Nilai dan Vektor Eigen -...
Transcript of Nilai dan Vektor Eigen -...
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Nilai dan Vektor Eigen
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Mengingat kembali: perkalian matriks• Diberikan matriks A2x2 dan vektor-vektor u, v, dan w
• Hitunglah Au, Aw, Av. Manakah dari hasil kali tersebut yang hasilnya adalah vektor yang sejajar dengan vektor semula
2 0 1 0 54 1 4 4 4
A v w u
2 0 1 2 12 2
4 1 4 8 4Av v
2 0 5 104 1 4 24
untuksemua
Au k u
k R
2 0 0 01.
4 1 4 4Aw w
v dan Av sejajar Jawab:
w dan Aw sejajar
u dan Au TIDAK sejajar
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Mengingat kembali: SPL homogen dan determinan1. A adalah matriks nxn dan SPL Ax = 0 mempunyai penyelesaian trivial saja.
Apa kesimpulanm tentang A?
2. A adalah matriks nxn dan SPL Ax = 0 mempunyai penyelesaian TIDAK trivial. Apa kesimpulanmu tentang A dan det(A)?
Jawaban: A mempunyai inverse. Det(A) ≠ 0
Jawaban: A tidak mempunyai inverse. Det(A) = 0
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Ax
Perkalian vektor dengan matriks
A x = xλ
x
Axx
x dan Ax sejajar
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Perkalian vektor dengan matriks
y
x
14
y
x
y
x
28
04
14
= 22 04 1
14
2 04 1
04
=1 04
2 04 1
54
= 1024
54
k
54
1024
Au = 2u Av = v Aw ≠ kw
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Definisi: Nilai dan Vektor EigenDefinisi: Diberikan matriks A nxn, vektor tak nol v di Rn disebut vektor eigen
dari A jika terdapat skalar sedemikian hingga Av = λv.λ disebut nilai eigen, x adalah vektor eigen dari A yang
bersesuaian dengan λ .
Syarat perlu: v ≠ 0
(1) λ ≥ 1 (2) 0 ≤ λ ≤ 1 (3) -1 ≤ λ ≤ 0 (4) λ ≤ - 1
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Masalah Vektor Eigen
Diberikan matriks persegi A,
Temukan semua vektor tidak nol x sedemikian hingga Ax adalah kelipatan skalar x (Ax sejajar dengan x).
atau
Temukan semua vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = λx untuk suatu skalar λ
A x sejajar x
A x = xλ
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Masalah Nilai EigenDiberikan matriks persegi A.
A =
Temukan semua skalar λ sedemikian hingga Ax = λx untuk suatu vektor tak nol x.
atau
Temukan semua vektor skalar λ sedemikian hingga persamaan
Ax = λx mempunyai penyelesaian tak nol
x λ xx vektor tak nol
Ax = λx
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Pernyataan-pernyataan ekuivalenJika A matriks persegi nxn, maka kalimat-kalimat berikut ekuivalen
1. nilai eigen A
2. terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = x
3. SPL (A – I)x = 0 mempuyai solusi tidak nol (non-trivial)
4. adalah penyelesaian persamaan det(A – I) = 0
Mencari nilai eigen A sama saja mencari penyelesaian persamaan det(I-A) = 0
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Persamaan KarakteristikJika diuraikan, det((A - λI) merupakan suku banyak berderajat n dalam λ, p(λ ) = λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0 suku banyak karakteristik
Persamaan det((A - λI) = λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0 = 0 disebut persamaan karakteristik
Persamaan dengan derajat n mempunyai paling banyak n penyelesaian, jadi matriks nxn paling banyak mempunyai n nilai eigen.
A-λIdet λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0
λIA -
= = 0
•persamaan karakteristik
A-λI=
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Contoh Mencari semua nilai eigen A=
2 04 1
Mencari semua penyelesaian persamaan
Mencari penyelesaian persamaan karakteristik
Nilai eigen A adalah 1
2
2,1
det2 - λ 0
= 04 1 - λ
( )( ) = 0
2 - λ1 - λ4
0
2 - λ 1 - λ
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Prosedur: menentukan nilai eigenDiberikan matriks persegi A. Nilai-nilai eigen A dapat diperoleh sebagai berikut:1. Tentukan persamaan karakteristik det((A - λI) = 0 tuliskan A dan matriks yang elemen diagonal utamanya dikurangi λ
2. (Jika diperlukan) uraikan persamaan karakteristik ke dalam persamaan sukubanyak karakteristik:
λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0 = 0
3. Selesaikan persamaan yang diperoleh pada langkah di atas. Nilai-nilai eigen merupakan penyelesaian persamaan tersebut.
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Contoh: Menentukan nilai eigen
Diberikan matriks persegi
1. Tentukan persamaan karakteristik det(A - λI) = 0
2. Ubahlah persamaan karakteristik ke dalam persamaan sukubanyak karakteristik:
3. Selesaikan persamaan di atas untuk memperoleh nilai-nilai eigen
1 1 10 3 32 1 1
A
2
1 1 1det( ) det 0 3 3
2 1 1
(1 ) (3 ) 6 2(3 ) 3(1 )
A I
2(1 ) (3 ) (3 ) 0
2(1 ) (3 ) 6 2(3 ) 3(1 ) 0
( 2)(3 ) 0 Nilai-nilai eigen A:
λ1 = 0 λ2 = 2 λ3 = 3
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Nilai eigen matriks diagonal Diberikan matriks diagonal
2 0 0 00 5 0 00 0 6 00 0 0 1
A
Nilai-nilai eigen matriks diagonal adalah elemen diagonal utamanya.
•Persamaan karakteristik:
•Nilai-nilai eigen 2, 6, 5, 1 (merupakan entri diagonal utama)
2 0 0 00 5 0 00 0 6 00 0 0 1
A I
(2 )(5 )(6 )(1 ) 0
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Bagaimana menentukan apakah suatu skalar merupakan nilai eigen?
• Tentukan apakah 2, 0, 4 merupakan nilai eigen A.
Jawab:Bentuk det(A-λI) untuk λ = 2, 0, 4. Jika det(A-λI) ≠ 0, maka merupakan nilai eigen, kalau = 0,
maka bukan nilai eigen. Kunci: 2, 4 nilai eigen A, 0 bukan nilai eigen A.
2 adalah nilai eigen A
0 bukan nilai eigen A
4 nilai eigen A
2 2 00 4 00 1 0
A
2 2 2 0det( 2 ) det 0 4 2 0 0
0 1 0 2A I
2 4 2 0det( 4 ) det 0 4 4 0 0
0 1 0 4A I
2 0 2 0det( 0 ) det 0 4 0 0 8 0
0 1 0 0A I
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Kelipatan skalar vektor eigen• Diberikan A. Diketahui bahwa x adalah vektor eigen A yang bersesuaian dengan nilai
eigen 2. Selidiki apakah 1/2x, 10x, 5x juga vektor-vektor eigen A
1 1 10 3 3 ,2 1 1
A
1 1 1 4 80 3 3 6 12 22 1 1 2 4
Ax x
1 1 1 40 80(10 ) 0 3 3 60 120 2(10 )
2 1 1 20 40A x x
12
23
1x
46
2x
20
5 3010
x
4010 60
20x
Ax = 2 x A(10x) = 2 (10x)
A =x λ x
A =(10) λ (10) xx
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Kelipatan skalar vektor eigen1 1 10 3 3 ,2 1 1
A
1 1 1 4 80 3 3 6 12 22 1 1 2 4
Ax x
1 12 2
1 1 1 2 4( ) 0 3 3 3 6 2( )
2 1 1 1 2A x x
12
23
1x
46
2x
Ax = 2 x A(1/2 x) = 2 (1/2 x)
A =x λ x
Kelipatan skalar (tak nol) dari vektor eigen adalah vektor eigen terhadap nilai eigen yang sama
A =(1/2) λ (1/2) xx
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Menentukan semua vektor eigen Eλ
• Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ. Tentukan semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ.
• Vektor-vektor eigen A yang bersesuaian dengan λ = 3 dapat diperoleh dengan menyelesaikan SPL (A - λ I)x = 0. Vektor eigen adalah anggota Null(A - λ I)
Null(A - λ I)
Null(A - λ I)-{0}
Himpunan semua penyelesaian SPL (A - λ I)x = 0
Himpunan semua vektor eigen
bersesuaian dengan λ 0
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Ruang Eigen
0
Ruang penyelesaian SPL (A - λ I)x = 0
Null(A - λ I)x
Ruang Eigen
Eλ
Ruang eigen A yang bersesuaian dengan λ terdiri atas semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ dan vektor nol
Null(A - λ I) = Eλ
Menentukan Eλ sama dengan menentukan himpunan penyelesaian SPL (A - λ I)x = 0
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Menentukan ruang eigen Eλ
• Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ = 3. Tentukan semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 3.
1 2 3
3
1 2 3
2 03 0
2 2 0
x x xx
x x x
12 ,0
a a R
1
2
3
1 3 1 1 0( 3 ) 0 3 3 3 0
2 1 1 3 0
xA I x x
x
SPL (A - 3 I)x = 0
Penyelesaian 1
2
3
20
x ax ax
Himpunan vektor eigen A bersesuaian dengan λ =3 :
Himpunan penyelesaian
12 , 0,0
a a a R
1 3 1 10 3 3 32 1 1 3
A I
1 1 10 3 32 1 1
A
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Nilai eigen matriks pangkat• Nilai eigen dari A adalah 0, 2, dan 3.
• Tentukan nilai eigen untuk
• Diberikan sembarang matriks A dan diketahui bahwa λ adalah nilai eigennya. Maka terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga
Ax = λx kalikan kedua ruas dengan matriks A A.Ax = A λx A2x = λ(Ax) substitusi Ax dengan λx A2x = λ2x jadi, λ2 merupakan nilai eigen A2
• Teorema: Jika n adalah bilangan bulat positif, λ nilai eigen matriks A, maka λn
adalah nilai eigen An
1 1 10 3 32 1 1
A
2 13 201 5 56 12 12 , ,4 2 1
A A A
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Nilai eigen matriks singular• Misalkan = 0 merupakan nilai eigen dari A.
Maka 0 merupakan penyelesaian persamaan karakteristik: dengan menganti dengan 0, diperoleh c0 = 0.Padahal det(A- I) = 0, dengan = 0, maka det(A) = c0 = 0.Karena det(A) = 0 maka A tidak mempunyai inverse.
• Sebaliknya, det(A) = det(A - I) dengan mengambil = 0.Jadi det(A) = c0. Jika A tidak mempunyai inverse, maka det(A) = 0 = c0. Sehingga = 0 merupakan salah satu penyelesaian persamaan karakteristik; = 0 merupakan salah satu nilai eigen dari A.
0 adalah nilai eigen A jika dan hanya jika A tidak mempunyai inverse.
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Nilai eigen matriks transpose
Misalkan = 0 merupakan nilai eigen dari A, maka det(A- I)= 0
Karena matriks dan transposenya mempunyai determinan yang sama, maka det(A- I)T= 0
Karena (A- I)T = (AT- I) , maka det(AT- I)= 0
Jadi, adalah nilai eigen dari AT
A dan AT mempunyai nilai eigen yang sama
det(B) = det(BT) (A- I)T = (AT- I)
A dan A-1 mempuyai nilai eigen yang sama
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
DiagonalisasiDefinisi: Matriks persegi A dapat didiagonalkan jika terdapat matriks yang mempunyai inverse sedemikian hingga P-1AP = D adalah matriks diagonal.
5 63 4
A
Contoh:
1 1 11 2
P
2 11 1
P
2 00 1
D P-1AP=
2 11 1
1 11 2
5 63 4
Matriks diagonal
A dapat didiagonalkan
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Kapan matriks A dapat didiagonalkan?
• Teorema: Jika A adalah matriks nxn, maka kalimat-kalimat berikut ini ekuivalen:1. A dapat didiagonalkan2. A mempunyai n vektor-vektor eigen yang bebas linier
Bukti (1) (2)Diberikan A
Misalkan A dapat didiagonalkan, maka terdapat matriks P yang mempunyai inverse
Sedemikian hingga P-1AP = D matriks diagonal
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a aa a a
A
a a a
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
p p pp p p
P
p p p
11 12 1
21 22 2
1 2
AP=PD
n
n
n n nn
p p pp p p
p p p
1
2
0 00 0
0 0 n
D
1 11 2 12 1
1 21 2 22 2
1 1 2 2
n n
n n
n n n nn
p p pp p p
p p p
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Kapan matriks A dapat didiagonalkan? (lanjt)
P-1AP = D, kalikan dengan P-1,AP = PD
AP = PD, jadi
Karena P mempunyai inverse, maka kolom-kolmnya bukan kolom nol. Berdasarkan deinisi nilai eigen, maka λ1, λ2, λ3, …,λn merupakan nilai-nilai eigen A, dan kolom-kolom P adalah vektor-vektor eigen A yang bebas linier (karena P mempunya inverse)
Bukti untuk (2) (1) kerjakanlah sebagai latihan untuk memperdalam pemahaman.
1
2
0 00 0
0 0 n
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a aa a a
AP
a a a
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
p p pp p p
p p p
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
p p pp p p
PD
p p p
1 1 2 2 n np p p
1 11 2 12 1
1 21 2 22 2
1 1 2 2
n n
n n
n n n nn
p p pp p p
p p p
1 2 nAp Ap Ap
1 1 1 2 2 2 n n nAp p Ap p Ap p
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Prosedur mendiagonalkan matriks • Diberikan matriks Anxn. Akan dicari P sedemikian hingga PAP-1 = D.
Prosedur1. Tentukan n vektor eigen A yang bebas linier, misalkan p1, p2, p3, …, pn
2. Dibentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah p1, p2, p3, …, pn
3. Mariks D = P-1AP adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya adalah λ1, λ2, λ3, …,λn dengan λj adalah nilai eigen bersesuaian dengan pj untuk j = 1, 2, 3, …, n
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Contoh: mendiagonalkan matriks • Diberikan matriks Anxn. Akan dicari P sedemikian hingga PAP-1 = D.
Prosedur1. Tentukan 2 vektor eigen A yang bebas linier. Pertama kita tentukan nilai-nilai eigennya
yaitu λ1= 2 dan λ2= -1 (telah dihitung sebelumnya). Tentukan vektor eigen bersesuaian dengan nilai eigen, dengan menyelesaiakn SPL (A - λ I)x =0. Diperoleh
2. Dibentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor eigen di atas.
3. Matriks D = P-1A P adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya adalah λ1, λ2 berturut-turut
2 11 1
P
1 1 11 2
P
5 63 4
A
121
p
2
11
p
2 00 1
D
Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Masalah Diagonalisasi dan masalah vektor eigen • Masalah vektor eigenDiberikan matriks Anxn, apakah terdapat basis di Rn terdiri atas vektor-vektor eigen?
• Masalah diagonalisasiDiberikan matriks Anxn apakah terdapat matriks yang mempunyai inverse P
sedemikian hingga nP-1AP adalah matriks diagonal?
Teorema:Anxn dapat didiagonalkan jika dan hanya jika terdapat n vektor eigen yang bebas
linier.
Padahal, setiap n vektor yang saling bebas linier di Rn merupakan basis Rn.
Kesimpulan: masalah vektor eigen sama dengan masalah diagonalisasi