MAKALAHHASIL KALI VEKTOR DARI DUA VEKTORDanPERKALIAN BEBERAPA VEKTOR

Diajukan untuk memenuhi tugas terstruktur pada mata kuliah Kalkulus Peubah Banyak II

Oleh : RAHMA PUTRI ( 2410.027 )SUSI FITRI ( 2410.008 )RANTI SINTA TIA ( 2410.028 )REZI ARNAS ( 2410.

DOSEN PEMBIMBING :RISNAWITA , M.Si

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAJURUSAN TARBIYAHSEKOLAH TINGGI AGAMA ISLAM NEGERI (STAIN) SJECH M. DJAMIL DJAMBEK BUKITTINGGI2012 M / 1433 I. HASIL KALI VEKTOR DARI DUA VEKTORHasil kali silang dari dua vektor dan adalah vektor.Jika = dan , maka hasil kali silang dari dan adalah vektor Salah satu sifat terpenting dari hasil kali silang di berikan oleh teoremaTeorema vektor x adalah ortogonal baik terhadap maupun vektor Bukti: untuk melihat hasil bahwa x ortogonal terhadap maupun terhadap ()= =a1(a2b3-a3b2)-a2(a1b3-a3b1)+a3(a1b2-a2b1) =a1a2b3-a1b2a3-a1a2b3+b1a2a3+a1b2a3-b1a2a3 =0Jika a dan b di nyatakan oleh ruas garis lurus dengan titik awal yang sama ,maka teorema mengatakan bahwa hasil kali silang x menunjuk kearah yang tegak lurus terhadap bidang yang melalui dan . Ternyata x diberikan oleh aturan tangan kanan. Jika jari tangan mengepal dengan arah yang memutar dari ke , maka ibu jari menunjuk kearah x .Teorema : Jika adalah sudut antara vektor dan (0 u ) maka = sin Bukti :Berdasarkan definisi dari hasil kali silang dan panjang vektor, kita mempunyai 2 = = = = - = = Dengan mengambil akar kuadrat dan dengan mengamati bahwa Jadi, panjang dari adalah Jika vektor sejajar dengan vektor , maka sin = 0, sehingga = 0Berdasarkan teorema sebelumnya, dapat dilihat jika dan dinyatakan oleh ruas garis lurus dengan titik awal yang sama, maka akan membentuk sebuah jajaran genjang dengan alas , tinggi = Jadi, hasil kali silang dapat ditafsirkan sebagai berikut :Panjang dari hasil kali silang sama dengan luas dari jajaran genjang yang ditentukan oleh dan Sifat- sifat yang berlakupadahasil kali vector dariduavectora) Bukti:Ambilsebarang vector

=

=(Jaditerbuktib) Bukti:Ambilsebarang vector =

-

-

=( =Jaditerbuktic) Ambilsebarang vector

k =k

=((={()+( =(d) mambilsebarang vector :

) =m{(1(m =

= =m{(..2

==( =m{(..3

= ()m = =m{(..4Dari persamaan 1,2,3,4 terbuktie) Bukti :Jika0Teorema:Jika adalah sudut antara dan (0 maka Bukti :Berdasarkandefenisisdarihasil kali silangdanpanjang vector

= = = = = =- = ==Tabel perkalian vektor dari vektor satuan baris cartesian.

kj i

x i j k

i 0k -j

j -k0i

k j -i 0

Contoh soal hasil kali vector dari dua vektor1. Jika dan b1i + b2j + b3kBuktikan =Penyelesaian: =( = = =0+ =

2. Jika =2i-3j-k. =i+4j-2k carilaha. b. c. () x ( ) Penyelesaian:a. =(2i-3j-k) x (i+4j-2k)=b. =(i+4j-2k) x (2i-3j-k)=c. =3i+j-3k, =i-7j+k() x()= 3. Jika =3i-2j+2k,=2i+j-k, =i-2j+2k carilaha) ( x ) x b) x( x ) Penyelesaian:a) x =( x B) x =b) x =x(x)=4. Tentukan lah vector satuan yang tegak lurus dengan bidang dari =2i-6j-3k dan =4i+3j-k.Penyelesaian x adalah sebuah vector yang tegak lurus bidang dari A dan bx=Vector satuan yang sejajar dari A ke B adalah==5. Jika =3i-j-2k dan =2i+3k+k ,carilaha. b. (+2) x (2-)Penyelesaian:a. x =

b. +2()=3i-j-2k+2(2i+3j+k)=7i+5j2-=2(3i-j-2k)+(2j+3j+k)=4i-5j-5k(+)x(2-)=6. Carilah luas segitiga yang titik sudutnya pada (3,-1,2) (1,-1,-3) (4,-3,1)Penyelesaian: =(-2i-5k) =(i-2j-k) x ==Jadi luas segitiga adalah 7. Tentukan luas jejar jenjang yang di bentuk oleh vector =3i+2j dan =2j-4kPenyelesaian:Luas jejar jenjang adalah x ==8. Hitunglah (2i+j-k)(3i-2j+4k)!Penyelesaian:

9. Jika=3i-j-2k =2i+3j+kTentukan (+2) x (2-)Penyelesaian:+2=(3i-j-2k)+2(2i+3j+k)=7i+5j2-=2(3i-j-2k)+(2i+3j+k)=4i-5j-5k

Jadi (+2) x (2-)=

II. PERKALIAN BEBERAPA VEKTORHasil kali titik (dot) dan silang ( cross ) dari tiga buah vektor A,B,C dapat menghasilkan :1. Bukti:Ambilsebarang vector =

++++

+++++

++

Jaditerbukti2. Bukti:Ambilsebarang vector =

)j+

+

Jaditerbukti3. x ( x ) = . ( x ) = . ( x )

Perkalian ini disebut hasil kali skalar dari vektor tripel. Perkalian dot dan cross hanya dapat digunakan antar vektor. Hasil kali skalar dari vektor tripel memenuhi hukum-hukum berikut :a. . x = 0 jika dan hanya jika , dan sebidangb. . x adalah volume paralelepipedum dimana , dan sebagai rusuknya atau negatif dari volume itu.c. . x = x . d. x . = a1a2a3b1b2b3c1c2c3dalam hasil kali skalar dari vektor tripel didapat enam bentuk persamaan x . = . x = . x A = x . = . A x= x . 1. x ( x ) = ( . ) ( .) ( x ) x = ( . ) ( . ) Contoh perkalian beberapa vector1. Tentukan harga . x jika=i-j-6k =i-3j+4k =2i-5j Penyelesaian:x =. x=(11 x 1)+(-1 x 5)+(-1 x 6)=02. Persamaan bidang yang melalui titik titikP1(2,-1,1) P2(3,2,-1) P3(-1,3,2) adalahPenyelesaian:Vector- vector kedudukan dari P1,P2,P3 dan sebarang titik yaitu P(x,y,z) adalah r1 = 2 i j + k , r2 = 3i + 2j - k dan r3 = -i + 3j + 2k , r = xi + yj + zkPP1=r-r1.P2P1 = r2-r1 , P3 P1 = r3-r1 sehingga (r-r1) . (r2-r1) x (r3-r1)=0[(x-2) i + (y+1) j+ (z-1) k]- [i+3j-2k] x [-3i+4j+k] = 0[ (x-2) i+ (y+1) j + (z-1) k ] . [ 11 i + 5j + 13k ] = 011 ( x 2 ) + 5 ( y + 1 ) + 13 ( z - 1) = 0.11 i + 5 y + 3 z = 303. Hasil (2i-3j).[(i+j-k) x (3i-k)] adalahPenyelesaian:

4. tentukan skalar a sehingga vektor-vektor 2i-j+k, i+2j-3k dan 3i+aj+5k sebidangPenyelesaian:.x = 0 jika dan hanya jika ,, sebidangx = =(10+3a)i 14j + (a-6)kx= 02(10+3a) + (-1)(14)+1(a-6) = 020+6a +14+a-6 = 028=-7aa = -45. Hitungkah volume paralelepedum dengan rusuk-rusuk= 2i-3j+4k, =i+2j-k, =3i-j+2kPenyelesaian:xx= = =3i-5j-7k.x = 2(3)+(-3)(-5)+4(-7) = 7

HIMPUNAN VEKTOR VEKTOR RESPIROKAL (RECIPROCAL)Himpunan vektor vektor a, b, c dan a, b, c disebut himpunan atau sistem vektor vektor respirokal jikaa.a = b.b = c.c = 1a.b = a.c = b.c = c.a = c.b = 0himpunan himpunan a, b, c dan a, b, c adalah himpunan vektor-vektor respirokal jika dan hanya jikaa = ,b = , a = dimana a . b x c 0contoh :carilah suatu vektor respirokal a terhadap himpunan vektor :2i + 3j k , i - j 2k , -1 + 2j + 2kJawab :a = =