VEKTOR - · PDF fileModul pembelajaran ini dirancang untuk membimbing peserta didik SMA dalam...

1

MODUL MATEMATIKA

“ VEKTOR ”

Kementerian Pendidikan NasionalUniversitas Negeri Manado

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamJurusan Pendidikan Matematika

2007

2

Kata Pengantar

Modul pembelajaran ini dirancang untuk membimbing peserta didik SMA dalam memahami

kompetensi konsep eksponen melalui penerapan belajar tuntas.

Pada permulaan tahun 1975, penduduk dunia diperkirakan sebanyak 4 milyar, menjelang tahun

2000 penduduk dunia akan mencapai 6,6 milyar. Bagaimana orang dapat meramalkannya? Ternyata

pertumbuhan penduduk dapat dinyatakan sebagai fungsi dari waktu, yang dapat dimodelkan secara

metematika mengikuti aturan vektor

Vektor telah dikenal sejak SMP dan ketika dikelas 1 SMA materi awal yang dipelajari adalah materi

aljabar linear (vektor). Dalam pembahasan modul ini, akan dikaji lebih dalam tentang . Ekspresi Vektor,

Operasi Aijabar Vektor, Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian Skalar, Proyeksi, dan Perkalian Silang

Vektor, Pembagian dalam Bentuk Koordinat.

Tondano, 12 Oktober 2007

Penyusun,

3

Daftar Isi

Halaman

Halaman Francis …………………………………………….................1

Kata Pengantar………………………………………………................ 2

Daftar Isi………………………………………………………................ 3

Peta kedudukan Modul..................................................................... 4

Glosarium......................................................................................... 6

Bab I Pendahuluan

A. Deskripsi................................................................................ 7

B. Prasyarat............................................................................... 7

C. Petunjuk Penggunaan Modul.................................................8

D. Tujuan Akhir.......................................................................... 9 - 11

E. Kompetensi............................................................................ 11 - 13

F. Cek Kemampuan................................................................... 13

Bab II Pembelajaran

A. Rencana Belajar Peserta Didik..............................................14 - 15

B. Kegiatan Belajar

1. Kegiatan Belajar 1............................................................. 16 - 31

2. Kegiatan Belajar 2............................................................ 32 - 41

3. Kegiatan Belajar 3............................................................ 42 - 52

4. Kegiatan Belajar 4 ........................................................... 53 - 72

Bab III Evaluasi

A. Evaluasi Kompetensi............................................................. 73 - 74

B. Kunci Evaluasi/Sistem Penilaian............................................ 75 - 80

Bab IV Penutup............................................................................ 81

Daftar Pustaka................................................................................ 82

4

Pembagian dalam Bentuk Koordinat

Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian

Skalar, Proyeksi, dan Perkalian Silang

Vektor

Ekspresi Vektor

Operasi Aijabar Vektor

5

Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian Skalar,

Proyeksi, dan Perkalian Silang Vektor

Pembagian dalam Bentuk Koordinat

Ekspresi Vektor

Aplikasi

Memecahkan masalah dengan Menggunakan Konsep Vektor

Matriks

Operasi Aijabar Vektor

6

Glosarium

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.

Notasi Vektor PQ dapat dituliskan a atau a

Kesamaan Dua Vektor jika AB # CD dibaca : ruas garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas garis

CD maka AB =CD .

Jika titik P adalah sebuah titik pada bidang datar, vektor OP = p disebut vektor posisi dari titik P.

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan.

Hasil kali bilangan real k dengan vektor a adalah suatu vektor yang panjangnya │k│ kali panjang

vektor a dan arahnya adalah

a. sama dengan arah vektor a jika k> 0

b. berlawanan dengan arah vektor a jika k < 0

c. sama dengan nol jika k = 0

Jarak antara titik A(x1 + y1 + z1) dan B(x2 + y2 + z2) pada R3 sama dengan panjang vektor AB yaitu

│ AB │

7

Bab I

PENDAHULUAN

A. DESKRIPSI

Modul vektor terdiri atas 4 bagian proses pembelajaran sesuai dengan subkompetensinya yaitu :

1. Ekspresi vektor, sebagai kegiatan belajar 1 akan membahas tentang : pengertian vektor,

kesamaan dua vektor, vektor nol, vekktor posisi, vektor satuan, vektor dalam ruang , vektor basis,

panjang suatu vektor.

2. Operasi aljabar vektor, sebagai kegiatan belajar 2 akan membahas tentang penjumlahan vektor,

pengurangan vektor, hasil kali bilangan dengan vektor.

3. Rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor, sebagai

kegiatan belajar 3 akan membahas tentang rumus jarak, rumus pembagian.

4. Pembagian dalam bentuk koordinat, sebagai kegiatan belajar 4 akan membahas tentang hasil

kali skalar dua vektor, bentuk komponen perkalian skalar, besar sudut antara dua vektor, sifat –

sfaat perkalian skalar, proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain, perkalian silang dua

vektor.

B. PRASYARAT

Kemampuan dasar yang harus dimiliki untuk mempelajari modul ini adalah :

Memahami bentuk dan ciri matriks

Memahami invers matrik

Terampil dalam operasi hitung bilangan real

8

C. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL

a. Penjelasan Bagi Peserta Didik

1. Bacalah modul ini dengan seksama mulai dari kata pengantar sampai dengan cek

kemampuan, kemudian pahami benar seluruh informasi yang termuat di dalamnya.

2. Setelah Anda mengisi cek kemampuan, pastikan apakah Anda termasuk kategori orang yang

masih harus mempelajari modul ini atau orang yang tidak lagi mempelajarinya karena sudah

menguasainya.

3. Laksanakan semua tugas-tugas yang terdapat di dalam modul ini agar kompetensi Anda

berkembang dengan baik.

4. Setiap mempelajari satu sub kompetensi, Anda harus mulai dari menguasai pengertian-

pengertian dalam uraian materi, melaksanakan tugas-tugas dan mengerjakan lembar latihan.

5. Dalam mengerjakan lembar latihan, Anda tidak diperkenankan melihat kunci jawaban terlebih

dahulu, sebelum Anda menyelesaikan lembar latihan.

6. Cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban, hitung nilai yang Anda peroleh. Kemudian

kerjakan saran-saran sesuai dengan hasil latihan Anda.

b. Peranan Guru

1. membantu siswa dalam merencanakan proses belajar.

2. menegaskan kembali tentang tujuan akhir yang harus dicapai setelah mempelajari modul ini.

3. membantu peserta didik dalam menentukan dan mengakses sumber tambahan lain yang

diperlukan untuk belajar.

4. melaksanakan penilaian serta mencatat pencapaian kemajuan peserta didik

5. menjelaskan kepada peserta didik mengenai bagian yang perlu untuk dibenahi dan

merundingkan rencana pembelajaran selanjutnya.

9

D. TUJUAN AKHIR

Standar Kompetensi : - Menggunakan konsep vektor dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar :

Kognitif : - Dapat memahami dan menentukan ekspresi vektor dalam pemecahan

masalah

- Dapat memahami dan menentukan operasi aljabar vektor dalam

pemecahan masalah.

- Dapat memahami dan menentukan rumus jarak, perbandingan, perkali-

an skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor dalam pemecahan

masalah.

- Dapat memahami dan menentukan pembagian dalam bentuk koordinat

dalam pemecahan masalah.

Afektif : Siswa dengan senang menunjukkan kesiapan belajar matematika secara

bertanggung-jawab sehingga menunjukkan sikap yang positif dalam

mempelajari materi tentang vektor

Psikomotor : Siswa selalu menunjukkan kemahirannya setiap kali mengerjakan tugas-

tugas yang membutuhkan keterampilan dalam mempelajari materi

tentang vektor.

Indikator Hasil Belajar :

Kognitif : - Menjelaskan dan menentukan ekspresi vektor

- Menentukan penyelesaian ekspresi vektor

- Menjelaskan dan menentukan operasi aljabar vektor

- Menentukan penyelesaian operasi aljabar vektor

- Menjelaskan dan menentukan rumus jarak, perbandingan, perkalian

skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor

- Menentukan penyelesaian rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar,

proyeksi, dan perkalian silang vektor.

- Menjelaskan dan menentukan pembagian dalam bentuk koordinat

- Menentukan penyelesaian pembagian dalam bentuk koordinat.

10

Afektif : - Siswa menunjukan sikap yang positif dalam kegiatan pembelajaran.

- Siswa menenjukan kesiapan belajar.

- Siswa selalu smemperhatikan pejelasan guru.

- Siswa dengan serius mengikuti semua kegiatan pembelajaran.

- Siswa selalu menanyakan apa yang belum di mengerti.

- Siswa dengan kritis menanyakan pertanyaan pada guru.

- Siswa merasa senang mengerjakan tugas.

- Siswa dengan tekun mengukuti proses belajar mengajar.

- Siswa dengan teliti mencermati penjelasan guru dalam mengerjakan

soal.

- Siswa selalu berusaha mencari solusi sebelum memperoleh

pemecahan.

- Siswa berusaha mau bertanya kepada teman yang tidak di mengerti.

- Siswa memberi diri mau bekerja sama dengan teman.

- Siswa dapat mencari soal yang sulit dan mampu memecahkanya.

- Siswa berinisiatif untuk membuat soal sendiri.

- Siswa selalu berusaha mencari buku sumber sesuai materi.

- Siswa selalu aktif mengikuti kegiatan mengenai

Psikomotor : - Menuliskan simbol matematika seperti akar, ruang dimensi dua dan tiga

- Menunjukan posisi badan yang baik dalam mengikuti kegiatan pembelajaran

Matematika

- Melakukan pekerjaan dalam menyelesaikan soal secara teliti

- Terbiasa menampilkan keterampilan gerakan fisik yang baik setiap belajar

matematika

11

E. KOMPETENSI : Menerapkan Ekspresi vektor

Sub

kompeten

si

Kriteria

kinerja

Lingkup

belajar

Materi pokok Pembelajaran

Kognitif Afektif Psikomotor

Mendeskri

psikan

ekspresi

vektor

- Pengertian

vektor,

Kesamaan

dua vektor,

Vektor nol,

Vektor

posisi,

Vektor

satuan,

Vektor

dalam

ruang ,

Vektor

basis,

Panjang

suatu vektor

1.Mengetahui

dan

memahami

pengertian

ekspresi

vektor

2.Menentukan

penyelesaian

ekspresi

vektor

1. Memperlihatkan

kesiapan dalam

mengikuti

pembelajaran

2. memperhatikan

dengan baik

setiap materi yang

diberikan

3. bertanya jika

belum dimengerti

1. Dapat

menuliskan

simbol-simbol

(Notasi)

khususnya dalam

materi vektor

tepat

2. Dapat

menggambar

ruang berdimensi

dua dan tiga.

Mendeskri

psikan

operasi

aljabar

vektor

penjumlahan

vektor,

pengurangan

vektor, hasil

kali bilangan

dengan

vektor

1. Mengetahui

dan

memahami

operasi vektor

2. Menentukan

penyelesaian

operasi

aljabar vektor

1 Mengikuti

pembelajaran

dengan serius

2. Dengan antusias

bertanya apabila

ada materi yang

belum dimengerti

3. mengerjakan

latihan soal yang

diberikan guru

1. Dapat

menggambar

cara segitiga dan

jajaran genjang

Mendeskri - Rumus 1. Menjelaskan 1.Selalu Berpikir 1. Dapat

12

psikan

rumus

jarak,

perbandin

gan,

perkalian

skalar,

proyeksi,

dan

perkalian

silang

vektor

jarak,

Rumus

pembagian.

rumus jarak,

perbandingan

, perkalian

skalar,

proyeksi, dan

perkalian

silang vektor

2. Menentukan

penyelesaian

rumus jarak,

perbandingan

, perkalian

skalar,

proyeksi, dan

perkalian

silang vektor

Kritis Ketika

pembelajaran

berlangsung

apabila di dalam

Materi Yang

disampaikan ada

yang keliru

2. Mau bertanya

kepada teman jika

ada yang belum

dimengerti

menggambar

pembagian ruas

garis AB dengan

perbandingan m :

n

2. Dapat

menggambar

pembagian ruas

garis AB dalam

bentuk vektor.

Mendeskri

psikan

pembagia

n dalam

bentuk

vektor

- Hasil kali

skalar dua

vektor,

bentuk

komponen

perkalian

skalar,

besar sudut

antara dua

vektor, sifat

– sfaat

perkalian

skalar,

proyeksi

ortogonal

suatu vektor

pada vektor

lain,

1. Menentukan

Pembagian

dalam Bentuk

Koordinat

1. Selalu berpikir

kritis ketika

pembelajaran

berlangsung

apabila di dalam

materi yang

disampaikan ada

yang keliru

2. Mau bertanya

kepada guru jika

tidak dimengerti.

1

13

perkalian

silang dua

vektor.

F. CEK KEMAMPUAN

No Pertanyaan Ya Tidak

1 Apakah Anda telah memahami pengertian vektor ?

3 Apakah anda telah memahami definisi dan vektor ?

4 Apakah anda telah mengetahui langkah-langkah

penyelesaian vektor ?

5 Apakah anda telah memahami definisi vektor ?

6 Apakah anda telah mengetahui langkah-langkah

penyelesaian definisi vektor ?

BAB II

Jika Anda menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah materi tersebut dalam modul ini. Apabila Anda menjawab “YA” pada semua pertanyaan, maka lanjutkanlah dengan mengerjakan tugas, tes formatif dan evaluasi yang ada pada modul ini.

14

BAB II

PEMBELAJARAN

A. RANCANGAN BELAJAR SISWA

Sebagaimana telah diinformasikan dalam pendahuluan, bahwa modul ini hanya sebagian

dari sumber belajar yang dapat Anda pelajari untuk menguasai kompetensi menerapkan konsep

aljabar. Untuk mengembangkan kompetensi anda dalam Substansi Non Instruksional, Anda perlu

latihan. Aktivitas-aktivitas yang dirancang dalam modul ini selain mengembangkan kompetensi

matematika, juga mengembangkan kompetensi Substansi Non Instruksional. Untuk itu, maka

dalam menggunakan modul ini Anda harus melaksanakan tugas-tugas yang telah dirancang.

1. Buatlah rencana belajar Anda berdasarkan rancangan pembelajaran yang telah disusun oleh

guru, untuk menguasai kompetensi Konsep vektor dengan menggunakan format sebagai

berikut.

No

Kegiatan Pencapaian Alasan Perubahan bila

diperlukan

ParafTgl Jam Tempat Siswa Guru

Mengetahui .............., ............ 20

Guru pembimbing Peserta Diklat

(..............................) (................................)

2. Rumuskan hasil belajar Anda sesuai standar bukti belajar yang telah ditetapkan.

a. Untuk penguasaan pengetahuan, Anda dapat membuat suatu ringkasan menurut

pengertian Anda sendiri terhadap konsep-konsep yang berkaitan dengan kompetensi yang

telah dipelajari. Selain ringkasan, Anda juga dapat melengkapinya dengan kliping terhadap

informasi-informasi yang relevan dengan kompetensi yang sedang Anda pelajari.

15

b. Tahapan pekerjaan Anda dapat dituliskan/digambarkan dalam diagram alir yang dilengkapi

dengan penjelasannya (siapa penanggung jawab setiap tahapan pekerjaan, siapa yang

terlibat, kapan direncanakan, kapan direalisasikan, dan hasilnya apa).

c. Produk hasil praktek dalam kegiatan ini dapat Anda kumpulkan berupa contoh benda

kerja, atau dalam bentuk visualisasinya (gambar, foto, dan lain-lain).

d. Setiap tahapan proses akan diakhiri dengan penilaian, lakukanlah diskusi dengan guru

pembimbing untuk mendapatkan persetujuan, dan apabila ada hal-hal yang harus

diperbaiki/dilengkapi, maka Anda harus melaksanakan saran guru pembimbing Anda.

16

B. KEGIATAN BELAJAR

1. Kegiatan Belajar 1 : Ekspresi Vektor

a. Tujuan Kegiatan Belajar 1

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan :

1. Dapat mengetahui pengertian vektor,

2. Dapat menentukan kesamaan dua vektor,

3. Dapat memahami vektor nol,

4. Dapat memahami vekktor posisi,

5. Dapat memahami vektor satuan,

6. Dapat memahami vektor ruang ,

7. Dapat memahami vektor basis.

8. Dapat menentukan suatu vektor.

.

b. Uraian Materi

EKSPRESI VEKTOR

1. Pengertian Vektor

Kita telah mengenal arti perpindahan, misalnya titik A kita pindahkan ke posisi yang lain

menjadi titik B. Pada perpindahan itu terkandung beberapa makna.

a. berapa jauh perpindahannya (jarak);

b. ke arah mana perpindahannya.

Perpindahan dari titik A ke titik B tersebut dapat digambarkan dengan suatu anak panah yang

berpangkal di A dan berujung di B. Panjang ruas garis AB menyatakan jauh perpindahannya,

sedangkan mata panah menyatakan arah perpindahan.

Anak panah yang menyatakan perpindahan itu disebut vektor. Jadi, vektor adalah besaran

yang mempunyai besar dan arah. Besaran seperti ini misalnya kecepatan, gaya, momen, dan

sebagainya.

A

Ganbar 5.1 perpindahan dari titik A ke titik B

17

Notasi Vektor

Suatu vektor secara geometri disajikan dengan ruas garis berarah. Panjang ruas garis

berarah menyatakan panjang (besar vektor), sedangkan arah panah menunjukkan arah vektor.

Vektor diberi nama menurut pangkal dan ujungnya, misalnya PQ .

PQ dapat dituliskan dengan menggunakan lambang huruf kecil yang dicetak tebal atau

dengan huruf kecil yang dibubuhi tanda panah di atas huruf itu, misalnya a atau a atau diberi

topi,misalnya

Q

a

P a

Gambar 5.2 Notasi Vektor

Untuk vektor PQ dari gambar 5.2, titik P disebut titik pangkal (titik asal), sedangkan titik Q

disebut titik ujung (titik terminal).

2. Kesamaan Dua Vektor

a. Dua buah vektor dikatakan sama apabila panjang dan arahnya sama. Jika AB # CD dibaca :

ruas garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas garis CD maka AB =CD . Dari pengertian ini

dapat disimpulkan bahwa sebuah vektor dapat digeser ke tempat lain dan tidak berubah

asalkan panjang dan arahnya sama dengan besar dan kedudukan vektor semula.

B

D

A

C

Gambar 5.3 Kesamaan dua vektor

Tanda # artinya sama dengan dan sejajar (bukan tidak sama dengan)

Ingat !

18

b. Pandang dua buah vektor yang arahnya sama, tetapi panjangnya berlainan. Dalam hal ini,

salah satu vektor dapat dinyatakan dengan vektor yang lain. Perhatikan Gambar 5.4 AB =

2CD . atau CD = 2

1AB

B

A D

C

Gambar 5.4 vektor dengan arah yang sama tapi besarnya beda.

c. Pada Gambar 5.5, tampak AB sama panjang dengan EF , tapi arahnya berlawanan. Dua

buah vektor disebut berlawanan apabila panjangnya sama, tetapi arahnya berlawanan. AB =

- EF atau EF = - AB

B

E

A

F

Gambar 5.5 Dua buah vektor yang berlawanan

d. Jika dua buah vektor yang arahnya berlawanan dan panjangnya tidak sama maka vektor yang

satu dapat dinyatakan dengan yang lain. Pada Gambar 5.6 tampak AB = - 3 EF atau EF =

3

1AB

B

E

A F

Gambar 5.6 Dua vektor yang berlawanan dengan panjang yang berbeda

3. Vektor Nol

Suatu vektor disebut vektor not apabila panjangnya not. Arah dari vektor not tak tentu,

misalnya AA , BB , CC , dan semacamnya disebut vektor nol. Vektor not dilambangkan dengan O

19

4. Vektor Posisi

Jika titik P adalah sebuah titik pada bidang datar, vektor OP = p disebut vektor posisi dari titik

P. Jika koordinat titik P adalah (x1, y1) maka vektor posisi dari titik P adalah p = OP =

1

1

y

x

Y

P (x1, y1)

p y1

O x1 X

Gambar 5.7 Vektor posisi titik P

Hal ini berarti vektro p mempunyai komponen arah mendatar x1 dan komponen arah

vertikalnya adalah y1.

Jika titik A di R3 dengan koordinat A adalah (x1, y1, z1) maka vektor pasisi titik A adalah

Gambar 5.8 Vektor posisi titik A

a = OA=

1

1

1

z

y

x

sebaliknya, jika a =

1

1

1

z

y

x

merupakan vektor posisi dari titik A, maka titik A

berkoordinat (x1, y1, z1)

5. Vektor Satuan


Vektor satuan dengan arah sumbu X, dinotasikan dengan i

Vektor satuan dengan arah sumbu Y, dinotasikan dengan j

Vektor satuan dengan arah sumbu Z, dinotasikan dengan k

20

Sehingga untuk vektor di R2 adalah

i =

0

1 j =

1

0

Y

B (0,1)

j A (1,0)

O i X

Gambar 5.9 Vektor satuan pada R2

Sedangkan untuk di R3 adalah

i =

0

0

1

; j =

0

1

0

; k =

1

0

0

Gambar 5.10 Vektor satuan pada R3

Kita sudah mengenal tentang vektor satuan, yaitu vektor yang

panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari suatu vektor a adalah

vektor yang arahnya sama dengan arah vektor a dan panjangnyaa

1

Catatan :

21

6. Vektor dalam Ruang

a. Vektor di R2

Vektor dalam ruang berdimensi dua ditulis dengan R2 atau R2. Untuk menyajikan vektor di R2,

diperlukan susunan sumbu-sumbu koordinat. Untuk memudahkan perhitungan dipilih susunan

sumbu-sumbu yang saling tegak lurus, yaitu sumbu mendatar atau sumbu X dan sumbu vertikal

atau sumbu Y.

Vektor di R2 ditandai dengan berapa jauh perpindahan ke kanan atau ke kiri dan berapa jauh

perpindahan ke atas atau ke bawah. Perpindahan ke kanan diberi tanda positif, ke kiri diberi

tanda negatif, perpindahan ke atas diberi tanda positif, dan ke bawah diberi tanda negatif.

Dengan demikian vektor pada R2 dinyatakan dalam dua komponen mendatar dan vertikal.

AB artinya perpindahan dari titik A ke titik B. Pada Gambar 5.11 terlihat titik A (1, 1) dan

dituliskan sebagai vektor kolom a =

1

1dan titik B (4, 3) dengan- vektor kolom b =

3

4

Gambar 5.11 Vektor dalam ruang dimensi dua

AB = b - a

=

3

4-

1

1=

2

3

Dengan cara yang sama kita dapatkan:

CD =

1

4

EF =

4

0

GH =

2

4

22

b. Vektor di R3

Vektor dalam ruang berdimensi tiga ditulis dengan R3 atau R3. R3 ditandai dengan tiga buah

sumbu yang saling berpotongan. Untuk memudahkan dalam perhitungan, dipilih tiga sumbu yang

berpotongan saling tegak lurus (ortogonal) yang dikenal dengan:

1) arah ke depan atau ke belakang disebut sumbu X;

2) arah ke kanan atau ke kiri disebut sumbu Y;

3) arah ke atas atau ke bawah disebut sumbu Z.

Seperti Gambar 5.12 (i). Kemudian sumbu koordinat seperti Gambar 5.12 (i) diputar ke

kanan diperoleh sumbu koordinat Gambar 5.12 (ii).

Gambar 5.12 Vektor dalam ruang dimensi tiga

Contoh :

ABCD.EFGH adalah sebuah balok dengan AB = 4; AD = 2; AE = 6, dan sisi-sisinya sejajar

dengan sumbu

koordinat dengan koordinat A (0, 1, 0), B (4, 1, 0), E(0, 1, 6), F (4, 1, 6), G (4, 3 6) H (0, 3, 6) dan

titik koordinat lainnya dapat ditentukan (perhatikan Gambar5.13).

Misalkan titik A (0, 1, 0) dituliskan sebagai a =

0

1

0

dan titik E (0, 1, 6) dituliskan sebagai e =

6

1

0

maka

AE = e - a

=

6

1

0

-

0

1

0

=

6

0

0

Z Z

Y

Y O O XX

23

Z

Gambar 5.13 Balok ABCD.EFGH

Dengan cara yang sama didapatkan:

AF =

6

0

4

; AG =

6

2

4

; BH =

6

2

4

7. Vektor Basis

a. Vektor Basis di R2

Diberikan titik P (x1, y1) seperti tampak pada Gambar 5.14. OP merupakan titik terminal/ujung

dari vektor posisi yang titik pangkalnya di pusat koordinat. Dari gambar tampak bahwa:

OP = OQ + QP

di mana OP = P

OQ = x1 i

QP = y1 j

sehingga dapat dituliskan :

P = x1 i + y1 j

Bentuk vektor ini disebut vektor basis i dan j

Gambar 5.14 Vektor basis pada R2

24

Jadi, setiap vektor di R2 dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari dua vektor

basis i dan j dalam bentuk

:

x1 dan y1 berturut-turut disebut komponen-komponen mendatar dan vertikal dari vektor P .

b. Vektor Basis di R3

Jika R (x1, y1, z1) adalah sembarang titik dan r adalah vektor posisi R, maka komponen-

komponen r dapat dinyatakan sebagai:

x1 i (searah denganOX )

y1 j (searah dengan OY )

z1 k (searah dengan OZ )

Z

Gambar 5.15 Vektor basis pada R3

dan dari Gambar 5.15 tampak bahwa bentuk vektor ini merupakan kombinasi linear dari vektor-

vektor basis i , j , k

OR = OP + PR

OR = OQ + QP + PR , sehingga

P = x1 i + y1 j

Vektor dapat disajikan dalam bentuk :

a. vektor basia, yaitu P = (x1, y1)

b. vektor kolom, yaitu P =

1

1

y

x

catatan

25

OR = r = x1 i + y1 j + z1 k

Jadi, setiap vektor F dalam ruang (di R3) dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari tiga

vektor basis i , j , dan k yang tidak sebidang dalam bentuk:

8. Panjang Suatu Vektor

Besar vektor P , apabila digambarkan akan membentuk ruas garis berarah dengan panjang

ruas garis yang mewakili besar vektor itu. Panjang vektor P ditulis dengan P .

a. Vektor di R2

Jika p adalah titik (x1, y1) makaOP = P =

1

1

y

x

Y

P(x1, y1)

P

O Q X

Gambar 5.16 Panjang vektor P di R2

Dengan menggunakan pythagoras maka

2OP =

2OQ +

2QP (perhatikan Gambar 5.16)

2

P = x12 + y1

2 ( karena OP = P )

2

P = 21

2

1 yx

r = x1 i + y1 j + z1 k

Sebuah vektor dalam ruang dapat disajikan dalam

bentuk:

a. vektor baris, yaitu r = (x1, y1, z1)

b. vektor kolom, yaitu r =

1

1

1

z

y

x

Catatan :

26

Jadi, jika P =

1

1

y

xmaka panjang vektor P adalah

2

P = 21

21 yx

b. Vektor di R3

Misalkan OR = r =

1

1

1

z

y

x

adalah vektor

Gambar 5.17 panjang vektor r di R3

posisi di R3 seperti pada Gambar 5.17. Dengan menggunakan pythagoras, maka

2OR = 2

OP + 2RP

= 2OQ +

2QP + 2

RP

2OR = x1

2 + y12

+ Z12 (perhatikan Gambar 5.17)

r = 21

21

21 ZYX ( karena OR = r )

Jadi, r =

1

1

1

z

y

x

, panjang vektor r adalah r = 21

21

21 ZYX

C Rangkuman Kegiatan Belajar 1

1. Pengertian Vektor

Kita telah mengenal arti perpindahan, misalnya titik A kita pindahkan ke posisi yang lain

menjadi titik B. Pada perpindahan itu terkandung beberapa makna.

a. berapa jauh perpindahannya (jarak);

b. ke arah mana perpindahannya.

27

2. Kesamaan Dua Vektor

a. Dua buah vektor dikatakan sama apabila panjang dan arahnya sama. Jika AB # CD dibaca

: ruas garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas garis CD maka AB =CD .

b. Pandang dua buah vektor yang arahnya sama, tetapi panjangnya berlainan.

c. Pada Gambar 5.5, tampak AB sama panjang dengan EF , tapi arahnya berlawanan.

d. Jika dua buah vektor yang arahnya berlawanan dan panjangnya tidak sama maka vektor

yang satu dapat dinyatakan dengan yang lain.

3. Vektor Nol

Suatu vektor disebut vektor not apabila panjangnya not. Arah dari vektor not tak tentu,

misalnya AA , BB , CC , dan semacamnya disebut vektor nol.

4. Vektor Posisi

Jika titik P adalah sebuah titik pada bidang datar, vektor OP = p disebut vektor posisi dari titik

P.

5. Vektor Satuan


6. Vektor dalam Ruang

a. Vektor di R2

Vektor dalam ruang berdimensi dua ditulis dengan R2 atau R2.

b. Vektor di R3

Vektor dalam ruang berdimensi tiga ditulis dengan R3 atau R3. R3 ditandai dengan tiga

buah sumbu yang saling berpotongan.

7. Vektor Basis

a. Vektor Basis di R2

Diberikan titik P (x1, y1) seperti tampak pada Gambar 5.14. OP merupakan titik terminal/ujung

dari vektor posisi yang titik pangkalnya di pusat koordinat.

b. Vektor Basis di R3

Jika R (x1, y1, z1) adalah sembarang titik dan r adalah vektor posisi R, maka komponen-

komponen r dapat dinyatakan sebagai:

28

x1 i (searah denganOX )

y1 j (searah dengan OY )

z1 k (searah dengan OZ )

8. Panjang Suatu Vektor

Besar vektor P , apabila digambarkan akan membentuk ruas garis berarah dengan

panjang ruas garis yang mewakili besar vektor itu. Panjang vektor P ditulis dengan P .

d. Tugas Kegiatan Belajar

Diskusikan soal-soal LKS tentang ekspresi vektor untuk dipresentasikan.

e. Tes Formatif

1. Nyatakan titik-titik berikut dengan vektor posisi dalam bentuk komponen vektor kolom!

a. A (2, 3) dan B (-1, 4) b. P (2, 1, 4) dan Q (3, 2, -5)

2. Nyatakan vektor-vektor a =

1

3

2

dan c =

3

0

1

sebagai kombinasi linear dari i , j , dan k

3. Diketahui p = i - 2 j + 2 k dan q = 3 i + j - 2 k carilah

a. P

b. Q

c. QP

d. Vektor satuan dari p

29

f. Kunci Jawaban

1. a. a =

3

2; b =

4

1 b. p =

4

1

2

; q =

5

2

3

2. a = 2 i + 3 j + k

c = - i + 3 k

3. p =

2

2

1

; q =

2

1

3

a. P = 222 2)2(1 = 441 = 3

b. Q = 222 )2(13 = 419 = 14

c. Untuk menghitung QP , tentukan dulu p + q ; p + q =

2

2

1

+

2

1

3

=

0

1

4

QP = 222 0)1(4 = 116 = 17

d. vektor satuan dari p = p

p=

3

22 KJi = i

3

1- j

3

2+ k

3

2

g. Lembar Kerja Siswa (LKS)

Untuk lebih memahami apa yang telah anda baca, kerjakanlah soal-soal berikut. Anda dapat

mengarjakannya secara berkelompok belajar anda (3-4 orang).

1. Diketahui : a = 3 i + 2 j + 4 k

b = i - j + 2 k

c = i + 3 k

Nyatakan hasil penjumlahan vektor-vektor berikut sebagai vektor kolom!

a. a + b

b. b + c

c. ( a + b ) + c

30

d. a + (b + c )

e. Apakah a + b = c + a , bila berlaku sifat apakah itu?

f. Apakah ( a + b ) + c = ( a + b ) + c , bila berlaku sifat apakah itu?

2. OABC•DEFG adalah balok yang rusuk-rusuknya pada sumbu X, Y, dan Z. Jika OA = 4; OC =

3, dan OD = 6, nyatakanlah vektor-vektor berikut sebagai kombinasi linear dari i , j , dan k

a. OB e. AF

b. AC f. BD

c. FC g. AG

d. EB

3. Jika p =

6

4

2

dan q =

7

4

4

Tentukan: a. P c. QP

b. Q d. vektor satuan dari p dan q

4. Diketahui: a. 2 i - 3 j + 4 k c. 3 i + 2 j + 3 k

b. - i + 5 k

Carilah:

a. a + b + c c. vektor satuan dari a + b + c

b.│ a + b + c │

31

5. Diketahui vektor a = 4 i + 4 j + 2 k dan b = 2 i + 3 j - 5 k

a. Carilah │ a │ dan│ b │ c. Apakah │ a +b │= a + b

b. Carilah a b dan│ a +b │

h. Tingkat Penguasaan

Rumus :

Saran-saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat pengusaan yang telah Anda

capai sebagai berikut:

1. > 80 % Bagus! Pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat meneruskan

dengan kegiatan belajar 3.

2. 60 – 80 % Anda masih perlu membaca kembali teks subkomptensi ini dengan lebih

seksama, terutama bagian yang belum anda kuasai.

3. < 60 % Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan dan

bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda.

Tingkat Penguasaan = %10015

xdiperolehyangSkorJumlah

32

2. Kegiatan Belajar 2 : Operasi Aljabar Vekto r

a. Tujuan Kegiatan Belajar 2

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan :

1. Dapat menentukan penjumlahan vektor,

2. Dapat menetukan pengurangan vektor,

3. Dapat menentukan hasil kali bilangan dengan vektor

b. Uraian Materi

OPERASI ALJABAR VEKTOR

1 Penjumlahan Vektor

Diberikan dua vektor a dan vektor b . Vektor ketiga yaitu vektor c diperoleh dengan

menjumlahkan vektor a dan vektor b . Jadi, c = a + b . Vektor c dapat ditentukan dengan cara

segitiga dan cara jajar genjang.

a. Cara Segitiga

Perhatikan Gambar 5.18

b b b

a

a a

(i) (ii)

Gambar 5.18 Penjumlahan vektor (i) cara segitiga (ii) cara jajar genjang

Jumlah vektor a dan vektor b yang merupakan vektor c dapat ditentukan dengan

memindahkan vektorb (tanpa mengubah panjang dan arahnya) sehingga titik pangkal vektor b

berimpit dengan titik ujung vektor a .

33

Vektor c diperoleh dengan menghubungkan titik pangkal vektor a dengan titik ujung vektor

b yang telah dipindahkan. Penjumlahan vektor ini dikenal dengan cara segitiga Gambar 5.18(i).

b. Cara Jajar Genjang

Jumlah dari vektor a dan vektor b adalah vektor c yang

dapat ditentukan dengan memindahkan vektor b (tanpa

mengubah panjang dan arahnya) sehingga titik pangkal

vektor b berimpit dengan titik pangkal vektor a .

Vektor c yang dimaksud adalah vektor yang titik

pangkalnya di titik pangkal persekutuan vektor a dan

vektor b , serta titik ujungnya adalah titik sudut keempat

dari jajar genjang yang dibentuk oleh a dan b .

Cara menjumlahkan vektor seperti ini dikenal

dengan cara jajar genjang Gambar 5.18(ii).

Perhatikan Gambar 5.19 dari cara segitiga terlihat bahwa:

c = a + b

PR = PQ + QR

Gambar 5.19 Penjumlahan vektordengan cara segitiga

Dengan memperhatikan pola penjumlahan itu maka:

AB = AC + CB (untuk titik-titik, A, C, dan B)

AB = AP + PB (untuk titik-titik A, P, dan B)

AB = AD + DL + LB (untuk titik-titik A, D, L, dan B), dan seterusnya.

Penjumlahan tiga vektor atau

lebih dapat dilakukan dengan

menggunakan aturan poligon

seperti berikut.

P4

P5 P3

Tugas

34

Sifat - Sifat Penjumlahan pada Vektor

1) Komutatif

Perhatikan Gambar 5.20 (PQRS adalah jajar genjang)!

Misalkan PQ = a , SR = a S R

Misalkan PS = b , QR = b . b

PR = PQ + QR = a + b

PR = PS + SR = b + a P a Q

Jadi, a + b = b + a Gambar 5.20 penjumlahan vektor secara

komulatif

Berarti penjumlahan pada vektor bersifat komutatif.

2) Asosiatif

Perhatikanlah Gambar 5.21!

SPQR adalah suatu limas segitiga

PQ = a , QR = b , RS = c

Maka: S

( a + b ) + c = ( PQ + QR ) + RS

= PR + SR c

= PS

a + (b + c ) = PQ + (QR + RS ) P a b R

= PQ + QS Q

= PS Gambar 5.21 Penjumlahan vektor secara asosiatif

Jadi, ( a + b ) + c = a + (b + c )

Berarti penjumlahan pada vektor bersifat asosiatif.

Jika a =

2

1, b =

3

2dan c =

4

3, apakah a - b + c = a - (b + c )?

Bagaimanakah dengan ( a + b ) - c , apakah sama dengan a + (b - c )?

Tugas

35

3) Mempunyai elemen identitas, yaitu vektor O (vektor nol) Sebab untuk semua vektor a berlaku

a + o = o + a = a

4) Lawan suatu vektor

Lawan atau invers jumlah atau negatif dari suatu vektor a

adalah suatu vektor yang apabila dijumlahkan dengan vektor a a

menghasilkan vektor nol. Lawan dari vektor a ditulis - a

dengan - a . Apabila digambarkan dengan ruas garis berarah, Gambar 5. 22 Lawan dari

sebuah vektor

lawan dari vektor a adalah vektor yang panj angnya

sama dengan vektor a , tetapi arahnya berlawanan dengan vektor a .

Jadi, setiap vektor a mempunyai invers jumlah (lawan).

Sebab: a + (- a ) = (- a ) + a = o

2. Pengurangan Vektor

Diberikan 2 buah vektor, yaitu vektor a dan vektor b . Misalkan selisih vektor a dengan

vektor b adalah vektor c yang diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor a dengan lawan

vektor b .

Jadi, c = a - b = a + (-b )

Secara geometris selisih (pengurangan) vektor a dengan vektor b dapat diperlihatkan pada

Gambar 5.23.

Gambar 5.23 Pengurangan vektor

36

a - b = a + (-b )

= PQ + PS

= PT = RQ

Dari ∆ PQR terlihat bahwa :

PQ - PR = RQ

3. Hasil Kali Bilangan dengan Vektor

Hasil kali bilangan real k dengan vektor a adalah suatu vektor yang panjangnya │k│ kali

panjang vektor a dan arahnya adalah




Gambar 5.24 Hasil kali bilangan dengan vektor

Jika a =

2

1, maka 2 a = 2

2

1=

4

2

Jika b =

4

3

2

, maka 3b = 3

4

3

2

=

12

9

6

Secara umum, bila a =

r

q

p

maka k a = k

r

q

p

=

kr

kq

kp

Sifat - Sifat Hasil Kali Bilangan dengan Vektor

Bila k dan l bilangan real, a dan b suatu vektor maka:

1 k (- a ) = - (k a )= - k a

2 k (l a ) = (kl) a

3 (k + l) a = k a + l a

37

4 k( a +b ) = k a + kb

c. Rangkuman Kegiatan Belajar 2

OPERASI ALJABAR VEKTOR

1. Penjumlahan Vektor

Diberikan dua vektor a dan vektor b . Vektor ketiga yaitu vektor c diperoleh dengan

menjumlahkan vektor a dan vektor b . Jadi, c = a + b . Vektor c dapat ditentukan dengan

cara segitiga dan cara jajar genjang.

a. Cara Segitiga

b. Cara Jajar Genjang

Sifat - Sifat Penjumlahan pada Vektor

1) Komutatif

2) Asosiatif

3) Mempunyai elemen identitas, yaitu vektor O (vektor nol) Sebab untuk semua vektor a

berlaku a + o = o + a = a

4) Lawan suatu vekto

2. Pengurangan Vektor

Diberikan 2 buah vektor, yaitu vektor a dan vektor b . Misalkan selisih vektor a dengan

vektor b adalah vektor c yang diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor a dengan

lawan vektor b .

3. Hasil Kali Bilangan dengan Vektor

Hasil kali bilangan real k dengan vektor a adalah suatu vektor yang panjangnya │k│

kali panjang vektor a dan arahnya adalah




Sifat - Sifat Hasil Kali Bilangan dengan Vektor

Bila k dan l bilangan real, a dan b suatu vektor maka:

1. k (- a ) = - (k a )= - k a

2. k (l a ) = (kl) a

38

3. (k + l) a = k a + l a

4. k( a +b ) = k a + kb


Diskusikan soal-soal yang ada di LKS tentang operasi aljabar vektor untuk dipresentasikan..

e. Tes Formatif

1. ABCD adalah jajar genjang dengan AB = u , AD = v , titik E dan F masing-masing titik

tengah DC dan CB . Nyatakan vektor-vektor berikut dalam u dan v

a. AE b. EF c. AF

2. Diketahui A(1, 1), B(4, 2), dan C(10, 4) tunjukkan titik A, B, dan C segaris (kolinear) dan

carilah AB : BC

3. Diketahui titik-titik A(-2, 5, 4), B(2, -1, -2), dan C( p, q, l). Jika A, B, dan C segaris, carilah

nilai p dan q.

f. Kunci Jawaban

1. a. AE = AD + DE D E C

= v + 2

1u =

2

1u + v

b. EF = CE +CF v F

=2

1u -

2

1v A u B

c. AF = AB + FB Gambar 5.25 Jajaran genjang ABCD

= u + 2

1v

2. Langkah untuk menyelesaikan contoh soal 2 di atas adalah

1. Informasi dari soal memberikan tiga buah titik yang terletak pada sumbu - sumbu

koordinat x - y, yaitu A(1, 1), B(4, 2), dan C(10, 4)

39

2. Dari titik-titik koordinat yang diketahui tersebut akan ditunjukkan bila titik A, B, dan C

segaris (kolinear) serta akan dicari perbandingan AB dan BC (AB: BC)

3. Untuk menunjukkan titik-titik A, B, dan C segaris (kolinear) dan mengetahui perbandingan

AB : BC, dihitung nilai AB dan AC , yaitu

AB = b - a

=

2

4-

1

1=

1

3

AC = c - a

=

4

10-

1

1=

3

9

3. AB = b - a =

2

1

2

-

4

5

2

=

6

6

4

BC = c - b =

l

q

p

-

2

1

2

=

3

1

2

q

p

Karena A,B, dan C segaris maka:

AB = m ∙ BC

6

6

4

= m

3

1

2

q

p

, diperoleh m = -2

4 = -2 (p - 2) -6 = -2(q + 1)

4 = -2p + 4 3 = q + 1

2p = 0 q = 2

p = 0

40


1. ABCD jajar genjang bila AB = a , AD = b , titik E perpotongan diagonal AC clan BD .

Nyatakan dengan a dan b vektor - vektor tersebut!

D C a. AC d. BE

b E b. AE e. ED

c. BD f. EB

A a B

2. Dari gambar soal nomor 1, nyatakan selisih-selisih vektor berikut sebagai ruas garis berarah

tunggal!

a. AE - AD c. BE - BC

b. AB - AC d. CD - CB

3. Nyatakan vektor-vektor berikut dengan sebuah vektor tunggal!

a. AB + BC +CD + DE

b. AD + DC + CE + EK

c. AD - AB +CB -CD

4. Diketahui a =

3

2

1

, b =

2

1

2

, dan c =

3

2

1

Hitunglah:

a. 2 a + b - c b. 3 a + 2b + 4 c c. 4 a + 3b - 2 c

5. Diketahui: a = 3 i + 4 j + 5 k

b = i + 3 k

c = -2 i + 3 j - 4 k

Nyatakan sebagai vektor kolom!

a. a + b d. ( a + b ) + c

b. b + a e. a + (b + c )

c. b + c f. Apakah berlaku sifat komutatif dan asosiatif

41


Rumus :











42

3. Kegiatan Belajar 3 : Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian Skalar, Proyeksi, dan

Perkalian Silang Vektor.

a. Tujuan Kegiatan Belajar 3:

Setelah selesai mempelajari uraian kegiatan ini, anda diharapkan dapat :

1. Mengetahui dan memahami rumus jarak

2. Mengetahui rumus pembagian.

b. Uraian Materi :

1. Rumus Jarak

Diberikan titik A(x1 + y1 + z1) dengan vektor posisi a =

1

1

1

z

y

x

dan titik B(x2 + y2 + z2) dengan

vektor posisi b =

2

2

2

z

y

x

Jarak antara titik A dan titik B (perhatikan Gambar 5.25) adalah panjang vektor AB , yaitu

│ AB │

AB = b - a

=

2

2

2

z

y

x

-

1

1

1

z

y

x

=

12

12

12

zz

yy

xx

Z

X

O

Gambar 5.26 Menentukan rumus jarak

│ AB │= 212

212

212 zzyyxx

Jarak antara titik A(x1 + y1 + z1) dan B(x2 + y2 + z2) pada R3

sama dengan panjang vektor

Ingat

43

Contoh :

1. Diketahui titik A(5, 7, -5), B(4, 7, -3), dan C(2, 7, -4). Perlihatkan dengan rumus jarak bahwa

∆ABC siku-siku sama kaki!

Jawab:

Untuk menyelesaikan contoh di atas dilakukan langkah-langkah berikut

1. Contoh di atas memberikan informasi tersusunnya bangun segitiga sikusiku sama kaki oleh

tiga buah titik, yaitu A (5, 7, -5), B (4, 7, -3), clan C (2, 7, -4).

2. Dari informasi tersebut, kita akan memperlihatkan dengan menggunakan rumus jarak bahwa

segitiga ABC yang disusun dari titik-titik A, B, dan C memang siku-siku sama kaki.

3. Sebuah segitiga dikatakan sama kaki jika ada dua sisinya yang sama panjang, Dan sebuah

segitiga dikatakan siku-siku jika salah satu sudutnya 90°, sehingga dalam segitiga tersebut

berlaku teorema pythagoras. Untuk menghitung panjang sisi-sisi segitiga yang akan

dibuktikan bahwa segitiga itu siku-siku sama kaki, maka digunakan rumus jarak sebagai

berikut.

r = 212

212

212 zzyyxx

4. Dari persamaan rumus jarak yang terdapat di langkah 3 diperoleh sisi-sisi segitiga itu, yaitu

│ AB │= 222 537754 = 401 = 5

│ AC │= 222 547752 = 109 = 10

│ BC │= 222 347742 = 104 = 5

5. Dari hasil yang diperoleh di langkah (4), dengan menerapkan teorema pythagoras diperoleh

AB2 = 5 BC2 = 5 AC2 = 10

Jika dilihat panjang kedua sisi segitiga itu yaitu AB dan BC , maka segitiga itu adalah sama

kaki, dan jika kita amati dalam segitiga tersebut berlaku teorema pythagoras yang

menyatakan AB2 + BC2 = AC2. Jadi, segitiga ABC siku-siku di B dan sama kaki.

2. Buktikan bahwa titik-titik A(1, 3, -1), B (3, 5, 0), dan C(-1, 4, 1) adalah titik-titik sudut segitiga

siku-siku sama kaki.

Jawab:

Masalah ini dapat diselesaikan dengan langkah-langkah berikut.

1. Memahami masalah

Apa yang diketahui situasi ini, kita cari jarak dua titik dengan teorema pythagoras atau

dengan dot product.

44

2. Merencanakan penyelesaian

Dengan jarak dua titik = 221

221

221 zzyyxx

atau cos x = ba

ba

3. Melaksanakan perhitungan

│ AB │= 222 015331 = 144 = 3

│ AC │= 222 114311 = 414 = 3

│ BC │= 222 104513 = 1116 = 15 = 3 2

Hasil perhitungan: │ BC │= │ AB │2+ │ AC │2

Jadi, segitiga ABC siku-siku sama kaki dan siku-siku di A.

Cara lain AB = b - a =

0

5

3

-

1

3

1

=

1

2

2

AC = c - a =

1

4

1

-

1

3

1

=

2

1

2

A (1, 3, -1)

B(3, 5, 0) C(-1, 4, 1)

Gambar 5.27 Segitiga siku-siku sama kaki.

Cos A = 33

224

= 0

Jadi A = 90°

∆ ABC siku-siku di A.

45

2. Rumus Pembagian

Sebelum membahas tentang pembagian suatu ruas garis dengan menggunakan konsep

vektor, terlebih dulu dibahas pembagian pada ruas garis dengan perbandingan m : n.

a. Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan m : n

Misalkan suatu titik P membagi ruas garis AB dalam perbandingan m: n sedemikian rupa

sehingga AP : PB = m : n.

a. Jika P membagi di dalam, AP dan PB mempunyai arah yang sama sehingga m dan n

mempunyai tanda yang sama.

b. Jika P membagi di luar, AP dan PB mempunyai arah yang berlawanan sehingga m dan n

berlawanan tanda

A P B A B P

(a) (b)

Gambar 5.28 (a) Titik P membagi garis AB di dalam garis (b) Titik P membagi garis AB di luar

garis

Contoh :

Perhatikan gambar berikut ini, dari gambar tersebut dapat ditulis perbandingan ruas garis,

sebagai berikut.

AP : PB = m : n m n

AP : AB = m : (m + n)

A P B

AP : PB = m : -n m

AP : AB = m: (m - n) n

A B P

AP : PB = 1 : 1

AP : AB = 1 : 2

A P B

46

AP : PB = 2 : 1

AP : AB = 2 : 3

A P B

AP : PB = 4 : -2 = 2 : -1

AP : AB = 4: 2 = 2 :1

A B P

Gambar 5.29 Pembagian ruas garis

b. Rumus Pembagian dalam Bentuk Vektor

Perhatikan Gambar 5.30!

Jika p adalah vektor posisi titik P yang membagi AB dengan perbandingan m : n, P antara

A dan B, maka

p = nm

anbm

O

Gambar 5.30 Pembagian ruas garis AB dengan Perk.dingan m : n

Bukti:

AP : PB = m : n

Untuk semua letak P : AB , di dalam maupun di luar berlaku:

AP : PB = m : n

n ( p - a ) = m (b - p )

n p - n a = mb - m p

m p + n p = mb + n a

(m + n) p = mb + n a

47

p = nm

anbm

(terbukti)

O

Gambar 5.31 Pembagian ruas garis AB dalam bentuk vektor

Contoh:

1. Bila a , b , dan c adalah vektor-vektor posisi dari titik A, B, dan C dari ∆ABC. Titik D pada

AC sehingga AD : DC = l : 2. Titik E pada BC sehingga EC : EC = 3 : 1

Nyatakan DE dalam a , b , dan c

Jawab: C

d = 21

21

ac

= 3

1( c +2 a ) D E

e = 13

13

bc

= 4

1(3 c +b ) A B

Gambar 5.31 pembagi ruas garis AB dalam bentuk vektor

DE = e - d = 4

1(3 c +b ) -

3

1( c +2 a )

=

12

2433 acbc

= 12

1(9 c +3b - 4 c - 8 a )

= 12

1(-8 a + 3b - 5 c )

- Dalam hal ini untuk pembagian di luar,

rumus" akan lebih mudah digunakan

bila angka numerik m dan n yang lebih

besar diambil positif (misalnya 3 : -2

lebih mudah daripada -3 : 2).

- Jika P di tengah-tengah AB, m : n =1 : 1

Catatan :

48

2. Carilah vektor letak titik P dan Q yang membagi AB di dalam dan di luar dengan perbandingan

5:3

Jawab:

Untuk P, m : n = 5: 3 Untuk Q, m : n = 5 : -3

Maka p = nm

anbm

Maka q = nm

anbm

= 35

35

ab

= 35

35

ab

= 8

1(5b +3 a ) =

2

1(5b -3 a )

c. Rangkuman kegiatan belajar 3:

1. Rumus Jarak

Diberikan titik A(x1 + y1 + z1) dengan vektor posisi a =

1

1

1

z

y

x

dan titik B(x2 + y2 + z2) dengan

vektor posisi b =

2

2

2

z

y

x

Jarak antara titik A dan titik B (perhatikan Gambar 5.25) adalah panjang vektor AB , yaitu

│ AB │

AB = b - a

=

2

2

2

z

y

x

-

1

1

1

z

y

x

=

12

12

12

zz

yy

xx

2. Rumus Pembagian

a. Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan m : n

Misalkan suatu titik P membagi ruas garis AB dalam perbandingan m: n sedemikian rupa

sehingga AP : PB = m : n.

b. Rumus Pembagian dalam Bentuk Vektor

Jika p adalah vektor posisi titik P yang membagi AB dengan perbandingan m : n, P antara

A dan B, maka

49

p = nm

anbm


Kerjakan soal-soal yang terdapat dalam LKS tentang rumus jarak, perbandingan, perkalian

skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor untuk dipresentasikan.

e. Tes Formatif

1. Sebuah pesawat terbang tinggal landas dari bandaraAdi Sucipto menuju bandara

Soekarno-Hatta. Berapakah jarak yang ditempuh pesawat terbang tersebut bila pesawat

tersebut bergerak dari titik x (100, 60, 8) km menuju kota Jakarta sebelum mendarat yang

berposisi di titiky (300, 30, 18) km?

2. Hitung jarak antara titik-titik berikut!

a. O (0,0,0) dan P (4, 4, 2)

3. Tunjukkan bahwa P(3, 4, -1), Q(-9, -2, 3), dan R(9, 8, 11) adalah titik-titik sudut segitiga

sama kaki!

4. Pergunakan rumus p = nm

anbm

untuk menyatakan vektor-vektor posisi dari titik berikut

dengan a dan b

a. C, membagi AB dengan perbandingan 3 : 2

b. D, membagi AB dengan perbandingan 3: -2

f. Kunci Jawaban

1. Jarak yang di tempuh pesawat terbang yang tinggal landas menuju Jakarta di hitung

dengan rumus jarak:

r = 212

212

212 zzyyxx

Posisi awal pesawat terbang adalah x (100, 60, 8) km dengan titik tujuannya adalah y

(300, 20, 8) km. Jadi jarak yang ditempuh pesawat tersebut adalah

r = 222 8106020100300

= 222 240200

= 4160040000

= 41604

50

= 203,97 km

2. O = 0 P = 4

0 4

0 4

OP = 4 0

4 - 0

4 0

│OP │= 222 040404

= 161616

OP = 48

3, Untuk menyelesaikan soal di atas dilakukan langkah-langkah berikut

1. Contoh di atas memberikan informasi tersusunnya bangun segitiga sikusiku sama kaki

oleh tiga buah titik, yaitu P(3, 4, -1), Q(-9, -2, 3), dan R(9, 8, 11)

2. Dari informasi tersebut, kita akan memperlihatkan dengan menggunakan rumus jarak

bahwa segitiga PQR yang disusun dari titik-titik P, Q, dan R memang siku-siku sama

kaki.

3. Sebuah segitiga dikatakan sama kaki jika ada dua sisinya yang sama panjang, Dan

sebuah segitiga dikatakan siku-siku jika salah satu sudutnya 90°, sehingga dalam

segitiga tersebut berlaku teorema pythagoras. Untuk menghitung panjang sisi-sisi

segitiga yang akan dibuktikan bahwa segitiga itu siku-siku sama kaki, maka digunakan

rumus jarak sebagai berikut.

r = 212

212

212 zzyyxx

4. Dari persamaan rumus jarak yang terdapat di langkah 3 diperoleh sisi-sisi segitiga itu,

yaitu

│ PQ │= 222 134239 = 1636144 = 196 = 14

│ PR │= 222 1114839 = 1441636 = 196 = 14

│QR │= 222 3112899 = 81100324 = 506 = 22. 49

5. Dari hasil yang diperoleh di langkah (4), dengan menerapkan teorema pythagoras

diperoleh

PQ2 = 14 PR2 = 14 QR2 = 22, 5

51

Jika dilihat panjang kedua sisi segitiga itu yaitu AB dan BC , maka segitiga itu adalah

sama kaki, dan jika kita amati dalam segitiga tersebut berlaku teorema pythagoras

yang menyatakan PQ 2 + PR 2 = QR 2. Jadi, segitiga ABC siku-siku di B dan sama kaki.

4. a. Untuk C, m : n = 3: 2 b. Untuk D, m : n = 3 : -2

Maka p = nm

anbm

Maka q = nm

anbm

= 23

23

ab

= 23

23

ab

= 5

1(3b +2 a ) = (3b -2 a )


1. Tunjukkan bahwa A(3, 5, 7), B(8, 6, 1), C(7, 11, -5), dan D(2, 10, 1) merupakan belah

ketupat!

2. Tunjukkan bahwa A(1, 3,-1), B(3, 5, 0) dan C(-1, 4, 1) adalah titik sudut - titik sudut

segitiga siku-siku sama kaki!

3. Diketahui A(-3, 0), B(6, 0), dan C(9, 0) adalah titik pada sumbu X. Carilah nilai

perbandingan:

a. OB : BC c. AB : BC e. OB : BA

b. OC : CB d. OA : OB

4. Suatu ruas garis AE dibagi menjadi empat bagian yang sama oleh titik B, C, dan D. Carilah

nilai-nilai perbandingan dari:

a. AB : BD c. AE : EC e. DA : AC

b. AB : AE d. BE : ED f. CE : EB

5. Titik-titik P, Q, dn R berturut-turut titik-titik tengah BC , CA , dan AB dari ∆ ABC; a , b ,

dan c adalah vektor-vektor posisi dari A, B, C

Nyatakan p , q , dan r dengan a , b , dan c

Nyatakan bahwa AP , BQ , clan CR dengan a , b , dan c

Tunjukkan bahwa p + q + r = a + b + c

Tunjukkan bahwa AP + BQ + CR = O

52


Rumus :











53

4. Kegiatan Belajar 4 : Pembagian Dalam Bentuk Koordinat

a. Tujuan Kegiatan Belajar 4:

Setelah mempelajari uraian materi ini anda diharapkan dapat:

1) Dapat menentukan hasil kali skalar dua vektor,

2) Dapat memahami bentuk komponen perkalian skalar,

3) Dapat mengetahui besar sudut antara dua vektor,

4) Dapat menentukan sifat – sifat perkalian skalar,

5) Dapat memahami proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain,

6) Dapat menentukan perkalian silang dua vektor.

b. Uraian Materi :

Pembagian Dalam Bentuk Koordinat

Jika P (xp, yp, zp) membagi ruas garis yang menghubungkan A (x1, y1, z1) dan B(x2, y2, z2)

dengan perbandingan m : n, maka :

xp = nm

nxmx

12 ; yp =

nm

nymy

12 ; zp =

nm

nzmz

12

Bukti :

Dari rumus pembagian dalam bentuk vektor, yaitu

p = nm

anbm

; di mana a =

1

1

1

z

y

x

adalah vektor posisi dari titik A (x1, y1, z1)

b =

2

2

2

z

y

x

adalah vektor posisi dari titik B(x2, y2, z2)

dapat diubah menjadi:

54

A (x1, y1, z1 P (xp, yp, zp) B(x2, y2, z2)

p

p

p

z

y

x

= nm

z

y

x

n

z

y

x

m

1

1

1

2

2

2

m n

p

p

p

z

y

x

= nm

1

12

12

12

nzmz

nymy

nxmx

a p b

Sehingga diperoleh , O

Gambar 5.35 titik Q membagi diluar

xp = nm

nxmx

12 ; yp =

nm

nymy

12 ; zp =

nm

nzmz

12 (terbukti)

contoh :

Carilah koordinat titik P dan Q yang membagi garis yang menghubungkan A(1, 4, 6) dan B(1, 0,

2) di dalam dan di luar dengan perbandingan 3 : 1

Jawab:

(i) Titik P membagi di dalam A(1, 4, 6) P (xp, yp, zp) B(1, 0, 2)

xp = 13

1113

= 4

13= 1 3 -1

yp = 13

4103

= 4

40= 1 a p b

zp = 13

6123

= 4

66= 3

Jadi, koordinat P (1, 1, 3) O

Gambar 5.34 Titik P membagi di dalam

55

(ii) Titik Q membagi di luar Q (xq, yq, zq) A(1, 4, 6) B(1, 0, 2)

xq =

31

1113

=2

2= 1 3 -1

yq =

31

4103

= 2

4= -2 q a b

zq = 31

6)1(23

= 2

0= 0 O

Jadi, koordinat Q (1, -2, 0)

Gambar 5.35 Titik Q membagi di luar

1. Hasil Kali Skalar Dua Vektor

Hasil kali skalar dari vektor a dan b yang masing-masing bukan vektor nol dinyatakan dengan

a ∙b (dibaca a dot b). Perkalian skalar dari vektor a dan b adalah suatu bilangan real yang

didefinisikan oleh:

a ∙b = │ a ││b │cos ө

ө adalah sudut antara a dan b , dengan 0 ≤ B ≤ л

Jika a = 0 atau b = 0 maka a ∙b = 0 dan sudut ө tidak tertentu.

Tanda dari a ∙b ditentukan oleh besarnya ө

1. Jika 0 ≤ ө <2

1л, maka a ∙b > 0

a

2. Jika ө =2

1л, maka a ∙b = 0

b

a

56

3. Jika 2

1л < ө ≤ л , maka a ∙b < 0

a

Gambar 5.36 Tanda dari a ∙b berdasarkan besarnya ө

2. Bentuk Komponen Perkalian Skalar

Misalkan A(a1, a2, a3) dan B(b1, b2, b3), maka:

OA = 23

22

21 aaa

│ AB │ = 233

222

211 )()()( ababab

Z

Y

B(b1, b2, b3)

b A(a1, a2, a3)

a

O X

Gambar 5.37 Bentuk komponen perkalian skalar

1. Karena cos ө = cos (-ө), maka arah pengukuran ө dari a ke b atau dari b ke a

tidak menjadi soal.

2. Bila a ± b , maka a ∙b = 0

3. Hasil kali skalar dua vektor bukanlah suatu vektor melainkan suatu bilangan

(skalar).

Catatan

57

Dengan menggunakan aturan cosinus pada ∆ AOB, maka:

2

AB = 2

OA + 2

OB - 2 │OA││OB │ cos ө

(b1 - a1)2 + (b2 – a2)

2 + (b3 – a3)2 = (a1

2 + a22 + a3

2) + (b12 + b2

2 + b32) – 2 │ a ││b │cos ө

-2 a1 b1 - 2 a2 b2 - 2 a3 b3 = – 2 │ a ││b │cos ө

a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = │ a ││b │cos ө

a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = a ∙b atau a ∙b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3

Jika a =

3

2

1

a

a

a

dan b =

3

2

1

b

b

b

maka ;

a ∙b =

3

2

1

a

a

a

∙

3

2

1

b

b

b

= a1 b1 + a2 b2 + a3 b3

Contoh :

Jika A(1, 5, 8), B(-2, 1, 3), dan C(1, -6, 0), AB = u dan BC = v , hitunglah u ∙v

Jawab:

u = AB = b - a =

3

1

2

-

8

5

1

=

5

4

3

s

v = BC = c - b =

0

6

1

-

3

1

2

=

3

7

3

u ∙ v =

5

4

3

∙

3

7

3

= -3(3) + (-4)(-7) + (-5)(-3)

= -9 + 28 + 15 = 34

58

3. Besar Sudut Antara Dua Vektor

Jika dua vektor a dan b bertemu pada satu titik, maka sudut antara dua vektor tersebut

adalah sudut yang dibentuk oleh kaki vektor a dan kaki vektor b . Sudut yang diambil adalah

sudut terkecil. Sudut

Dari rumus:

a ∙b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3

a ∙b = │ a ││b │cos ө

Gambar 5.38 Sudut antara dua vektor

Diperoleh:

cos ө = ba

ba =

23

22

21

23

22

21

332211

bbbaaa

bababa

Contoh:

Carilah besar sudut antara a dan b , bila a = i + j + 2 k dan b = - 2 i + j + k

Jawab:

Langkah penyelesaian untuk contoh di atas adalah

1. Contoh di atas memberikan informasi adanya dua vektor berarah a dan b yang memiliki

satuan-satuan a = i + j + 2 k dan b = - 2 i + j + k

2. Kedua vektor di atas akan diolah untuk memperoleh besar sudut antara a dan b

3. Untuk memperoleh besar sudut a dan b , maka digunakan rumus perkalian skalar antara a

dan b , sehingga

a ∙b = │ a ││b │cos ө

cos ө = ba

ba

59

4. Dari langkah (1) kita memperoleh vektor satuan-vektor satuan dari vektor a dan b , yaitu

a =

2

1

1

; b =

1

1

2

5. Dari langkah (4) didapatkan:

a ∙b =

2

1

1

∙

1

1

2

= -2 + 1 – 2 = -3

cos ө = ba

ba =

114411

3

= 36

32

1

ө = arc cos 2

1

= 1200

4. Sifat-Sifat Perkalian Skalar

a. Sifat-Sifat yang Berlaku pada Perkalian Skalar

Misalkan a =

3

2

1

a

a

a

, b =

3

2

1

b

b

b

, dan c =

3

2

1

c

c

c

adalah vektor-vektor di R3 yang dinyatakan

dalam bentuk vektor kolom di mana berlaku sifat-sifat sebagai berikut.

1. Komutatif, yaitu a ∙ b atau dari b ∙ a

2. Distributif perkalian skalar terhadap penjumlahan, yaitu

a ∙ (b + c ) = a ∙ b + a ∙c

Bukti :

1. a ∙b =

3

2

1

a

a

a

∙

3

2

1

b

b

b

= a1 b1 + a2 b2 + a3 b3

= b1 a1 + b2 a2 + b3 a3

= b ∙ a

Jadi, a ∙b = b ∙ a terbukti bahwa pada perkalian skalar bersifat komutatif.

60

2. b + c =

3

2

1

b

b

b

+

3

2

1

c

c

c

=

33

22

11

cb

cb

cb

a ∙ (b + c ) =

3

2

1

a

a

a

∙

33

22

11

cb

cb

cb

= a1 (b1 +c1 ) + a2 (b2 +c2) + a3 (b3 +c3 )

= (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3) + (a1 c1 + a2 c2 + a3 c3)

= a ∙b + a ∙ c

Jadi, a ∙ (b + c ) = a ∙b + a ∙ c terbukti adanya sifat distributif.

b. Hal-Hal Mengenai Perkalian Skalar

Hal-hal mengenai perkalian skalar yang perlu diketahui adalah sebagai berikut.

1. Tidak tertutup, sebab a ∙b bukan vektor.

2. Tidak mempunyai elemen identitas, sebab a ∙ c = a tidak mungkin.

3. Tidak memiliki elemen invers, sebab a ∙ c bukan vektor.

4. Tidak asosiatif, sebab a ∙ (b + c ) dan ( a ∙ b ) ∙ c ) tidak berarti.

Contoh:

Jika │ a │= 4,│b │= 6 dan besar sudut antara a dan b adalah 4

1л

Carilah:

a. a ∙ (b + a ) b. b ∙ ( a + b )

Jawab:

a. a ∙ (b + a ) = a ∙ b + a • a

= │ a ││b │cos 4

1л +

2

a

= 4 x 6 x 2

12 + 42

= 12 2 + 16

61

= 16 + 12 2

b. b ∙ ( a + b ) = b ∙ a + b ∙ b

= │b ││ a │cos 4

1л + │b │ 2

= 6 × 4 × 2

12 + 62

= 12 2 + 36

= 36 + 12 2

5. Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain

Salah satu kegunaan dari perkalian skalar adalah untuk menentukan proyeksi ortogonal dari

suatu vektor pada vektor lain.

a. Proyeksi Skalar Ortogonal

Proyeksi skalar ortogonal biasanya disingkat dengan proyeksi skalar saja atau sering

dikatakan dengan panjang proyeksi vektor.

Misalkan proyeksi OA pada OB adalah OC (perhatikan Gambar 5.39).

A

O C

Gambar 5.39 Proyeksi skalar ortogonal

|OC | = | c | disebut proyeksi skalar ortogonal a pada b . | c | = │ a │cos (perhatikan ∆ AOC

pada Gambar 5.39 di mana cos = OA

OC=

a

c

Dari rumus:

a ∙ b = │ a ││b │cos

Diperolah :

a ∙ b = │ a ││b │cos (ruas kanan dan ruas kiri sama-sama dibagi dengan │b │)

62

│ a │ cos = b

ba pada gambar

| c | = │ a │cos

Jadi, proyeksi skalar ortogonal a pada b adalah

c = b

ba

Nilai proyeksi skalar ortogonal mungkin positif, nol, atau negatif, tergantung dan besamya sudut

.

Jika:

1. 0 ≤ < 2

1л , maka | c | positif

2. = 2

1л, maka | c | = 0

3. 2

1л < ≤ л , maka | c | negatif

b. Proyeksi Vektor Ortogonal

Proyeksi vektor OA pada OB adalah OC = c

Vektor satuan dari c = c

catau c = | c | , karena vektor c searah dengan vektor maka vektor

satuan dari

b maka vektor satuan dari c adalah juga vektor satuan dari b sehingga

OC = c = | c | vektor satuan dari b

= b

ba ∙

b

b=

2

b

ba ∙b

Jadi, proyeksi vektor ortogonal a pada b adalah

Contoh:

Diketahui a = 2 i - 3 j + 6 k dan b = 2 i + 2 j + k

63

Carilah:

a. proyeksi skalar ortogonal a pada b ,

b. proyeksi skalar ortogonal b pada a , dan

c. proyeksi vektor ortogonal a pada b

Jawab:

a ∙b =

6

3

2

∙

1

2

2

= 4 + (-6) + 6 = 4

b ∙ a = a ∙b = 4

│ a │= 222 6)3(2 = 3694 = 7

│b │= 222 122 = 144 = 3

a. Misalkan proyeksi skalar ortogonal a pada b adalah | c | di mana

c = b

ba =

3

4

b. Misalkan proyeksi skalar ortogonal b pada a adalah | d | di mana

| d | = a

ab =

7

4

c. Misalkan proyeksi skalar ortogonal b pada a adalah c , dimana

c =

bb

ba2

= 23

4(2 i + 2 j + k )

= 9

42 i + 2 j + k

= i9

8+ j

9

8+ k

9

4

6. Perkalian Silang Dua Vektor

Perkalian silang vektor a dan b ditulis dengan a x b (dibaca a kros b) yang hasilnya adalah

merupakan sebuah vektor.

Bila c = a x b , harus dipenuhi syarat:

64

1. c a

2. c b

3. Arah putaran dari a ke b menuju c

4. | c | = │ a ││b │sin , di mana sudut antara a dan b

Putar sekrup dari arah a ke b , maka sekrup akan bergerak ke arah c . Di mana c tegak lurus

bidang yang dibentuk oleh a dan b .

Jadi a x b = c

Sebaliknya jika sekrup diputar dari arah b ke a , maka sekrup akan bergerak ke arah c negatif (-

c).

Jadi b x a = - c

c = a x b

Gambar 5.40 Arah putar sekrup

Gambar 5.41 Perkalian silang dua vektor dengan arah sumbu Y,

a x b = c

Kita tinjau untuk b x a , karena b x a harus memenuhi aturan putaran sekrup sehingga arah

b x a berlawanan dengan arah a x b sedangkan besarnya tetap.

Bila arah dari a x b adalah c , arah dari b x a adalah d , dapat dikatakan bahwa: a x b = - (b x

a )

Apabila: (a1 i , a2 j , a3 k ) dan (b1 i , b2 j , b3 k ), dapat dibuktikan bahwa:

Apabila a = 0 atau b = 0, maka a x b = 0

Catatan

65

c

b

a

d = b x a

Gambar 5.41 Perkalian silang dua vektor dengan arah berlawanan sumbu Y, b x a = d = - c

a x b = i j k

a1 a2 a3

b1, b2 b3

Ruas kanan dari persamaan di atas adalah determinan berderajat tiga yang harganya dapat

dicari dengan metode Sarrus sebagai berikut.

i j k i j

a1 a2 a3 a1 a2

b1, b2 b3 b1, b2

(-) (-) (-) (+) (+) (+)

= (a2 b3 i + a3 b1 j + a1 b2 k ) – (a2 b1 i + a3 b2 j + a1 b3 k ) S

Contoh:

Jika a = 3 i - 2 j + k dan b = 2 i + j + 3 k , carilah a x b dan b x a

Jawab:

a × b = i j k i j

3 -2 1 3 -2

2 1 3 2 1

= (-6 i + 2 j + 3 k ) - (- 4 k + i + 9 j )

= -6 i + 2 j + 3 k + 4 k - i - 9 j

= -7 i - 7 j + 7 k

= - (7 i + 7 j - 7 k )

Vektor-vektor a =

2

1

3

dan b =

4

2

saling tegak kurus. Carilah nilai

Tugas

66

b × a = i j k i j

2 1 3 2 1

3 -2 1 3 -2

= ( i + 9 j - 4 k ) – (3 k - 6 i + 2 j )

= i + 9 j - 4 k ) – 3 k + 6 i - 2

= 7 i + 7 j - 7 k

a × b = - (b × a )

Sifat-Sifat Perkalian Silang Dua Vektor

1. Tidak komutatif.

Untuk setiap vektor a dan b berlaku: a × b = - (b × a )

2. Bersifat distributif terhadap penjumlahan

Untuk setiap vektor a ,b dan c berlaku: a × (b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )

3. Untuk setiap bilangan k dan vektor a dan b berlaku:

k ( a × b ) = (k a ) ×b = a × (k b )

4. Untuk vektor satuan i , j , k berlaku:

i × i = 0 j × j = 0 k × k = 0

i × j = k j × k = i k × i = j

5. Untuk setiap vektor a , berlaku a × a = 0

6. │ a × b │menyatakan luas jajar genjang yang sisinya a dan b

7.2

1│ a × b │menyatakan luas segitiga yang dua sisinya adalah a dan b

8. Jika a × b = 0, a dan b bukan vektor nol, a a sejajar dengan b ( a // b )

67

c. Rangkuman kegiatan belajar 4:

1. Hasil Kali Skalar Dua Vektor

Hasil kali skalar dari vektor a dan b yang masing-masing bukan vektor nol dinyatakan

dengan a ∙b (dibaca a dot b). Perkalian skalar dari vektor a dan b adalah suatu bilangan real

yang didefinisikan oleh:

a ∙b = │ a ││b │cos ө

ө adalah sudut antara a dan b , dengan 0 ≤ B ≤ л

Jika a = 0 atau b = 0 maka a ∙b = 0 dan sudut ө tidak tertentu.

2. Bentuk Komponen Perkalian Skalar

Misalkan A(a1, a2, a3) dan B(b1, b2, b3), maka:

OA = 23

22

21 aaa

│ AB │ = 233

222

211 )()()( ababab

3. Besar Sudut Antara Dua Vektor

Jika dua vektor a dan b bertemu pada satu titik, maka sudut antara dua vektor tersebut

adalah sudut yang dibentuk oleh kaki vektor a dan kaki vektor b . Sudut yang diambil adalah

sudut terkecil.

4. Sifat-Sifat Perkalian Skalar

a. Sifat-Sifat yang Berlaku pada Perkalian Skalar

b. Hal-Hal Mengenai Perkalian Skalar

Hal-hal mengenai perkalian skalar yang perlu diketahui adalah sebagai berikut.

1. Tidak tertutup, sebab a ∙b bukan vektor.

2. Tidak mempunyai elemen identitas, sebab a ∙ c = a tidak mungkin.

3. Tidak memiliki elemen invers, sebab a ∙ c bukan vektor.

4. Tidak asosiatif, sebab a ∙ (b + c ) dan ( a ∙ b ) ∙ c ) tidak berarti.

68

5. Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain

a. Proyeksi Skalar Ortogonal

Proyeksi skalar ortogonal biasanya disingkat dengan proyeksi skalar saja atau sering

dikatakan dengan panjang proyeksi vektor.

b. Proyeksi Vektor Ortogonal

Proyeksi vektor OA pada OB adalah OC = c

Vektor satuan dari c = c

catau c = | c | , karena vektor c searah dengan vektor maka

vektor satuan dari

b maka vektor satuan dari c adalah juga vektor satuan dari b sehingga

OC = c = | c | vektor satuan dari b

= b

ba ∙

b

b=

2

b

ba ∙b

Jadi, proyeksi vektor ortogonal a pada b adalah

6. Perkalian Silang Dua Vektor

Perkalian silang vektor a dan b ditulis dengan a x b (dibaca a kros b) yang hasilnya

adalah merupakan sebuah vektor.

Bila c = a x b , harus dipenuhi syarat:

1. c a

2. c b

3. Arah putaran dari a ke b menuju c

4. | c | = │ a ││b │sin , di mana sudut antara a dan b


Diskusikan soal-soal LKS tentang pembagian dalam bentuk koordinat untuk dipresentasikan.

69

e. Tes Formatif

1. Jika P pada AB , carilah koordinat P, jika:

a. A(-2, -3), B(3, 7), dan AP : PB = 3 : 2

b. A(-3, -2, -1), B(0, -5, 2), dan AP : PB = 4:-3

2. Carilah a ∙b jika :

a. a = 2 i + j + k dan b = 3 i + 2 j - k

b. a = 5 i + 4 j dan b = 2 i - 2 j + 4 k

3. Carilah besar sudut AOB jika O titik pangkal untuk masirig-masing soal berikut ini!

a. A(1, 0, 0) dan B(1, 1, 0)

4.. Jika a =

1

1

1

, b =

1

2

1

, dan c =

x

4

0

Carilah x bila a ∙ (b + c ) = a . a

f. Kunci Jawaban

1. a. Titik P membagi di dalam

xp = 23

2233

= 5

49 = 1

yp = 23

3273

= 5

621= 3

Jadi, koordinat P (1, 3)

b. Titik P membagi di dalam

xq =

34

)3(304

= 1

9= 9

yq =

34

)2(3)5(4

= 1

14= - 14

zq = 34

)1()3(24

= 1

12= 12

Jadi, koordinat Q (9, -14, 12)

70

2. a. a=

1

1

2

b =

1

2

3

a . b =

1

1

2

.

1

2

3

= (2)(3) + (1)(2) + (1)(-1) = 7

b. a=

0

4

5

b =

4

2

2

a . b =

0

4

5

.

4

2

2

= (5)(2) + (4)(-2) + (0)(4) = 2

3. Langkah penyelesaian untuk contoh di atas adalah

1. Contoh di atas memberikan informasi adanya dua vektor berarah a dan b yang

memiliki satuan-satuan a = i dan b = i + j

2. Kedua vektor di atas akan diolah untuk memperoleh besar sudut antara a dan b

3. Untuk memperoleh besar sudut a dan b , maka digunakan rumus perkalian skalar

antara a dan b , sehingga

a ∙b = │ a ││b │cos ө

cos ө = ba

ba

4. Dari langkah (1) kita memperoleh vektor satuan-vektor satuan dari vektor a dan b ,

yaitu

a =

0

0

1

; b =

0

1

1

5. Dari langkah (4) didapatkan:

a ∙b =

0

0

1

∙

0

1

1

= 1

71

cos ө = ba

ba =

011001

1

=

2

1

ө = arc cos 2

1

= 1200

4. a =

1

1

1

, b =

1

2

1

, dan c =

x

4

0

Carilah x bila a ∙ (b + c ) = a . a

1

1

1

.

1

2

1

+

x

4

0

=

1

1

1

.

x

6

1

= (1)(1) + (-1)(6) + (1)(x)

= -5 + x

-x = -5

x = 5


1. Diketahui a = i + j

b = 2 i - 3 j + k

c = 4 j - 3 k

Carilah :

a. a × b d. ( a × b ) + ( a × c )

b. b × a e. b × c

c. a × c f. a × (b + c )

2. Carilah luas ∆ ABC yang titik-titik sudutnya A(2, -3, 1), B(1, -1, 2), dan C(-1, 2, 3)

3. Diketahui a = 10 i + 3 j + k dan b = x i + j + k , jika │ a × b │= 2 11 , carilah x.

4. Diketahui O(0, 0), A(4, 1), B(1, 4), dan C(6, 6). Hitung luas segi empat OABC.

72

5. Diketahui A(2, -1, 1), B(-1, 1, 1), dan C(x, y, z) agar vektor posisi dari C tegak lurus pada

vektor posisi dari titik A dan B, tentukan koordinat C


Rumus :











73

BAB III

EVALUASI

Evaluasi Kompetensi (Waktu 2 x 45 Menit)

1. Diketahui titik A (3,-2) dan titik B (-1,5). Ruas garis berarah AB sebagai wakil vektor p dan ruas garis

berarah BA sabagai wakil vektor q . Tentukan vektor p dan vektor q dalam bentuk vektor kolom.

2. Diketahui vektor a =

1

3, vektor b =

4

2, c =

3

1

a) Tentukan apakah a + b = b + a

b) Periksalah apakah a + b = b + a

c) Tentukan ( a + b ) + c = a + (b + c )

d) Periksalah apakah ( a + b ) + c = a + (b + c )

3. Diketahui vektor p =

2

4, vektor q =

6

9, dan vektor r =

8

4

Tentukan 2

1p ,

3

1 q , dan

4

1r !

4. Diketahui titik A (1, 7) dan titik B (4, 1). Titik C adalah sebuah titik pada garis hubung AB sehingga

AC = 3

1AB

a. Tentukan vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah AB

b. Tentukan vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah AC

c. Tentukan koornidat titik C

5. Diketahui vektor a =

3

2, vektor b =

1

1,dan vektor c =

4

2

Tentukan

a. c

b. ba

6. Misalkan diketahui vektor a =

3

4, tentukan vektor satuan dari vektor a

74

7. Diketahuhi vektor a =

1

2

3

dan vektor b =

4

3

2

a) Tentukan a + b dan b + a

b) Periksalah apakah a + b = b + a

8. Vektor posisi titik A dan titik B berturut – turut adalah a dan b . Titik C dan titik D pada ruas garis AB

sehungga AC : CB = 1 : 3 dan AD : DC = 3 : -1

a) Tentukan vektor posisi titik C

b) Tentukan vektor posisi titik D

9. Diketahui ruas garis PQ dengan koordinat titik P(2, 3, -1) dan koordinat titik Q (7, -2, 9). Titik R

membagi ruas garis PQ dengan perbandingan 1 : 4. tentukan koordinat titik R.

10.Panjang vektor a dan panjang vektor b masing – masing adalah 4 satuan dan 5 satuan. Besar

sudut antara vektor a dan panjang vektor b sama dengan 600

Hitung hasil kali skalar antara vektor a dengan vektor b

75

SISTEM PENILAIAN

Mata Pelajaran : Matematika

Kompetensi : Menerapkan Vektor

Alokasi Waktu : 20 Jam

Sub

Kompetensi

(Kode)

Metode

Penilaian

Penilaian Total nilai

Instrumen Nilai

K.1 Pemberian

Tugas

LKS 1 10 20

Uraian

Objektif

Tes Formatif 1 10

K.2 Pemberian

Tugas

LKS 2 10 20

Uraian

Objektif

Tes Formatif 2 10

K.3 Pemberian

Tugas

LKS 3 10 20

Uraian

Objektif

Tes Formatif 3 10

K.4 Pemberian

Tugas

LKS 4 10 20

Uraian

Objektif

Tes Formatif

4

10

Ulangan Blok Evaluasi

belajar satu

kompetensi

20

Jumlah Nilai akhir 100

76

Kunci Jawaban Evaluasi

1. A (3,-2) xa = 3, ya = -2 dan B (-1,5) xb = -1, yb = 5

p = AB =

ab

ab

yy

xx=

25

31=

7

4

q = BA =

ba

ba

yy

xx=

52

13=

7

4

Jadi, vektor p = AB =

7

4dan vektor q = BA =

7

4

2. a). a + b =

1

3+

4

2=

41

23=

3

5

b + a =

4

2+

1

3=

14

32=

3

5

b). Berdasarkan hasil – hasil perhitungan yang diperoleh pada a) ;

a + b =

3

5

b + a =

3

5 jadi, a + b = b + a

Meskipun bukan merupakan bukti, tetapi hasil perhitungan ini menunjukkan bahwa

penjumlahan vekor dalam bidang bersifat komutatif.

c). Dengan menggunakan hasil a) :

( a + b ) + c =

3

5+

3

1=

33

15=

6

4

Dihitung terlebih dahulu (b + c ) =

34

12=

7

1

a + (b + c ) =

3

1+

7

1=

71

13=

6

4

77

d). Dengan menggunakan hasil – hasil perhitungan pada bagian c), diperoleh :

a + (b + c ) =

6

4

( a + b ) + c =

6

4 jadi, ( a + b ) + c = a + (b + c )

Meskipun bukan merupakan bukti, tetapi hasil perhitungan ini menunjukkan bahwa penjumlahan

vektor dalam bidang bersifat asosiatif.

3.2

1p =

2

1

2

4=

22

1

42

1

=

1

2

3

1 q =

3

1

6

9=

63

1

93

1

=

2

3

4

1r =

4

1

8

4=

84

1

44

1

=

2

1

4. a). Koordinat titik A (1, 7), maka OA= a =

7

1

Koordinat titik B (4, 1), maka OB = b =

1

4

AB = b - a =

1

4-

7

1=

71

14=

6

3

Jadi, ruas garis berarah AB =

6

3

b). AC = 3

1AB =

3

1

6

3=

2

1

jadi, ruas garis berarah AC =

2

1

c). Misalkan koordinat titik C adalah (x,y), maka OC = c =

y

x

78

AC = c - a =

y

x-

7

1=

7

1

y

x

Dengan menggunakan hasil perhitungan b), diperoleh hubungan ;

7

1

y

x=

2

1

Berdasarkan hubungan vektor di atas, diperolah :

x – 1 = 1, menghasilkan x = 2

y – 7 = -2, menghasilkan y = 5

jadi, koordinat titik C adalah (2,5)

5. a). c = 22 )4()2( = 20 = 2 5

Jadi, panjang vektor c adalah c = 2 5 satuan panjang.

b). a + b =

3

2+

1

1=

4

3

ba = 22 )4()3( = 25 = 5

Jadi, panjang vektor a + b adalah ba = 5 satuan panjang.

6. Mula – mula ditentukan terlebih dahulu panjangf dari vektor a

a = 22 )3()4( = 25 = 5

Vektor satuan dari a adalah e = a

a=

5

1

3

4=

5

35

4

Jadi, vektor satuan dari a =

3

4adalah e =

5

35

4

7. a). a + b =

1

2

3

+

4

3

2

=

3

1

5

79

b + a =

4

3

2

+

1

2

3

=

3

1

5

b). Dengan menggunakan hasil – hasil perhitungan pada bagian a), diperoleh :

a + b =

3

1

5

b + a =

3

1

5

jadi, a + b = b + a

Meskipun bukan merupakan bukti, tetapi hasil perhitungan ini menunjukkan bahwa

penjumlahan vektor dala ruang bersifat komutatif.

8. a). Titik C pada ruas garis AB sehingga AC : CB = 1 : 3 atau m = 1 dan n = 3

Vektor posisi titik C adalah vektor c ditentukan oleh:

c = nm

anbm

c = 31

31

ab

c = 4

1(b + 3 a ) =

4

1(3 a + b )

Jadi, vektor posisi titik C adalah = c = 4

1(3 a + b )

b). Titik D pada ruas garis AB sehingga AD : DB = 3 : -1 atau m = 3 dan n = -1

vektor posisi titik D adalah vektor d ditentukan oleh :

d = nm

anbm

d = 13

13

ab

d = 2

1(3b - a )

Jadi, vektor posisi titik D adalah = d = 2

1(3b - a )

80

9. Titik R membagi ruas garis PQ dengan P(2, 3, -1) Q(7, -2, 9)

perbandingan 1 : 4 atau PR : RQ = 1 : 4

sebagaimana diperlihatkan pada gambar di R

samping.

Misalkan koordinat titk R(x, y, z), maka berdasarkan rumus perbandingan koordinat titik –titik di

ruang dengan m = 1 dan n = 4, diperoleh :

x =

41

2471= 3

y =

41

3421= 2

z =

41

1491= 1

Jadi, koordinat titik R adalah (3. 2, 1)

10.Berdasarkan definisi, hasil kali skalar antara vektor a dengan vektor b ditentukan oleh :

a .b = a b cos

a .b = 4 x 5 x cos 600 , sebab (sudut antara vektor a dengan vektor b ) = 600

a .b = 4 x 5 x 2

1= 10

Jadi, hasil kali skalar antara vektor a dengan vektor b adalah a .b =10

81

BAB IV

PENUTUP

Sebagai tindak lanjut seluruh kegiatan belajar dalam Modul Eksponen ini adalah :

1. Jika hasil evaluasi terhadap penguasaan kompetensi mencapai 75 % atau lebih, maka siswa

dapat melanjutkan ke modul berikutnya.

2. Siswa dapat melanjutkan ke modul berikutnya setelah memperoleh rekomendasi dari guru mata

pelajaran matematika.

3. Peserta didik yang masih belum mencapai penguasaan kompetensi 75 %, maka siswa harus

mengulang secara keseluruhan atau bagian-bagian tahap kegiatan belajar yang belum dikuasai

dengan baik.

4. Kemungkinan diberikannya pembelajaran remedial bagi yang memperoleh nilai yang lebih kecil

dari 6, terutama terhadap siswa yang memperoleh nilai terendah.

5. Pengayaan serta akselerasi bagi siswa yang berprestasi juga dimungkinkan sesuai dengan

ketersediaan waktu

82

Daftar Pustaka

Sunardi, H. Dkk 2005.” MATEMATIKA Untuk SMA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam.

Jakarta : Bumi Akasara.

Wirodikromo, S. 2006. “ Matematika Untuk SMA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam.

Penerbit : Erlangga

VEKTOR - · PDF fileModul pembelajaran ini dirancang untuk membimbing peserta didik SMA dalam...

Documents

Transcript of VEKTOR - · PDF fileModul pembelajaran ini dirancang untuk membimbing peserta didik SMA dalam...