rleni.files. Web viewPenjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian Vektor dengan Skalar___Hal. 7. Hasil...

DAFTAR ISI

A. Pendahuluan___Hal. 3

B. Vektor di Ruang Dimensi Dua (R2)___Hal. 3

C. Vektor di Ruang Dimensi Tiga (R3)___Hal. 5

D. Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian Vektor dengan Skalar___Hal. 7

E. Hasil Kali Titik Dua Vektor___Hal. 9

F. Proyeksi Ortogonal suatu Vektor___Hal. 10

G. Hasil Kali Silang Dua Vektor___Hal. 12

DAFTAR PUSTAKA___Hal. 15

*): oleh erlenza, http://rleni.wordpress.com/ 1

http://rleni.wordpress.com/

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1 : Vektor posisi titik A di R2___Hal. 4

Gambar 2 : Vektor posisi titik A di R3 ___Hal. 6

Gambar 3 : u + v ___Hal. 7

Gambar 4 : u + v = v + u ___Hal. 7

Gambar 5 : ___Hal. 8

Gambar 6 : ___Hal. 8

Gambar 7 : Sudut antara vektor dan ___Hal. 9

Gambar 8 : Vektor dan vektor ___Hal. 10

Gambar 9 : Proyeksi ortogonal vektor pada vektor ___Hal. 11



VEKTOR*)

Dalam materi ini akan dibahas mengenai vektor dalam ruang dimensi dua

(R2); vektor dalam ruang dimensi tiga (R3); penjumlahan, pengurangan, dan

perkalian scalar dengan vektor; hasil kali titik (dot product) dua vektor; proyeksi

ortogonal suatu vektor; dan hasil kali silang (cross product) dua vektor.

A. Pendahuluan

Vektor merupakan ruas garis berarah yang dinyatakan sebagai pasangan

terurut yang disebut vektor kolom. Notasi-notasi vektor diantaranya adalah a, b, u

, , OA, atau .

Mengingat bahwa vektor memiliki arah, maka jika suatu vektor

dinyatakan dalam dua huruf kapital, maka urutan huruf-huruf tersebut harus

diperhatikan, .

Vektor nol dinotasikan dengan 0 adalah suatu vektor khusus karena

memiliki ukuran 0 dan akibatnya vektor tersebut tidak memiliki arah. Vektor

khusus lainnya adalah vektor satuan yaitu suatu vektor yang memiliki ukuran 1.

Ukuran suatu vektor lebih umum disebut sebagai panjang vektor (norm

of a vector). Dua vektor dikatakan sama (equivalent vectors) jika memiliki

panjang dan arah yang sama.

B. Vektor dalam Ruang Dimensi Dua (R2)

Vektor dalam R2 diwakili oleh dua besaran yang disebut komponen x dan

komponen y. Vektor dalam dalam R2 dapat digambarkan dalam suatu sistem

koordinat Cartesius (bidang).

Bentuk umum sebarang vektor a

di R2 adalah , a=( x1 , y1 )

, atau

, dengan x1 adalah komponen x dan y1 adalah komponen y dari

vektor a.



Vektor-vektor dan berturut-turut merupakan vektor

satuan di R2 dan adalah vektor nol di R2.

Vektor posisi titik A ( x1, y1 ) dinotasikan dengan adalah suatu vektor

yang dimulai dari titik O(0,0)

dan berakhir di titik A ( x1, y1 )

, ditulis .

Titik O(0,0) disebut titik pangkal dan titik A ( x1 , y1 ) disebut titik ujung dari

vektor .

Sebagai contoh, vektor posisi titik A(6,4) adalah suatu vektor yang

memiliki titik pangkal O(0,0)

dan titik ujung A(6,4)

ditulis . Perhatikan

Gambar 1 di bawah ini.

Gambar 1 : Vektor posisi titik A (6, 4)

Sedangkan vektor adalah suatu vektor yang memiliki titik pangkal

A(6,4) dan titik ujung

O(0,0), ditulis .

Perhatikan bahwa , dikatakan bahwa vektor

merupakan lawan dari vektor . Vektor dapat juga dinotasikan

dengan , dengan demikian vektor dinotasikan dengan – a .



Panjang vektor dinotasikan dengan atau , dan

didefinisikan bahwa .

Contoh 1:

Panjang vektor adalah

Jika diketahui titik A(x1 , y1) dan titik B(x2 , y2) maka vektor dapat dinyatakan sebagai

C. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga (R3)

Vektor dalam R3 diwakili oleh tiga besaran yang disebut komponen x,

komponen y, dan komponen z.

Bentuk umum sebarang vektor

a

di R3 dinotasikan dengan ,

a=( x1 , y1 , z1 ), atau , dengan x1 adalah komponen x, y1 adalah

komponen y, dan z1 adalah komponen z dari vektor a,

Vektor-vektor , dan berturut-turut merupakan

vektor satuan di R3 dan adalah vektor nol di R3.

Vektor posisi titik A ( x1 , y1 , z1 ) dinotasikan dengan adalah suatu

vektor yang dimulai dari titik O(0,0,0) dan berakhir di titik A ( x1, y1 , z1 ), ditulis



. Titik

O(0,0,0)

disebut titik pangkal dan titik

A ( x1 , y1 , z1 ) disebut

titik ujung dari vektor .

Sebagai contoh, vektor posisi titik A(4,6,2) adalah suatu vektor yang

memiliki titik pangkal

O(0,0,0)

dan titik ujung

A(4,6,2)

, ditulis .

Perhatikan Gambar 2 di berikut ini.

Gambar 2 : Vektor posisi titik A (4, 6, 2)

Sedangkan vektor adalah suatu vektor memiliki titik pangkal

A(4,6,2)

dan titik ujung

O(0,0,0)

, ditulis .

Perhatikan bahwa , dikatakan bahwa vektor

merupakan lawan dari vektor . Vektor dapat juga dinotasikan

dengan , dengan demikian vektor dinotasikan dengan – a .



Panjang vektor dinotasikan dengan atau , dan

didefinisikan bahwa .

Contoh 2:

Panjang vektor adalah

Jika diketahui titik A(x1 , y1 , z1) dan titik B(x2 , y2 , z2) maka vektor

dapat dinyatakan sebagai

D. Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian Skalar dengan Vektor

Misalkan diketahui sebarang vektor-vektor tak nol , , dan skalar tak

nol k . Operasi yang dapat dilakukan atas vektor , vektor v, dan suatu skalar k

diantaranya adalah operasi penjumlahan vektor, pengurangan vektor, dan

perkalian vektor dengan skalar.

Berikut ini adalah definisi-definisi dan teorema yang berlaku pada

operasi tersebut.

Definisi 1:

u + v adalah suatu vektor yang ditentukan dengan cara: meletakkan vektor v

sedemikian sehingga titik pangkal vektor v berimpit dengan titik ujung vektor u .

Perhatikan gambar 3 berikut ini.



Gambar 3: u + v

Selain itu, u + v dapat juga ditentukan dengan cara: meletakkan vektor u dan

meletakkan vaktor v sedemikian sehingga titik pangkal vektor u berimpit dengan

titik ujung vektor . Perhatikan gambar 4 di bawah ini.

Gambar 4: u + v = v + u

Definisi 2:

Selisih vektor dan didefinisikan sebagai

Gambar 5 berikut ini adalah sketsa selisih vektor dan .

Gambar 5:

Definisi 3:

Hasil kali didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya kali panjang .

Jika maka searah dengan , jika maka berlawanan arah

dengan . Perhatikan gambar 6 di bawah ini.

Gambar 6 :



Didefinisikan pula jika atau .

Teorema 1:

Jika diketahui sebarang vektor-vektor tak nol , , dan ; sebarang skalar-skalar

tak nol k dan l, maka berlaku:

1. u + v = v + u

2. u + 0 = 0 + u = u

3.

4.

5.

6.

7.

8.

E. Hasil Kali Titik Dua Vektor

Misalkan diketahui vektor-vektor tak nol dan , yang telah

diposisikan sedemikian sehingga titik-titik pangkal kedua vektor tersebut

berimpit. Sudut antara vektor dan , sebut , memenuhi 0≤ α ≤ π , seperti pada

gambar 7 berikut.

Gambar 7 : Sudut antara vektor dan

Definisi 4:

Misalkan diketahui sebarang vektor-vektor dan , dan adalah sudut antara

vektor dan . Hasil kali titik (dot product) vektor dengan vektor

dinotasikan dengan , didefinisikan sebagai



Perhatikan bahwa hasil kali titik dua vektor menghasilkan suatu skalar.

Contoh 3:

Jika diketahui vektor-vektor , di R3 dan sudut antara

vektor dan adalah 60o, maka tentukan .

Penyelesaian:

Diketahui , , dan = 60o.

Teorema 2:

Jika diketahui sebarang vektor-vektor dan di R3, maka

Contoh 4:

Jika diketahui vektor-vektor dan maka

.

Teorema 3:

Jika diketahui sebarang vektor-vektor tak nol ; dan suatu skalar tak

nol k maka berlaku:

1.

2.

3.



4. dan

F. Proyeksi Ortogonal suatu Vektor

Dalam banyak penerapan vektor, seringkali suatu vektor akan diuraikan

menjadi penjumlahan dua vektor, dimana vektor pertama sepanjang/sejajar

dengan vektor yang diketahui, dan vektor kedua tegak lurus/ortogonal dengan

vektor yang diketahui. Hal ini dikenal sebagai proyeksi ortogonal suatu vektor.

Sebagai contoh, pada gambar 8, vektor akan diuraikan

sepanjang/sejajar vektor .

Gambar 8: Vektor dan vektor

Proyeksi ortogonal vektor pada vektor , dilakukan dengan cara

memindahkan vektor sedemikian sehingga titik pangkalnya berimpit dengan

titik pangkal vektor . Tarik garis melalui titik ujung vektor tegak lurus vektor

, sebut garis g. Sebut vektor adalah vektor yang memiliki titik pangkal yang

sama dan memiliki titik ujung di titik potong garis g dengan vektor . Sebut

vektor adalah suatu vektor yang memiliki titik pangkal yang sama dan sejajar

garis g, seperti gambar 9 di bawah ini.

Gambar 9 : Proyeksi ortogonal vektor pada vektor

Pada gambar 9 berdasarkan definisi selisih dua vektor, , dengan

demikian .

Vektor disebut proyeksi ortogonal vektor pada vektor ,

dinotasikan dengan Proya .



Teorema 4:

Jika diketahui sebarang vektor-vektor tak nol dan , maka

(i) proyeksi ortogonal vektor pada vektor adalah

Proya =

(ii) komponen vektor yang ortogonal dengan vektor adalah

– Proya = –

Contoh 5:

Jika diketahui vektor-vektor dan maka tentukan:

a. proyeksi ortogonal vektor pada vektor

b. komponen vektor yang ortogonal dengan vektor

Penyelesaian:

Diketahui vektor-vektor dan

a. proyeksi ortogonal vektor pada vektor

Proya =

b. komponen vektor yang ortogonal dengan vektor

– Proya =



G. Hasil Kali Silang Dua Vektor

Selain menentukan proyeksi ortogonal suatu vektor, dapat pula dibentuk

suatu vektor baru yang tegak lurus dengan dua vektor yang diketahui. Pada bagian

ini akan dibahas mengenai suatu operasi perkalian vektor yang akan menghasilkan

vektor baru. Operasi ini dikenal dengan nama hasil kali silang (cross product) dua

vektor. Perhatikan bahwa hasil kali silang dua vektor menghasilkan suatu

vektor.

Definisi 5:

Misalkan diketahui vektor-vektor tak nol dan di R3.

Hasil kali silang vektor dengan vektor , dinotasikan dengan ,

didefinisikan sebagai

Dalam menentukan hasil kali silang vektor dengan

dapat dilakukan dengan cara membentuk matriks ordo 2 3

dengan vektor sebagai baris pertama dan vektor

sebagai baris kedua, matriks ordo 2 3 yang dimaksud adalah

(1)

(i) Untuk menentukan komponen pertama , hilangkan kolom pertama

matriks (1) kemudian tentukan determinan .

(ii) Untuk menentukan komponen kedua , hilangkan kolom kedua matriks

(1) kemudian tentukan determinan – .



(iii) Untuk menentukan komponen ketiga , hilangkan kolom ketiga matriks

(1) kemudian tentukan determinan .

Contoh 6:

Jika diketahui vektor-vektor dan maka tentukan .

Penyelesaian:

Diketahui vektor-vektor dan .

Bentuk matriks ordo 2 3 dengan vektor sebagai baris pertama dan

vektor sebagai baris kedua. Matriks yang dimaksud adalah

(i) Komponen pertama adalah = (2)(1) – (–2)(0) = 2;

(ii) komponen kedua adalah = – [(1)(3) – (–2)(3)] = – 7;

(iii) komponen ketiga adalah = (1)(0) – (2)(3) = – 6.

Jadi .

Teorema 5:

Jika diketahui sebarang vektor-vektor tak nol , maka berlaku:

1. ( ortogonal terhadap )

2. ( ortogonal terhadap )

3. (Identitas Lagrange)

4.

5.



Teorema 6:

Jika diketahui sebarang vektor-vektor tak nol , dan sebarang skalar tak

nol k maka berlaku:

1.

2.

3.

4.

5.

6.



DAFTAR PUSTAKA

Anton H., (2000). Elementary Linear Algebra 7th Edition. Drexel University

Press.

Clapham, C. (1996). The Concise Oxford Dictionary of Mathematics 2nd Edition.

Oxford University Press.

Neill, H. & Quadling, D. (2007). Advanced Level Mathematics Pure Mathematics

2 & 3. Cambridge University Press.

Smedley R. & Wiseman G. (2001). Introducing Pure Mathematics 2nd Edition.

Oxford University Press.



rleni.files. Web viewPenjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian Vektor dengan Skalar___Hal. 7. Hasil...

Documents

Transcript of rleni.files. Web viewPenjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian Vektor dengan Skalar___Hal. 7. Hasil...