Karakterisasi Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan Eigenmode...

PENDAHULUAN DASAR TEORI METODA PENELITIAN PEMBAHASAN KESIMPULAN DAN SARAN

Karakterisasi Nilai Eigen, Vektor Eigen,

dan Eigenmode dari Matriks Tak Tereduksi

dan Tereduksi dalam Aljabar Max-Plus

Himmatul Mursyidah(1213 201 001)

Dosen Pembimbing : Dr. Subiono, M.S.Program Magister Matematika

Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya

20151 / 70


Latar Belakang

2 / 70


3 / 70


Perumusan Masalah

Permasalahan yang dibahas dalam penelitian ini adalah

1 Bagaimana karakterisasi nilai eigen, vektor eigen, daneigenmode dari matriks tak tereduksi dalam aljabarmax-plus?

2 Bagaimana karakterisasi nilai eigen, vektor eigen, daneigenmode dari matriks tereduksi dalam aljabar max-plus?

3 Bagaimana contoh penerapan hasil karakterisasi yangdiperoleh dalam masalah sistem transportasi dan antrian?

4 / 70


Batasan Masalah

Batasan masalah dalam penelitian ini adalah

1 Karakter yang dibahas meliputi eksistensi, ketunggalan,dan nilai dari ketiga komponen.

2 Sistem transportasi dan sistem antrian yang digunakansebagai contoh masing-masing memiliki matriksrepresentasi berdimensi 3× 3.

5 / 70


Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah

1 Mendapatkan hasil karakterisasi nilai eigen, vektor eigen,dan eigenmode dari matriks tak tereduksi dalam aljabarmax-plus, berupa analisa karakter dari ketiga komponenyang diberikan dalam bentuk teori dan contoh.

2 Mendapatkan hasil karakterisasi nilai eigen, vektor eigen,dan eigenmode dari matriks tereduksi dalam aljabarmax-plus, berupa analisa karakter dari ketiga komponenyang diberikan dalam bentuk teori dan contoh.

3 Memberikan contoh penerapan hasil karakterisasi yangdiperoleh dalam masalah sistem transportasi dan antrian.

6 / 70


Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah

1 Sebagai penerapan ilmu dari mata kuliah aljabar max-plus.

2 Sebagai tambahan wawasan dan referensi dalampenerapan aljabar max-plus untuk menyelesaikanpermasalahan, terutama yang berkaitan dengan masalahpenjadwalan.

3 Sebagai referensi untuk penelitian selanjutnya mengenainilai eigen, vektor eigen, dan eigenmode dalam aljabarmax-plus.

7 / 70


Kontribusi Hasil Penelitian

Kontribusi hasil penelitian ini terhadap pengembangan ilmuadalah sebagai referensi untuk penelitian lebih lanjut mengenainilai eigen, vektor eigen, dan eigenmode dalam aljabarmax-plus. Selain itu, hasil karakterisasi yang telah diperolehdapat diterapkan dalam proses penjadwalan sistemmenggunakan aljabar max-plus.

8 / 70


Aljabar Max-Plus

Definisi (2.1.1)

Aljabar max-plus adalah suatu himpunan tidak kosong

Rεdef= R ∪ {ε} dengan R adalah himpunan bilangan real dan

εdef= −∞, disertai dua operasi biner yang didefinisikan sebagai

berikut:

i. operasi biner ⊕, yaitu ∀x , y ∈ Rε berlaku

x ⊕ ydef= max{x , y},

ii. operasi biner ⊗, yaitu ∀x , y ∈ Rε berlaku

x ⊗ ydef= x + y .

(Baccelli dkk, 2001) 9 / 70


Suatu matriks A ∈ Rn×mmax dinamakan reguler jika setiap

baris A memuat setidaknya satu elemen tidak samadengan ε.

Matriks E(n,m) adalah matriks berukuran n ×m dengansemua elemen sama dengan ε.

Matriks E (n,m) yaitu matriks berukuran n ×m dengan

[E (n,m)]i ,jdef=

{e untuk i = j ,ε untuk i 6= j ,

dengan e = 0. Jika m = n, maka E adalah matrikspersegi dan dinamakan matriks identitas.

Vektor di Rnmax dengan seluruh elemen sama dengan e

disebut vektor satuan, dan dinotasikan dengan u.

10 / 70


Graf dalam Aljabar Max-Plus

Aplikasi aljabar max-plus erat kaitannya dengan graf berarahG = (N ,D).

1 2

2

1

4

Gambar 2.1. Graf Komunikasi G(A)

Graf kritis dari G(A) dinotasikan Gc(A) = (N c(A),Dc(A))adalah graf yang terdiri dari himpunan titik dan arc yangberada pada sirkuit kritis dari graf G(A).

11 / 70


Misal diberikan graf G = (N ,D), untuk i , j ∈ Ntitik i dikatakan reachable dari titik j dinotasikandengan jRi , jika terdapat suatu path dari j ke i ,titik i dikatakan communicate dengan titik jdinotasikan dengan jCi , jika dan hanya jika i = j ataujRi dan iRj .

Relasi C adalah relasi ekivalen pada N .

Dua jenis graf berdasarkan sifat keterhubungannya:

Graf strongly connected apabila seluruh titik pada graftersebut saling communicate. Matriks representasi darigraf strongly connected disebut matriks tak tereduksi.Graf tidak strongly connected apabila tidak semuatitik pada graf saling communicate satu sama lain.Matriks representasi dari graf tidak strongly connecteddisebut matriks tereduksi.

12 / 70


Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan Eigenmode dalam

Aljabar Max-Plus

Definisi (2.3.1)

Diberikan A ∈ Rn×nmax suatu matriks persegi. Jika µ ∈ Rmax

adalah suatu skalar dan v ∈ Rnmax adalah suatu vektor yang

paling sedikit memuat satu elemen berhingga, sedemikianhingga

A⊗ v = µ⊗ v,

maka µ disebut nilai eigen dari A dan v adalah vektor eigendari A yang bersesuaian dengan nilai eigen µ.

(Heidergott dkk, 2006)

13 / 70


Dalam menyelesaikan masalah penjadwalan erat kaitannyadengan upaya untuk mendapatkan barisan {x(k) : k ∈ N} darimodel persamaan linear

x(k + 1) = A⊗ x(k), (1)

untuk k ≥ 0, dengan A ∈ Rn×nmax dan x(0) = x0 ∈ Rn

max adalahkondisi awal. Dengan induksi, Persamaan (1) menjadi

x(k) = A⊗k ⊗ x0,

untuk setiap k ≥ 0.

14 / 70


Definisi (2.3.3)

Suatu pasangan vektor (η, v) ∈ Rn × Rn disebut eigenmodetergeneralisasi dari matriks reguler A jika untuk setiap k ≥ 0memenuhi

A⊗ (k × η + v) = (k + 1)× η + v.


15 / 70


Algoritma untuk Menentukan Nilai Eigen, Vektor

Eigen, dan Eigenmode dalam Aljabar Max-Plus

Beberapa algoritma yang digunakan dalam proses penelitianadalah

Algoritma Power digunakan untuk mencari nilai eigensekaligus vektor eigen dari matriks tak tereduksi maupunmatriks tereduksi.

Algoritma Eigenmode Tergeneralisasi untuk MatriksTereduksi Reguler.

16 / 70


Tahapan Penelitian

1 Menguraikan dasar teori.

2 Melakukan karakterisasi nilai eigen, vektor eigen, daneigenmode dari matriks tak tereduksi dalam aljabarmax-plus.

3 Melakukan karakterisasi nilai eigen, vektor eigen, daneigenmode dari matriks tereduksi dalam aljabar max-plus.

4 Membuat contoh sistem dan menganalisa nilai eigen,vektor eigen, serta eigenmode dari sistem tersebut.

5 Membuat kesimpulan.

17 / 70


Karakterisasi Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan

Eigenmode dari Matriks Tak Tereduksi dalam

Aljabar-Maxplus

Eksistensi Nilai Eigen dari Matriks Tak Tereduksi

Teorema (4.1.1)

Jika A ∈ Rn×nmax adalah matriks tak tereduksi, maka terdapat

sirkuit rata-rata maksimum berhingga λ yang merupakan nilaieigen dari matriks A.

18 / 70


Ketunggalan dan Nilai dari Nilai Eigen Matriks TakTereduksi

Teorema (4.1.2)

Untuk setiap matriks tak tereduksi A ∈ Rn×nmax memiliki satu

dan hanya satu nilai eigen. Nilai eigen tersebut dinotasikandengan λ(A), merupakan suatu nilai berhingga dan samadengan sirkuit rata-rata maksimum pada G(A), yaitu

λ(A) = maxγ∈C(A)

|γ|w|γ|`

.


19 / 70


Eksistensi Vektor Eigen dari Matriks Tak Tereduksi

Teorema (4.1.3)

Jika A ∈ Rn×nmax adalah matriks tak tereduksi dengan nilai eigen

λ, maka vektor kolom [A∗λ].,η untuk setiap titik η ∈ N c(A)merupakan vektor eigen dari matriks A yang bersesuaiandengan nilai eigen λ.

20 / 70


Ketidaktunggalan Vektor Eigen dari Matriks TakTereduksi

Teorema (4.1.4)

Untuk setiap matriks tak tereduksi A ∈ Rn×nmax memiliki vektor

eigen tidak tunggal, yaitu jika v ∈ Rnmax adalah vektor eigen

yang bersesuaian dengan nilai eigen λ, maka α⊗ v jugamerupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λuntuk sebarang α ∈ R.

Ketidaktunggalan vektor eigen dari matriks tak tereduksi jugadapat diperoleh dari vektor-vektor eigen yang bukanmerupakan hasil operasi ⊗ sebarang skalar elemen bilanganreal dengan suatu vektor eigen.

21 / 70


3

2

2

1

1

3

Gambar 4.4. Graf G(B)

Contoh 4.1.3. Matriks representasi dari graf G(B) adalah

matriks tak tereduksi B =

(3 12 3

). Matriks B jelas

memiliki nilai eigen tunggal, yaitu:

λ(B) =2⊕

k=1

tr(B⊗k)

k

=tr(B)

1⊕ tr(B⊗2)

2

=3

1⊕ 6

2= 3.

22 / 70


Graf kritis dari G(B) adalah

3

21

3

Gambar 4.5.Graf Gc(B)

Berikutnya, dihitung vektor eigen yang bersesuaian dengannilai eigen λ(B) = 3. Pertama, dilakukan perhitungan Bλ

sebagai berikut:

Bλ = −λ⊗ B

= −3⊗(

3 12 3

)=

(0 −2−1 0

)23 / 70


Selanjutnya, dihitung matriks B+λ

B+λ =

2⊕k=1

B⊗kλ

=

(0 −2−1 0

)⊕(

0 −2−1 0

)=

(0 −2−1 0

).

Terakhir, dihitung matriks B∗λ yaitu

B∗λ = E ⊕ B+λ

=

(0 εε 0

)⊕(

0 −2−1 0

)=

(0 −2−1 0

).

24 / 70


Berdasarkan graf kritis Gc(B) diketahui bahwa titik 1 dan titik2 merupakan elemen dari N c(B), sehingga kolom ke-1 dankolom ke-2 dari matriks B∗λ merupakan vektor eigen darimatriks B yang bersesuaian dengan nilai eigen λ(B) = 3, yaitu

[B∗λ].,1 =

(0−1

)dan [B∗λ].,2 =

(−20

). Dapat dicermati

bahwa vektor eigen [B∗λ].,1 bukan merupakan hasil operasi ⊗sebarang bilangan real dengan vektor eigen [B∗λ].,2, begitu pulasebaliknya.

25 / 70


Nilai dari Elemen Vektor Eigen Matriks Tak Tereduksi

Teorema (4.1.5)

Untuk setiap matriks tak tereduksi A ∈ Rn×nmax hanya memiliki

vektor-vektor eigen dengan elemen berhingga.

26 / 70


Eigenmode sebagai Perluasan Nilai eigen dan VektorEigen

Lemma (4.1.1)

Jika pasangan vektor (η, v) adalah eigenmode tergeneralisasidari matriks reguler A, maka vektor η merupakan perluasannilai eigen dari matriks A dan vektor v adalah vektor eigennya.Lebih lanjut, vektor η = lim

k→∞x(k)k

.


27 / 70


Eksistensi Eigenmode dari Matriks Tak Tereduksi

Teorema (4.1.6)

Jika A ∈ Rn×nmax adalah matriks tak tereduksi dengan nilai eigen

λ dan vektor eigen v, maka terdapat pasangan vektor (η, v)yang merupakan eigenmode dari matriks tak tereduksi A.

28 / 70


Ketidaktunggalan Eigenmode dari Matriks TakTereduksi

Teorema (4.1.7)

Untuk setiap matriks tak tereduksi A ∈ Rn×nmax memiliki

eigenmode yang tidak tunggal.

29 / 70


Nilai dari Elemen Vektor dalam Eigenmode Matriks TakTereduksi

Teorema (4.1.8)

Untuk setiap matriks tak tereduksi A ∈ Rn×nmax memiliki

eigenmode berupa pasangan vektor dengan semua elemenvektor berhingga.

30 / 70


Karakterisasi Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan

Eigenmode dari Matriks Tereduksi dalam

Aljabar-Maxplus

Relasi C adalah relasi ekivalen pada N . Akibatnya, relasiC dapat mempartisi N ke dalam kelas ekivalen yangsaling asing, misal N = N1 ∪ . . . ∪Nq.Matriks tereduksi A selalu dapat dijadikan suatu bentukmatriks blok segitiga atas sebagai berikut:

A1,1 A1,2 . . . . . . A1,q

E A2,2 . . . . . . A2,q

E E A3,3...

......

. . . . . ....

E E . . . E Aq,q

, (2)

31 / 70


Matriks Ai ,i merupakan matriks tak tereduksi atauAi ,i = ε, untuk setiap i ∈ q.

Setiap elemen berhingga dari matriks As,r , 1 ≤ s < r ≤ qmerupakan bobot arc dari suatu titik elemen Nr ke suatutitik elemen Ns .

Bentuk matriks blok segitiga atas tidak tunggal.

Untuk mendapatkan nilai eigen dan vektor eigen darimatriks A ∈ Rn×n

max , algoritma dilakukan secara berulangdari bentuk persamaan linear

x(k + 1) = A⊗ x(k), k = 0, 1, 2, . . . . (3)

32 / 70


Eksistensi Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari MatriksTereduksi

Teorema (4.2.1)

Jika untuk sebarang keadaan awal x(0) 6= ε sistem Persamaan(3) memenuhi x(p) = c ⊗ x(q) untuk beberapa bilangan bulatp dan q dengan p > q ≥ 0 dan beberapa bilangan real c, maka

limk→∞

x(k)

k=(λ λ . . . λ

)T,

dengan λ = cp−q . Selanjutnya, λ adalah suatu nilai eigen dari

matriks A dengan vektor eigen diberikan oleh

v =

p−q⊕i=1

(λ⊗(p−q−i) ⊗ x(q + i − 1)

).

(Subiono, 2012) 33 / 70


Suatu matriks tereduksi belum tentu memiliki nilaieigen yang tunggalContoh 4.2.3. Diberikan matriks tereduksi representasi graftidak strongly connected G(A) sebagai berikut:

A =

(1 εε 3

).

Nilai eigen dari matriks A tidak tunggal. Hal tersebut tampakdari uraian berikut:(

1 εε 3

)⊗(

0ε

)=

(1ε

)= 1⊗

(0ε

),

dan (1 εε 3

)⊗(ε0

)=

(ε3

)= 3⊗

(ε0

).

Jadi 1 dan 3 adalah nilai eigen dari matriks A.34 / 70


Contoh 4.2.4. Diberikan matriks tereduksi representasi graftidak strongly connected G(B) sebagai berikut:

B =

(1 0ε 0

).

Nilai eigen dari matriks B tunggal. Hal tersebut tampak dariuraian berikut:(

1 0ε 0

)⊗(

0ε

)=

(1ε

)= 1⊗

(0ε

).

Sedangkan untuk(1 0ε 0

)⊗(

a0

)= λ⊗

(a0

), (4)

35 / 70


Dari Persamaan (4) didapatkan

max{1 + a, 0} = λ + a, (5)

dan

max{ε, 0} = λ. (6)

Dari Persamaan (6) diperoleh λ = 0, sehingga apabila λ = 0disubstitusikan pada Persamaan (5) didapatkan

max{1 + a, 0} = a. (7)

Jadi tidak dapat ditemukan a yang memenuhi Persamaan (7).

36 / 70


Ketidaktunggalan Vektor Eigen dari Matriks Tereduksi

Teorema (4.2.2)

Untuk setiap matriks tereduksi A ∈ Rn×nmax yang memiliki nilai

eigen, mempunyai vektor eigen tidak tunggal. Jika v ∈ Rnmax

adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ,maka α⊗ v juga merupakan vektor eigen yang bersesuaiandengan nilai eigen λ untuk sebarang α ∈ R.

37 / 70


Nilai dari Nilai Eigen Matriks Tereduksi

Teorema (4.2.3)

Jika matriks tereduksi A ∈ Rn×nmax memiliki nilai eigen, maka

nilai eigen tersebut memiliki nilai berhingga elemen bilanganreal.

Nilai dari Elemen Vektor Eigen Matriks TereduksiBerdasarkan Contoh 4.2.3, dan Definisi 2.3.1 mengenai nilaieigen dan vektor eigen dalam aljabar max-plus, didapatkanvektor eigen dari matriks tereduksi memuat paling sedikit satuelemen berhingga.

38 / 70


Penyelesaian dari persamaan x = (A⊗ x)⊕ b

Teorema (4.2.4)

Misalkan A ∈ Rn×nmax dan b ∈ Rn

max. Jika bobot rata-rata sirkuitgraf G(A) kurang dari atau sama dengan 0, maka x = A∗ ⊗ b

dengan A∗def= E ⊕ A+ =

∞⊕i=0

A⊗i adalah penyelesaian dari

x = (A⊗ x)⊕ b. Lebih lanjut, jika bobot sirkuit dalam G(A)adalah negatif, maka penyelesaiannya tunggal.

(Subiono, 2012)

39 / 70


Persamaan Rekurensi Nonhomogen

Teorema (4.2.5)

Perhatikan persamaan rekurensi nonhomogen berikut

x(k + 1) = A⊗ x(k)⊕m⊕j=1

Bj ⊗ uj(k), (8)

dengan A ∈ Rn×nmax adalah matriks tak tereduksi yang memiliki

nilai eigen λ atau A = ε dengan λ = ε, matriks Bj ∈ Rn×mjmax

dengan mj ≥ 1 memenuhi Bj 6= E , sedangkan uj(k) ∈ Rmjmax

memenuhi uj(k) = τ kj ⊗wj(k), k ≥ 0 dengan wj ∈ Rmjmax dan

τj ∈ R. Untuk suatu τ =⊕j∈m

τj terdapat bilangan bulat K ≥ 0

dan vektor v ∈ Rn sedemikian hingga barisan x(k) = µ⊗k ⊗ v,dengan µ = λ⊗ τ memenuhi persamaan rekurensi (8) untuksetiap k ≥ K . (Konigsberg, 2009)

40 / 70


Matriks tereduksi A dapat disajikan dalam bentuk matriks bloksegitiga atas (2), dengan blok matriks Ai ,i adalah matriks taktereduksi sehingga λi = λ(Ai ,i) atau Ai ,i = ε sehingga λi = ε.Selanjutnya, misal diambil vektor x(k) yang bersesuaiandengan matriks blok segitiga atas (2), yaitu

x(k) =

x1(k)x2(k)

...xq(k)

.

Matriks blok segitiga atas dari matriks tereduksi A memenuhiPersamaan rekurensi (8), yaitu:

xi(k + 1) = Ai ,i ⊗ xi(k)⊕q⊕

j=i+1

Ai ,j ⊗ xj(k); i ∈ q, k ≥ 0. (9)

41 / 70


Teorema (4.2.6)

Jika dalam Persamaan (9) matriks Aq,q adalah matriks taktereduksi, dan untuk i ∈ q − 1 matriks Ai ,i adalah matriks taktereduksi atau Ai ,i = ε, maka terdapat skalarξ1, ξ2, . . . , ξq ∈ R dan vektor v1, v2, . . . , vq dengan seluruhelemen vektor berhingga sedemikian hingga

xi(k) = ξ⊗ki ⊗ vi , i ∈ q

memenuhi Persamaan rekurensi (9) untuk setiap k ≥ 0.Skalar ξ1, ξ2, . . . , ξq ditentukan dengan

ξi =⊕j∈Hi

ξj ⊕ λi ,

dengan Hi = {j ∈ q : j > i ,Ai ,j 6= E}. (Konigsberg, 2009)

42 / 70


Eksistensi Eigenmode dari Matriks Tereduksi

Akibat (4.2.1)

Jika A ∈ Rn×nmax adalah matriks tereduksi reguler, maka terdapat

pasangan vektor (η, v) ∈ Rn ×Rn yang merupakan eigenmodetergeneralisasi dari matriks A, sedemikian hingga untuk setiapk ≥ 0:

A⊗ (k × η + v) = (k + 1)× η + v.

(Konigsberg, 2009)

43 / 70


Ketidaktunggalan Eigenmode dari Matriks Tereduksi

Teorema (4.2.7)

Untuk setiap matriks tereduksi reguler A ∈ Rn×nmax memiliki

eigenmode yang tidak tunggal, yaitu jika (η, v) adalaheigenmode dari matriks A, maka (η, α⊗ v) dengan α ∈ Rjuga merupakan eigenmode dari matriks A.

44 / 70


Nilai dari Elemen Vektor dalam Eigenmode MatriksTereduksi

Teorema (4.2.8)

Untuk setiap matriks tereduksi reguler A ∈ Rn×nmax memiliki

eigenmode berupa pasangan vektor dengan semua elemenvektor berhingga.

45 / 70


Contoh Penerapan Hasil Karakterisasi dalam

Masalah Sistem Transportasi dan Antrian

Contoh 4.3.1 Sinkronisasi jadwal keberangkatan sistemtransportasi umum busway transjakarta.

Tabel 4.1. Waktu Tempuh Tiga Halte Busway Transjakartadari Dua Koridor.

Sumber: Winarni, 200946 / 70


Graf rute busway berdasarkan data Tabel 4.1 diberikan sebagaiberikut:

1

2

3

Gambar 4.8. Graf Rute Busway Transjakarta dari DuaKoridor dan Tiga Halte.

47 / 70


Proses sinkronisasi jadwal membutuhkan nilai eigen,vektor eigen, dan eigenmode dari matriks representasigraf. Oleh karena itu, terlebih dahulu dilakukan analisaketiga komponen tersebut.

Tahapan analisa diawali dengan identifikasi jenis graf,misal graf rute busway diberi nama graf G(A), maka grafG(A) adalah graf strongly connected.

Matriks representasi dari graf G(A) adalah

A =

ε 8, 63 ε10, 31 ε 43, 14ε 52, 81 ε

,

yang merupakan matriks tak tereduksi.

48 / 70


Nilai Eigen dari Matriks A

Berdasarkan karakterisasi nilai eigen, diketahui bahwa matrikstak tereduksi memiliki nilai eigen tunggal berhingga, sehinggajelas pada contoh kasus ini didapatkan nilai eigen tunggalberhingga, yaitu

λ(A) = 47, 975.

49 / 70


Vektor Eigen dari Matriks A

Berdasarkan karakterisasi vektor eigen, diketahui bahwamatriks tak tereduksi memiliki vektor eigen yang tidak tunggaldengan semua elemen berhingga untuk setiap vektor eigentersebut. Dalam contoh kasus ini, didapatkan vektor eigenyang tidak tunggal, yaitu

α⊗ v = α⊗

−39, 345e

4, 835

,

untuk setiap α ∈ R. Karena setiap entri vektor eigen adalahelemen R, sehingga jelas semua elemen vektor eigen berhingga.

50 / 70


Eigenmode dari Matriks A

Eigenmode dari matriks tak tereduksi juga tidak tunggaldengan semua elemen vektor dalam eigenmode berhingga,sehingga dalam kasus ini eigenmode yang diperoleh adalahtidak tunggal, yaitu

(η, α⊗ v) =

47, 97547, 97547, 975

, α⊗

−39, 345e

4, 835

,

untuk setiap α ∈ R.

51 / 70


Sinkronisasi Jadwal Busway Transjakarta untuk 3

Halte dan 2 Koridor

Tabel 4.2. Jadwal Keberangkatan Awal Busway Transjakartauntuk Tiap Halte.

dengan keperiodikan sama dengan 47 menit 58,5 detik.52 / 70


Contoh 4.3.2 Analisa sistem antrian pelayanan pergantianjenis tabungan customer pada satu petugas customer service.

Gambar 4.10. Petri Net Antrian Pelayanan Pergantian JenisTabungan pada Satu Petugas Customer Service.

53 / 70


Petri net terdiri dari 7 transisi:

t1 : customer datang ke bank,

t2 : customer mengambil nomor antrian,

t3 : costumer dilayani oleh customer service,

t4 : customer service membawa berkas customer pada(teller),

t5 : berkas customer selesai diproses teller,

t6 : customer selesai dilayani oleh customer service,

t7 : customer meninggalkan bank,

54 / 70


Petri net terdiri dari 6 place:

p1 : customer yang sedang menunggu giliran mengambilnomor antrian,

p2 : customer yang sedang menunggu giliran dilayanicustomer service,

p3 : customer yang sedang dilayani customer service,

p4 : customer yang sedang menunggu pemrosesan berkasoleh teller,

p5 : Idle atau customer service sedang tidak sibuk,

p6 : customer yang sudah selesai dilayani oleh customerservice.

55 / 70


Model antrian pelayanan pergantian jenis tabungan bank padasatu petugas customer service:

t1(k)t5(k)t6(k)

=

vt1,k ε ε

vt5,k ⊗ vt2,k ⊗ vt1,k vt5,k vt5,kvt6,k ⊗ vt5,k ⊗ vt2,k ⊗ vt1,k vt6,k ⊗ vt5,k vt6,k ⊗ vt5,k

⊗

t1(k − 1)t5(k − 1)t6(k − 1)

.

Lama masing-masing proses diberikan pada tabel berikut:

Tabel 4.3. Daftar Proses Pelayanan Pergantian Jenis TabunganBank.

56 / 70


Dengan data pada Tabel 4.3 diperoleh model antrianpelayanan pergantian jenis tabungan bank pada satu petugascustomer service sebagain berikut: t1(k)

t5(k)t6(k)

=

8 ε ε13, 5 5 533, 5 25 25

⊗ t1(k − 1)

t5(k − 1)t6(k − 1)

.

Selanjutnya, akan dianalisa nilai eigen, vektor eigen, daneigenmode dari matriks tereduksi

B =

8 ε ε13, 5 5 533, 5 25 25

.

57 / 70


matriks tereduksi belum tentu memiliki nilai eigen. Olehkarena itu, berikut akan dicari nilai eigen dari matriks tereduksiB dengan menggunakan Algoritma Power. Misal dengan

keadaan awal x(0) =

000

, diperoleh evolusi keadaan

000

,

813, 533, 5

,

1638, 558, 5

, . . . .

Tidak dapat ditemukan bilangan bulat p > q ≥ 0 dan bilanganreal c yang memenuhi x(p) = c ⊗ x(q). Jadi B tidak memilikinilai eigen. Meskipun demikian, karena B adalah matrikstereduksi reguler maka dapat dicari eigenmode berupapasangan vektor dengan semua elemen vektor berhingga.

58 / 70


Langkah untuk mendapatkan eigenmode dari matriks B :

Ditentukan bentuk matriks blok segitiga atas dari matriksB , yaitu:

A =

5 5 13, 525 25 33, 5ε ε 8

.

Dihitung nilai eigen dari matriks A2,2, yaitu λ2 = 8,sehingga dapat diambil ξ2 = λ2 = 8 dan misal diambilv2 = 0.

Dihitung nilai eigen dari matriks A1,1 =

(5 5

25 25

).

Didapatkan λ1 = 25.

59 / 70


Karena λ1 > ξ2, maka ξ1 = λ1 = 25 dan dihitung vektor v1:

ξ1 ⊗ v1 = (A1,1 ⊗ v1)⊕ (A1,2 ⊗ v2)

25⊗(

v1v2

)=

((5 5

25 25

)⊗(

v1v2

))⊕((

13, 533, 5

)⊗ 0

).

Dari persamaan di atas didapatkan

25 + v1 = max{5 + v1, 5 + v2, 13, 5}25 + v1 = 13, 5

v1 = −11, 5.

dan

25 + v2 = max{25 + v1, 25 + v2, 33, 5}25 + v2 = max{13, 5, 25 + v2, 33, 5}25 + v2 = 33, 5

v2 = 8, 5.

60 / 70


Jadi, didapatkan v1 =

(−11, 5

8, 5

). Oleh karena itu, pasangan

vektor (η, v) dengan η =(

25 25 8)T

dan

v =(−11, 5 8, 5 0

)Tadalah eigenmode dari matriks A

sebab untuk k = 0, memenuhi:

A⊗ (0× η + v) =(

13, 5 33, 5 8)T

= 1× η + v,

untuk k = 1, memenuhi:

A⊗ (1× η + v) =(

38, 5 58, 5 16)T

= 2× η + v,

dan seterusnya, vektor η dan v untuk k = 0, 1, 2, . . .memenuhi

A⊗ (k × η + v) = (k + 1)× η + v.

61 / 70


Dari hasil eigenmode, dapat diketahui waktu berakhirnya tiapproses pelayanan customer saat ke-k . Misal waktu paling awalterjadi pada pukul 08.00, maka untuk k sama dengan 0 dan 1didapatkan hasil seperti pada Tabel 4.4.

Tabel 4.4. Waktu Proses Pelayanan Customer Pertama danKedua.

62 / 70


Kesimpulan

1. Berdasarkan karakterisasi nilai eigen, vektor eigen, daneigenmode dari matriks tak tereduksi diperoleh:

a. Matriks tak tereduksi memiliki nilai eigen tunggal berupasuatu nilai berhingga.

b. Vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen darimatriks tak tereduksi tidak tunggal dengan semuaelemen berhingga.

c. Matriks tak tereduksi memiliki eigenmode yang tidaktunggal dengan semua elemen vektor dalam eigenmodeberhingga.

63 / 70


2. Berdasarkan karakterisasi nilai eigen, vektor eigen, daneigenmode dari matriks tereduksi diperoleh:

a. Matriks tereduksi belum tentu memiliki nilai eigen. Jikamatriks tereduksi memiliki nilai eigen, maka nilai eigentersebut belum tentu tunggal dan memiliki nilaiberhingga.

b. Vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen darimatriks tereduksi tidak tunggal, dan vektor eigen palingsedikit memuat satu elemen berhingga.

c. Matriks tereduksi reguler memiliki eigenmode yang tidaktunggal dengan semua elemen vektor dalam eigenmodeberhingga.

64 / 70


3. Hasil karakterisasi nilai eigen, vektor eigen, daneigenmode dari matriks tak tereduksi maupun tereduksidapat diterapkan dalam proses penyelesaian masalahsistem transportasi dan antrian.

65 / 70


Saran

Penelitian mengenai karakterisasi nilai eigen, vektor eigen, daneigenmode baik dari matriks tak tereduksi maupun matrikstereduksi dapat dilanjutkan untuk mencari jumlah maupunpola dari ketiga komponen yang diketahui memiliki karaktertidak tunggal. Selain itu, penelitian nilai eigen, vektor eigen,dan eigenmode dapat dikembangkan untuk karakter-karakterlain selain eksistensi, ketunggalan, dan nilai dari ketigakomponen tersebut.

66 / 70


Daftar Pustaka

Baccelli, F., Cohen, G., Olsder, G.J., dan Quadrat, J.P.(2001), Synchronization and Linearity, An Algebra forDiscrete Event System, Wiley-Interscience, New York.

Heidergott, B., Olsder, G. J., dan van der Woude, J.(2006), Max Plus at Work, Modelling and Analysis ofSynchronized System: A Course on Max-Plus Algebra andIts Applications, Princeton University Press, UnitedKingdom.

Konigsberg, Z.R. (2009), ”A Generalized EigenmodeAlgorithm for Reducible Regular Matrices over theMax-Plus Algebra”, Chinese Control and DecisionConference, Chines, hal. 5598-5603.

67 / 70


Shofianah, N. (2009), Analisis kedinamikan Sistem padaPenjadwalan Flow Shop Menggunakan Aljabar Max-Plus,Tesis Magister Matematika, Institut Teknologi SepuluhNopember, Surabaya.

Subiono (2012), Aljabar Maxplus dan Terapannya, JurusanMatematika, Fakultas Matematika dan Ilmu PengetahuanAlam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.

Suyanto, Y.H. (2011), Penjadwalan Kegiatan BelajarMengajar Di Sekolah Menengah Atas (SMAK) St. Louis 1Surabaya Menggunakan Aljabar Max-Plus, Tesis MagisterMatematika, Institut Tekonologi Sepuluh Nopember,Surabaya.

68 / 70


Telehala, M.M. (2010), Model Penjadwalan KegiatanPembelajaran Sekolah pada Kelas Moving denganMenggunakan Aljabar Max-Plus, Tesis MagisterMatematika, Institut Tekonologi Sepuluh Nopember,Surabaya.

Winarni (2009), Penjadwalan Jalur Bus Dalam Kotadengan Aljabar Max-Plus, Tesis Magister Matematika,Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.

Zuliyanto, A., Siswanto, dan Muslich (2012), ”AlgoritmaEigenmode Tergeneralisasi untuk Matriks TereduksiReguler Di Dalam Aljabar Max-Plus”, Prosiding SeminarNasional Matematika 2012.

69 / 70


70 / 70

Karakterisasi Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan Eigenmode...

Documents

Transcript of Karakterisasi Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan Eigenmode...