Kajian Aljabar Max-Plus pada Pemodelan dan Penjadwalan...

BAB 1 Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Kajian Aljabar Max-Plus pada Pemodelandan Penjadwalan Monorel dan Trem yang

Terintegrasi di Kota Surabaya

Oleh:Fatma Ayu Nuning Farida Afiatna

Dosen Pembimbing:Dr. Subiono, M.Sc

Subchan, Ph.D


Latar Belakang

Latar Belakang

Rencana pembangunan monorel dan trem di kotaSurabaya.

Figure: Rencana Pembangunan Transportasi Kota Surabaya

Sistem transportasi yang terintegrasi.


Rumusan Masalah

Rumusan Masalah

Rumusan masalah yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah:

a. Bagaimana pemodelan jalur monorel dan trem yangterintegrasi menggunakan aljabar max-plus?

b. Bagaimana analisis desain penjadwalan monorel dan tremyang terintegrasi menggunakan aljabar max-plus?


Rumusan Masalah

Rumusan Masalah

Rumusan masalah yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah:a. Bagaimana pemodelan jalur monorel dan trem yang

terintegrasi menggunakan aljabar max-plus?

b. Bagaimana analisis desain penjadwalan monorel dan tremyang terintegrasi menggunakan aljabar max-plus?


Rumusan Masalah

Rumusan Masalah

Rumusan masalah yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah:a. Bagaimana pemodelan jalur monorel dan trem yang

terintegrasi menggunakan aljabar max-plus?b. Bagaimana analisis desain penjadwalan monorel dan trem

yang terintegrasi menggunakan aljabar max-plus?


Batasan Masalah

Batasan Masalah

Tugas akhir ini ruang lingkup pembahasannya dibatasi oleh :

a. Jalur monerel dan trem yang akan dikaji yaitu sesuaidengan rencana pembangunan monorel dan trem di KotaSurabaya.

b. Jumlah monorel yang beroperasi adalah 18 buah dan tremyang beroperasi adalah 21 buah (sesuai dengan rencanapembangunan monorel dan trem).

c. Intermoda (pemberhentian yang bisa digunakan untukberalih moda transportasi dari monorel ke trem terdapatpada 2 pemberhentian (stasiun), yaitu stasiun yang beradadi Joyoboyo dan stasiun yang berada di Keputran denganstasiun yang berada di Jl.Irian Barat.

d. Waktu tempuh monorel dan trem dihitung sebagai waktutempuh rata-rata masing-masing moda transportasi.


Batasan Masalah

Batasan Masalah

Tugas akhir ini ruang lingkup pembahasannya dibatasi oleh :a. Jalur monerel dan trem yang akan dikaji yaitu sesuai

dengan rencana pembangunan monorel dan trem di KotaSurabaya.

b. Jumlah monorel yang beroperasi adalah 18 buah dan tremyang beroperasi adalah 21 buah (sesuai dengan rencanapembangunan monorel dan trem).

c. Intermoda (pemberhentian yang bisa digunakan untukberalih moda transportasi dari monorel ke trem terdapatpada 2 pemberhentian (stasiun), yaitu stasiun yang beradadi Joyoboyo dan stasiun yang berada di Keputran denganstasiun yang berada di Jl.Irian Barat.

d. Waktu tempuh monorel dan trem dihitung sebagai waktutempuh rata-rata masing-masing moda transportasi.


Tujuan

Tujuan

Tujuan dari tugas akhir ini adalah :

a. Mengkaji bentuk pemodelan jalur monorel dan trem yangterintegrasi menggunakan aljabar max-plus.

b. Mendesain penjadwalan monorel dan trem yangterintegrasi menggunakan aljabar max-plus.


Tujuan

Tujuan

Tujuan dari tugas akhir ini adalah :a. Mengkaji bentuk pemodelan jalur monorel dan trem yang

terintegrasi menggunakan aljabar max-plus.

b. Mendesain penjadwalan monorel dan trem yangterintegrasi menggunakan aljabar max-plus.


Tujuan

Tujuan

Tujuan dari tugas akhir ini adalah :a. Mengkaji bentuk pemodelan jalur monorel dan trem yang

terintegrasi menggunakan aljabar max-plus.b. Mendesain penjadwalan monorel dan trem yang

terintegrasi menggunakan aljabar max-plus.


Manfaat

Manfaat

Manfaat yang diharapkan dalam pembuatan tugas akhir iniadalah :

a. Sebagai kajian ilmu matematika yang bisa memberikansumbangan pemikiran dalam pengembangan transportasi.

b. Sebagai bahan masukan perumusan kebijakan bagiPemerintah Kota Surabaya dalam pengembanganpembangunan transportasi khususnya dalam pemodelandan penjadwalan.

c. Hasil pemodelan dan penjadwalan yang terintegrasimenghasilkan sistem transportasi yang memudahkandalam melakukan mobilitas penumpang dan distribusibarang dari suatu moda ke moda lain maupun dari suatutitik ke titik lain secara efisien.

d. Sebagai solusi dalam menyelesaikan permasalahan dankebutuhan transportasi kota Surabaya dimasa depan.


Penelitian Sebelumnya


Sebelum penelitian ini dibuat, telah ada beberapa penelitianmengenai pemodelan dan penjadwalan transportsi denganmenggunakan metode aljabar max-plus yang selanjutkan akandigunakan sebagai studi literatur.

Analisis Pemodelan dan Penjadwalan Busway di Surabayamenggunakan Aljabar Max-Plus[6].Aplikasi Aljabar Max-Plus Pada Pemodelan danPenjadwalan Busway Yang Diintegrasikan Dengan KeretaApi Komuter[7].Implementasi Aljabar Max-Plus Pada Pemodelan danPenjadwalan Keberangkatan Bus Kota Damri(Studi Kasusdi Surabaya)[8]





Analisis Pemodelan dan Penjadwalan Busway di Surabayamenggunakan Aljabar Max-Plus[6].

Aplikasi Aljabar Max-Plus Pada Pemodelan danPenjadwalan Busway Yang Diintegrasikan Dengan KeretaApi Komuter[7].Implementasi Aljabar Max-Plus Pada Pemodelan danPenjadwalan Keberangkatan Bus Kota Damri(Studi Kasusdi Surabaya)[8]





Analisis Pemodelan dan Penjadwalan Busway di Surabayamenggunakan Aljabar Max-Plus[6].Aplikasi Aljabar Max-Plus Pada Pemodelan danPenjadwalan Busway Yang Diintegrasikan Dengan KeretaApi Komuter[7].

Implementasi Aljabar Max-Plus Pada Pemodelan danPenjadwalan Keberangkatan Bus Kota Damri(Studi Kasusdi Surabaya)[8]





Analisis Pemodelan dan Penjadwalan Busway di Surabayamenggunakan Aljabar Max-Plus[6].Aplikasi Aljabar Max-Plus Pada Pemodelan danPenjadwalan Busway Yang Diintegrasikan Dengan KeretaApi Komuter[7].Implementasi Aljabar Max-Plus Pada Pemodelan danPenjadwalan Keberangkatan Bus Kota Damri(Studi Kasusdi Surabaya)[8]


Rencana Pengembangan Transportasi Kota Surabaya

Rencana Pengembangan Transportasi Kota Surabaya

Ada dua moda transpotrasi massal yang sedang direncanakanBapeko (Balai Perencanaan Kota) Surabaya yakni monorel dantrem.

Figure: Rencana Pembangunan Monorel dan Trem Kota Surabaya


Landasan Teori

Aljabar Max-Plus

Definisi Operasi O-plus (⊕) dan O-times (⊗)[9]

Diberikan Rεdef= R ∪ {ε} dengan R adalah himpunan semua

bilangan real dan ε def= −∞. Pada Rε didefinisikan operasi

berikut: ∀x , y ∈ Rε,

x ⊕ y def= max{x , y} dan x ⊗ y def

= x + y


Landasan Teori

Matriks dalam Aljabar Maxplus

Penjumlahan Matriks dalam Aljabar Max-Plus[9]

Penjumlahan matriks A,B ∈ Rn×mmax dinotasikan oleh A⊕ B

didefinisikan oleh

[A⊕ B]i,j = ai,j ⊕ bi,j = max{ai,j ,bi,j}

untuk i ∈ n dan j ∈ m.Untuk A,B ∈ Rn×m

max berlaku bahwa A⊕ B = B ⊕ A sebab[A⊕ B]i,j = max{ai,j ,bi,j} = max{bi,j ,ai,j} = [B ⊕ A]i,j , untuki ∈ n dan j ∈ m.


Landasan Teori

Matriks dalam Aljabar Maxplus

Perkalian dalam Aljabar Max-Plus[9]

Untuk A ∈ Rn×mmax dan skalar α ∈ Rmax perkalian α⊗ A

didefinisikan sebagai

[α⊗ A]i,jdef= α⊗ ai,j

untuk i ∈ n dan j ∈ m.Untuk matriks A ∈ Rn×p

max dan B ∈ Rp×mmax perkalian matriks A⊗ B

didefinisikan sebagai

[A⊗ B]i,j =

p⊕k=1

ai,k ⊗ bk ,j =maxk∈p {ai,k + bk ,j}

untuk i ∈ n dan j ∈ m.


Landasan Teori

Nilai Eigen dan Vektor Eigen dalam Aljabar Max-Plus

Pengertian dari nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaiandari suatu matriks persegi A berukuran n × n dalam aljabarlinear biasa juga dijumpai dalam Aljabar Maxplus, yaitu biladiberikan suatu persamaan:

A⊗ x = λ⊗ x .

dalam hal ini masing-masing vektor x ∈ Rn×nmax dan λ ∈ R

dinamakan vektor eigen dan nilai eigen dari matriks A denganvektor x 6= (ε, ε, ..., ε)T [9].


Landasan Teori

Algoritma Power

untuk mendapatkan nilai eigen sekaligus vektor eigen darisuatu matriks persegi yang dikenal dengan algoritma power[9],yaitu sebagai berikut:

1 Mulai dari sebarang vektor awal x(0) 6= ε

2 Iterasi Persamaan x(k + 1) = A⊗ x(k) sampai adabilangan bulat p > q ≥ 0 dan bilangan real c sehinggasuatu perilaku periodik terjadi, yaitu x(p) = c ⊗ x(q).

3 Hitung nilai eigen λ = cp−q

4 Hitung vektor eigen v =

p−q⊕i=1

(λ⊗(p−q−i) ⊗ x(q + i − 1)

)

Algoritma tersebut sudah diimplementasikan denganScilab dalam Max Plus Toolbox[10]


Jalur Monorel dan Trem di Surabaya

Koridor Satu

East Coast→ Mulyosari→ ITS→ GOR Kertajaya Indah→Galaxy Mall→ Unair Kampus C→ Dharmahusada→ RSDr.Sutomo→ Stasiun Gubeng→ Jl. Raya Gubeng→ Jl.IrianBarat→ Jl.Bung Tomo (Marvel City)→ Ngagel (Novotel)→Wonokromo (DTC)→ Joyoboyo→ Sutos→ Ciputra World→Dukuh Kupang→ Bundaran Satelit→ HR.Muhammad→Simpang Darmo Permai→ Simpang PTC Lenmark→ Unesa→Citraland→ Unesa→ Simpang PTC Lenmark→ SimpangDarmo Permai→ HR.Muhammad→ undaran Satelit→ DukuhKupang→ Ciputra World→ Sutos→ Joyoboyo→Wonokromo(DTC)→ Ngagel(Novotel)→ Jl.Bung Tomo→ Jl.Irian Barat→Jl.Raya Gubeng→ Stasiun Gubeng→ RS Dr.Sutomo→Dharmahusada→ Unair Kampus C→ Galaxy Mall→ GORKertajaya Indah→ ITS→ Mulyosari→ Kejawan (East Coast).



Koridor Dua

Joyoboyo→ Kebun Binatang→ Taman Bungkul→ Bintoro→Pandegiling→ Urip Sumoharjo/Keputran→ KombespolM.Duryat→ Tegalsari→ Embong Malang→ Kedungdoro→Pasar Blauran→ Bubutan→ Pasar Turi→ Kemayoran→Indrapura→ Rajawali→ Jembatan Merah→ Veteran→ TuguPahlawan→ Baliwerti→ Siola→ Genteng→ Pasar Tunjungan→ Gubernur Suryo→ Bambu Runcing→ Sonokembang→Urip Sumoharjo/Keputran→ Pandegiling→ Bintoro→ TamanBungkul→ Bonbin→ Joyoboyo.



Tabel Pelabelan vertex pada stasiun

No Nama Tempat Label No Nama Tempat Label1 Kejawan(East Coast) SM1 26 KBS ST22 Mulyosari SM2 27 Taman Bungkul ST33 ITS SM3 28 Bintoro ST44 Gor Kertajaya Indah SM4 29 Pandegiling ST55 Darmahusada Indah SM5 30 Urip Sumoharjo/ ST6

Timur(Galaxy Mall) Keputran6 Unair Kampus C SM6 31 Kombespol M.Duryat ST77 Darmahusada SM7 32 Tegalsari ST88 RS Dr.Sutomo SM8 33 Embong Malang ST99 Stasiun Gubeng SM9 34 Kedungdoro ST1010 Jl.Raya Gubeng SM10 35 Pasar Blauran ST1111 Jl.Irian Barat SM11 36 Bubutan ST1212 Jl.Bung Tomo SM12 37 Pasar Turi ST1313 Ngagel(Novotel) SM13 38 Kemayoran ST1414 Wonokromo(DTC) SM14 39 Indrapura ST1515 Joyoboyo SM15 40 Rajawali ST1616 Sutos SM16 41 Jembatan Merah ST1717 Ciputra World SM17 42 Veteran ST1818 Dukuh Kupang SM18 43 Tugu Pahlawan ST1919 Bundaran Satelit SM19 44 Baliwerti ST2020 HR.Muhammad SM20 45 Siola ST2121 Simpang Darmo Permai SM21 46 Genteng ST2222 Simpang PTC Lenmark SM22 47 Pasar Tunjungan ST2323 Unesa SM23 48 Gubernur Suryo ST2424 Citraland SM24 49 Bambu Runcing ST2525 Joyoboyo ST1 50 Sonokembang ST26


Penyusunan Graf Berarah dari Jalur Monorel dan Trem di Surabaya

Jarak titik pemberhentian, waktu tempuh antar stasiun yang berurutan,dan alokasi jumlah moda yang beroprasi untuk monorel

Koridor Dari Ke Jarak Waktu tempuh Label waktu Jumlah(km) rata-rata tempuh Monorel

(menit) rata-rata1 SM1 SM2 0,90 1,54 t1 11 SM2 SM3 1,00 1,71 t2 01 SM3 SM4 1,10 1,89 t3 01 SM4 SM5 0,60 1,03 t4 11 SM5 SM6 0,60 1,03 t5 01 SM6 SM7 1,70 2,91 t6 01 SM7 SM8 1,10 1,89 t7 11 SM8 SM9 0,80 1,37 t8 01 SM9 SM10 0,80 1,37 t9 01 SM10 SM11 0,80 1,37 t10 11 SM11 SM12 1,60 2,74 t11 01 SM12 SM13 0,70 1,20 t12 11 SM13 SM14 0,90 1,54 t13 01 SM14 SM15 0,40 0,69 t14 01 SM15 SM16 0,90 1,54 t15 11 SM16 SM17 1,10 1,89 t16 01 SM17 SM18 0,74 1,29 t17 01 SM18 SM19 0,90 1,54 t18 11 SM19 SM20 1,24 2,13 t19 01 SM20 SM21 1,32 2,26 t20 11 SM21 SM22 1,10 1,89 t21 01 SM22 SM23 1,12 1,92 t22 11 SM23 SM24 1,58 2,70 t23 0



Jarak titik pemberhentian, waktu tempuh antar stasiun yang berurutan,dan alokasi jumlah moda yang beroprasi untuk monorel(2)

Koridor Dari Ke Jarak Waktu tempuh Label waktu Jumlah(km) rata-rata tempuh Monorel

(menit) rata-rata1 SM24 SM23 1,58 2,70 t24 11 SM23 SM22 1,12 1,92 t25 01 SM22 SM21 1,10 1,89 t26 11 SM21 SM20 1,32 2,26 t27 01 SM20 SM19 1,24 2,13 t28 11 SM19 SM18 0,90 1,54 t29 01 SM18 SM17 0,74 1,29 t30 11 SM17 SM16 1,10 1,89 t31 01 SM16 SM15 0,90 1,54 t32 01 SM15 SM14 0,40 0,69 t33 11 SM14 SM13 0,90 1,54 t34 01 SM13 SM12 0,70 1,20 t35 01 SM12 SM11 1,60 2,74 t36 11 SM11 SM10 0,80 1,37 t37 01 SM10 SM9 0,80 1,37 t38 11 SM9 SM8 0,80 1,37 t39 01 SM8 SM7 1,10 1,89 t40 01 SM7 SM6 1,70 2,91 t41 11 SM6 SM5 0,60 1,03 t42 01 SM5 SM4 0,60 1,03 t43 01 SM4 SM3 1,10 1,89 t44 11 SM3 SM2 1,00 1,71 t45 01 SM2 SM1 0,80 1,54 t46 0



Jarak titik pemberhentian, waktu tempuh antar stasiun yang berurutan,dan alokasi jumlah moda yang beroprasi untuk trem(1)

Koridor Dari Ke Jarak Waktu tempuh Label waktu Jumlah(km) rata-rata tempuh Trem

(menit) rata-rata2 ST1 ST2 0,53 1,59 t47 12 ST2 ST3 0,58 1,74 t48 02 ST3 ST4 0,60 1,80 t49 12 ST4 ST5 0,65 1,95 t50 12 ST5 ST6 0,45 1,35 t51 02 ST6 ST7 0,48 1,44 t52 12 ST7 ST8 0,58 1,74 t53 12 ST8 ST9 0,49 1,47 t54 02 ST9 ST10 0,69 2,07 t55 12 ST10 ST11 0,45 1,35 t56 12 ST11 ST12 0,45 1,35 t57 02 ST12 ST13 0,55 1,65 t58 12 ST13 ST14 0,40 1,20 t59 02 ST14 ST15 0,75 2,25 t60 12 ST15 ST16 0,65 1,95 t61 12 ST16 ST17 0,62 1,86 t62 12 ST17 ST18 0,58 1,74 t63 12 ST18 ST19 0,55 1,65 t64 02 ST19 ST20 0,60 1,80 t65 12 ST20 ST21 0,40 1,20 t66 0



Jarak titik pemberhentian, waktu tempuh antar stasiun yang berurutan,dan alokasi jumlah moda yang beroprasi untuk trem(2)

Koridor Dari Ke Jarak Waktu tempuh Label waktu Jumlah(km) rata-rata tempuh Trem

(menit) rata-rata2 ST21 ST22 0,40 1,20 t67 12 ST22 ST23 0,40 1,20 t68 02 ST23 ST24 0,50 1,50 t69 12 ST24 ST25 0,50 1,50 t70 02 ST25 ST26 0,60 1,80 t71 12 ST26 ST6 0,35 1,05 t72 02 ST6 ST5 0,50 1,50 t73 12 ST5 ST4 0,65 1,95 t74 12 ST4 ST3 0,60 1,80 t75 12 ST3 ST2 0,60 1,80 t76 12 ST2 ST1 0,55 1,65 t77 1

Dari data yang diperoleh dapat digambarkan graf berarah dimanavertex-vertexnya merupakan stasiun sedangkan garis (edge) yangmenghubungkan vertex-vertex tersebut dinamakan path dengan bobot padasetiap edge adalah waktu tempuh rata-rata antar stasiun.



Gambar Graf Berarah


Aturan Sinkronisasi

Sinkronisasi

Sebelum melakukan penyusunan model monorel dan tremyang terintegrasi terlebih dahulu ditentukan aturan sinkronisasi.Hal ini dimaksudkan untuk menjamin penumpang dapatberpindah dari suatu moda dari jalur tertentu ke moda lainnyadengan jalur yang berbeda dengan sesegera mungkin sesuaigraf berarah.Misalnya:

Keberangkatan monorel ke-(k + 1) dari SM15 menuju SM16menunggu kedatangan monorel yang berangkat ke-k dariSM14 menuju SM15 , menunggu kedatangan monorel yangberangkat ke-k dari ST16 menuju ST15, dan menunggukedatangan trem yang berangkat ke-k dari ST2 menujuST1


Penyusunan Model

Pendefinisian variable Waktu Keberangkatan pada saat ke k

Dari Ke Variabel Dari ke VariabelSM1 SM2 x1(k) SM8 SM7 x40(k)SM2 SM3 x2(k) SM7 SM6 x41(k)SM3 SM4 x3(k) SM6 SM5 x42(k)SM4 SM5 x4(k) SM5 SM4 x43(k)SM5 SM6 x5(k) SM4 SM3 x44(k)SM6 SM7 x6(k) SM3 SM2 x45(k)SM7 SM8 x7(k) SM2 SM1 x46(k)SM8 SM9 x8(k) ST1 ST2 x47(k)SM9 SM10 x9(k) ST2 ST3 x48(k)SM10 SM11 x10(k) ST3 ST4 x49(k)SM11 SM12 x11(k) ST4 ST5 x50(k)SM12 SM13 x12(k) ST5 ST6 x51(k)SM13 SM14 x13(k) ST6 ST7 x52(k)SM14 SM15 x14(k) ST7 ST8 x53(k)SM15 SM16 x15(k) ST8 ST9 x54(k)SM16 SM17 x16(k) ST9 ST10 x55(k)SM17 SM18 x17(k) ST10 ST11 x56(k)SM18 SM19 x18(k) ST11 ST12 x57(k)SM19 SM20 x19(k) ST12 ST13 x58(k)SM20 SM21 x20(k) ST13 ST14 x59(k)SM21 SM22 x21(k) ST14 ST15 x60(k)SM22 SM23 x22(k) ST15 ST16 x61(k)SM23 SM24 x23(k) ST16 ST17 x62(k)SM24 SM23 x24(k) ST17 ST18 x63(k)SM23 SM22 x25(k) ST18 ST19 x64(k)SM22 SM21 x26(k) ST19 ST20 x65(k)


Penyusunan Model

Pendefinisian variable Waktu Keberangkatan pada saat ke k

Dari Ke Variabel Dari ke VariabelSM21 SM20 x27(k) ST20 ST21 x66(k)SM20 SM19 x28(k) ST21 ST22 x67(k)SM19 SM18 x29(k) ST22 ST23 x68(k)SM18 SM17 x30(k) ST23 ST24 x69(k)SM17 SM16 x31(k) ST24 ST25 x70(k)SM16 SM15 x32(k) ST25 ST26 x71(k)SM15 SM14 x33(k) ST26 ST6 x72(k)SM14 SM13 x34(k) ST6 ST5 x73(k)SM13 SM12 x35(k) ST5 ST4 x74(k)SM12 SM11 x36(k) ST4 ST3 x75(k)SM11 SM10 x37(k) ST3 ST2 x76(k)SM10 SM9 x38(k) ST2 ST1 x77(k)SM9 SM8 x39(k)

Berdasarkan data monorel dan trem dan aturan sinkronisasi,maka model aljabar max-plus didapatkan persamaan sebagaiberikut:


Penyusunan Model

Model Aljabar Max-Plus

x1(k + 1) = t46 ⊗ t45 ⊗ t44 ⊗ x44(k) (1)x4(k + 1) = t3 ⊗ t2 ⊗ t1 ⊗ x1(k) (2)x7(k + 1) = t6 ⊗ t5 ⊗ t4 ⊗ x4(k) (3)

x10(k + 1) = t9 ⊗ t8 ⊗ t7 ⊗ x7(k) (4)x12(k + 1) = t11 ⊗ t10 ⊗ x10(k)⊕ t36 ⊗ (5)

x36(k)⊕ t51 ⊗ t50 ⊗ x50(k)⊕t72 ⊗ t71 ⊗ x71(k)

x15(k + 1) = t14 ⊗ t13 ⊗ t12 ⊗ x12(k)⊕ (6)t32 ⊗ t31 ⊗ t30 ⊕ x30(k)⊗t77 ⊗ x77(k)

x18(k + 1) = t17 ⊗ t16 ⊗ t15 ⊗ x15(k) (7)x20(k + 1) = t19 ⊗ t18 ⊗ x18(k) (8)x22(k + 1) = t21 ⊗ t20 ⊗ x20(k) (9)


Penyusunan Model


x24(k + 1) = t23 ⊗ t22 ⊗ x22(k) (10)x26(k + 1) = t25 ⊗ t24 ⊗ x24(k) (11)x28(k + 1) = t27 ⊗ t26 ⊗ x26(k) (12)x30(k + 1) = t29 ⊗ t28 ⊗ x28(k) (13)x33(k + 1) = t14 ⊗ t13 ⊗ t12 ⊗ x12(k)⊕ (14)

t32 ⊗ t31 ⊗ t30 ⊗ x30(k)⊕t77 ⊗ x77(k)

x36(k + 1) = t35 ⊗ t34 ⊗ t33 ⊗ x33(k) (15)x38(k + 1) = t37 ⊗ t10 ⊗ x10(k)⊕ t37 ⊗ (16)

t36 ⊗ x36(k)⊕ t51 ⊗ t50 ⊗x50(k)⊕ t72 ⊗ t71 ⊗ x71(k)

x41(k + 1) = t40 ⊗ t39 ⊗ t38 ⊗ x38(k) (17)x44(k + 1) = t43 ⊗ t42 ⊗ t41 ⊗ x41(k) (18)


Penyusunan Model


x47(k + 1) = t14 ⊗ t13 ⊗ t12 ⊗ x12(k)⊕ (19)t32 ⊗ t31 ⊗ t30 ⊗ x30(k)⊕t77 ⊗ x77(k)

x49(k + 1) = t48 ⊗ t47 ⊗ x47(k) (20)x50(k + 1) = t49 ⊗ x49(k) (21)x52(k + 1) = t10 ⊗ x10(k)⊕ t36 ⊗ x36(k)⊕ (22)

t51 ⊗ t50 ⊗ x50(k)⊕ t72 ⊗t71 ⊗ x71(k)

x53(k + 1) = t52 ⊗ x52(k) (23)x55(k + 1) = t54 ⊗ t53 ⊗ x53(k)⊕ t68 ⊗ (24)

t67 ⊗ x67(k)x56(k + 1) = t55 ⊗ x55(k) (25)x58(k + 1) = t57 ⊗ t56 ⊗ x56(k) (26)


Penyusunan Model


x60(k + 1) = t59 ⊗ t58 ⊗ x58(k) (27)x61(k + 1) = t60 ⊗ x60(k) (28)x62(k + 1) = t61 ⊗ x61(k) (29)x63(k + 1) = t62 ⊗ x62(k) (30)x65(k + 1) = t64 ⊗ t63 ⊗ x63(k) (31)x67(k + 1) = t66 ⊗ t65 ⊗ x65(k) (32)x71(k + 1) = t70 ⊗ t69 ⊗ x69(k) (33)x69(k + 1) = t54 ⊗ t53 ⊗ x53(k)⊕ t67 ⊗ x67(k) (34)x73(k + 1) = t10 ⊗ x10(k)⊕ t36 ⊗ x36(k)⊕ (35)

t51 ⊗ t50 ⊗ x50(k)⊕ t72 ⊗t71 ⊗ x71(k)

x74(k + 1) = t73 ⊗ x73(k) (36)


Penyusunan Model


x75(k + 1) = t74 ⊗ x74(k) (37)x76(k + 1) = t75 ⊗ x75(k) (38)x77(k + 1) = t76 ⊗ x76(k) (39)

x2(k) = t1 ⊗ x1(k) (40)x3(k) = t2 ⊗ t1 ⊗ x1(k) (41)x5(k) = t4 ⊗ x4(k) (42)x6(k) = t5 ⊗ t4 ⊗ x4(k) (43)x8(k) = t7 ⊗ x7(k) (44)x9(k) = t8 ⊗ t7 ⊗ x7(k) (45)

x11(k) = t10⊗ x10(k)⊕ t36 ⊗ x36(k)⊕ (46)t51 ⊗ t50 ⊗ x50(k)⊕ t72 ⊗t71 ⊗ x71(k)


Penyusunan Model


x13(k) = t12 ⊗ x12(k) (47)x14(k) = t13 ⊗ t12 ⊗ x12(k) (48)x16(k) = t15 ⊗ x15(k) (49)x17(k) = t16 ⊗ t15 ⊗ x15(k) (50)x19(k) = t18 ⊗ x18(k) (51)x21(k) = t20 ⊗ x20(k) (52)x23(k) = t22 ⊗ x22(k) (53)x25(k) = t24 ⊗ x24(k) (54)x27(k) = t26 ⊗ x26(k) (55)x29(k) = t28 ⊗ x28(k) (56)x31(k) = t30 ⊗ x30(k) (57)x32(k) = t31 ⊗ t30 ⊗ x30(k) (58)


Penyusunan Model


x34(k) = t33 ⊗ x33(k) (59)x35(k) = t34 ⊗ t33 ⊗ x33(k) (60)x37(k) = t10 ⊗ x10(k)⊕ t36⊗ x36(k)⊕ (61)

t51 ⊗5 0⊗ x50(k)⊕ t72⊗t71 ⊗ x71(k)

x39(k) = t38 ⊗ x38(k) (62)x40(k) = t39 ⊗ t38 ⊗ x38(k) (63)x42(k) = t41 ⊗ x41(k) (64)x43(k) = t42 ⊗ t41 ⊗ x41(k) (65)x45(k) = t44 ⊗ x44(k) (66)x46(k) = t45 ⊗ t44 ⊗ x44(k) (67)


Penyusunan Model


x48(k) = t47 ⊗ x47(k) (68)x51(k) = t50 ⊗ x50(k) (69)x54(k) = t53 ⊗ x53(k) (70)x57(k) = t56 ⊗ x56(k) (71)x59(k) = t58 ⊗ x58(k) (72)x64(k) = t63 ⊗ x63(k) (73)x66(k) = t65 ⊗ x65(k) (74)x68(k) = t67 ⊗ x67(k) (75)x70(k) = t69 ⊗ x69(k) (76)x72(k) = t71 ⊗ x71(k) (77)


Penyusunan Model

Model Aljabar Max-PlusDari (1) sampai (39) dapat dinyatakan dalam bentuk sistemmatriks aljabar max-plus:

x(k + 1) = A⊗ x(k) (78)

dengan matriks A berukuran 39× 39 dan x berukuran 39× 1

Dari (40) sampai (77) dinyatakan dalam bentuk sistem matriksaljabar max-plus sebagai berikut:

x∗(k) = B ⊗ x(k) (79)

dengan matriks B berukuran 38× 39 dan x∗ berukuran 38× 1


Desain Penjadwalan

Desain Penjadwalan

Tahapan desain penjadwalan

1 Penentuan nilai eigen sebagai periode keberangkatan(λ(A))dan vektor eigen (v = x(0)) matriks A

2 Penentuan (x∗(0)) dengan mensubtitusikan x(k) denganx(0) kepersamaan (79)

3 Definisikan v0 = (x(0) x∗(0))T

4 Definisikan vektor keberangkatan awalv ′0 = v0 ⊗ (−min(v0))

Dengan bantuan aplikasi Scilab dan Maxplus Toolboxdiperoleh λ(A) = 4.6 dan vektor eigen sebagaikeberangkatan awal.


Desain Penjadwalan

Desain Penjadwalan

Tahapan desain penjadwalan1 Penentuan nilai eigen sebagai periode keberangkatan

(λ(A))dan vektor eigen (v = x(0)) matriks A

2 Penentuan (x∗(0)) dengan mensubtitusikan x(k) denganx(0) kepersamaan (79)





Desain Penjadwalan

Desain Penjadwalan


(λ(A))dan vektor eigen (v = x(0)) matriks A2 Penentuan (x∗(0)) dengan mensubtitusikan x(k) dengan

x(0) kepersamaan (79)





Desain Penjadwalan

Desain Penjadwalan


(λ(A))dan vektor eigen (v = x(0)) matriks A2 Penentuan (x∗(0)) dengan mensubtitusikan x(k) dengan

x(0) kepersamaan (79)3 Definisikan v0 = (x(0) x∗(0))T




Desain Penjadwalan

Jadwal keberangkatan monorel dan trem ke-1 s/d ke-3

No Tempat Keberangkatan Keberangkatan KeberangkatanKeberangkatan ke-1 ke-2 ke-3

1 SM1 ke SM2 5:00:43 5:05:19 5:09:552 SM2 ke SM3 5:02:15 5:06:51 5:11:273 SM3 ke SM4 5:03:58 5:08:34 5:13:104 SM4 ke SM5 5:01:15 5:05:51 5:10:275 SM5 ke SM6 5:02:17 5:06:53 5:11:296 SM6 ke SM7 5:03:19 5:07:55 5:12:317 SM7 ke SM8 5:01:37 5:06:13 5:10:498 SM8 ke SM9 5:03:31 5:08:07 5:12:439 SM9 ke SM10 5:05:53 5:10:29 5:15:0510 SM10 ke SM11 5:01:39 5:06:15 5:10:5111 SM11 ke SM12 5:03:01 5:07:37 5:12:1312 SM12 ke SM13 5:01:10 5:05:46 5:10:2213 SM13 ke SM14 5:02:22 5:06:58 5:11:3414 SM14 ke SM15 5:04:54 5:09:30 5:14:0615 SM15 ke SM16 5:00:00 5:04:36 5:09:1216 SM16 ke SM17 5:01:32 5:06:08 5:10:4417 SM17 ke SM18 5:03:25 5:08:01 5:12:3718 SM18 ke SM19 5:00:06 5:04:42 5:09:1819 SM19 ke SM20 5:01:38 5:06:14 5:10:5020 SM20 ke SM21 4:59:10 5:03:46 5:08:2221 SM21 ke SM22 5:01:25 5:06:01 5:10:3722 SM22 ke SM23 4:58:43 5:03:19 5:07:5523 SM23 ke SM24 5:00:38 5:05:14 5:09:5024 SM24 ke SM23 4:56:44 5:01:20 5:05:5625 SM23 ke SM22 4:57:26 5:02:02 5:06:3826 SM22 ke SM21 4:54:45 4:59:21 5:03:57


Desain Penjadwalan



27 SM21 ke SM20 4:56:39 5:01:15 5:05:5128 SM20 ke SM19 4:54:18 4:58:54 5:03:3029 SM19 ke SM18 4:56:53 5:01:29 5:06:0530 SM18 ke SM17 4:53:22 4:57:58 5:02:3431 SM17 ke SM16 4:54:39 4:59:15 5:03:5132 SM16 ke SM15 4:56:33 5:01:09 5:05:4533 SM15 ke SM14 5:00:00 5:04:36 5:09:1234 SM14 ke SM13 5:00:41 5:05:17 5:09:5335 SM13 ke SM12 5:02:13 5:06:49 5:11:2536 SM12 ke SM11 4:59:49 5:04:25 5:09:0137 SM11 ke SM10 5:01:34 5:06:10 5:10:4638 SM10 ke SM9 5:00:48 5:05:24 5:10:0039 SM9 ke SM8 5:01:10 5:05:46 5:10:2240 SM8 ke SM7 5:02:32 5:07:08 5:11:4441 SM7 ke SM6 5:00:49 5:05:25 5:10:0142 SM6 ke SM5 5:02:44 5:07:20 5:11:5643 SM5 ke SM4 5:03:46 5:08:22 5:12:5844 SM4 ke SM3 5:00:10 5:04:46 5:09:2245 SM3 ke SM2 5:02:04 5:06:40 5:11:1646 SM2 ke SM1 5:03:46 5:08:22 5:12:5847 ST1 ke ST2 5:00:00 5:04:36 5:09:1248 ST2 ke ST3 5:01:35 5:06:11 5:10:4749 ST3 ke ST4 4:58:43 5:03:19 5:07:5550 ST4 ke ST5 4:56:55 5:01:31 5:06:0751 ST5 ke ST6 5:00:40 5:05:16 5:09:5252 ST6 ke ST7 4:58:25 5:03:01 5:07:37


Desain Penjadwalan



53 ST7 ke ST8 4:55:16 4:59:52 5:04:2854 ST8 ke ST9 5:01:54 5:06:30 5:11:0655 ST9 ke ST10 4:54:52 4:59:28 5:04:0456 ST10 ke ST11 4:51:21 4:55:57 5:00:3357 ST11 ke ST12 4:52:42 4:57:18 5:01:5458 ST12 ke ST13 4:49:27 4:54:03 4:58:3959 ST13 ke ST14 4:51:06 4:55:42 5:00:1860 ST14 ke ST15 4:47:42 4:52:18 4:56:5461 ST15 ke ST16 4:45:21 4:49:57 4:54:3362 ST16 ke ST17 4:42:42 4:47:18 4:51:5463 ST17 ke ST18 4:39:59 4:44:35 4:49:1164 ST18 ke ST19 4:41:42 4:46:18 4:50:5465 ST19 ke ST20 4:38:45 4:43:21 4:47:5766 ST20 ke ST21 4:40:33 4:45:09 4:49:4567 ST21 ke ST22 4:35:57 4:40:33 4:45:0968 ST22 ke ST23 4:37:09 4:41:45 4:46:2169 ST23 ke ST24 4:54:52 4:59:28 5:04:0470 ST24 ke ST25 4:55:22 4:59:58 5:04:3471 ST25 ke ST26 4:52:16 4:56:52 5:01:2872 ST26 ke ST6 4:54:04 4:58:40 5:03:1673 ST6 ke ST5 4:58:25 5:03:01 5:07:3774 ST5 ke ST4 4:55:19 4:59:55 5:04:3175 ST4 ke ST3 4:52:40 4:57:16 5:01:5276 ST3 ke ST24 4:50:52 4:55:28 5:00:0477 ST2 ke ST1 4:47:04 4:51:40 4:56:16


Kesimpulan dan Saran

Kesimpulan

1 Dalam penelitian ini diperoleh model jalur monorel dantrem yang terintegrasi di kota Surabaya menggunakanaljabar max-plus bentuk model x(k + 1) = A⊗ x(k) danx∗ = B ⊗ x(k).

2 Desain penjadwalan monorel dan trem yang terintegrasidisusun berdasarkan periode keberangkatan monorel dantrem yang didapatkan dari nilai eigen λ(A) = 4.6 danwaktu keberangkatan awal monorel dan trem yangdidapatkan dari vektor eigen. Desain penjadwalan yangdilakukan dipengaruhi oleh jumlah moda yang beroperasi,waktu tempuh, dan aturan sinkronisasi.


Kesimpulan dan Saran

Saran

Kajian aljabar max-plus pada pemodelan dan penjadwalan iniberdasarkan rencana pembangunan monorel dan trem di kotaSurabaya. Pada penelitian ini belum memperhitungkan waktumelakukan perpindahan moda, dan faktor lain yang bisamempengaruhi monorel dan trem dalam beroperasi yangberakibat dalam penjadwalan yang kurang sempurna sehinggaperlu adanya penelitian yang mengkaji lebih dalam.Diharapkan nantinya dari penelitian ini sebagai acuanpenelitian-penelitian berikutnya dan dapat dimanfaatkan olehDinas Perhubungan Kota Surabaya sehingga dapat memenuhikebutuhan transportasi kota Surabaya.


Daftar Pustaka

Pusat Data dan Informasi Sekretariat Jenderal Kementerian Perhubungan - Republik Indonesia.2009.Rencana Pembangunan Jangka Panjang Departemen Perhubungan2005-2025.<URL:www.dephub.go.id/ >

Aminah,Siti.2007. Transportasi public dan aksesbilitas Masyarakat Perkotaan.Artikel Media Masyarakat,Kebudayaan dan Politik Vol. 20 - No. 1 / 2007-01 .

Surabaya.go.id.2011. Demografi. <URL: http://http://www.surabaya.go.id/profilkota/ index.php?id=22>

BKKPM.2011. Surabaya Akan Bangun Trem dan Monorel.<URL:http://bkppm.surabaya.go.id/index.php?option=com content&view=article&id=146:surabaya akanbangun-trem-dan-monorel&catid=34:berita-media-massa&Itemid=66&lang=in>

Jawa Pos.Rabu, 23 Januari 2013 Transportasi masal. Jawa Pos halaman 26.

Rahmawati, N.2012. Analisis Pemodelan Dan Penjadwalan Busway Di Surabaya dengan AljabarMax-Plus, Tesis Magister Matematika ITS Surabaya

Fahim, K.2013. Aplikasi Aljabar Max-Plus Pada Pemodelan Dan Penjadwalan Busway YangDiintegrasikan Dengan Kereta Api Komuter, Tugas Akhir Matematika ITS Surabaya

Oktavianto, K.2013. Implementasi Aljabar Max-Plus Pada Pemodelan Dan Penjadwalan KeberangkatanBus Kota Damri(Studi Kasus di Surabaya Tugas Akhir Matematika ITS

Subiono.2012. Aljabar Maxplus dan Terapannya.Buku Ajar Kuliah Pasca Sarjana Matematika, ITS,Surabaya.

Subiono,Fahim.K., dan Adzkiya,D .2013.Maxplus Algebra And Petrinet Toolbox. <http://atoms.scilab.org/toolboxes/maxplus_etrinet>

Kajian Aljabar Max-Plus pada Pemodelan dan Penjadwalan...

Documents

Transcript of Kajian Aljabar Max-Plus pada Pemodelan dan Penjadwalan...