MENENTUKAN EIGEN PROBLEM ALJABAR MAX-PLUS

SKRIPSI

Diajukan Kepada Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakarta

untuk Memenuhi Sebagian Syarat Memperoleh

Gelar Sarjana Strata Satu dalam

Program Studi Matematika

Disusun Oleh:

HANIK IMTIHANAH

09610018

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN KALIJAGA

YOGYAKARTA

2015

Expert

PDF Tria

l

v

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan segala nikmat,

rahmat dan hidayah-Nya kepada penulis, sehingga penulisan skripsi ini dapat

terselesaikan. Shalawat serta salam senantiasa tercurahkan kepada Nabi

Muhammad SAW. Semoga kita termasuk umatnya yang akan mendapatkan

syafa’atnya kelak di hari kiamat. Amin.

Penulisan skripsi ini tidak akan terselesaikan tanpa adanya do’a,

bimbingan dan bantuan dari berbagai pihak. Maka pada kesempatan ini penulis

mengucapkan terimakasih yang tiada terkira kepada:

1. Bapak Prof. Drs. H. Akh. Minhaji, M.A., Ph.D selaku Dekan Fakultas

Sains dan Teknologi yang telah memberikan ijin kepada penulis untuk

melaksanakan penulisan skripsi ini.

2. Ibu Dra. Hj. Khurul Wardati, M.Si selaku pembimbing pertama penulis

yang senantiasa memberikan bimbingan, arahan, motivasi dan banyak

ilmu yang telah diberikan.

3. Bapak M. Zaki Riyanto, S.Si., M.Sc selaku pembimbing kedua penulis

yang dengan kesabarannya memberikan bimbingan dan arahan dalam

penyusunan skripsi ini.

4. Bapak dan Ibu dosen dan seluruh Staf karyawan Fakultas Sains dan

Teknologi UIN Sunan Kalijaga atas ilmu yang telah diberikan.

5. Ibu, Bapak serta keluarga tercinta di Purworejo yang selalu mendo’akan

dan memotivasi penulis sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan.

Expert

PDF Tria

l

vii

PERSEMBAHAN

SKRIPSI INI PENULIS PERSEMBAHKAN KEPADA:

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UIN SUNAN

KALIJAGA YOGYAKARTA

SERTA

IBU, BAPAK TERCINTA

SAHABAT-SAHABAT SEPERJUANGAN DAN

KELUARGA BESAR MI WAHID HASYIM

YOGYAKARTA

ix

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ................................................................................ i

SURAT PERSETUJUAN SKRIPSI ........................................................ ii

HALAMAN PENGESAHAN ................................................................. iii

SURAT PERNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI .................................. iv

KATA PENGANTAR ............................................................................. v

HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................ vii

HALAMAN MOTTO .......................................................................... viii

DAFTAR ISI .......................................................................................... ix

ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN ................................................ xi

ABSTRAK ............................................................................................. xv

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah ....................................................................... 1

1.2 Batasan Masalah ................................................................................... 5

1.3 Rumusan Masalah ................................................................................. 5

1.4 Tujuan Penelitian .................................................................................. 5

1.5 Manfaat Penelitian ................................................................................ 6

x

1.6 Tinjauan Pustaka ................................................................................... 6

1.7 Metode Penelitian .................................................................................. 7

1.8 Sistematika Penulisan ............................................................................ 9

BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Digraf ................................................................................................ 10

2.2 Matriks Representasi .......................................................................... 15

BAB III ALJABAR MAX-PLUS

3.1 Struktur Aljabar ................................................................................. 16

3.2 Operasi pada Aljabar Max-Plus .......................................................... 21

3.3 Sifat Dasar Aljabar Max-Plus ............................................................. 34

3.4 Digraf dan Matriks Aljabar Max-Plus ................................................. 42

3.5 Rata-rata Maksimum Sirkuit ............................................................... 47

3.6 Transitive Closures ............................................................................. 52

BAB IV EIGEN PROBLEM DALAM ALJABAR MAX-PLUS

4.1 Konsep Dasar Eigen Problem ............................................................. 54

4.2 Bobot Rata-rata Maksimum Sirkuit adalah Nilai Eigen Utama ........... 60

xi

BAB V PENUTUP

5.1 Kesimpulan ........................................................................................ 71

5.2 Saran-saran ........................................................................................ 72

DAFTAR PUSTAKA .............................................................................. 73

xii

ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN

: himpunan bilangan real

n : himpunan vektor bilangan real

: nilai eigen

I : matriks identitas

det : determinan

: operasi penjumlahan dalam aljabar max-plus (berarti max)

: operasi perkalian dalam aljabar max-plus (berarti plus (+))

: kuantor universal

: kuantor eksistensial

Ax : x elemen himpunan A

: himpunan bilangan bulat

Q : himpunan bilangan rasional

max : }{

a-1

: invers a

: elemen netral dalam aljabar max-plus (bernilai )

e : elemen satuan dalam aljabar max-plus (bernilai 0)

xiii

max : maksimum

nx : x pangkat n ≔ n

xxx ...

nmmax : matriks ukuran m x n atas aljabar max-plus

: himpunan bilangan asli

AT : martiks transpose dari A

En : matriks identitas pada aljabar max-plus

: akhir suatu bukti

: standar urutan

: implikasi

: subset

D : digraf (selanjutnya dinyatakan dengan graf)

V : vertex; himpunan semua titik pada suatu graf

E : edges; himpunan semua busur pada suatu graf

: lintasan (path)

l( ) : panjang lintasan

w( ) : bobot lintasan

u → v : titik u mencapai titik v

xiv

DA : graf preseden dari matriks A

: sirkuit

),( A : nilai rata-rata sirkuit atas A

)(A : nilai rata-rata maksimum suatu sirkuit

)(ANc : titik kritis pada DA

(A) : transitive closure lemah

(A) : transitive closure kuat

V(A,) : himpunan vektor eigen yang bersesuaian dengan

: sigma ; penjumlahan dari beberapa elemen

xv

ALJABAR MAX-PLUS

Oleh : Hanik Imtihanah (09610018)

ABSTRAK

Aljabar max-plus ( max ) adalah himpunan semua bilangan real digabung

, dengan operasi penjumlahan didefinisikan sebagai nilai maksimum dan

operasi perkalian didefinisikan sebagai nilai penjumlahan biasa. Aljabar max-

plus merupakan semifield idempotent komutatif, dengan demikian max tidak

mempunyai invers pada operasi . Pada himpunan bilangan real dikenal vektor

dan matriks yang elemen-elemennya bilangan real beserta operasi-operasi pada

vektor dan matriks real. Demikian pula pada max terdapat vektor dan matriks

yang elemen-elemennya di max beserta operasi-operasinya pada max . Eigen

problem yang meliputi nilai eigen dan vektor eigen merupakan salah satu topik

dalam aljabar yang dimiliki oleh matriks bujur sangkar. Berbeda dengan aljabar

linear biasa, eigen problem dalam max tidak dapat diselesaikan dengan metode

determinan. Pada max matriks bujur sangkar A dapat direpresentasikan dalam

bentuk graf yang disebut dengan graf preseden dan dinotasikan dengan DA. Pada

penelitian ini akan dibahas bagaimana cara menentukan nilai eigen dan vektor

eigen pada matriks dalam aljabar max-plus dengan merepresentasikannya ke

dalam graf.

Kata kunci : aljabar max-plus, nilai eigen, vektor eigen.

2

C yang menghubungkan kedua stasiun sebelumnya menuju stasiun selanjutnya.

Lama perjalanan dari A menuju C dinotasikan dengan a1 dan lama perjalanan dari

B menuju C adalah a2. Untuk waktu keberangkatan kereta dari stasiun A

dinotasikan dengan x1, sedangkan dari B dinotasikan dengan x2. Misalkan tidak

ada jadwal keberangkatan kereta dan kereta langsung berangkat setelah

penumpang berganti di stasiun C, maka keberangkatan kereta (b) di stasiun C

dapat ditentukan oleh kedatangan kereta dari stasiun A dan B.

),max( 2211 axaxb (1.3)

Jika operasi max dinotasikan dengan dan operasi penjumlahan dinotasikan

dengan , maka persamaan (1.3) dapat dituliskan dengan persamaan berikut:

)()( 2211 axaxb (1.4)

Adapun permasalahan transportasi yang lain (Butkovič, 2010),

diperhatikan dua penerbangan dari bandara A dan B, tiba di sebuah bandara utama

C yang menghubungkan keberangkatan kedua penerbangan lainnya. Bandara

utama C mempunyai beberapa pintu gerbang dan waktu transfer diantara kedua

pesawat tersebut nontrivial. Diberikan waktu keberangkatan pesawat di bandara C

adalah b1 dan b2. Waktu transfer diantara kedatangan kedua pesawat dan waktu

keberangkatan kedua pesawat diberikan dalam matriks

2221

1211

aa

aaA

4

b1 = )()( 12221111 adxadx (1.7)

sedangkan persamaan (1.6) dapat dituliskan dengan persamaan berikut:

b2 = )()( 22222111 adxadx

b2 = )()( 22222111 adxadx (1.8)

selanjutnya, persamaan (1.7) dan (1.8) dapat ditulis dengan

)()(

)()(

22222111

12221111

2

1

adxadx

adxadx

b

b

22

11

2221

1211

dx

dx

aa

aa (1.9)

secara umum, persamaan (1.9) dapat dinyatakan dengan sistem persamaan linear

xAb (1.10)

Kedua permasalahan mengenai sistem transportasi di atas dapat

dimodelkan secara matematis ke dalam persamaan non linear, namun

permasalahan tersebut dapat dimodelkan menjadi permasalahan linear dengan

cara merubah operasi max menjadi dan operasi penjumlahan menjadi . Dalam

Rudhito (2005) sistem (1.10) di atas disebut dengan sistem persamaan linear max-

plus.

Sistem persamaan linear (1.10) menunjukkan bahwa dalam aljabar max-

plus terdapat matriks sebagaimana dalam aljabar biasa. Nilai eigen dan vektor

5

eigen merupakan salah satu topik pembahasan pada aljabar yang memiliki

matriks.

Menurut Subiono (2013) eigen problem dalam aljabar max-plus dapat

digunakan untuk menganalisa periode penjadwalan dalam sistem transportasi.

Untuk itu, sesuai dengan kedua permasalahan di atas, untuk mengetahui periode

keberangkatan pesawat dan penyusunan jadwalnya, penulis tertarik untuk

membahas mengenai eigen problem, yaitu menentukan nilai eigen dan vektor

eigen dalam aljabar max-plus.

1.2. Batasan Masalah

Pembatasan masalah dalam suatu penelitian sangat diperlukan agar objek

yang dikaji jelas dan mudah dipahami. Permasalahan dalam penulisan ini adalah

masalah eigen pada aljabar max-plus. Eigen problem yang akan dibahas adalah

nilai eigen dan vektor eigen aljabar max-plus.

1.3. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah yang telah dijabarkan,

maka permasalahan yang akan dibahas dalam penulisan ini adalah mengenai

bagaimana menentukan nilai eigen dan vektor eigen pada aljabar max-plus.

1.4. Tujuan Penelitian

Berdasarkan pada permasalahan maka tujuan dari penulisan ini adalah

untuk mengetahui cara menentukan nilai eigen dan vektor eigen pada aljabar max-

plus.

6

1.5. Manfaat Penelitian

Manfaat dari penulisan ini adalah:

1. Memberikan pengetahuan tentang konsep menentukan nilai eigen dan

vektor eigen pada aljabar max-plus.

2. Memberikan kemudahan untuk mendapatkan solusi/ penyelesaian dari

suatu sistem persamaan linear dalam aljabar max-plus yang dapat

digunakan untuk memodelkan suatu permasalahan nyata, yaitu

permasalahan sistem dinamis.

3. Memberikan motivasi kepada peneliti selanjutnya untuk

mengembangkan penelitian mengenai aljabar max-plus.

1.6. Tinjauan Pustaka

Penulisan tugas akhir ini mengacu pada literatur utama yaitu buku yang

ditulis oleh Bacelli, et.al. (2001). Bacelli membahas mengenai aljabar max-plus,

sistem persamaan linear max-plus, aljabar max-plus dan teori graf. Konsep dasar

eigen problem aljabar max-plus dijelaskan oleh Butkovič, P (2010), digunakan

sebagai acuan dalam menyelesaikan tugas akhir ini.

Rudhito (2003) membahas mengenai sistem linear max-plus waktu-

invariant yang meliputi analisis input-output dan sifat periodik sistem linear max-

plus waktu-invariant, dengan menggunakan sistem persamaan linear max-plus

sebagai konsep dasar dalam pembahasannya. Tesis tersebut memberikan inspirasi

pada penulis untuk membahas mengenai aljabar max-plus. Perbedaan antara

penulisan ini dengan penulisan tersebut yaitu, dalam penulisan ini, penulis

7

menggunakan sistem persamaan linear max-plus untuk memperoleh nilai eigen

dan vektor eigen atas aljabar max-plus, sedangkan tesis tersebut menggunakan

sistem persamaan linear max-plus untuk menyelesaikan masalah input-output

pada siatem linear max-plus waktu-invariant.

Rudhito (2008) juga memberikan tambahan wacana untuk penelitian ini.

Dalam artikelnya, M. Andhi Rudhito membahas mengenai eksistensi dan

ketunggalan nilai eigen dan vektor eigen atas aljabar max-plus interval. Artikel

tersebut memberikan tambahan wawasan kepada penulis untuk membahas

mengenai nilai eigen dan vektor eigen atas aljabar max-plus.

1.7. Metode Penelitian

Penelitian yang dilakukan penulis adalah studi literatur, yaitu dengan

mempelajari dan mengkaji beberapa buku, jurnal, karya ilmiah, dan beberapa

referensi lain yang berkaitan dengan cara menentukan eigen problem pada aljabar

max-plus.

Sifat penelitian yang dilakukan adalah kualitatif. Penulis melakukan

klarifikasi dan membuktikan teorema-teorema yang terdapat pada buku acuan.

Penulis juga mencoba mengkonstruksi beberapa contoh yang ada pada buku acuan

dan mengembangkannya.

Sumber data yang penulis gunakan dalam penulisan ini berupa buku, tesis,

jurnal, makalah, artikel, dan hasil penelitian lain yang relevan. Dari sumber data

tersebut, tidak semuanya penulis jadikan sebagai acuan secara langsung. Hanya

sumber data berupa buku yang penulis jadikan sebagai bahan acuan secara

8

langsung, terutama yang berkaitan dengan definisi dan contoh. Meski demikian,

sumber-sumber data lain memberikan wawasan dan warna tersendiri dalam

penulisan ini.

Tujuan dari penulisan ini adalah untuk mengetahui cara menentukan nilai

eigen dan vektor eigen pada aljabar max-plus. Sebelumnya terlebih dahulu

dijelaskan mengenai landasan teori yang digunakan, yaitu teori graf. Teori ini

digunakan sebagai landasan berpikir untuk menyelesaikan eigen problem dalam

aljabar max-plus, karena matriks aljabar max-plus dapat direpresentasikan ke

dalam graf. Selain itu, masalah sistem dinamis sebagaimana sistem transportasi,

dapat diilustrasikan menggunakan graf berarah berbobot dan dapat ditangani

dengan baik oleh aljabar max-plus.

Selanjutnya, diberikan pembahasan mengenai struktur aljabar max-plus

untuk mengetahui sifat-sifat dan operasi yang berlaku pada aljabar max-plus.

Struktur aljabar max-plus adalah semiring idempoten komutatif, sehingga berbeda

dari aljabar linear bisa, operasi tidak invertibel. Oleh karena itu, digunakan teori

graf untuk menyelesaikan eigen problem dalam aljabar max-plus.

Keterkaitan antara aljabar max-plus dengan teori graf adalah adanya graf

representasi matriks atas aljabar max-plus, yang disebut dengan graf preseden.

Graf preseden tersebut dapat memuat suatu sirkuit, sehingga diberikan

pembahasan mengenai rata-rata makimum sirkuit dan transitive closures sebagai

konsep dasar untuk menyelesaikan eigen problem dalam aljabar max-plus.

9

1.8. Sistematika Penulisan

Penulisan ini terdiri atas 5 bab, dengan rincian sebagai berikut:

- Bab I berisi pendahuluan, antara lain berisi tentang latar belakang masalah,

batasan masalah, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian,

tinjauan pustaka, metode penelitian, serta sistematika penulisan.

- Bab II berisi pembahasan mengenai landasan teori yang digunakan, yaitu

teori graf.

- Bab III berisi pembahasan mengenai definisi dan konsep dasar aljabar max-

plus. Pembahasan tersebut meliputi struktur aljabar max-plus, operasi yang

berlaku pada aljabar max-plus, sifat dasar aljabar max-plus, keterkaitan antara

teori graf dengan aljabar max-plus, rata-rata maksimum sirkuit dan transitive

closures.

- Bab IV berisi pembahasan mengenai masalah yang diteliti, yaitu berisi

definisi-definisi dan teorema-teorema mengenai eigen problem aljabar max-

plus.

- Bab V adalah penutup yang berisi kesimpulan dan saran.

73

BAB V

PENUTUP

5.1 KESIMPULAN

Berdasarkan penelitian serta studi literatur yang penulis lakukan mengenai

menentukan eigen problem aljabar max-plus, maka dapat diambil kesimpulan

sebagai berikut:

1. Nilai eigen unik dari matriks A merupakan nilai maksimum bobot rata-

rata dari semua sirkuit elementer yang mungkin pada graf DA.

2. Vektor eigen yang bersesuaian dengan merupakan kolom ke-v dari

matriks (A) untuk suatu v Nc(A), dengan AAA 1))(( .

3. Dalam terapannya, nilai eigen dapat digunakan untuk menyatakan periode

dalam suatu sistem dinamik, sedangkan vektor eigen yang bersesuaian

dapat digunakan dalam penyusunan jadwal dalam suatu sistem dinamik,

misalnya dalam sistem transportasi.

5.2 SARAN

Berdasarkan pada studi literatur yang telah penulis lakukan, maka dapat

disampaikan beberapa saran berikut:

1. Penelitian ini hanya dibatasi pada penyelesaian eigen problem yang

meliputi nilai eigen dan vektor eigen, diharapkan ada penelitian lebih

lanjut yang akan membahas mengenai ruang eigen.

74

2. Penelitian ini juga hanya membahas mengenai eigen problem pada matriks

aljabar max-plus secara umum, oleh karena itu penulis menyarankan untuk

melakukan penelitian untuk matriks yang lebih khusus, misal matriks yang

irredusibel, matriks sirkulan, maupun yang lainnya.

3. Pada bagian akhir tulisan ini penulis hanya sekilas membahas contoh

terapan aljabar max-plus dalam jaringan transportasi, untuk itu penulis

mengharapkan ada penelitian selanjutnya yang secara khusus membahas

mengenai aplikasi atau terapan aljabar max-plus dalam kehidupan nyata.

4. Pembahasan mengenai ilmu terapan untuk aljabar max-plus secara lengkap

dapat dilihat di Bacelli (2001), Subiono (2013) dan referensi lain.

Semoga tugas akhir ini dapat menjadi inspirasi bagi pembaca untuk

mengembangkan lebih lanjut tentang konsep eigen problem dalam aljabar max-

plus khususnya dan konsep aljabar max-plus pada umumnya.

75

DAFTAR PUSTAKA

Aldous, Joan M. 2004. Graph and Applications an Introductory Approach.

Springer Verlag. London.

Bacelli, F., et al. 2001. Synchronization and Lineraity. NewYork: John Wiley &

Sons

Butkovič, P., 2010. Max-Linear Systems: Theory and Algorithms. University of

Birmingham. Birmingham, UK.

Farlow, Kasie G. 2009. Max-Plus Algebra. Thesis: Faculty of the Virginia

Polytechnic Institute and State University. Virginia.

Kandasamy, W.B., Vasantha. 2002. Smarandache Semirings, Semifield, and

Semivector spaces. American Research Press: Rehoboth, NM

Novrida, Rida. 2012. Nilai Eigen dan Vektor Eigen dalam Aljabar Max-Plus.

Tesis: Program Pascasarjana Universitas Indonesia. Depok.

Rudhito, Andy. 2003. Sistem Linear Max-Plus Waktu-Invariant. Tesis: Program

Pascasarjana Universitas Gadjah Mada. Yogyakarta.

Rudhito, Andy, dkk. 2008 “Nilai Eigen dan Vektor Eigen atas Aljabar Max-Plus

Interval”. Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan

Matematika. FMIPA UNY. Yogyakarta. 28 November 2008.

Schutter, Bart DE., 1996. Max-Algebraic System Theory for Discrete Event

System. PhD Thesis. Department of Electrical Engineering, Katholieke

Universiteit Leuven.

Subiono, 2013. Aljabar Maxplus dan Terapannya. Institut Teknologi Sepuluh

Nopember. Surabaya.