Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
-
Upload
patrice-ester-irala-paruntu -
Category
Documents
-
view
307 -
download
5
Transcript of Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
1/44
1
BAB II
ISI1. URUTAN PADA GARIS
Secara matematika pengertian urutan dinyatakan dalam bentuk suatu sistem
aksioma yang selanjutnya dinamakan Aksioma Urutan, yaitu :
1.
Sifat simetri
(ABC) mengakibatkan (CBA). (ABC) dibaca “Titik B antara titik A dan C”.
2. Sifat antisiklik
(ABC) mengakibatkan ~(BCA). ~(BCA) berarti: tidak (BCA).
3.
Sifat koherensi linier
A, B, C berlainan dan segaris jika dan hanya jika (ABC), (BCA), atau (CAB).
Aksioma ketiga ini dapat diganti oleh aksioma berikut:
3.1.
(ABC) mengakibatkan A, B, C berlainan dan segaris.
3.2. Jika A, B, C berlainan dan segaris maka (ABC), (BCA) atau (CAB).
4.
Sifat pemisahan
Jika P segaris dan berbeda dengan A, B, C maka (APB) mengakibatkan (BPC)
atau (APC) tetapi tidak dua-duanya.
5.
Sifat eksistensi
Jika A≠B, maka ada X, Y, Z sehingga (XAB), (AYB), (ABZ).
2. Sifat-Sifat Elementer ke-antara-an
Dari aksioma ketiga dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut.
i.
(ABC) mengakibatkan garis AB=garis BC=garis AC, atau disingkat
AB=BC=CA.
ii.
(ABC) mengakibatkan bahwa AB memuat C, BC memuat A, AC memuat B.
Teorema 1
(ABC) mengakibatkan (CBA) dan (ABC) mengakibatkan ~(BCA),
~(BAC), ~(ACB), dan ~(CAB).
Bukti:
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
2/44
2
Menurut aksioma 1, (ABC)→(CBA).
Menurut aksioma 2, (ABC) dan (CBA) mengakibatkan ~(BCA) dan
~(BAC).
Andaikan (ACB), maka menurut aksioma 1 peroleh (BCA). Hal ini
berlawanan dengan ~(BCA). Jadi haruslah ~(ACB).
Andaikan (CAB), maka menurut aksioma 2 diperoleh ~(ABC). Ini
berlawanan dengan (ABC). Jadi haruslah ~(CAB).
3. Ruas Garis
Definisi
.
Teorema 2
Jika A≠B, maka
i. AB = BA
ii. AB ⊂ AB
iii. A ∉ AB , B ∉ AB
iv. AB himpunan tak kosong.
Bukti:
i. Oleh karena (AXB) = (BXA) dan AB = {X|(BXA)} maka AB = BA .
ii.
Andaikan X ∈ AB ; maka (AXB). Ini berarti A, X, B segaris sehingga X ∈ AB .
Jadi AB ⊂ AB.
iii. Andaikan A ∈ AB . Jadi berlakulah (AAB). Ini berlawanan dengan aksioma 3.1.
Jadi A ∉ AB . Begitu pula B ∉ AB .
iv. Oleh karena A ≠ B, menurut aksioma 5, ada X sehingga (AXB). Jadi X ∈ AB.
4. Sinar atau Setengah Garis
Apabila A≠B, maka himpunan H={X|(AXB)} disebut ruas garis AB atau
disingkat AB . A dan B disebut ujung ruas.
Akibat: AB = X AXB .
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
3/44
3
Definisi
Gambar 1
Dari keterangan di atas, dapat dijabarkan teorema-teorema sebagai berikut.
Teorema 3
Jika A ≠ B, maka
i. A/B⊂ AB; B/A ⊂ AB.
ii.
A ∉ A/B; B ∉ A/B;
iii.
A/B tidak hampa.
Bukti:
ii, iii jelas.
Kita akan membuktikan i.
Ambil X ∈ A/B sehingga (XAB). Ini berarti X ∈ AB. Ambil Y ∈ B/A. Jadi
(YBA). Ini berarti Y ∈ BA atau Y ∈ AB.
5. Dekomposisi suatu garis yang ditentukan oleh dua titiknya.
Teorema 4
Jika A ≠ B, maka
i. AB = A/B ∪ {A} ∪ AB ∪ {B} ∪ B/A.
ii. Himpunan-himpunan pada ruas kanan saling lepas.
X A B
Jika dua titik A dan B, A ≠ B, maka himpunan H={(X|XAB)} dinamakan sinar
atau setengah garis. Sinar itu ditulis sebagai A/B (“A atas B”). Kadang kadang
A/B dinamakan perpanjangan AB melampaui A. Titik A dinamakan suatu ujung
sinar A/B. Gambar 1
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
4/44
4
Bukti:
Gambar 2
i. Andaikan S= A/B ∪ {A} ∪ AB ∪ {B} ∪ B/A.
Akan dibuktikan S=AB.
Untuk membuktikan S=AB, cukup dengan membuktikan S ⊂ AB dan
AB ⊂ S.
Akan dibuktikan S ⊂ AB.
Berdasarkan teorema 2 dan teorema 3, AB , A/B, B/A, {A}, dan {B} adalah
himpunan bagian dari AB. Jadi, telah terbukti bahwa S ⊂ AB.
Akan dibuktikan AB ⊂ S.
Andaikan X ∈ AB. Apabila X = A atau X = B, jelas X ∈ S. Apabila X ≠ A
dan X ≠ B, maka ada salah satu kemungkinan berikut yaitu (ABX),
(BXA), atau (XAB).
Andaikan (ABX) maka (XBA), ini berarti X ∈ B/A. Jadi X ∈ S.
Andaikan (BXA), ini berarti X ∈ BA = AB sehingga X ∈ S.
Andaikan (XAB), ini berarti X ∈ A/B. Jadi X ∈ S.
Jadi, setiap X ∈ AB ada di S. Ini berarti AB ⊂ S. Oleh karena S ⊂ AB, AB
⊂ S, maka ini berarti bahwa S=AB.
ii.
Diketahui A ≠ B. Menurut teorema 2 dan 3, A ∉ AB
, A ∉ A/B, A ∉ B/A,begitu pula B ∉ AB , B ∉ A/B.
Andaikan AB dan A/B tak lepas , jadi ada X∈ AB ∩ A/B s ehingga X∈
A/B dan X ∈ AB . Ini berarti (AXB) dan (XAB). Dari (AXB) kita peroleh
(BXA) s ehingga~(XAB), menurut aks ioma 2.Jadi, berlawanan dengan
(XAB). Jadi AB ∩ A/B = ∅.
A/B A B B/A
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
5/44
5
6. Penentuan Garis Berarah
Teorema 5
Jika sinar P/A memotong sinar P/B, maka P/A=P/B.
Bukti:
Gambar 3
Oleh karena P/A memotong P/B, maka ada C ∈ P/A dan C ∈ P/B. Jadi (CPA) dan(CPB). Jadi, P ≠ C, P ≠ A, P ≠ B sedangkan P, C, A, B segaris menurut aksioma
4, (CPA) mengakibatkan (CPB) atau (APB), tetapi tidak bersamaan. Oleh karena
(CPB) maka ~(APB).
Untuk membuktikan P/A = P/B, akan kita buktikan P/A ⊂ P/B dan P/B ⊂ P/A.
Andaikan X ∈ P/A, maka (XPA). Oleh karena P ≠ X, P ≠ A, P ≠ B, dan P, X, A,
B segaris maka menurut aksioma 4, berlaku (XPB) atau (APB). Oleh karena
terbukti bahwa ~(APB), maka (XPB). Ini berarti X ∈ P/B sehingga P/A ⊂ P/B.
Dengan cara yang hampir sama, diperoleh pula P/B ⊂ P/A. Dengan demikianterbuktilah P/A = P/B.
Akibat 1
Jika P≠ A, maka hanya ada 1 sinar dengan ujung P dan yang memuat A.
Bukti:
Oleh karena P≠ A, maka menurut aksioma 5, ada X sehingga (APX). Jadi A ∈ P/X. Sinar P/X ini memenuhi sifat bahwa ujungnya P dan memuat A. Sebuah
sinar dengan ujung P selalu dapat ditulis sebagai P/Y. Andaikan P/Y ini memuat
A. Maka P/X ∩ P/Y = A. Jadi P/X = P/Y menurut teorema 5 di atas.
Definisi
X A BPC
Jika P ≠ A, sinar tunggal dengan ujung P yang memuat A, ditulis sebagai PA (dibaca
“sinar PA”)
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
6/44
6
Akibat 2
Andaikan R sebuah sinar dengan ujung P. Jika A ∈ R, maka R=PA .
Bukti:
Menurut teorema 3, P ≠ A. R adalah sinar dengan ujung P yang memuat A. Jadi R
satu-satunya sinar dengan sifat demikian (akibat 1). Tetapi PA adalah sinar dengan
ujung P yang memuat A (definisi). Sehingga R=PA .
Akibat 2 dapat dirumuskan sebagai berikut. Kalau A ∈ P/X maka P/X = PA .
Akibat 3
Tiap sinar P/X dengan ujung P dapat ditulis sebagai PA .
Bukti:
Menurut teorema 3, P/X tidak hampa. Jadi mengandung sebuah titik A. Sehingga
P/X=PA .
Akibat 4
(APB) mengakibatkan PA = P/B, dan PB = P/A.
Bukti:
Gambar 4
Oleh karena (APB) maka A ∈ P/B menurut akibat 2, P/B=PA . Berdasarkan
aksioma 1, (APB) mengakibatkan (BPA). Jadi B ∈ P/A. Ini berarti lagi P/A = PB
Akibat 5
Apabila A ≠ B maka AB ⊂ AB.
Bukti:
Andaikan titik C memenuhi (CAB) menurut akibat 4 dan teorema 3 kita peroleh
AB=A/C ⊂ AC=AB.
A B
P
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
7/44
7
Gambar 5
Akibat 6
Apabila PA =P/B maka PB =P/A
Bukti:
A ∈ PA = P/B. Jadi, (APB) sehingga PB = P/A sebab (APB) mengakibatkan
(BPA).
Akibat 7
PA = PB jika dan hanya jika P/A=P/B.
Bukti:
Andaikan PA = PB = P/X menurut akibat 6, PX =P/A dan PX =P/B. Jadi,
P/A=P/B. Sebaliknya andaikan P/A=P/B=PY menurut akibat 6, PA =P/Y dan
PB = P/Y, sehingga PA = PB .
7. Garis Berarah yang Berlawanan
Definisi
Teorema 6
Andaikan R dan R’ dua sinar dengan titik ujung yang P yang sama. Andaikan
A∈R dan B ∈ R’ sehingga (APB). Maka P terletak antara tiap titik R dan tiap titik
R’ berlawanan.
Bukti:
A B A/B
Sinar R dan sinar R’ dinamakan berlawanan (arah) apabila memiliki titik ujung P
yang sama dan P terletak antara tiap titik R dan tiap titik R’.
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
8/44
8
Gambar 6
Andaikan X ∈ R, Y ∈ R’. Kita akan membuktikan bahwa (XPY). Oleh karena
A∈R dan B∈R’ kita peroleh.
R=PX = PA (1)
R’=PY = PB (2)
Oleh karena (APB) maka
PA=P/B (3)
Sehingga PX =P/B (4)
Jadi PB =P/X (5)
Juga dari (APB) kita peroleh
PB =P/A (6)
Sehingga PY =P/A (7)
Jadi, PA =P/Y (8)
Menurut (1)
PX =P/Y
Sehingga X terkandung dalam sinar P/Y atau X ∈ P/Y. Ini berarti (XPY).
Akibat 1
Sinar PA dan sinar P/A berlawanan dan P terletak antara tiap titik sinar PA dan
titik sinar P/A.
Bukti:
X Y
= = A P B
′ = =
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
9/44
9
Ambil X ∈ P/A, jadi (XPA). Oleh karena X ∈ P/A dan A ∈ PA maka menurut
teorema di atas P terletak antara tiap titik di P/A dan tiap titik di PA . Jadi menurut
definisi P/A dan PA dua sinar yang berlawanan arah.
Akibat 2
Andaikan (APB) maka P/A dan P/B berlawanan dan P ada di antara tiap dua titik
masing-masing sinar itu.
Bukti:
Diketahui (APB) maka A ∈ P/B dan B ∈ P/A maka menurut teorema 6, P terletak
di antara tiap titik P/A dan tiap titik P/B. Jadi, P/A dan P/B berlawanan arah.
Akibat 3
Tiap pasang dua sinar yang berlawanan arah saling lepas.
Bukti:
Andaikan R dan R’ dua sinar yang berlawanan arah dan andaikan X ∈ R dan X ∈
R’ menurut ketentuan sinar-sinar yang berlawanan maka (XPX) apabila P ujung R
dan R’. Ini tak mungkin sebab bertentengan dengan aksioma 3.1
Akibat 4
Sebuah sinar tidak berlawanan dengan diri sendiri.
Bukti:
Andaikan berlawanan, menurut akibat 3 di atas sinar itu dan dirinya sendiri saling
lepas. Ini hanya mungkin apabila sinar hampa. Hal ini bertentangan dengan
ketentuan sinar.
8. Pemisahan Garis
Untuk memperkenalkan konsep pemisahan perhatikan gambar berikut
Gambar 7
S’S
Pl
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
10/44
10
Andaikan l sebuah garis (gambar 7). Kita tentukan “pemisahan” sebagai berikut:
Definisi
9.
Pemisahan garis oleh salah satu titiknya
Teorema 7: (Pemisahan Garis)
Andaikan (APB) maka P memisah garis AB menjadi sinar P/A dan P/B.
Bukti:
P/A dan P/B masing-masing tak hampa (teorema 3).
Untuk itu, harus membuktikan
i. AB=P/A ∪ {P} ∪ P/B
ii. P terletak antara tiap titik P/A dan tiap titik P/B.
iii. P tidak di antara dua titik P/A atau tidak di antara dua titik P/B.
iv. P/A, P/B dan {P} saling lepas.
Bukti:
i. Andaikan P/A ∪ {P} ∪ P/B = S. Akan dibuktikan AB=S. Maka perlu
dibuktikan S⊂AB dan AB⊂S. Diketahui (APB), jadi AB=PA=PB menurut
teorema 3, P/A⊂PA, P/B⊂PB. Jadi pula P/A⊂AB, P/B⊂AB. Oleh karenaP∈PA=AB, diperoleh bahwa P/A ∪ P/B ∪ {P} ⊂ AB. Terbukti S⊂AB.
Sebaliknya, andaikan X∈AB. Apabila X=P jelas X∈S. Apabila X≠A,
maka (APB) mengakibatkan P≠A, P≠B, P≠X dan segaris dengan A, B,
X. Menurut aksioma 4, (APB) mengakibatkan (APX) atau (XPB) jadi
(XPA) atau (XPB). Ini berarti X∈P/A atau X∈P/B. Ini berarti bahwa X∈S.
Sehingga AB⊂S, maka terbuktilah AB=S.
ii. Menurut akibat 2 teorema 6, (APB) mengakibatkan P terletak antara tiap
titik P/A dan tiap titik P/B.
Sebuah titik P memisah himpunan titik A pada sebuah garis menjadi dua
himpunan S dan S’ apabila dipenuhi syarat-syarat sebagai berikut:
i.
A = S ∪ S’∪{P}
ii.
P terletak antara tiap titik S dan tiap titik S’
iii.
P tidak terletak antara dua titik S atau antara dua titik S’
iv. S, S’ dan {P} saling lepas.
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
11/44
11
iii.
Andaikan X∈P/A dan Y∈P/A dan andaikan P antara X dan Y menurut
teorema 6, P/A berlawanan dengan P/A. Ini bertentangan dengan akibat 4,
teorema 6. Begitu pula untuk P/B.
iv. P∉P/A, P∉P/B sedangkan P/A dan P/B berlawanan arah, jadi saling lepas.
Jadi ketika himpunan {P}, P/A dan P/B saling lepas.
Akibat 1 Pemisahan Garis
Teorema di atas berlaku apabila P/A dan P/B masing-masing diganti dengan PA
dan PB .
Bukti: Dari (APB) kita peroleh P/A = PB dan P/B = PA .
Akibat 2 Kemanunggalan Pemisahan
Andaikan l sebuah garis dan P ∈ l. Maka P memisahkan l menjadi dua himpunan
yang tunggal. Kedua himpunan ini berujung di P dan merupakan sinar.
Bukti:
Andaikan P memisah l menjadi dua himpunan S dan S’ menurut ketentuan
l =S∪S’∪{P}.
Himpunan pada ruas kanan saling lepas dan ≠ Ø, ′ ≠ Ø. Andaikan A∈S danB∈S’, maka (APB) menurut akibat 1, P memisah l menjadi PA dan PB . Akan kita
buktikan = PA dan = PB . Andaikan X∈S oleh karena B∈S’ maka berlakulah
(XPB). Jadi, X ∉ PB sebab P tidak terletak antara dua titik sinar PB . Oleh karena
X≠P maka haruslah X ∈ PA . Jadi S⊂PA. Andaikan Y ∈ PA . Oleh karena B ∈ PB
dan PA dan PB berlawanan arah maka (YPB). Oleh sebab B∈S’ maka tak
mungkin Y∈S’ dan tak mungkin Y∈{P}. Jadi haruslah Y∈S. Ini berarti PA ⊂ .
Sehingga terbukti bahwa = PA . Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa
′ = PB
. Dengan demikian terbukti bahwa S dan S’ telah ditentukan secaratunggal dan berbentuk sinar denagn ujung P dan P memisah l menjadi 2 dua
himpunan.
Akibat 3 Dekomposisi Garis
Apabila A≠B maka AB=A/B∪{A}∪ AB . Himpunan A/B, {A} dan AB saling
lepas.
Bukti:
Menurut aksioma 5, ada X sehingga (XAB). Jadi menurut teorema:
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
12/44
12
AB=XB=A/B∪{A}∪A/X. Dengan A/B, {A}, A/X himpunan yang lepas. Oleh
karena (XAB) maka A/X=AB . Jadi AB=A/B∪{A}∪ AB .
Akibat 4 (Dekomposisi Sinar)
Jika A≠B maka AB = AB ∪ {B} ∪ B/A. Himpunan pada ruas kanan saling lepas.
Gambar 8
Bukti:
Menurut akibat 3 dan teorema 4, diperoleh berturut-turut: AB=A/B∪{A}∪ AB dan
AB=A/B∪{A}∪ AB ∪{B}∪B/A sehingga
A/B∪{A}∪ AB = A/B∪{A}∪ AB ∪{B}∪B/A.
Oleh karena himpunan pada ruas kiri dan ruas kanan saling lepas. Ini berarti
bahwa AB = AB ∪ {B} ∪ B/A
Akibat 5
Andaikan A≠B maka X∈ AB jika dan hanya jika (AXB) atau X=B dan (ABX).
Bukti:
Kalau X∈ AB maka berhubung AB ∪ AB ∪{B}∪B/A diperoleh X∈ AB atau
X∈{B} atau X∈B/A. Kalau X∈ AB maka (AXB). Kalau X∈{B} maka X=B.
Kalau X∈B/A maka (XBA) yang beraarti juga (ABX).
Sebaliknya:
Kalau (AXB) maka X∈ AB sehingga X∈ AB .
Kalau X=B maka X∈{B}, sehingga X∈ AB .
Kalau (ABX) maka X∈B/A, sebab (XBA) = (ABX). Jadi X∈ AB .
Akibat 6
(ABC) mengakibatkan AB = AC dan A/B=A/C.
A B
A/B
B/A
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
13/44
13
Bukti:
Menurut akibat 5, (ABC) mengakibatkan B∈ AC . Jadi AB = AC (teorema 5, akibat2) dan A/B=A/C (teorema 5, akibat 7)
Teorema 8 (Pemisahan Ruas Garis)
Andaikan (APB) maka P memisah ruas menjadi ruas AP dan PB .
Bukti:
Gambar 9
Perhatikan bahwa AP dan PB tidak hampa.
Harus dibuktikan;
i. AB = AP ∪ PB ∪ {P}
ii. P terletak antara tiap titik di AP dan tiap titik di PB
iii.
Tidak terletak antara dua titik dalam AP maupun antara dua titik dalam
PB
iv. AP , {P} dan PB saling lepas
Akibat 1
Apabila P∈ AB maka PA ⊂ AB dan PB ⊂ AB
Akibat 2
Tiap ruas garis adalah sebuah himpunan tak hingga.
Bukti:
Andaikan himpunan AB berhingga dan mengandung tepat n titik.
Andaikan P, salah satu di antaranya. Sebab AB himpunan tak hampa. Maka
PB ⊂ AB . P ∈ AB tetapi P ∉ PB. Jadi, PB mengandung paling banyak n-1 titik-
titik.
Dengan cara yang serupa PB memuat sebuah himpunan bagian PB dengan
paling banyak n-2 titik-titik. Dengan demikian kita peroleh ruas-ruas garis.
A B
P
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
14/44
14
AB ⊃ PB ⊃ PB … …… ⊃ PB
Tiap himpunan mengandung paling sedikit satu titik kurang dari himpunan yangsebelumnya. Sedangkan AB mengandung n titik. Ini berarti bahwa PB tidak
mengandung titik sama sekali, yang berlawanan dengan teorema 2.
Akibat 3
Setiap garis dan setiap sinar adalah himpunan yang tak hingga.
Bukti:
Tiap garis atau sinar mengandung sebuah ruas garis sebagai himpunan bagian.
10. Himpunan Konveks
Definisi
Akibat
Kalau A dan B dua titik berlainan maka garis AB adalah konveks.
Teorema 9
Tiap sinar adalah konveks.
Bukti:
Gambar 10
Perhatikan P/A. Andaikan X≠Y dan X∈P/A dan Y∈P/A. Kita akan membuktikan
XY ⊂ P/A. Andaikan Z∈ XY . Sehingga (XZY). Juga (XPA), (YPA). Jadi (APX)
dan (APY).
Perhatikan P, A, X, Y. P segaris dengan A, X, Y dan P≠A, P≠X, P≠Y menurut
aksioma 4, (APX) mengakibatkan (APY) atau (XPY) tetapi tidak dua-duanya.
Oleh karena (APY) maka ~(XPY).
YZA XP
Suatu titik-titik S dikatakan konveks, apabila X∈S, Y∈S dan X≠Y
mengakibatkan XY ⊂ S.
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
15/44
15
Perhatikan P, A, X, Z. P segaris dengan A, X, Z dan P≠A, P≠X, P≠Z. Oleh
karena (APX) maka menurut aksioma 4 mengakibatkan (APZ) atau (XPZ) tetapi
tidak dua-duanya. Andaikan (XPZ). Jadi P∈ XZ ⊂ XY , sehingga (XPY).
Bertentangan dengan ~(XPY). Ini berarti ~(XPZ) sehingga haruslah (APZ). Jadi
Z∈P/A dan terbukti bahwa XY ⊂ P/A.
Teorema 10
Tiap ruas garis adalah konveks.
Bukti:
Gambar 11
Perhatikan AB menurut teorema 7, akibat 4, diperoleh
(1). AB = AB ∪ {B} ∪ B/A
(2). BA = BA ∪ {A} ∪ A/B
Berhubung AB = BA maka AB ⊂ AB dan pula AB ⊂ BA . Ini berarti bahwa
AB = AB ∩ BA . Ambil X ∈ AB dan Y∈ AB dengan X≠Y maka X∈AB dan
Y∈AB sehingga XY ⊂ AB . Begitu pula X ∈ BA dan Y∈ BA jadi XY ∩ AB .
Terbuktilah bahwa XY ⊂ AB = AB . Jadi AB konveks.
11. URUTAN PADA BIDANG DAN RUANG
Aksioma urutan 1-5 yang berlaku pada garis kurang mencukupi untuk bidang.
Oleh karena itu harus dilengkapi dengan aksioma 6 yang lazim digunakan
Aksioma Pasch. Aksiomanya sebagai berikut.
Aksioma 6 (Aksioma Pasch)
Andaikan g sebuah garis yang sebidang dengan titik A, B, C tetapi g tidak melalui
A, B atau C. Apabila g memotong AB maka g memotong BC atau AC tetapi tidak
dua-duanya.
Aksioma 6 juga berlaku apabila A, B,C berlainan dan segaris atau apabila C=A
atau C=B.
A B
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
16/44
16
Definisi
Definisi
Catatan
Setengah bidang itu serupa dengan sebuah sinar P/A. Sebab P/A={X|(XPA)}.
Jadi, himpunan semua X sehingga ruas XA memotong P.
(a) (b)
Gambar 12
Teorema 1
Apabila A∉g maka
i.
g/A ⊂gA; gA adalah bidang yang melalui g dan A
ii. g, g/A dan {A} saling lepas
iii. g/A ≠ ∅
X
Q
g
Ag/A
A X
P/A
P
Sebuah geometri insidensi yang di dalamnya telah didefinisikan konsep
urutan yang memenuhi aksioma 1-6 dinamakan geometri insidensi urutan
Jika A∉g himpunan semua titik X hingga XA memotong g dinamakan
setengah bidang yang dilambangkan dengan g/A (dibaca “g atas A”); garis
g disebut tepi setengah bidang.
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
17/44
17
Bukti:
Gambar 13
i.
Andaikan X∉g/A. Jadi XA memotong g di misalnya P’. Sehingga (XPA)
dan X∈PA⊂gA. Jadi g/A⊂gA.
ii. Andaikan X∉g/A dan X∉g. Jadi XA memotong g di P dan (XPA). Ini
berarti A∈ XP. Oleh karena X∈g dan P∈g maka XP∈g. Sehingga A∈g
berlawanan dengan yang diketahui bahwa A∉g. Jadi g/A∩g=∅.
Andaikan A∈g/A ini akan berarti bahwa AA memotong g. Ini tidak
mungkin sebab diketahui bahwa A∉g.
iii. Oleh karena memuat aksioma 5 ada X sehingga (APX) maka X∈g/A, di
sini P∈G.
Teorema 2
Apabila g/A memotong g/B, maka g/A=g/B.
Bukti:
Gambar 14
Andaikan C∈g/A dan C∈g/B, maka CA memotong g dan CB memotong g. A∈g/C
dan B∈g/C (C∉g sebab C∈g/A). Titik-titik A, B, dan C∈g/C sedangkan g⊂g/C.
Selanjutnya A, B, dan C tidak pada garis g, maka menurut aksioma 6, AB tidak
memotong g sebab CA dan CB memotong g.
B
g
A
C X
Xp
g
Ag/A
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
18/44
18
Andaikan X∈g/A. Jadi XA memotong g, menurut teorema 1. X∈g/A⊂gA=gC.
Dengan demikian titik X, A, B⊂gC dan g⊂gC dan X, A, B dan garis g. Oleh
karena XA memotong g, AB tidak memotong g maka XB memotong g. Jadi,
X∈g/B, ini berarti bahwa g/A⊂g/B. Dengan cara serupa dapat dibuktikan bahwa
g/B⊂g/A sehingga g/A=g/B.
Akibat 1
Apabila A∉g, maka hanya ada tepat satu setengah bidang dengan tepi g dan yang
memuat A.
Bukti:
Menurut teorema 1, g/A tidak hampa, jadi ada B∈g/A dan B∉g. Ini berarti AB
memotong g, sehingga A∈g/B, jadi ada setengah bidang dengan tepi g dan yang
memuat A.
Definisi
Jika A∉g, gA berarti setengah bidang bertepi g yang memuat A; gA dibaca
“setengah bidang gA”.
Akibat 2
Andaikan H setengah bidang bertepi g. Kalau A∈H maka H= gA .
H setengah bidang bertepi g dan memuat A; gA juga setengah bidang bertepi g
memuat A, menurut akibat 1 hanya ada satu setengah bidang bertepi g yang
memuat A. Jadi haruslah H=gA .
Catatan
Apabila H kita sajikan sebagai g/X kita peroleh
Jika A∈g/X maka g/X=gA .
Akibat 3
Setiap setengah bidang g/X bertepi g dapat disajikan sebagai gA .
Bukti:
g/X tidak hampa, andaikan A∈g/X jadi g/X adalah setengah bidang bertepi g yang
memuat A. Oleh karena setengah bidang ini dapat pula disajikan sebagai gA dan
setengah bidang ini tunggal maka g/X=gA .
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
19/44
19
Akibat 4
Jika AB memotong g dan A∉g, B∉g maka gA =g/B dan gB =g/A.
Bukti:
Gambar 15
AB memotong g dan B∉g. Ini berarti A∈g/B. Jadi gA =g/B. Begitu pula A∉g
sehingga B∈g/A sehingga gB =g/A.
Akibat 5
Jika A∉g, maka gA ⊂ gA = gA
Andaikan C∈g/A, maka gA =g/C ⊂gC=gA
12. Setengah Bidang yang Berhadapan
Seperti pada setengah garis yang berlawanan (arah), pada setengah bidang ada
pula pengertian sepasang setengah bidang yang berhadapan.
Definisi
= g/B
B
g
A
= g/A
Dua setengah bidang S dan S’ dinamakan berhadapan apabila S dan S’
memiliki tepi yang sama sedangkan tiap titik S dapat dihubungkan dengan
tiap titik S’ oleh sebuah ruas garis yang memotong g.
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
20/44
20
Teorema 3
Andaikan S dan S’ dua setengah bidang yang bertepi g. Andaikan titik A∈S danB∈S’ sehingga AB memotong g, maka tiap ruas garis yang menghubungkan
sebuah titik di S dengan sebuah titik di S’ akan memotong g.
Bukti:
Andaikan titik X∈S, titik Y∈S’ kita akan membuktikan XY memotong g. Oleh
karena A∈S, B∈S’ maka
1). S = gX = gA
2).
S′ = gY = gB
Kita peroleh berturut-turut gA = g/B. Jadi, gX = g/B, sehingga gB = g/X dan
gY = g/X. Ini berarti Y∈g/X yang mengakibatkan bahwa XY memotong g.
Menurut definisi S dan S’ dua setengah bidang yang berhadapan.
Gambar 16
13. PEMISAHAN BIDANG
Andaikan g sebuah garis; g memisah sebuah himpunan titik-titik B menjadi dua
himpunan S dan S’, apabila syarat-syarat berikut telah dipenuhi:
(i) B = S S’ g.
(ii) Tiap ruas garis yang menghubungkan sebuah titik di S dan sebuah titik
di S’ memotong g.
(iii) Tiap ruas garis yang menghubungkan dua titik di S atau dua titik di S’
tidak memotong g.
=
Y
B
g
A
X
=
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
21/44
21
(iv) S, S’ dan g saling lepas.
Teorema 4
Andaikan titik A, B V dan garis g V (V bidang); A g, B g. Andaikan
AB memotong g, maka g memisah bidang V menjadi setengah bidang g/A dan
g/B.
Bukti:
Jelas g/A dan g/B tidak kosong menurut definisi pemisahan. Yang harus
dibuktikan adalah ;
(i) V = g/A g g/B
(ii) Jika X g/A dan Y g/B maka XY memotong g
(iii) Jika X g/A dan Y g/B atau X g/B, Y g/B maka XY tidak
memotong g
(iv) g/A, g/B, dan g himpunan lepas.
Gambar 17
Bukti (i)
Andaikan S= g/A g g/B . oleh karena A V, B V, dan g V sedangkan A
g, B g maka:
V gb B g V gA A g /;/
g/A
X
g/B
V
BA
g
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
22/44
22
Jadi
V B g g A g S //
Sebaliknya andaikan X V. Kalau X g jelas X V. Ambillah X g, maka A
g, B g, Xg;g V, A V, B V, X V. Oleh karena AB memotong g
maka g memotong AX atau BX , tetapi tidak dua-duanya. Ini berarti X g/A
atau X g/B, sehingga X g/A g/B. jadi X S. dengan demikian maka V
S. Sehingga V=S.
Bukti (ii)
Oleh karena AB memotong g, A g, B g maka g/A dan g/B dua setengah
bidang yang berhadapan, sehingga tiap ruas garis yang menghubungkan sebuah
titik X di g/A dan sebuah titik Y di g/B akan memotong g menurut teorema 3.
Bukti (iii)
Andaikan X g/A, Y g/A dan andaikan XY memotong g. jadi g/A berhadapan
g/A. ini tak mungkin berdasarkan sifat.
Bukti (iv)
Menurut teorema 1; g, g/A, g dan g/B adalah himpunan yang saling lepas.
Menurut (ii) g/A dn g/B dua setengah bidang yang berhadapan. Jadi saling lepas.
Akibat 1
Teorema di atas berlaku pula apabila g/A diganti gA dan g/B diganti dengan gB
Bukti:
Memotong g dan A g, B g, maka g/A, g/B = gA
maka g/A = gB , g/B = gA
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
23/44
23
Akibat 2
Andaikan garis g pada bidang V, maka g memisah V menjadi dua himpunan
secara tunggal; kedua himpunan ini adalah setengah bidang dengan tepi g.
Bukti
Andaikan g memisah V menjadi himpunan S dan S’ menurut definisi:
V = S S’ g.
Himpunan pada ruas kanan saling lepas dan tak hampa. Andaikan titik A S dan
B S’; maka AB memotong g dan g memisah Y menjadi gA dan gB .
Andaikan X S. Oleh karena B S’, maka memotong g, sehingga X gB . jadi
X gA . ini berarti S. Ambil sebarang X gA , sehingga XA tidak memotong g;
oleh karena B S’ dan A S maka AB memotong g, sehingga XB memotong g.
jadi X S. ini berarti gA S. Jadi S = gA .
14. Kekonveksan Setengah Bidang
Teroema 5
Tiap setengah bidang adalah konveks.
Bukti:
Bukti ini mirip dengan bukti kekonveksan setengah garis atau sinar. Perhatikang/A. Andaikan X g/A, Y g/A dan X Y. kita akan membuktikan XY g/A.
ambil Z XY . Kita gunakan Aksioma Pasch, jelas A,X,Y terletak pada bidang
g/A sedangkan A g, Xg, Yg. Oleh karena g memotong XA dan YA . Maka g
tidak memotong XY .
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
24/44
24
Gambar 18
Perhatikan g, A, X, Z terletak pada bidang gA, sedangkan A g, X g, Z g.
Oleh karena g memotong AX maka g memotong AZ atau XZ tetapi tidak dua-
duanya. Andaikan memotong XZ , oleh karena XZ XY , ini akan
mengakibatkan bahwa g memotong XY, ini tak mungkin. Jadi haruslah g
memotong AZ , jadi Z
g/A. Ini berarti XY
g/A.
Kalau ada setengah bidang mungkinkah ada setengah bidang yang berhadapan
sebanyak lebih dari satu? Ternyata dalam uraian dibawah ini, bahwa setengah
bidang demikian adalah tunggal. Intuk membuktikan teroema ini, diperlukan
terlebih dahulu dua dalil bantu atau lemma
Dalil Bantu 1
Jika P g, maka PA gA , asal saja Ag.
Bukti
Andaikan X PA , maka X gA =g/A g gA . jika X g/A maka XA
memotong g, misalnya Q. Jadi Q XA PA , sehingga Q P.
X
Y
A
Z
g
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
25/44
25
Gambar 19
Ini berarti bahwa g memotong PA di P dan Q. Jadi g = PA sehingga A g.
Bertentangan dengan yang diketahui bahwa A g.
Andaikan X g. Ini berarti bahwa PA memotong g di dua titik, yaitu di P dan X
dengan X P. Tak mungkin sebab akan diperoleh lagi. Jadi haruslah X gA dan
PA gA .
Dalil Bantu 2
Tiap setengah bidang termuat dalam bidang tunggal.
Bukti:
Perhatikan setengah bidang gA . Telah kita buktikan bahwa gA gA. Untuk
membuktikan bahwa gA adalah satu-satunya bidang yang memuat gA , kita
cukup membuktikan bahwa gA memuat tiga titik tak segaris. Andaikan P g, Q
g dan P Q. Menurut dalil bantu 1 gA PA dan gA QA
Andaikan R PA , S QA maka R gA , S gA dan A gA . Ketiga titik R,
S, A berlainan dan segaris.
AQP
X
g
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
26/44
26
Teorema 6
Tiap setengah bidang tepinya tunggal.
Bukti:
Andaikan setengah bidang memiliki dua tepi g dan g’. Akan kita buktikan bahwa
g = g’. Andaikan g g’. Andaikan A H, maka H = gA = g, maka pula gA
gA, gA g’A. Sehingga gA g’A. Berhubung g g’, maka ada P sehingga P
g dan P g’ sehingga P gA = g’A = g’/A g’
Andaikan P gA . jadi P gA . ini tak mungkin sebab P g dan g dan gA
saling lepas. Oleh karena P g’ maka haruslah P A g . Ini mengakibatkan PA
memotong g’, misalnya di Q sehingga Q PA gA = A g . oleh karena Q g’,
maka hal ini berlawanan dengan sifat bahwa g’ dan A g saling lepas. Jadi
haruslah g = g’.
Teorema 7
Tiap setengah bidang meiliki setengah bidang yang berhadapan yang tunggal.
Bukti:
Perhatikan setengah bidang gA . telah kita buktikan bahwa gA dan gA
berhadapan. Andaikan H berhadapan dengan gA . Akan kita buktikan H = gA
menurut definisi bidang yang berhadapan H dan gA bertepi yang sama sedangkan
g tepi tunggal dari gA . Jadi g tepi bersama H dan gA dan satu-satunya tepi.
Andaikan B H. Oleh karena A gA , maka meotong g, jadi B g/A, sehingga
H g/A. Andaikan sekarang C g/A. Oleh karena memotong g, A gA dan H
dan gA berhadapan, maka C H, jadi g/A H sehingga H = g/A.
Untuk memperluas konsep urutan ke ruang, kita perlu memperluas Aksioma
Pasch ke ruang. Perluasan ini dituangkan dalam teorema berikut:
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
27/44
27
Teorema 8
Andaikan V sebuah bidang. Apabila A, B, C titik-titik yang tidak pada bidang V
dan apabila V memotong AB maka V memotong BC atau AC , tetapi tidak
memotong keduanya.
Bukti:
Kita akan menggunakan aksioma U6. kita membuat bidang W yang memuat A, B,
dan C. Dari yang diketahui A B. Apabila C AB bidang W tersebut melalui A,
B, C yang tak segaris, sehingga dengan demikian W itu tunggal. Kalau C AB
maka A, B, C yang tak segaris. Dalam hal ini kita ambil titik D V dan yang
tidak pada AB. Kita ambil titik W memuat A, B, C dan W V. Oleh karena AB
W, W memotong V sepanjang garis g. Jadi A, B, C dan g terletak pada W dan
A, B, C tidak pada g oleh karena g V. Selanjutnya g memotong AB menurut
U6, maka g memotong BC atau AC , tetapi tidak dua-duanya. Ini berarti kalau V
memotong AB maka V memotong BC atau AC tetapi tidak dua-duanya. Seperti
halnya ada sinar atau setengah garis dan setengah bidang, kita dapat
mendefinisikan konsep setengah ruang berikut:
Definisi
Andaikan V sebuah bidang yang tidak memuat titik A. Dengan V/A
dimaksud himpunan semua titik X (dalam ruang), sehingga memotong V.
(V/A dibaca sebagai V atas A). Jadi V/A = V memotong XA X . V/A
dinamakan setengah ruang dan V dinamakan tepi setengah ruang itu.
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
28/44
28
URUTAN SINAR DAN SUDUT
KONSEP SUDUT
Sisi Garis
Pengertian sudut menyangkut berbagai konsep yaitu:
a. Sebuah gambar yang terdiri atas dua garis
b.
Daerah pada bidang yang dibatasi oleh dua garis yang berpotongan
c. Sebuah ukuran yang dinyatakan dengan bilangan real yang
menggambarkan selisih arah dua garis yang berpotongan.
Secara kasar, konsep yang pertama menyangkut gambar dimensi satu; yang
kedua menyangkut daerah dalam sebuah sudut (interior) sedangkan yang
ketiga menyangkut ukuran sudut.
Sebelum kita meningkat ke pengertian dan definisi sudut, terlebih dahulu kita
akan memperdalam sifat setengah bidang.
Definisi.
Setengah bidang dengan tepi g disebut sebuah sisi dari g. Dua setengah bidang
yang berhadapan dengan sisi g dinamakn sisi yang berhadapan. Dua titik atau
dua himpunan titik dikatakn terletak pada sisi g yang sama apabila mereka
terletak pada setengah bidang bertepi g yang sama, mereka terletak pada sisi g
yang berhadapan apabila mereka terletak pada dua setengah bidang bertepi g
yang berhadapan.
Oleh karena itu setiap titik yang tidak pada g terletak pada tepat satu setengah
bidang g, sedangkan setiap setengah bidang bertepi g memiliki setengah
tunggal yang berhadapan, dapatlah kita menarik kesimpulan sifat berikut
(ingat Aksioma Pasch).
a.
Andaikan titik A dan B terletak pada sisi g yang sama dan B dan C pada
sisi g yang sama maka A dan C juga pada sisi yang sama.
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
29/44
29
b. Andaikan A dan B pada sisi g yang sama dan B dan C pada sisi g yang
berhadapan maka A dan C terletak pada sisi g yang berhadapan.
c. Andaikan A dan B terletak pada sisi g yang berhadapan dan B dan C
terletak pada sisi g yang berhadapan, maka A dan C terletak pada sisi g
yang sama.
Teorema : 1. Dua titik yang berbeda terletak pada sisi garis g yang sama jika
dan hanya jika:
1.
kedua titik itu sebidang dengan g
2.
tidak terletak pada g, dan
3. ruas garis yang menghubungkan kedua titik itu tidak
memotong g.
Bukti :
Andaikan A dan B dua titik
yang berbeda dan yang terletak pada sisi g yang sama. Jadi ada
setengah bidang g/x
Gambar 20
Sehingga A g/x dan B g/x. jadi A X memotong g dan B X
memotong g. oleh karena g/x gx maka A, B, X dan g terletak
pada bidang gX. Berhubung A, B, X tidak pada g kita dapat
menggunakan aksioma Pasch. Maka AB tidak memotong g.
Sebaliknya: andaikan A, B, g sebidang dan A, B g; sedangkan
AB tidak memotong g. Andaikan X gA; sehingga A X
memotong g. Oleh karena g/A gA maka X,A,B,g terletak pada
bidang gA. Berhubung A, B, X tidak pada g kita dapat
x
g
A
B
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
30/44
30
menggunakan Aksioma Pasch. Jadi B X memotong g. Ini berarti
bahwa B
g/X dan A
g?X. jadi menurut ketentuan, titik A dantitik B terletak pada sisi g yang sama.
Teorema : 2. Dua titik yang berbeda terletak pada dua sisi garis g yang
berhadapan jika dan hanya jika dua titik itu tidak terletak pada g dan ruas garis
kedua titik tersebut memotong g.
Bukti :
1.
Andaikan A dan B terletak pada dua sisi garis g yang berhadapan.
Andaikan A g/X dan B g/Y; g/X dan g/Y adalah dua setengah
bidang bertepi g yang berhadapan. Jadi A dab B tidak terletak pada g
dan AB memotong g.
2. Andaikan A g dan B g sedangkan AB meotong g. Oleh karena
A gA dan B gB , maka gA dan gB adalah dua setengah bidang
bertepi g yang berhadapan. Jadi A dan B terletak pada dua sisi g yang
berhadapan.
Teorema : 3. Jika P g dan Ag maka P/A g/A dan PA gA
Bukti :
Gambar 21
AB P
g
X
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
31/44
31
1. Andaikan X P/A maka (XPA) dan P XA ; jadi XA memotong g di P.
Ini berarti bahwa X g/A, sehingga P/A g/A.
2. Ada B sehingga (BPA). Ini mengakibatkan bahwa PA = P/B. Oleh karena
B g/A maka gA = g/B. Berhubung P/B g/B, maka PA = P/B g/B=
gA , sehingga PA gA .
Teorema Akibat 1.
Andaikan Pg dan Ag maka
1. semua titik pada PA pA terletak pada sisi g yang sama dengan A.
2. semua titik pada pa yang terletak pada sisi g yang berhadapan dengan sisi
g tempat letaknya.
Bukti :
1. PA gA
2. P/A g/A, sedangkan g/A dan gA sisi-sisi yang berhadapan.
Teorema Akibat 2
Jika Pg dan Ag maka semua titik ruas PA terletak pada sisi g yang sama
dengan A.
Bukti :
Berhubung PA PA terbuktilah sifat.
Teorema Akibat 3 :
Jika P g dan Ag maka PA (P/A)kedua atau semua titik pada PA yang
terletak pada sisi g yang saa (berhadapan) dengan A dan sebaliknya.
Bukti :
Kita buktikan untuk sinar PA , berdasarkan teorema akibat 1, tiap titik
Paterletak pada sisi g yang sama dengan sisi letaknya titik A. Titik-titik ini
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
32/44
32
terletak pada PA, sebab PA PA. Sebaliknya, andaikan XPA dan X
terletak pada sisi g yang sama dengan sisi tempat letaknya A.
Berhubung PA = P/A {P} PA dan andaikan X P/A, menurut teorema
akibat 1, X akan terletak pada sisi g yang berhadapan dengan sisi g tempat
letaknya titik A. Ini tak mungkin. Begitu pula X{P}, sehingga haruslah X
PA .
Kedudukan Antar Sinar
Pengertian ke-antara-an titik dapat diperluas ke pengertian ke-antara-an sinar
Gambar 22
Definisi:
Andaikan OC danOBOA ,, tiga sinar yang berpangkalan sama di titik O.
Andaikan OC danOA, berlainan dan tidak berlawanan (gambar diatas)
Andaikan ada titik A1,B1, dan C1 sehingga A1 OA , B1OB , C1OC dan
andaikan (A1,B1,C1)maka dikatakan bahwa sinar OB terletak antara OC danOA, .
Ditulis ( OC OBOA )
B
A’
A
C’ C
O
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
33/44
33
Catatan:
Persyaratan bahwa OC danOA harus berlainan dan tidak berlawanan arah, adalah
untuk menjamin sinar-sinar dalam suatu relasi antara, agar sinar-sinar itu
berlainan.
Pernyataan itu dapat pula dituangkan dalam bentuk yang setara sebagai berikut:
1. O, A, C berlainan dan tidak kolinear
2.
OAC
3.
OC danOA tak kolinear
dari definisi tersebut kita dapat enjabarkan beberapa teorema mengenai ke-
antara-an sinar-sinar.
Teorema 4:
( OC OBOA ) mengakibatkan ( OAOBOC )
Teorema 5 :
( OC OBOA ) mengakibatkan bahwa tiap pasang sinar dalam ganda
OC OBOA ,, berlainan dan tidak berlawanan.
Bukti:
Gambar 23
B
A’
A
C’ C
O
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
34/44
34
Oleh karena ( OC OBOA ) , maka ada titik A1 OA , B1OB , C1OC
sehingga (A1B1C1).
Jadi OC OC OBOBOAOA 111 ,, . oleh karena OC danOA berlainan dan
tidak berlawanan arah, maka11 OC danOA berlainan dan tidak berlawanan
arah. Sehingga OA1C1;(A1B1C1) mengakibatkan A1B1 = A1C1.
Jadi O A1B1 ini berarti 11 OBdanOA berlainan dan tidak berlawanan arah.
Begitu pula OBdanOA dan . dengan jalan serupa OC danOB berlainan dan
tidak berlawanan arah (gambar 4).
Teorema 6:
( OC OBOA ) mengakibatkan,
1.
A, B terletak pada sisi OC yang sama
2. B, C terletak pada sisi OA yang sama
3.
A, C terletak pada sisi OB yang berhadapan.
Bukti:
Berhubung ( OC OBOA ) maka ada A1 OA , B1OB , C1OC sehingga
(A1B1C1). Menurut teorema 5, OC danOA berlainan dan tidak berlawanan
arah. Sehingga O, A1C tidak segaris dan AOC. Oleh karena A1OA ini
berarti bahwa A1 dan A terletak pada sisi OC yang sama (teorea akibat 1).
Begitu pula B1 Dan B terletak pada sisi OC yang sama. Oleh karena B1 11C A
maka A1 dan B1 terletak pada sisi OC yang sama. Jadi A dan B terletak pada
sisi OC yang sama. Dengan jalan yang serupa dapat dibuktikan bahwa B dan
C terletak pada sisi OA yang sama. Dengan demikian terbuktilah bagian (1)
dan (2) teorema 6.
Untuk membuktikan bagian (3), perhatikan bahwa dengan cara yang serupa
dapat ditarik kesimpulan bahwa A1 dan A terletak pada sisi OB yang sama,
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
35/44
35
begitu pula C1 Dan C terletak pada sisi OB yang sama. Oleh karena A1C1
memotong OB di B, maka A1 dan C1 terletak pada sisi OB yang berhadapan.
Jadi A dan C terletak pada sisi OB yang berhadapan. Dengan demikian
terbuktilah bagian (3).
Teorema Akibat:
Andaikan ( OC OBOA ) maka
1. Tiap titik OA dan OB terletak pada sisi OC yang sama
2. Tiap titik OB dan OC terletak pada sisi OA yang sama
3. Tiap titik OA dan OC terletak pada sisi OB yang berhadapan.
Teorema 7:
Andaikan ( OC OBOA ) dan A1 OA , C1OC maka OB memotong 11C A .
Bukti :
Berdasarkan teorema akibat di atas, dapat ditarik kesimpulan bahwa A1 dan B1
terletak pada sisi OC yang sama. Sedangkan A1 dan B terletak pada sisi OC
yang sama pula. Sehingga B1 dan B terletak pada sisi OC yang sama. Oleh
karena B1 OB maka B1OC . Jadi OB memotong 11C A
Catatan:
Dari teorema 7 di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa tiap ruas garis yang
menghubungkan sebuah titik OA dengan sebuah titik OC akan memotong
OB .
Hubungan Antara Urutan Titik dan Urutan Sinar
Dengan menggunakan teorema 7 diatas, kita dapat memperluas sifat ke-antara-an
titik ke sifat ke-antara-an sinar.untuk ini pilihlah dua sinar OA dan OB yang
berbeda dan tidak berlawanan arah (gambar 5).
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
36/44
36
Gambar 24
Padankan pada setiap titik X AB suatu sinar OX . Dengan demikian terdapatlah
suatu padanan satu-satu antara himpunan titik-titik pada AB dan himpunan sinar
antara OA dan OB . Sebuah relasi urutan (PQR) untuk tiga titik pada AB
menimbulkan sebuah relasi ( OROQOP ) untuk sinar yang bersangkutan.
Hubungan titik sinar ini, atau X OX adalah sebuah keisomorfan
antara AB , dianggap sebagai himpunan titik terurut pada AB dan himpunan sinar
antara OA dan OB yang ada aturan urutan.
Oleh karena keisomorfan inilah kita dapat enterjemahkan banyak teorema yang
berlaku dalam himpunan titik, menjadi teorea yang berlaku dalam kehidupan sinar
yang terurut.
Teorema 8:
( OC OBOA ) mengakibatkan ~ ( OAOC OB ).
Bukti :
(gambar 5) Menurut definisi ada A1 OA , B1OB , C1OC sehingga (A1B1C1).
Andaikan ( OAOC OB ) menurut teorema 7, 11 A B memotong disebuah titik,
yaitu C1; jadi C1 11 A B sehingga (B1C1 A1). Akan tetapi (A1B1C1)
P Q R
BA
O
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
37/44
37
mengakibatkan ~(B1C1 A1) . jadi pengandaian bahwa berlaku ( OAOC OB ) tidak
benar. Atau berlakulah hubungan ~ ( OAOC OB ).
Catatan:
Bandingkan teorema ini dengan teorema titik, yaitu bahwa (ABC) mengakibatkan
~(BCA).
Teorema Akibat:
Andaikan diketahui (abc) di sini a, b, c melukiskan sinar yang sepangkal, makaakan berlaku (cba) dan (bca) , (bac), (acb), (cab) tidak benar, dengan kata lain ~
(bca) , ~ (bac), ~ (acb), ~ (cab).
Bukti :
Kita tahu bahwa (abc) mengakibatkan (cba) juga (abc), (cba) mengakibatkan ~
(bca) , ~ (bac), masing-masing. Andaikan (acb),maka (bca) ; ini tak mungkin
sebab (abc) Jadi haruslah ~ (acb). Andaikan (cab) maka ~ (abc). Padahal diketahui
(abc). Jadi pengandaian (cab) tidak benar. Ini berarti haruslah ~ (cab).
Teorema 9:
( OC OBOA ) dan ( ODOC OA ) mengakibatkan ( ODOBOA ) dan ( ODOC OB ).
Bukti : (lihat gambar 6)
Gambar 25
B’ C’
DA
O
B C
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
38/44
38
Dari ( ODOC OA ) dapat kita tarik kesimpulan bahwa OC memotong AD
disebuah titik misalnya di C1. Jadi berlakulah (AC1D). Begitu pula ( OC OBOA )
dan C1 mengakibatkan bahwa OB memotong AC1, misalnya titik B1 sehingga
(AB1C1). Jadi (AB1C1), (AC1D) mengakibatkan (AB1D) dan (B1C1D1) oleh karena
O AD maka (AB1D) mengakibatkan ( ODOBOA ). Begitu juga (B1C1D)
mengakibatkan ( ODOC OB ).
Catatan:
1. tidak sama sifat urutan untuk titik berlaku untuk sinar, misalnya untuk titik
berlaku sifat : Apabila diketahui (ABD) dan (BCD), maka (ABD)
ditetapkan pada sinar, kita akan memperoleh: apabila (abc) dan (bcd) maka
(abd). Sifat ini tidak benar.
2. Walaupun teori mengenai urutan sinar berpangkal pada teori urutan titik,
namun kedua teori itu tidak sama.disamping contoh di atas ada pula
teorema urutan untuk sinar, yang tidak ada teorema serupa untuk titik.
BEBERAPA SIFAT SUDUT YANG SEDERHANA
Teorema 10:
Apabila ( OC OBOA ) maka ( OAOC OB ); AO adalah sinar yang berlawanan
arah dengan OA .
Gambar 26
AA’
B
C’
C
O
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
39/44
39
Bukti:
Oleh karena AO sinar yang berlawanan arah dengan sinar , maka (AOA’)
mengakibatkan bahwa A’ O/A dan A’ letaknya pada sisi garis OC yang
berhadapan dengan sisi tempat letaknya sisi A
Oleh karena A dan B letaknya pada sisi OC yang sama, maka B dan A’ terletak
pada sisi OC yang berhadapan. Jadi BA’ memotong OC di sebuah titik, misalnya
C1. untuk menentukan letaknya titik C1, perhatikanlah terlebih dahulu kedudukan
B dan C. Kedua titik ini terletak pada sisi OA yang sama dan B dan C1, juga
terletak pada sisi OA yang sama. Jadi C dan C1 Terletak pada sisi OA yang sama
pula sehingga C1 OC .
Oleh karena berlainan dan tidak berlawanan arah, maka berlainan dan tidak
berlawanan arah. Jadi (BC1A’) mengakibatkan ( OAOC OB ).
Teorema akibat:
( OAOC OB ) mengakibatkan ( OC OBOA ) , dengan OA sinar yang berlawanan
arah dengan AO
Bukti:
Kita tahu bahwa ( OAOC OB ) mengakibatkan ( OBOC OA' ). Oleh karena (
OBOC OA' ) mengakibatkan ( OAOBOC ' ) maka ( OC OAOB ' ) mengakibatkan (
OC OBOA ).
Teorema 11:
Andaikan titik B dan titik C terletak pada sisi OA yang berhadapan; andaikan AO
berlawanan arah dengan OA , maka berlakulah ( OC OAOB ) dan ( OC OAOB ' )
atau OB dan OC berlawanan arah.
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
40/44
40
Bukti
Teorema berlaku apabila OB dan OC berlawanan arah. Andaikan sekarang OB
dan OC tidak berlawanan arah.
Jelas OB OC . oleh karena OA dan AO berlawanan arah, maka (AOA’).
Himpunan titik pada garis OA dapat disajikan sebagai gabungan berbagai
himpunan, yaitu
OA’ = AA’ = OA OA’ {O}
Oleh karena B dan C pada sisi OA yang berhadapan, maka BC memotong OA.
dari gabungan himpunan diatas, dapat kita tarik kesimpulan bahwa:
a. BC memotong OA
b. BC memotong 'OA , atau
c. BC {O}
Kalau yang berlaku (a), maka ini berarti bahwa ( OC OAOB ). Kalau yang berlaku
(b), maka akan berlaku ( OC OAOB ' ). Apabila (c) yang berlaku maka (BOC). Ini
berarti bahwa OB dan OC berlawanan arah yang bertentangan dengan
pengumpamaan kita.
Teorema berikut berlaku hanya dalam suatu geometri insidensi terurut yang afin.
Jadi dalam geometri ini berlaku konsep kesejajaran 2 garis yang memenuhi
aksioma kesejajaran bentuk playfair, yaitu bahwa :
Melalui sebuah titik T diluar sebuah garis g hanya ada satu garis yang sejajar
dengan garis g itu.
Teorema 12:
Apabila AB//DC dan AD//BC maka AC memotong BD .
Bukti:
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
41/44
41
Oleh karena AB//DC maka titik A,B,C dan D terletak pada satu bidnag dan AB
tidak memotong DC. Jadi C,D terletak pada satu sisi AB. Begitu pula B dan C
terletak pada sisi yang sama garis AD. Sehingga ( AD AC AB ). Sehingga AC
memotong BD dan pula BD memotong AC . Oleh karena AC BD, ini
engakibatkan bahwa AC memotong BD .
Definisi:
Andaikan ada tiga titik O, A, B yang berlainan dan tidak segaris himpunan titik
}{OOBOA
Disebut sudut dan ditulis sebagai AOB. Jadi,
AOB = }{OOBOA
Sinar OA dan OB dinamakan sisi sudut dan O dinamakan titik sudut.
Akibat:
1. Dari definisi diatas mudah dilihat bahwaAOB = BOA dan AOB
AOB; disini AOB menggambarkan bidang yang melalui A, O, dan B.
2.
Sebuah sudut adalah himpunan titik yang terletak pada sebuah bidang
tungga.
3. Apabila OA dan OB berlainan dan tidak berlawanan arah dan apabila A’
OA, B’ OB maka AOB = A’OB’.
Definisi:
Daerah dalam sebuah AOB, yang dilambangkan dengan D ( AOB) adalah
himpunan titik X sehingga OX antara OA dan OB .
Dengan rumus : D ( AOB) = {X (OA OB OX )}
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
42/44
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
43/44
43
Teorema 13:
Dua garis yang berpotongan membentuk tepat empat buah sudut.
Gambar 28
Bukti:
Andaikan l dan m berpotongan di P dan lm. Ambil A, A’ l, sehingga (APA’)
dan B, B’ e m sehingga (BPB’) maka A, P, B, tidak segaris.
Jadi PA dan PB berlainan dan tidak berlawanan arah. Jadi ada sudut APB yang
digabungkan oleh l dan m. Begitu pula ada sudut APB’, A’PB, A’PB’ .
akan dibuktikan bahwa keempat sudut tersebut semua berlainan.
Andaikan APB = APB’, maka : (1) B APB’ = PA {P} PB’
B PA ini disebabkan A, P, B tidak segaris sedangkan B P berhubung (BPB’).
Juga B PB’ oleh karena berlawanan arah, jadi saling lepas. Jadi (1) tak benar
sehingga berlaku APB APB’. Begitu pula dengan cara yang serupa sudut-
sudut yang lain juga berlainan semuanya.
Andaikan ada CPD yang dibentuk oleh PC l dan PD m. Andaikan dan.
A
A’
B
B’
P
-
8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf
44/44
Jadi:
'}{ PA P PAl C
Ini berarti C PA atau C ' PA ; jadi PC = PA atau PC = ' PA . begitu pula PD
= PB atau PD = ' PB hingga CPD adalah salah satu dari APB, APB’,
A’PB, A’PB’.