Geometri kelompok 4
description
Transcript of Geometri kelompok 4
ATIK RODIAWATI A1C009054
METALIA FRANSISKA A1C009071
OKTIFA HARMANINGSIH A1C009077
WISNU YAHYA A1C009092
A 1. Aksioma Archimedes atau Aksioma Ukuran
Misalkan dan dua segmen garis, maka ada bilangan
berhingga titik-titik pada garis lurus sehingga
segmen-segmen kongruen terhadap
dan titik B di antara A dan
AB CD
nAAAA ,,,, 321
nn AAAAAAAA 1321 ,,,, CD
nA
…………..... AnB
C D
A A1A2A3.............................
AKSIOMA KEKONTINUAN
AB
A 2. Aksioma Kelengkapan
Himpunan titik-titik pada garis lurus yang memenuhi aksioma urutan,aksioma pertama kekongruenan dan aksioma archimedes adalahlengkap, yaitu tidak ada titik lain yang dapat ditambahkan padahimpunan tersebut, sehingga semua aksioma ini adalah sama benar
Aksioma urutan 1
Jika titik B diantara titik A dan C, maka A, B dan C adalah titik – titik yang berbeda dan B juga terletak diantara C dan A
AKSIOMA KEKONTINUAN
ABC
Aksioma urutan 2
Untuk sebarang dua titik A dan C, ada sedikitnya sebuah titik B pada garis . Sehingga C diantara A dan B.
AC
AC B
A B C
Aksioma urutan 3
Dari sebarang tiga titik pada garis lurus, tidak lebih dari satu terletak diantara keduanya.
α
A
B
C
a a
Aksioma urutan 4
Aksioma PaschMisalkan A, B, dan C tiga titik tidak pada satu garis dan a suatu garis terletak di bidang α yang tidak melalui sebarang titik A, B, dan C. Maka, apabila a melalui titik pada segmen , garis a juga akan melaui titik pada segmen AC atau titik pada segmen .
AB
BC
A1.Jika A dan B dua titik berbeda pada garis lurus a dan A’ sebarang titik padagaris yang sama atau garis berbeda a’ , maka ada suatu titik B’ pada sisi yangsama pada a’ terhadap A’ sehingga segmen kongruen terhadap
A BA’ B’
a
a’
AB A’B’
Aksioma Kekongruenan
B’A’
Misalkan dan dua segmen garis, maka ada bilangan
berhingga titik-titik pada garis lurus sehingga
segmen-segmen kongruen terhadap
dan titik B di antara A dan
AB CD
nAAAA ,,,, 321
nn AAAAAAAA 1321 ,,,, CD
nA
A1A2A3……………................... …………..... AnB
C D
A
aksioma Archimedes atau Aksioma Ukuran
AB
Unsur-unsur (titik-titik, garis-garis dan bidang-bidang) dari sistem
geometri tidak dapat diperluas menjadi titik-titik, garis-garis dan bidang-
bidang karena kekontinuan aksioma insidensi, aksioma urutan, aksioma
kekongruenan serta aksioma Archimedes.
Bukti
i. Kita asumsikan bahwa unsur-unsur dari sistem geometri dapat
diperluas.
ii. Misalkan unsur-unsur yang ada sebelum diperluas kita sebut
sebagai unsur lama, sedangkan unsur-unsur yang telah diperluas
kita sebut sebagai unsur baru.
Teorema Kelengkapan
(Sekarang kita gunakan contoh)
iii. Terdapat segitiga FGH , segmen FG dan titik I pada bidang lama.
iv. Menurut aksioma urutan (4) Jika sebuah titik baru L dihubungkan
dengan titik I maka garis IL dan FH atau garis IL dan GH
berpotongan di titik K.
v. Jika K adalah titik baru maka sebuah titik baru K berada pada garis
lama FH atau GH . Sedangkan jika K adalah titik lama maka L
adalah titik baru yang berada pada garis lama IK .
vi. Semua asumsi ini bertentangan dengan aksioma kelengkapan
karena tidak ada titik yang dapat ditambahkan pada himpunan titik-
titik yang telah ada.
vii. Asumsi bahwa unsur-unsur dari sistem geometri dapat diperluas
tidak dapat diterima maka dapat disimpulkan bahwa unsur-unsur
dari sistem geometri tidak dapat diperluas.
F G
H LL
I
KK
Referensi
Hilbert, David. 1992. Foundation of Geometry. e/2. open
Court Publishing Company Illinois – USA.
Kusno. 2004. Geometri. Universitas Jember : Jember.