BAB I

PEMBAHASAN

A. Pengertian Geometri

Geometri (dari bahasa Yunani “Geometrein”; geo = bumi, metria = pengukuran) secar harafiah berarti pengukuran tentang bumi, adalah cabang dari matematika yang mempelajari hubungan di dalam ruang. Dari pengalaman, atau mungkin secara intuitif, orang dapat mengetahui ruang dari ciri dasarnya, yang diistilahkan sebagai aksioma dalam geometri.

Geometri menempati posisi khusus dalam kurikulum matematika menengah, karena banyaknya konsep-konsep yang termuat di dalamnya. Dari sudut pandang psikologi, geometri merupakan penyajian abstraksi dari pengalaman visual dan spasial, misalnya bidang, pola, pengukuran dan pemetaan. Sedangkan dari sudut pandang matematik, geometri menyediakan pendekatan-pendekatan untuk pemecahan masalah, misalnya gambar-gambar, diagram, sistem koordinat, vektor, dan transformasi. Geometri juga merupakan lingkungan untuk mempelajari struktur matematika.

Usiskin mengemukakan bahwa

1. geometri adalah cabang matematika yang mempelajari pola-pola visual,2. geometri adalah cabang matematika yang menghubungkan matematika dengan dunia fisik

atau dunia nyata,

3. geometri adalah suatu cara penyajian fenomena yang tidak tampak atau tidak bersifat fisik, dan

4. geometri adalah suatu contoh sistem matematika

B. Penggolongan Geometri

1. Penggolongan Geometri Menurut Ruang Lingkup, Bahasa dan Aksioma Menurut Ruang Lingkup

Geometri Bidang ( dimensi 2)Geome t r i B idang (G Da t a r a t au G Dimens i Dua )

membicarakan bangun-bangun datar; Yang dibahas dalam Geometri Dimensi Dua adalah, sudut, serta keliling dan luas permukaaan bangun datar.

Geometri Ruang (dimensi 3)

1

G e o m e t r i D i m e n s i T i g a , y a n g m e l i p u t i b a n g u n r u a n g d a n unsur-unsurnya, luas permukaan bangun ruang, volume bangun ruang dan menentukan hubungan antara unsur-unsur suatu bangun ruang.

Sebuah bangun ruang, dalam konteks geometri ruang, adalah himpunan semua titik, garis, dan bidang dalam ruang berdimensi tiga yang terletak dalam bagian tertutup beserta seluruh permukaan yang membatasinya lebih jauh, yang dimaksud dengan bangun ruang dengan sisi datar adalah bangun ruang yang dibatasi oleh bidang datar.

Bangun ruang dengan sisi datar disebut juga sebagai bidang banyak atau polihedron yang berasal dari bahasa Yunani polys yang berarti banyak dan hedron yang be ra r t i pe rmukaan . B idang -b idang da t a r   pembatas bangun ruang dinamakan sebagai bidang sisi. Ruas garis yang terbentuk oleh perpotongan antara dua bidang sisi bangun ruang disebut rusuk. Ujung-ujung dari rusuk ini dinamakan sebagai titik sudut.

Geometri Dimensi n yaitu geometri yang tidak bisa digambarkan diruang. Geo me t r i Bo l a

Geometri bola adalah geometri dua dimensi dari permukaan bo l a . Pada geome t r i bo l a , t i t i k d id e f i n i s i ka n s ep e r t i pad a geome t r i atar, tetapi "garis lurus" didefinisikan sebagai "lintasan terpendek antara dua titik" yang disebut geodesik. Pada permukaan bola, geodesik adalah bagian dari sebuah lingkaran besar sehingga dengan demikian sebuah sudut dibentuk oleh dua buah lingkaran besar.

Geometri bola melahirkan sebuah konsep trigonometri baru yang disebut sebagai trigonometri bola yang berbeda dari trigonometri b i a sa ( s ebaga i con toh , da l am sebuah s eg i t i ga bo l a , j umlah s emua sudutnya lebih dari 1800).

I lmu geome t r i bo l a banyak d igunakan da l am nav iga s i dan astronomi bola. Penentuan arah kiblat misalnya, banyak menggunakan konsep-konsep geometri bola.

Menurut Bahasaa. Geometri Murni ( dengan bahasa geometri / gambar )

Gambar geometri sederhana salah satunya adalah garis (garislurus). Garis berdimensi satu, yaitu: panjang. Garis mempunyai p a n j a n g y a n g t a k b e r h i n g g a . Y a n g k i t a p i k i r k a n d a l a m g e o m e t r i sesungguhnya hanya ‘penggal garis’ bukan garis yang sesungghnya (dengan panjang tak berhingga). Karena itu, sejumlah matematikawan

2

berpendapat bahwa lukisan dalam geometri itu tidak perlu digambarkan, tetapi secara logis dapat dibayangkan (dikonstruksi). Sebagai catatan kita perlu mebedakan antara: garis, sinar garis, dan penggal garis.

b. Geometri Analitik ( dengan bahasa aljabar )Pada awalnya, geometri analitik juga disebut geometri analitis, geometri

koordinat atau geometri Kartesius. Belakangan, geometri ini disebut juga sebagai geometri aljabar. Geometri analitik adalah telaah bangun-bangun geometri dengan menggunakan prinsip-prinsip aljabar. Bangun-bangun itu dinyatakan dalam bentuk bilangan vector. Bangun-bangun dasar dari geometri analitik adalah titik, garis, dan bidang. Geometri analitik sudah dikembangkan sejak jaman Apolloneus dari Vega. Ia mengembangkan geometri berdimensi satu, yaitu yang berhubungan dengan garis-garis. Misalnya, mencari sebuah t i t i k yang be rada pada s ebuah ga r i s ka l au pe rband ingan j a r aknya kepada dua titik lain yang juga terletak pada garis yang sama diketahui.

Menurut Sytem AksiomaAksioma yaitu pendapat yang dijadikan pedoman dasar dan merupakan Dalil

Pemula, sehingga kebenarannya tidak perlu dibuktikan lagi, atau suatu pernyataan yang diterima sebagai kebenaran dan bersifat umum, tanpa memerlukan pembuktian.

a. Geometri Euclides, Postulat sejajar Euclid dapat dinyatakan sebagai berikut :“ J i ka dua ga r i s d ipo tong o l eh ga r i s t r ansve r sa l s edemik i an h ingga jumlah dua sudut interiornya (sudut dalam) pada satu sisi transversal adalah kurang dari 180°. Garis tersebut akan bertemu pada satu sisi transversal tersebut”.

b. Geometri Non Euclides, adalah geometri yang tidak lagi mendasarkan diri pada postulat kesejajaran. Teori geometri non Euclid dapat kontradiksi dengan postulat kesejajaran Euclid. Seiring dengan kepercayaan ahli matematika bahwa geometri non Euclid hanya memungkinkan untuk teori ruang dan yang menjelaskan segala sesuatunya secara fisik.

c. Geome t r i P royeks i , ada l ah cabang ma tema t ika yang t e rka i t dengan bentuk-bentuk geometrikal yang tidak akan berubah ketika bentuk-bentuk itu diproyeksikan ke bidang yang berbeda.

C. Metode dalam Geometri

3

Metode yang digunakan dalam ilmu geometri, yang digunakan untuk membahas hal-hal yang dibicarakan (termasuk objek-objek geometri) adalah metode deduktif aksiomatris yang sering disingkat dengan istilah metode aksiomatris saja. Metode deduktif aksiomatris adalah metode pembahasan yang menggunakan cara berpikir deduktif, yang diawali dengan adanya beberapa konsep yang tidak didefinisikan (disebut konsep- konsep pangkal atau pengertian-pengertian pangkal) dan sejumlah pernyataan yang diasumsikan sebagai pernyataan yang benar tetapi tanpa dibuktikan (pernyataan semacam ini disebut dengan pernyataan-pernyataan pangkal atau aksioma-aksioma atau bisa disebut juga postulat-postulat).

Berpikir aksiomatis adalah suatu pernyataan yang dibuat mesti berlandaskan pada pernyataan sebelumnya, pernyataan sebelumnya harus berlandaskan pernyataan sebelumnya lagi dan seterusnya, sehingga sampai pada pernyataan yang paling awal diajukan. Pernyataan yang paling awal diajukan dianggap benar dan jelas dengan sendirinya. Penyataan awal tersebut disebut aksioma atau postulat. Dengan aksioma kita tidak perlu lagi membuktikan kebenarannya, dan kebenaran tersebut kita terima begitu saja karena sudah jelas dengan sendirinya.

Pada hakikatnya, landasan berpikir matematis itu merupakan kesepakatan-kesepakatan yang disebut dengan aksioma. Dengan aksioma-aksioma inilah matematika berkembang menjadi banyak cabang matematika. Karena landasanya adalah aksioma, maka matematika merupakan sistem aksiomatik. Dalam sistem yang aksiomatik inilah kumpulan-kumpulan aksioma-aksioma itu memiliki sifat taat asas (consistent), dengan hubungan antar aksioma adalah saling bebas (adjoint).

Agar berpikir aksiomatis ini sah dan benar, maka ada beberapa faktor yang perlu diperhatikan, yaitu:

Harus ada konssistensi antara pernyataan yang satu dengan pernyataan yang lain. Tidak boleh ada pernyataan yang kontradiktif. Dalam hal ini berlaku dalil : jika P=Q, dan Q=R maka P=Q.

Setiap pernyataan yang disusun harus dapat menghasilkan  satu atau lebih pernyataan yang lain. Misalnya pernyataan : Setiap orang perlu makan. Apakah dari pernyataan ini ada pernyataan lain yang dapat diturunkan? Orang perlu makan untuk bertahan hidup,  orang perlu bertahan hidup untuk beribadah, dan seterusnya.

Setiap aksioma yang ditetapkan harus bebas dari aksioma yang lain. Selama masih terkait dengan pernyataan yang lain, maka pernyataan itu belum disebut aksioma. Euclids menyajikan sejumlah aksioma, diantaranya:o Jika A=B maka berlaku B=Ao Jika A=B dan C=D maka berlaku A+C=B+Do Jika A=B dan C=D maka berlaku A-C=B-D

4

o Keseluruhan lebih besar dari sebagiano Hanya dapat dibuat sebuah garis dari sebuah titik ke sebuah titik yang lain.o Semua sudut siku-siku selalu sama dengan sudut siku-siku yang lain.

Adanya objek geometri yang berupa benda-benda pikiran bersama dengan metode yang bersifat deduktif aksiomatris merupakan hasil pengembangan dari ilmu geometri tahap terakhir. Sebelum perkembangan tahap terakhir ini dicapai, objek dan metode dari ilmu geometri masih bersifat sederhana daripada objek dan metode ilmu geometri pada tahap terakhir tersebut.

D. Geometri Euclid

Euclid adalah seorang murid Sekolah Plato. Sekitar tahun 300 sebelum masehi, ia menghasilkan perawatan geometri dan teori bilangan secara terbatas pada Edisi–13 Elements.

Geometri Euklides adalah sebuah geometri klasik, terdiri atas 5 postulat, yang dinisbahkan terhadap matematikawan Yunani Kuno Euklides.

Geometri Euklides merupakan sistem aksiomatik, di mana semua teorema ("pernyataan yang benar") diturunkan dari bilangan aksioma yang terbatas. Mendekati buku awalnya Elemen, Euklid memberikan 5 postulat:

Setiap 2 titik dapat digabungkan oleh 1 garis lurus. Setiap garis lurus dapat diperpanjang sampai tak terhingga dengan garis lurus.

Diberikan setiap segmen garis lurus, sebuah lingkaran dapat digambar memiliki segmen ini sebagai jari-jari dan 1 titik ujung sebagai pusat.

Semua sudut di kanan itu kongruen.

Postulat paralel. Jika 2 garis bertemu di sepertiga jalan di mana jumlah sudut dalam di 1 sisi kurang dari 2 sudut yang di kanan, kedua garis itu harus bertemu satu sama lain di sisi itu jika diperpanjang lebih jauh lagi.

Postulat yang ke-5 membuka jalan bagi geometri yang sama seperti pernyataan berikut, dikenal sebagai aksioma Playfair, yang terjadi di bidang datar:

"Melalui sebuah titik yang bukan pada garis lurus yang diberikan, hanya satu garis saja yang dapat ditarik dan tak pernah bertemu garis yang diberikan."

Himpunan berbentuk beserta sistem aksioma yang melibatkan 5 aksioma disebut Struktur Geometri Euclid, dengan unsur-unsur dari himpunan masing-masing disebut dengan titik-titik, garis-garis dan bidang-bidang. Lima (5) aksioma tsb adalah:

5

a. Aksioma insidensib. Aksioma keantaraan (tanpa memperhatikan letak) dan urutan (memperhatikan letak)

c. Aksioma kekongruenan

d. Aksioma kekontinyuan (archimedes)

e. Aksioma kesejajaran euclid

Geometri Insidensi

Jika ada dua titik berbeda, akan ada tepat satu garis yang memuat dua titik tersebut

Jika ada tiga titik berbeda dan tidak segaris, maka ada tepat satu bidang yang memuat ketiga titik tersebut.

Jika ada dua titik berbeda terletak pada suatu bidang, maka garis yang memuat kedua titik tersebut terletak pada bidang.

Jika dua bidang berpotongan, maka perpotongannya adalah suatu garis.

Setiap garis memuat sedikitnya dua titik, setiap bidang memuat sedikitnya 3 titik yang tidak segaris dan setiap ruang memuat sedikitnya empat titik yang tidak sebidang.

Unsur-unsur tak terdefinisi pada sebuah geometri terdiri dari titik, garis, dan bidang. Ketiga unsur dikaitkan satu sama lain dengan sebuah aksioma yaitu sistem aksioma insidensi.

Ada 6 buah aksioma yaitu:

1. Garis adalah himpunan dari titik-titik, yang mengandung paling sedikit dua buah titik.2. Dua titik yang berbeda terdapat dalam satu dan hanya satu garis.

3. Bidang adalah himpunan titik-titik, yang mengandung paling sedikit tiga titik, dimana ketiga titik tersebut tidak terletak pada garis yang sama.

4. Tiga titik yang berbeda, yang tidak segaris terletak dalam satu dan hanya satu bidang.

5. Apabila sebuah bidang memuat dua titik yang berbeda dari suatu garis, bidang tersebut akan memuat semua titik pada garis tersebut.

6. Apabila dua buah bidang bersekutu pada satu titik, maka kedua bidang akan bersekutu pada titik kedua yang merupakan titik perpotongan lainnya.

6Definisi :

Sebuah himpunan titik-titik bersama dengan himpunan bagian seperti garis dan bidang yang memenuhi aksioma 1 sampai 6 disebut geometri insidensi

Aks ioma u ru t an

1 . Jika A dan B dua titik, maka

T e r d a p a t s e d i k i t n y a s a t u t i t i k C s e h i n g g a C diantara A dan B

T e r d a p a t s e d i k i t n y a s a t u t i t i k D s e h i n g g a B ( diantara A dan D.

T e r d a p a t s e d i k i t n y a s a t u t i t i k E s e h i n g g a A diantara B dan E

2. Jika A, B dan C suatu titik sehingga B diantara A dan C, maka A, B, dan C

berbeda & terletak pada satu garis (kolinear).

3. J i k a A , B d a n C s u a t u t i t i k s e h i n g g a B d i a n t a r a A d a n C ,

m a k a B diantara C dan A.

4. Jika A, B dan C tiga titik kolinear, maka tepat satu dari tiga keadaan ini

benar:

a. B diantara A dan C

b. C diantara A dan B

c. A diantara B dan C

Aks ioma Kongruensi

a. Diketahui suatu ruas garis AB dan suatu titik P pada garis g, maka setiap

sinar di g yang berpangkal di P terdapat tepat satu titik Q yang memenuhi

PQ AB.

b.

c. Jika maka

d. Jika dan maka

e. Diketahui sudut (h, k) yang bukan sudut lurus, dan diketahui sinar h’ pada garis g, maka

pada setiap sisi g terdapat tepat satu sinar k’ sedemikian hingga (h’, k’) (h,k) suatu

sudut lurus hanya akan kongruen dengan sudut lurus juga.

f. (h,k) (h’,k’)

7

g. Jika (h,k) (h’,k’) maka (h’,k’) (h,k)

h. Jika (h,k) (h’,k’) dan (h’,k’) (h”,k”) maka (h,k) (h”,k”)

i. Jika dalam segitiga-segitiga ABC dan A’B’C’ diketahui bahwa dan

dan A A’ maka B B’.

Aksioma Kesejajaran

Dua garis dikatakan sejajar bila kedua garis itu tidak berserikat satu titikpun.

Aks ioma ke se j a j a r an : Me la lu i sua tu t i t i k d i l ua r s ebuah ga r i s terdapat

tepat satu garis yang sejajar dengan garis yang diketahui.

Aksioma kontinuitas dan kelengkapan

1. D ike t ahu i t i t i k A dan B dan A1 seh ingga A-A1-B , kemud ian amb i l

A2, A3, . . . dst. Sehingga A-A1-A2, A1-A2-A3, dst. Dengan AA1 =A1A2

=A2A3 = . . . , maka terdapatlah bilangan positif n sedemikian sehingga A- B –

An.

2. T idak ada t i t i k a t au ga r i s yang dapa t d i t ambahkan kepada s i s t em

d i atas tanpa melanggar salah satu aksioma di atas.

Struktur Geometri Bidang Euclid

Postulat sejajar Euclid dapat dinyatakan sebagai berikut :

“ Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sedemikian hingga jumlah dua sudut

interiornya (sudut dalam) pada satu sisi transversal adalah kurang dari 180°.

Garis tersebut akan bertemu pada satu sisi transversal tersebut”

Sejumlah asumsi/postulat untuk geometri bidang Euclid , yaitu :

1. Sesuatu akan sama dengan sesuatu atau sesuatu yang sama akan sama satu sama yang

lainnya

2. Jika kesamaan di tambahkan dengan kesamaan maka jumlahnya akan sama

3. Jika kesamaan di kurangi dengan kesamaan maka selisihnya akan sama

4. Keseluruhan akan lebih besar dari bagiannya

8

5. Bangun geometric dapat dipindahkan tanpa mengubah ukuran atau bentuknya

6. Setiap sudut memiliki bisector ( garis bagi )

7. Setiap segmen memiliki titik tengah

8. Dua titik hanya berada pada satu-satunya garis

9. Sembarang segmen dapat diperluas oleh suatu segmen yang sama dengan segmen yang

diberikan

10. Lingkaran dapat di gambarkan dengan sembarang titik pusat dan radius yang diketahui

11. Semua sudut siku-siku sama besar

Dari postulat-postulat ini, dapat di deduksi sejumlah teorema dasar diantaranya :

Sudut bertolak belakang sama besar

Bukti 1 :

1.Lukis garis l dan m sejajar

2.Garis transversal h memotong

tegak lurus l dan m di P dan Q

3. P = Q (postulat ke 11)

4. P = 1 (postulat ke 11)

5. P dan 1 dua sudut bertolak

belakang, jadi sudut bertolak

belakang sama besar (terbukti)

Bukti 2 :

9

2

1

mO

lO

Q

P

h

1. Ada B sehingga B € g

2. Ada C sehingga C € g

3. Analog untuk D dan E € l

4. BAD + BAE = 180° (Postulat

garis pelurus)

CAE + BAE = 180°

5. ( BAD + BAE ) – ( CAE +

BAE ) =180° - 180° (postulat 3)

BAD - CAE = 0

BAD = CAE

(terbukti sudut bertolak belakang sama

besar)

2. Sifat kongruensi segitiga (SAS, ASA, SSS)

Bukti : Sifat kongruensi segitiga (ASA )

1. Lukis ΔABC dan ΔPQR sehingga A = P

B = Q dan AB = PQ

2. Pindahkan Δ ABC pada Δ PQR sehingga A

berimpit dengan P, B berimpit Q dan

AB berimpit pada PQ maka C berimpit

pada R

10

E

g

B

DC

A

l

C R

B QP

PA

dan C = R ( postulat 5)

3. Teorema kesamaan sudut alas segitiga sama kaki dan konversinya

Bukti :

Diberikan Δ ABC dgn AC = BC, akdib

A = B

1.Lukis garis bagi C (aksioma 6)

2.Perpanjang garis bagi tersebut hingga

memotong AB di D (aksioma 9)

3.Dalam Δ ACD dan Δ BCD, AC=BC, 1= 2

(aksioma 6), CD=CD (berimpit), sehingga Δ

ACD kongruen dengan Δ BCD (S-A-S)

4.Jadi A = B (sudut yang berkoresponden

sama besar) (terbukti )

Dan sebaliknya jika diberikan Δ ABC dengan A = B maka AC = BC

Bukti :

1. Lukis garis bagi C sehingga 1 = 2 (aksioma 6)

2. Karena A = B dan 1 = 2 maka ADC = BDC

3. Δ ADC kongruen dengan Δ BDC sehingga AC = BC (terbukti)

4. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis pada titik dari garis tersebut

5. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis yang melalui titik eksternal

11

1 2

B

C

A D

B D

6. Pembentukan suatu sudut yang sama, dengan sudut, dengan titik sudut dan sisi yang telah

diberikan sebelumnya

7. Pembentukan segitiga yang kongruen dengan segitiga dengan sisi yang sama pada sisi

segitiga yang di ketahui

TEOREMA 1 : Teorema Sudut Eksterior (luar)

Sudut eksterior segitiga akan lebih besar daripada sudut interior (dalam) terpencil (berjauhan)

manapun.

Bukti :

ABC = Segitiga sembarang

D = Perpanjangan AB melalui B

Akdib : ACB < CBD

Bukti :

1. E pada BC sehingga BE = EC

( aksioma 7 )

2. F pada perpanjangan AE shg AE = EF

(aksioma 7)

3. AEC = FEB (bertolak belakang)

( postulat 1 )

Jadi Δ AEC kongruen dengan Δ FEB

( SAS )

12

F

E

C

A

C

ACE = FBE

FBE < EBD

ACE < EBD

Jadi ACB < CBD terbukti

TEOREMA 2 :

Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sehingga membentuk pasangan sudut interior

dalam berseberangan maka garis tersebut sejajar.

BUKTI :

1. Diberikan garis l dan m

2. Garis transversal h memotong l dan m

di A dan B sehingga membentuk

pasangan sudut interior dalam

berseberangan yaitu 1 dan 2

yang sama besar

3. Misal l dan m tidak sejajar berarti akan bertemu di C dan terbentuk Δ ABC (hipotesis)

4. C terletak di depan sisi AB

5. 1 < 2 (menurut teorema 1)

6. Hal ini kontradiksi dengan

1 = 2

7. Jadi garis l dan m sejajar (terbukti)

13

h

1

2

l

B

A

m

Corollary 1 : Dua garis tegak lurus terhadap garis yang sama pasti sejajar

Bukti :

Akdib bahwa jika l tegak lurus m dan l

tegak lurus n maka m sejajar n

Bukti :

1. l tegak lurus m → 1 = 2

( keduanya sudut siku-siku )

2. l tegak lurus n → 3 = 4

3. 2 = 3 (keduanya siku-siku)

3. Karena 2 dan 3 dua sudut

berseberangan maka m dan n sejajar

(teorema 2) (terbukti)

Corollary 2 : Hanya ada satu garis yang tegak lurus terhadap garis melalui titik eksternal

Bukti :

Akdib bahwa ada tepat satu l sehingga l tegak lurus g , A € l , A € g

Bukti :

14

n3

2m1

l

l

4

1. Anggap ada l ≠ m sehingga l tegak lurus g ,

m tegak lurus g , A € l dan A € m

2. Ada tepat satu P sehingga P = ( l , g )

Ada tepat satu Q sehingga Q = ( m , g )

3. Terbentuk Δ APQ

4. Padahal : APR > AQP

5. APR = AQP (Aksioma 11, sudut

siku-siku sama besar)

6. Jadi l = m

Kesimpulan : Ada tepat satu l sehingga l tegak lurus g , A € l , A € g ( terbukti ).

Corollary 3 : ( Eksistensi garis sejajar )

Jika titik P tidak berada pada garis l maka akan ada setidaknya satu garis yang

melalui P yang sejajar dengan l

Bukti :

1. Lukis garis l

2. Titik P di luar garis l

3. Lukis garis dari P yang tegak lurus l dan memotong l di Q

4. Melalui titik P lukis garis m yang tegak lurus PQ

5. m sejajar l ( corollary 1 )

15

Q

A

pR

lm

g

lQ

TEOREMA 3

Jumlah dua sudut pada segitiga kurang dari 180°

BUKTI :

ABC = segitiga sembarang

Akdib : B + C < 180°

Perpanjang AB melalui B hingga D maka

sdt CBD = sdt eksterior Δ ABC

CBD > ACB (teorema 1)

CBD > ACB dan CBD = 180° - CBA

180° - CBA > ACB

180° > CBA + ACB

Atau 180° > B + C

B + C < 180 ° ( TERBUKTI)

16

mP

D

C

BA

BAB II

PENUTUP

A. Kesimpulan

Geometri (dari bahasa Yunani “Geometrein”; geo = bumi, metria = pengukuran) secar

harafiah berarti pengukuran tentang bumi, adalah cabang dari matematika yang mempelajari

hubungan di dalam ruang.

Metode yang digunakan dalam ilmu geometri, yang digunakan untuk membahas hal-hal yang dibicarakan (termasuk objek-objek geometri) adalah metode deduktif aksiomatris yang sering disingkat dengan istilah metode aksiomatris saja. Metode deduktif aksiomatris adalah metode pembahasan yang menggunakan cara berpikir deduktif, yang diawali dengan adanya beberapa konsep yang tidak didefinisikan (disebut konsep- konsep pangkal atau pengertian-pengertian pangkal) dan sejumlah pernyataan yang diasumsikan sebagai pernyataan yang benar tetapi tanpa dibuktikan (pernyataan semacam ini disebut dengan pernyataan-pernyataan pangkal atau aksioma-aksioma atau bisa disebut juga postulat-postulat).

Geometri Euklides merupakan sistem aksiomatik, di mana semua teorema ("pernyataan yang benar") diturunkan dari bilangan aksioma yang terbatas. Mendekati buku awalnya Elemen, Euklid memberikan 5 postulat:

17

Setiap 2 titik dapat digabungkan oleh 1 garis lurus. Setiap garis lurus dapat diperpanjang sampai tak terhingga dengan garis lurus.

Diberikan setiap segmen garis lurus, sebuah lingkaran dapat digambar memiliki segmen ini sebagai jari-jari dan 1 titik ujung sebagai pusat.

Semua sudut di kanan itu kongruen.

Postulat paralel. Jika 2 garis bertemu di sepertiga jalan di mana jumlah sudut dalam di 1 sisi kurang dari 2 sudut yang di kanan, kedua garis itu harus bertemu satu sama lain di sisi itu jika diperpanjang lebih jauh lagi.

B. Saran

Dalam makalah ini mungkin masih banyak hal – hal dalam geometri yang belum

tercantum, oleh karena itu bagi penulis selanjutnya, kami menyarankan agar lebih mendalami

dan mengulas lebih banyak lagi mengenai geometri itu sendiri.

DAFTAR PUSTAKA

www.google.com

18