diperhitungkan

contoh : {1, 2, 3, 4} = {4, 3, 2, 1}

3. Pengulangan anggota tidak mempengaruhi kesamaan himpunan

contoh : {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 2, 1, 3, 4}

Himpunan yang sama

4. Berlaku aksioma berikut:

• Jika A = B, maka B = A

• Jika A = B dan B = C, maka A = C

5. Dalam logika connectives berlaku

A = B ≡ (x A ∈ ↔ x B)∈

Himpunan yang sama

6. Menggunakan relasi subnet, himpunan yang sama dapat dituliskan sebagai:

(A = B) ≡ (A B ˄ B A) ⊆ ⊆7. Bukti:

A = B ≡ (x A ∈ ↔ x B)∈

≡ (x A ∈ → x B) ˄ (x B ∈ ∈→ x A)∈

≡ (A B ˄ B A)⊆ ⊆

Himpunan Saling Lepas (disjoint)

• Jika dan hanya jika kedua himpunan tidak memiliki satupun anggota yang sama

• Simbol: //

• Contoh:– Apabila himp A disjoint himp B : A // B– {1, 2, 3, 4} // {8, 7, 9, 5}– Himp. TI // Himp. SK // Himp. SI

Himpunan Kuasa (Power Set)

Himpunan kuasa dari himpunan A adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri

Contoh: apabila A = {1, 2}

Maka: P(A) = { , {1}, {2}, {1, 2}}∅

Jumlah anggota P(A) : 2|A|

Soal-1

Tentukan mana diantara pernyataan di bawah ini yang benara. 2 {1, 2, 3}∈

b. {2} {1, 2, 3}∈

c. 2 {1, 2, 3}⊆

d. {2} {1, 2, 3}⊆

e. {2} {{1}, {2}}⊆

f. {2} {{1}, {2}}∈

Operasi Himpunan

Operasi-operasi pada himpunan:

• Irisan (Intersection)

• Gabungan (Union)

• Komplemen

• Selisih

• Setangkup (symmetric difference)

• Cartesian Product

Irisan (Intersection)

• Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota dari himpunan A dan B

A ∩ B = {x | x A dan x B}∈ ∈• Dengan logical connectives:

X (∈ A ∩ B ) ≡ (x A) ˄ (x B)∈ ∈• Contoh: jika A = {1, 2, 3, 4} dan B = {4, 1, 5}

maka: A ∩ B = {1, 4}

Irisan

Dalam diagram Venn

A = {1, 2, 3, 4}

Dan

B = {4, 1, 5}

Gabungan (Union)

• Union dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota dari himp. A atau B

A B = {x | x A atau x B}∪ ∈ ∈• Dengan logical connectives:

X (∈ A B ) ≡ (x A) ˅ (x B)∪ ∈ ∈• Contoh: jika A = {1, 2, 3, 4} dan B = {4, 1, 5}

maka: A B = {1, 2, 3, 4, 5}∪

Union

Dalam diagram Venn

A = {1, 2, 3, 4}

Dan

B = {4, 1, 5}

Komplemen

• komplemen dari himpunan A terhadap himpunan semesta U adalah himpunan yang setiap anggotanya adalah anggota U dan bukan anggota A

¬ A = {x | x U dan x A}∈ ∉• contoh: misal U = {1, 2, 3, ... , 20}

jika A = {1, 2, 3, ... , 15}

maka ¬ A = {16, 17, 18, 19, 20}

KomplemenDiagram Venn

Contoh-1

Misal:

A = Himp. semua mhs teknik informatika

B = Himp. semua mhs teknik elektronika

C = Himp. semua mhs angkatan tahun 2010

D = Himp. semua mhs dengan IP < 2.00

E = Himp. semua mahasiswa teknik

Contoh-1

Soal:• Himp. mhs dari teknik informatika atau teknik

elektronika

• Himp mhs dari teknik informatika atau teknik elektronika angkatan tahun 2010 yang memiliki IP < 2.00

• Himp mhs teknik, bukan mahasiswa teknik informatika angkatan tahun 2010 yang memiliki IP ≥ 2.00

Selisih

• Selisih dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota dari himpunan A dan bukan dari himpunan B

• A – B = {x | x A dan x ∈ ∉ B}

• A – B = A ∩ (¬B)• Contoh: jika A = { 1, 2, 3, 4} dan B = {2, 1, 4}

maka: A – B = {3}

Selisih Diagram Venn

Setangkup (symmetric difference)

• Setangkup dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota dari himpunan A atau B tetapi tidak pada keduanya

• A B ⊕ = (A B) – (A ∩ B)∪= (A – B) (B – A)∪

• Contoh : jika A = {1, 2, 3, 4} dan B = {4, 1, 5}

maka: A B = {2, 3, 5}⊕

Setangkup Diagram Venn

Cartesian Product

• Cartesian Product dari himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang semua pasangan berurutnya terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan yang kedua dari himpunan B.

• A × B = {(a,b) | a A dan b B}∈ ∈• Contoh: jika A = {1, 2} dan B = {a, b}

maka: A × B = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)}

Soal-2

Misalkan: U = {a, b, c, d, e, f, g}

A = {a, c, e, g}

B = {d, e, f, g}

Tentukan:1. A B∪

2. A ∩ B

3. B – A

4. ¬A

Prinsip Dualitas

Digunakan untuk menurunkan hukum lain atau membuktikan suatu kalimat himpunan

Prinsip Dualitas

Himpunan Multiset (ganda)

Himpunan yang memiliki anggota himpunan yang berulang

Contoh:

1. A = {1, 2, 2, 3, 1} multiplisitas 2 = 2

2. B = {2, 3, 2, 1, 4, 2} multiplisitas 2 = 3

Himpunan Multiset (ganda)Operasi Union

• P Q ∪ Himpunan multiset yang multiplisitas anggotanya sama dengan multiplisitas maksimum anggota pada himpunan P dan Q

• Contoh:

P = {1, 1, 2, 2, 3, 3}; Q = {1, 1, 1, 2, 3}

maka, P Q = {1, 1, 1, 2, 2, 3, 3}∪

Himpunan Multiset (ganda)Operasi Intersection

• P ∩ Q Himpunan multiset yang multiplisitas anggotanya sama dengan multiplisitas minimum anggota pada himpunan P dan Q

• Contoh:

P = {1, 1, 2, 2, 3, 3}; Q = {1, 1, 1, 2, 3}

maka, P ∩ Q = {1, 1, 2, 3}

Himpunan Multiset (ganda)Operasi Selisih

• P – Q Himpunan multiset yang multiplisitas anggotanya sama dengan multiplisitas anggota himpunan P – Q apabila selisihnya positif atau 0 apabila negatif

• Contoh:

P = {1, 1, 2, 2, 3, 3, 5}; Q = {1, 1, 1, 2, 3, 4}

maka, P – Q = {2, 3, 5}

Himpunan Multiset (ganda)Operasi Sum

• P + Q Himpunan multiset yang multiplisitas anggotanya sama dengan multiplisitas anggota himpunan P + Q

• Contoh:

P = {1, 1, 2, 2, 3, 3, 5}; Q = {1, 1, 1, 2, 3, 4}

maka, P + Q = {1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5}