Dadang Amir Hamzah · Penjumlahan vektor Penjumlahan dua vektor u dan v merupakan vektor yang titik...

Matematika II : Vektor

Dadang Amir Hamzah

sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg

2016

Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 24

Outline

1 Pendahuluan

2 Penjumlahan dan perkalian skalar vektor

3 Vektor secara aljabar

4 Hasil kali titik (dot product)

5 Proyeksi Ortogonal

6 Hasil kali silang (cross product)


Outline

1 Pendahuluan







Pendahuluan

Dalam kehidupan sehari-hari kita mengenal dua macam besaran.

Besaran skalar: besaran yang cukup dinyatakan dalam nilai,Contoh : panjang, massa, luas, volume, dllBesaran vektor: besaran yang mempunyai nilai dan arah ,Contoh : kecepatan, gaya, torsi, dan lain-lain.Vektor dinotasikan dalam cetak tebal (v) atau simbol anak panahdiatas (~v)


Pendahuluan

Dalam kehidupan sehari-hari kita mengenal dua macam besaran.Besaran skalar: besaran yang cukup dinyatakan dalam nilai,Contoh : panjang, massa, luas, volume, dll

Besaran vektor: besaran yang mempunyai nilai dan arah ,Contoh : kecepatan, gaya, torsi, dan lain-lain.Vektor dinotasikan dalam cetak tebal (v) atau simbol anak panahdiatas (~v)


Pendahuluan

Dalam kehidupan sehari-hari kita mengenal dua macam besaran.Besaran skalar: besaran yang cukup dinyatakan dalam nilai,Contoh : panjang, massa, luas, volume, dllBesaran vektor: besaran yang mempunyai nilai dan arah ,Contoh : kecepatan, gaya, torsi, dan lain-lain.

Vektor dinotasikan dalam cetak tebal (v) atau simbol anak panahdiatas (~v)


Pendahuluan

Dalam kehidupan sehari-hari kita mengenal dua macam besaran.Besaran skalar: besaran yang cukup dinyatakan dalam nilai,Contoh : panjang, massa, luas, volume, dllBesaran vektor: besaran yang mempunyai nilai dan arah ,Contoh : kecepatan, gaya, torsi, dan lain-lain.Vektor dinotasikan dalam cetak tebal (v) atau simbol anak panahdiatas (~v)


Pendahuluan

Secara geometri vektor merupakan segmen garis berarah di R2

(bidang) atau di R3(ruang).

Titik pangkal suatu vektor v adalah titik A titik ujungnya B, ditulisv =−−→AB

Perhatikan vektor u =−−→CD mempunyai arah dan panjang yang

sama dengan v =−−→AB.

Dua vektor dikatakan ekivalen atau sama bila keduanyamempunyai panjang dan arah yang sama.Vektor yang digeser-geser dengan mempertahankan panjang danarah akan tetap sama dengan vektor semula.


Pendahuluan


(bidang) atau di R3(ruang).Titik pangkal suatu vektor v adalah titik A titik ujungnya B, ditulisv =−−→AB





Pendahuluan





Dua vektor dikatakan ekivalen atau sama bila keduanyamempunyai panjang dan arah yang sama.

Vektor yang digeser-geser dengan mempertahankan panjang danarah akan tetap sama dengan vektor semula.


Pendahuluan







Outline

1 Pendahuluan







Penjumlahan vektor

Penjumlahan dua vektor u dan v merupakan vektor yang titikpangkalnya berada pada pangkal u dan titik ujungnya beradapada ujung v, sedangkan ujung u dan pangkal v dipertemukan.

Penjumlahan vektor ada dua jenis: Hukum segitiga (Kiri) danHukum jajargenjang (Kanan)Vektor nol adalah vektor yang mempunyai panjang nol, arahkemana saja.Negatif dari vektor : −v mempunyai panjang sama dengan vtetapi mempunyai arah berlawanan.


Penjumlahan vektor


Penjumlahan vektor ada dua jenis: Hukum segitiga (Kiri) danHukum jajargenjang (Kanan)

Vektor nol adalah vektor yang mempunyai panjang nol, arahkemana saja.Negatif dari vektor : −v mempunyai panjang sama dengan vtetapi mempunyai arah berlawanan.


Penjumlahan vektor


Penjumlahan vektor ada dua jenis: Hukum segitiga (Kiri) danHukum jajargenjang (Kanan)Vektor nol adalah vektor yang mempunyai panjang nol, arahkemana saja.

Negatif dari vektor : −v mempunyai panjang sama dengan vtetapi mempunyai arah berlawanan.


Penjumlahan vektor


Penjumlahan vektor ada dua jenis: Hukum segitiga (Kiri) danHukum jajargenjang (Kanan)Vektor nol adalah vektor yang mempunyai panjang nol, arahkemana saja.Negatif dari vektor : −v mempunyai panjang sama dengan vtetapi mempunyai arah berlawanan.


Perkalian skalar

Perkalian dengan skalar : kv merupakan vektor dengan panjan |k|kali panjang v.


Outline

1 Pendahuluan







Vektor secara aljabar

Secara aljabar kita gunakan koordinat Kartesius dalammenyatakan vektor.

Vektor dapat diidentifikasi dengan mudah apabila titik pangkalberada di pusat koordinat, sehingga vektor hanya diidentifikasioleh titik ujungnya saja.Bila titik pangkal vektor tidak di pusat koordinat kita dapatmelakukan pergeseran



Secara aljabar kita gunakan koordinat Kartesius dalammenyatakan vektor.Vektor dapat diidentifikasi dengan mudah apabila titik pangkalberada di pusat koordinat, sehingga vektor hanya diidentifikasioleh titik ujungnya saja.

Bila titik pangkal vektor tidak di pusat koordinat kita dapatmelakukan pergeseran



Bila titik pangkal vektor tidak di pusat koordinat kita dapatmelakukan pergeseranMisalkan vektor u mempunyai pangkal di titik A(x1, y1) dan titikujung di B(x2, y2). Dengan menggeser pangkal ke (0, 0) artinyaabsis dan ordinat A masing-masing dikurangi x1 dan y1 kemudiantitik ujung B juga digeser menjadi (x2 − x1, y2 − y1).Titik terakhir ini yang kemudian digunakan sebagai representasivektor secara aljabar, yaitu u = 〈x2 − x1, y2 − y1〉



Bila titik pangkal vektor tidak di pusat koordinat kita dapatmelakukan pergeseran

Misalkan vektor u mempunyai pangkal di titik A(x1, y1) dan titikujung di B(x2, y2). Dengan menggeser pangkal ke (0, 0) artinyaabsis dan ordinat A masing-masing dikurangi x1 dan y1 kemudiantitik ujung B juga digeser menjadi (x2 − x1, y2 − y1).Titik terakhir ini yang kemudian digunakan sebagai representasivektor secara aljabar, yaitu u = 〈x2 − x1, y2 − y1〉



Bila titik pangkal vektor tidak di pusat koordinat kita dapatmelakukan pergeseranMisalkan vektor u mempunyai pangkal di titik A(x1, y1) dan titikujung di B(x2, y2). Dengan menggeser pangkal ke (0, 0) artinyaabsis dan ordinat A masing-masing dikurangi x1 dan y1 kemudiantitik ujung B juga digeser menjadi (x2 − x1, y2 − y1).

Titik terakhir ini yang kemudian digunakan sebagai representasivektor secara aljabar, yaitu u = 〈x2 − x1, y2 − y1〉



Bila titik pangkal vektor tidak di pusat koordinat kita dapatmelakukan pergeseranMisalkan vektor u mempunyai pangkal di titik A(x1, y1) dan titikujung di B(x2, y2). Dengan menggeser pangkal ke (0, 0) artinyaabsis dan ordinat A masing-masing dikurangi x1 dan y1 kemudiantitik ujung B juga digeser menjadi (x2 − x1, y2 − y1).Titik terakhir ini yang kemudian digunakan sebagai representasivektor secara aljabar, yaitu u = 〈x2 − x1, y2 − y1〉



Dengan notasi aljabar kita dapat melakukan operasi denganmudah dan akurat. Jika u = 〈u1, u2〉, v = 〈v1, v2〉 maka

u+ v = 〈u1 + v1, u2 + v2〉αu = 〈αu1, αu2〉

Untuk vektor di ruang (R3), kita dapat lakukan hal serupa. Jikau = 〈u1, u2, u3〉, v = 〈v1, v2, v3〉 maka

u+ v = 〈u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3〉αu = 〈αu1, αu2, αu3〉

Dengan sifat diatas berlaku sifat-sifat berikut :


Panjang vektor

Panjang vektor didefinisikan sebagai berikut

panjang vektor juga ditulis dalam ‖ · ‖ = | · | disebut norm


Outline

1 Pendahuluan







Dot product

Misalkan diberikan dua vektor u = 〈u1, u2〉, v = 〈v1, v2〉, perkalian titiku dan v didefinisikan sebagai

u · v = u1v1 + u2v2


Dot product


u · v = u1v1 + u2v2

Perhatikan bahwa perkalian titik dua vektor menghasilkan skalar(bukan vektor)


Dot product


u · v = u1v1 + u2v2

Perhatikan bahwa perkalian titik dua vektor menghasilkan skalar(bukan vektor)Hubungan perkalian titik dan panjang vektor adalah

‖u‖2 = u · u


Dot product


u · v = u1v1 + u2v2


‖u‖2 = u · u

Dengan rumus aturan cosinus pada segitiga didapat

‖u− v‖ = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ


Dot product


u · v = u1v1 + u2v2


‖u‖2 = u · u

Dengan rumus aturan cosinus pada segitiga didapat

‖u− v‖ = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ

Keduanya memberikan

u · v = ‖u‖‖v‖ cos θ

rumus ini digunakan untuk menghitung sudut antara u dan vDadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 15 / 24

Contoh

1 Diberikan u = 〈2,−1, 1〉, v = 〈1, 1, 2〉. Hitunglah sudut yangdibentuk oleh kedua vektor.

2 Tentukan sudut antara diagonal dari kubus dan salah satu sisinya,jika panjang sisi dari kubus adalah k.


Dot product

Perhatikan ‖u‖ dan ‖v‖ bernilai positif. Jika tanda u · v positifmaka 0 < θ < π/2 (sudut lancip), jika tanda u · v negatif makaπ/2 < θ < π (sudut tumpul).

Jika θ = π/2 diperoleh u · v = 0, u dan v disebut saling ortogonal.Tinjau dua titik P1(x1, y1) dan P2(x2, y2) yang berada pada garisax+ by + c = 0. Jelas vektor

−−−→P1P2 = 〈x2 − x1, y2 − y1〉 juga pada

garis.

Vektor−−−→P1P2 dengan vektor koefisien garis 〈a, b〉 adalah saling

ortogonal.

Vektor 〈a, b〉 = n disebut normal vektor−−−→P1P2.


Dot product

Perhatikan ‖u‖ dan ‖v‖ bernilai positif. Jika tanda u · v positifmaka 0 < θ < π/2 (sudut lancip), jika tanda u · v negatif makaπ/2 < θ < π (sudut tumpul).Jika θ = π/2 diperoleh u · v = 0, u dan v disebut saling ortogonal.

Tinjau dua titik P1(x1, y1) dan P2(x2, y2) yang berada pada garisax+ by + c = 0. Jelas vektor

−−−→P1P2 = 〈x2 − x1, y2 − y1〉 juga pada

garis.


ortogonal.



Dot product

Perhatikan ‖u‖ dan ‖v‖ bernilai positif. Jika tanda u · v positifmaka 0 < θ < π/2 (sudut lancip), jika tanda u · v negatif makaπ/2 < θ < π (sudut tumpul).Jika θ = π/2 diperoleh u · v = 0, u dan v disebut saling ortogonal.Tinjau dua titik P1(x1, y1) dan P2(x2, y2) yang berada pada garisax+ by + c = 0. Jelas vektor

−−−→P1P2 = 〈x2 − x1, y2 − y1〉 juga pada

garis.


ortogonal.



Sifat perkalian titik

Jika u,v dan w adalah vektor, k skalar maka1 u · v = v · u2 u · (v +w) = u · v + u ·w3 k(u · v) = (ku) · v = u · kv4 Jika u 6= 0 maka u · u > 0 dan jika u · u = 0 maka u = 0


Outline

1 Pendahuluan







Proyeksi ortogonal

Diberikan vektor u dan a. Vektor w1 merupakan proyeksi u padaa, ditulis projau. Vektor w2 tegak lurus w1 dan berlakuw2 = u−w1.

Akan dicari hubungan w1 dengan u dan aw1 paralel dengan a artinya w1 kelipatan dari a yaitu w1 = ka,sehingga

u = w1 +w2 = ka+w2

Perkalian titik u dan a memberikan

u · a = ka · a+w2 · a = ka · a (w2⊥a)Didapat

k =u · v‖a‖2


Proyeksi ortogonal


Akan dicari hubungan w1 dengan u dan a

w1 paralel dengan a artinya w1 kelipatan dari a yaitu w1 = ka,sehingga

u = w1 +w2 = ka+w2



k =u · v‖a‖2


Proyeksi ortogonal



u = w1 +w2 = ka+w2



k =u · v‖a‖2


Proyeksi ortogonal



u = w1 +w2 = ka+w2


u · a = ka · a+w2 · a = ka · a (w2⊥a)

Didapatk =

u · v‖a‖2


Proyeksi ortogonal



u = w1 +w2 = ka+w2



k =u · v‖a‖2


Proyeksi Ortogonal

Jadi proyeksi ortogonal u pada a adalah

w1 = projau =

(u · v‖a‖2

)a


Aplikasi : Jarak titik ke garis

Misalkan diberikan titik P0(x0, y0) dan garis g ≡ ax+ by + c = 0.Kemudian D adalah jarak P0 ke garis g. Dengan proyeksi ortogonaldapat ditunjukkan bahwa

D =

∣∣∣∣ax0 + by0 + c√a2 + b2

∣∣∣∣


Outline

1 Pendahuluan







Perkalian silang

Perkalian silang didefinisikan pada vektor di ruang (R3).Misalkan diberikan vektor u = 〈u1, u2, u3〉 dan v = 〈v1, v2, v3〉Perkalian silang u dan v ditulis u× v. Didefinisikan sebagai

u× v = 〈u2v3 − u3v2, u3v1 − u1v3, u1v2 − u2v1〉

Hasil perkalian silang dua vektor adalah vektor.


Dadang Amir Hamzah · Penjumlahan vektor Penjumlahan dua vektor u dan v merupakan vektor yang titik...

Documents

Transcript of Dadang Amir Hamzah · Penjumlahan vektor Penjumlahan dua vektor u dan v merupakan vektor yang titik...