RESUME GEOMETRY FOR TEACHER

TUGAS AKHIR SEMESTERDosen Pengampu

Prof. KUSNO, DEA, PhD

IMAN BESAR PRAYITNO

(131820101006)

JURUSAN MAGISTER MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS JEMBER

2014

1. Dasar-Dasar Geometri

1. Sejarah dan Dasar Geometri

Geometri seperti cabang ilmu matematika yang lain lahir berabad tahun silam

dari kondisi ril kehidupan sehari-hari sekelompok masyarakat. Misalnya lebih dari 2000

tahun silam orang Mesir mempunyai kebiasaan bekerja dengan dasar-dasar geometri,

dikarenakan pertimbangan praktis seperti banjir berkala sungai Nil yang selalu

menghanyutkan garis batas tanah milik mereka. Sehingga memaksa mereka untuk

merekonstruksi garis-garis batas tanah tersebut.

Bangsa Yunani yang banyak dipengaruhi oleh daerah Mediterania memiliki

sedikit pandangan lebih maju terhadap geometri. Geometri telah dianggap sebagai sebuah

abstraksi dari dunia nyata atau sebuah model yang membantu pikiran atau logika. Sampai

akhirnya pada tahun 250 sebelum masehi Euclide menghasilkan karya monumental yang

dituangkan ke dalam buku Element, yang hingga sekarang karyanya masih dipelajari dan

digunakan.

Seperti halnya di dalam buku Element karya Euclide ada yang disebut dengan

istilah primitif. Istilah primitif ditujukan untuk konsep-konsep sederhana yang mudah

dipahami dan sulit dibuatkan batasannya. Yang kemudian oleh para ahli geometri modern

konsep-konsep tersebut dikelompokkan ke dalam istilah-istilah yang tidak didefinisikan

(undefined). Dalam struktur geometri modern khususnya dan matematika pada umumnya

terdapat istilah-istilah yang telah disepakati dan menjadi pedoman bagi semua orang yang

mempelajari geometri, matematika, atau cabang matematika yang lain. Istilah-istilah

tersebut adalah: 1) unsur-unsur yang tidak didefinisikan, 2) unsur-unsur yang didefinisikan,

3) aksioma/postulat, dan 4) teorema/dalil/rumus.

Unsur yang tidak didefinisikan atau pengertian pangkal adalah konsep primitif

yang mudah dipahami dan sulit dibuatkan definisinya, seperti titik, garis, dan bidang.

Apabila kita paksakan untuk membuat definisi untuk unsur primitif tersebut maka akan

terjadi blunder. Misalnya kita akan membuat definisi untuk titik, seperti titik adalah sesuatu

yang menempati tempat. Kemudian kita harus mendefiniskan lagi sesuatu yang menempati

tempat itu apa, misalnya noktah yang ada pada bidang. Kemudian kita harus mendefinisikan

tentang noktah itu apa, dan seterusnya. Sehingga dalam definisi terdapat definisi dan begitu

seterusnya. Oleh karena itu semua konsep yang memiliki sifat demikian dimasukan ke dalam

kategori unsur primitif atau unsur yang tidak terdefinisi.

Unsur-unsur yang didefinisikan adalah konsep yang mempunyai definisi atau

batasan. Sehingga dengan definisi konsep-konsep tersebut menjadi jelas, tidak ambigius

atau tidak bermakna ganda. Syarat sebuah definisi adalah harus singkat, padat, jelas, dan

tidak mengandung pengertian ganda. Unsur yang didefinisikan adalah konsep-konsep yang

dikembangkan dari unsur yang tidak didefinisikan. Misalnya, sinar garis, ruas garis, segitiga,

segiempat dikembangkan dari konsep garis sebagai unsur yang tidak didefinisikan.

Aksioma/postulat adalah anggapan dasar yang disepakati benar tanpa harus

dibuktikan. Yang termasuk ke dalam aksioma/postulat adalah sesuatu atau konsep yang

secara logika dapat diterima kebenaranya tanpa harus dibuktikan. Dalam geometri (Euclide)

misalnya dikenal postulat garis sejajar yaitu apabila ada sebuah garis dan sebuah titik di luar

garis tersebut, melalui titik itu dibuat garis lain yang sejajar garis pertama maka kedua garis

tersebut tidak akan berpotongan. Teorema/rumus/dalil adalah anggapan sementara yang

harus dibuktikan kebenarannya melalui serangkaian pembuktian deduktif. Pembuktian

teorema/rumus/dalil dalam matematika keberlakuannya harus secara umum, tidak berlaku

hanya untuk beberapa kasus seperti contoh. Misalnya teorema Pythagoras yang

menyatakan bahwa dalam sebuah segitiga siku-siku berlaku “jumlah kuadrat sisi siku-siku

sama dengan kuadrat sisi miringnya”. Apabila kita mengajukan pembuktian melalui

menunjukkan/memberi contoh dalam segitiga siku-siku dengan panjang sisi masingmasing

3 dan 4 satuan panjang, serta panjang sisi miringnya sama dengan 5 satuan panjang (tripel

Pythagoras), sehingga diperlihatkan hubungan 32 + 42 = 52 ini bukan pembuktian, tetapi

sekadar menunjukkan satu kasus. Teorema Pythagoras sejak ditemukannya sampai sekarang

telah dibuktikan lebih dari 200 cara. Berikut salah satu pembuktian teorema tersebut.

Luas daerah persegi kecil dengan sisi c sama dengan luas persegi besar dengan sisi a + b dikurangi 4 kali luas daerah segitiga siku-siku. Secara aljabar dapat kita selesaikan menjadi,c2 = (a + b)2 – 4 luas daerah segitigac2 = a2 + 2ab + b2 – 4 ½ alas x tinggic2= a2 + 2ab + b2 – 4 ½ abc2= a2 + 2ab + b2 – 2 abc2= a2 + b2 terbukti (c sisi miring, a dan b sisi siku-sikusegitiga)

1.1 Titik

Pada paragraf sebelumnya telah disinggung bahwa titik, garis, dan bidang adalah

unsur-unsur yang tidak didefinisikan. Unsur-unsur sederhana yang mudah dipahami tetapi

menjadi blunder (berbelit) apabila kita mencoba membuat definisinya. Sehingga para akhli

geometri mengelompokan konsep titik, garis, dan bidang ke dalam kelompok unsur yang

tidak didefinisikan atau disebut pengertian pangkal. Dalam geometri, titik adalah konsep

abstrak yang tidak berwujud atau tidak berbentuk, tidak mempunyai ukuran, tidak

mempunyai berat, atau tidak mempunyai panjang, lebar, atau tinggi. Titik adalah ide atau

gagasan abstrak yang hanya ada dalam benak orang yang memikirkannya. Untuk melukiskan

atau menggambarkan titik diperlukan simbol atau model. Gambar simbol atau model untuk

titik digunakan noktah seperti di bawah ini,

• • •

Gambar atau model sebuah titik biasanya diberi nama. Nama untuk sebuah titik

umumnya menggunakan huruf kapital yang diletakan dekat titik tersebut, misalnya seperti

contoh di bawah ini adalah titik A, titik P, dan titik Z.

• • •A P Z

Melukis atau menggambar sebuah titik dapat menggunakan ujung benda,

misalnya dengan ujung pinsil, pena, jangka, atau kapur yang ditekan pada bidang tulis atau

permukaan kertas atau papan tulis. Apabila anda menekankan ujung pinsil pada permukaan

kertas maka noktah hitam yang membekas pada permukaan kertas tersebut adalah titik.

Gambar atau model titik dapat pula diperoleh dengan cara menggambar bagian-

bagian benda. Misalnya menggambar bagian dari penggaris dengan cara meletakan sebuah

penggaris pada papan tulis kemudian gambar sebuah titik pada sisi penggaris dengan cara

menekankan kapur ke papan tulis dan kemudian angkat penggaris tersebut. Kita dapat

melihat bahwa pada papan tulis terdapat noktah hasil goresan ujung kapur terhadap papan

tulis, dan goresan itu adalah titik.

1.2 Garis

Garis adalah konsep yang tidak dapat dijelaskan dengan menggunakan kata-kata sederhana

atau kalimat simpel. Karenanya garis juga dikelompokan ke dalam usur yang tidak

didefiniskan. Garis adalah ide atau gagasan abstrak yang bentuknya lurus, memanjang ke

dua arah, tidak terbatas atau tidak bertitik akhir, dan tidak tebal. Garis adalah ide atau

ℓ A

B

gagasan yang hanya ada dalam benak pikiran orang yang memikirkannya. Mengambar

model garis dapat dilakukan dengan membuat goresan alat tulis pada bidang tulis, kertas,

atau papan tulis dengan bentuk yang lurus. Atau model garis dapat dibuat dengan

menggambar bagian sisi benda yang lurus, misalnya menggambar salah satu sisi penggaris

kayu. Berikut adalah model garis yang diperoleh dari hasil menggambar salah satu bagian

sisi penggaris dengan memberi tanda anak panah pada kedua ujungnya yang menandakan

bahwa garis tersebut memanjang kedua arah tidak mempunyai titik akhir.

Menamai sebuah garis dapat dilakukan dengan menggunakan dua cara. Pertama dengan

sebuah hurup kecil pada salah satu ujung garis. Kedua menggunakan dua hurup besar yang

diletakan pada dua titik pada garis tersebut. Di bawah ini adalah dua cara member nama

terhadap garis.

Garis yang paling kiri adalah garis ℓ dan yang sebelah kanan adalah garis AB. Notasi

untuk menyatakan garis AB ditulis dengan AB. Garis disebut juga sebagai unsur geometri

satu dimensi. Karena garis adalah konsep yang hanya memiliki unsur panjang saja (linier).

1.3 Bidang

Bidang adalah unsur lain dalam geometri yang tidak dapat dijelaskan

menggunakan kata-kata sederhana atau kalimat simpel seperti halnya titik dan garis.

Apabila kita mencoba membuat definisi bidang maka akan berbelit atau blunder. Oleh

karena itu seperti titik dan garis, bidang juga dimasukan ke dalam kelompok unsur yang

tidak didefinisikan.

Bidang adalah ide atau gagasan abstrak yang hanya ada dalam benak pikiran

orang yang memikirkannya. Bidang diartikan sebagai permukaan yang rata, meluas ke

segala arah dengan tidak terbatas, dan tidak memiliki tebal. Bidang masuk ke dalam bangun

dua dimensi, karena bidang dibentuk oleh dua unsur yaitu panjang dan lebar. Model bidang

dapat digambarkan oleh bagian dari benda, misalnya bagian permukaan kaca, permukaan

daun pintu, lembaran kertas, atau dinding tembok kelas yang rata. Atau bidang dapat

diperoleh dengan cara mengiris tipis-tipis permukaan benda sehingga diperoleh lembaran-

lembaran tipis, misalnya bagian salah satu sisi balok diiris-iris menjadi bagian-bagian yang

α

A

D C

B

tipis. Bagian-bagian tersebut adalah model-model bidang. Di bawah ini adalah gambar atau

model dari bidang.

Memberi nama sebuah bidang dapat menggunakan sebuah hurup kecil atau hurup-hurup

Yunani seperti α (alpa), β (beta), γ (gamma) yang diletakan di daerah dalam bidang

tersebut. Atau menggunakan huruf-huruf besar yang disimpan di titik-titik sudut bidang

tersebut. Berikut adalah cara memberi nama sebuah bidang.

1. 4. Ruang

Seperti halnya titik, garis, dan bidang, ruang juga adalah ide atau gagasan

abstrak yang hanya ada dalam benak pikiran orang yang mempersoalkannya. Ruang

diartikan sebagai unsur geometri yang memiliki panjang, lebar, dan tinggi yang terus

mengembang tidak terbatas. Ketiga unsur pembentuk ruang tersebut terus berkembang

tanpa batas. Oleh karenanya ruang disebut sebagai bangun tiga dimensi karena memiliki

tiga unsure yaitu panjang, lebar, dan tinggi. Ruang didefinisikan sebagai kumpulan dari titik-

titik. Ruang dapat diilustrasikan sebagai balon yang ditiup terus mengembang tanpa pecah.

Balon yang mengembang tersebut dibentuk oleh titik-titik pada balon dan udara sebagai

titik-titik di dalam balon. Sehingga ruang digambarkan sebagai balon yang terus

mengembang tanpa pecah dengan titik-titik pada balon dan titik-titik di dalam balon yang

kesemua titik-titik itu mengembang tanpa berhenti. Atas dasar itu ruang didefinisikan

sebagai kumpulan dari titik-titik.

Selain ruang dapat diilustrasikan sebagai balon yang ditiup dan terus

mengembang tanpa batas seperti di atas, ruang juga dapat digambarkan sebagai gabungan

dari permukaan tertutup sederhana dengan daerah dalamnya dan dengan kumpulan titik-

titik di bagian luar permukaan tertutup sederhana tersebut. Permukaan tertutup sederhana

di analogikan sebagai kulit balon yang sudah ditiup. Sedangkan daerah dalam adalah udara

yang mengisi balon tersebut.

Ruang dapat dibuatkan modelnya. Model bangun ruang adalah benda tiga

dimensi yang solid atau padat yang mencerminkan berkumpulnya titik-titik.Misalnya balok

atau kubus kayu, prisma segitiga padat dan sebagainya. Piramida tempat penguburan mayat

raja-raja Mesir jaman dulu salah satu contoh model bangun ruang. Akan tetapi kita dapat

membuat model-model bangun ruang yang bagian dalamnya kosong, misalnya kardus bekas

bungkus kulkas, bekas bungkus mesin cuci, bekas bungkus TV dan sebagainya. Berikut

contoh-contoh model bangun ruang.

Model bangun ruang di atas dapat terbuat dari benda-benda padat yang bagian

dalamnya terisi seperti balok atau kubus kayu, atau model-model bangun ruang yang

daerah dalamnya kosong. Kedua jenis bentuk bangun tersebut dapat digunakan sebagai

model-model bangun ruang.

2. Definisi, Asumsi, dan Teorema Geometris

Sebelum kita memasuki definisi, asumsi dan teorema – teorema dalam

geometri, terlebih dahulu kita perlu mengetahui pengertian masing – masing :

Definisi : rumusan tentang ruang lingkup dan ciri – ciri suatu konsep yang

menjadi pokok pembicaraan.

Postulat : Asumsi yang menjadi pangkal dalil yang dianggap kebenarannya

tanpa perlu pembuktian.

Aksioma : Pernyataan pertama yang dapat diterima sebagai kebenaran tanpa

pembuktian.

Teorema : pendapat yang dikemukakan sebagai keterangan mengenai suatu

kejadian (dapat dibuktikan).

A. Definisi – Definisi Pada Peristilahan Geometri

DEFINISI 1.1 : Ruas garis AB adalah himpunan titik-titik dari garis yang memuat

titik A dan B dan semua titik diantara titik A dan titik B.

DEFINISI 1.2 : Sinar adalah himpunan titik-titik yang merupakan gabungan dari

titik pangkal sinar garis dan semua titik pada sisi yang sama terhadap

titik pangkalnya.

DEFINISI 1.3 : Sinar-sinar yang berlawanan adalah dia sinar berlainan pada garis

yang sama dan mempunyai titik pangkal yang sama dan mempunyai

titik pangkal yang sama.

DEFINISI 1.4 : Sudut adalah himpunan titik - titik yang merupakan gabungan

dua sinar dan kedua titik pangkalnya berserikat.

DEFINISI 1.5 : Titik tengah dari ruas garis adalah suatu titik pada ruas garis itu

sedemikian hingga membantuk dua garis yang sama ukurannya.

DEFINISI 1.6 : Garis bagi (bisector) dari ruas garis adalah garis yang memotong

ruas garis pada titik tengahnya.

DEFINISI 1.7 : Sudut siku – siku adalah sudut dari 900.

DEFINISI 1.8 : Sudut lurus adalah suatu sudut dari 1800.

DEFINISI 1.9 : Sudut lancip adalah suatu sudut yang ukurannya lebih besar dari

900 dan lebih kecil dari 900.

DEFINISI 1.10 : Sudut tumpul adalah suatu sudut yang ukurannya lebih besar 900

dan lebih kecil 1800.

DEFINISI 1.11 : Dua sudut saling berkomplemen adalah dua sudut yang jumlah

ukurannya 900.

DEFINISI 1.12 : Dua sudut saling bersuplemen adalah sua sudut yang jumlah

ukurannya 1800.

DEFINISI 1.13 : Dua garis saling tegak lurus adalah sua garis yang saling

berpotongan dan membentuk sudut siku-siku.

DEFINISI 1.14 : Garis bagi suatu sudut adalh suatu sinar sedemikian hingga titik

pangkalnya titik sudut itu dan membentuk dua sudut yang sama

ukurannya dengan kaki – kaki sudut itu.

B. Asumsi – Asumsi Dan Penggunaannya Dalam Pembuktian

POTULAT 1.1 : Sebuah garis dapat diperpanjang sejauh-jauhnya dari kedua

ujungnya.

POTULAT 1.2 : Untuk setiap dua titik pada garis, ada titik ketiga yang terletak

diantaranya.

POTULAT 1.3 : Ada korespondensi 1-1 antara titik-titik pada garis dengan

A B

bilangan-bilangan real.

POTULAT 1.4 : Ada satu dan hanya satu garis yang melalui dua titik.

POTULAT 1.5 : Jika a = b dan c = d , maka a + c = b + d.

POTULAT 1.6 : Jika a = b dan c = d , maka a – c = b – d.

POTULAT 1.7 : Jika a = b dan c = d , maka a . c = b . d.

POTULAT 1.8 : Jika a = b dan c = d , maka a / c = b / d.

POTULAT 1.9 : a = a , sifat refleksif.

POTULAT 1.10 : Jika a = b , maka b = a; sifat simetri.

POTULAT 1.11 : Jika a = b dan b = c , maka a = c .

DEFINISI 1.15 : Ruas –ruas garis yang kongruen adalah ruas – ruas garis yang

mempunyai ukuran sama (tidak harus segaris).

DEFINISI 1.16 : Sudut – sudut yang kongruen adalah sudut-sudut yang

mempunyai ukuran sama. Notasi kongruensi adalah “ ≅ “ . perlu

diingat bahwa jika u AB = u CD, maka AB≅ CD. Tetapi jika AB ≅ CD,

belum tentu u AB = u CD.

DEFINISI 1.17 : Jumlah dari dua ruas garis AB dan BC adalah AC jika dan

hanya jika B diantara A dan C; dapat dilambangkan AB + BC = AC.

DEFINISI 1.18 : AC terletak diantara ruas garis AB dan BC yang berlainan jika

dan hanya jika C diantara A dan B; dilambangkan : AB – BC = AC.

C. Teorema – Teorema Sederhana

POSTULAT 1.12 :

Pernyataan kondisional : jika P, maka Q;

Dan menyatakan kebenaran P : diketahui P (antasenden);

Berakibat benarnya Q : jadi Q (konsekuen).

TEOREMA 1.1 : Jika dua sudut adalah siku-siku, maka keduanya kongruen.

Cara pembuktian :

Diketahui : A sudut siku-siku

B sudut siku-siku

Buktikan : A B

Bukti :

Pernyataan Alasan

1. A siku – siku

2. u A = 900

3. B siku – siku

4. u B = 900

5. u A = u B

6. A B

1. Diketahui.

2. def. Sudut siku-siku

3. diketahui

4. sama No. 2

5. sifat transitif dari kesamaan.

6. definisi kongruensi

TEOREMA 1.2 : jika dua sudut adalah sudut lurus, maka keduanya kongruen.

(bukti seperti teorema 1.)

DEFINISI 1.19 : sinar PB terletak diantara dua sinar PA dan PC berarti bahwa,

uAPB + uBPC = uAPC. (ukuran jumlah sebarang sudut harus = 1800)

DEFINISI 1.20 : Jumlah dari dua sudut ABC dan DBC, adalah ABD jika

dan hanya jika BC diantara BA dan BD; dapat dilambangkan :

ABC + DBC = ABD.

DEFINISI 1.21 : CDB terletak diantara dua sudut , ABD dan ABC jika dan

hanya jika BC diantara BA dan BD; dapat dilambangkan ABD -

ABC = DBC .

TEOREMA 1.3 : Jika dua sudut saling bersuplemen (berpelurus) pda sudut yang

sama , maka keduanya kongruen.

Pembuktian :

Diketahui : B suplemen pada A

C suplemen pada A

Buktikan : B C.

Bukti :

Pernyataan Alasan1. B suplemen dari A.2. uB + uA.= 1800

3. uB .= 1800 – uA4. C suplemen dari A.5. uC + uA.= 1800

6. uC .= 1800 – uA7. uB = uC8. B uC

1. diketahui2. def. Dua sudut yang bersuplemen.3. postulat pengurangan dari kesamaan.4. diketahui5. sama No. 26. sama No. 37. sifat transitif8. def.kongruensi sudut

TEOREMA 1.4 : jika dua sudut saling berkomplemen pada sudut yang sama,

maka kedua sudut itu kongruen. (bukti seperti teorema 3)

TEOREMA 1.5 : jika dua sudut saling bersuplemen terhadap dua sudut yang

kongruen, maka dua sudut itu kongruen.

TEOREMA 1.6 : Jika dua sudut berkomplemen terhadap dua sudut yang

kongruen, maka keduanya kongruen. (bukti sebagai latihan)

DEFINISI 1.22 : dua sudut bertolak belakang adalah dua sudut sedemikian

hingga kaki-kaki dari sudut itu yang satu merupakan sinar yang

berlawanan dengan kaki-kaki sudut yang lain.

TEOREMA 1.7 : Jika dua sudut saling bertolak belakang, maka keduanya

kongruen. (bukti sebagai latihan)

TEOREMA 1.8a : Jika dua ruas garis kongruen dengan dua ruas garis yang

kongruen, maka keduanya kongruen. (bukti sebagai latihan)

TEOREMA 1.8b : jika dua sudut kongruen dengan dua sudut yang kongruen,

maka kedua sudut itu kongruen. (bukti sebagai latihan)

Diketahui :ABD bersuplemen terhadap 1EFG bersuplemen terhadap 21 2Buktikan :ABD EFG(sebagai Latihan)

2. Geometri Euclid

1. Struktur Geometri Euclid

Pertama, Pandang ruang ∑ sebagai himpunan titik, sehingga titik-titik di ruang merupakan

unsur-unsur dari ∑. Kemudian, Pandang juga ruang ∑ dapat berupa himpunan garis-garis Γ

atau himpunan bidang-bidang Ω. Jadi himpunan unsur-unsur dari himunan ∑, Γ dan Ω

masing-masing disebut dengan titik-titik, garis-garis dan bidang-bidang. Selanjutnjya, Dari

himpunan berbentuk ∑, Γ ,Ω letakkan aturan-aturan relasi diantara anggota-anggota ∑,

anggota-anggota dari Γ dan anggota-anggota Ωmenurut aksioma-aksioma berikut:

a1¿ .aksioma insidensi;

a2¿ .aksioma keantaraan (tanpa perhatikan letak) dan urutan (memperhatikan letak);

a3¿ .aksioma kekongruenan

a4 ¿ .aksioma kekontinuan (Archimedes);

a5¿ .aksioma kesejajaran Euclid.

Himpunan berbentuk ∑, Γ ,Ω beserta sistem aksioma yang melibatkan kelima aksioma

tersebut, yaitu [∑, Γ ,Ω , a1, a2, a3, a4,a5 ] disebut Struktur Geometri Euclid.

1. Beberapa Aksioma Dasar

a. Aksioma-aksioma insidensi

Aksioma 2.1 : Jika ada dua titik berbedadan tidak segaris, maka ada tepat satu garis yang

memuat titik tersebut.

Aksioma 2.2 : Jika ada tiga titik berbeda dan tidak segaris, maka da tepat satu bidang yang

memuat ketiga titik tersebut.

Aksioma 2.3 : Jika dua titik berbeda terletak pada suatu bidang, maka garis yang memuat

kedua titik tersebut terletak pada bidang.

Aksioma 2.4 : Jika dua bidang berpotongan, maka perpotongannya adalah garis.

Aksioma 2.5 : Setiap garis sedikitnya memuat dua titik, setiap bidang sedikitnya memuat

tiga

titik yang tidak segaris dan setiap ruang memuat sedikitnya empat titik yang

tidak

sebidang.

Postulat 2.1 : Sebuah garis dapat diperpanjang sejjauh-jauhnya dari kedua ujungnya.

Postulat 2.2 (Postulat Jarak):

a) Jarak setiap dua titik di ∑ merupakan fungsi terhadap R.

b) Jarak setiap dua titik berharga njon-negatif.

c) Jarak dua titik adalah nol, jika dan hanya jika kedua titik tersebut identik.

d) Jarak terpendek dari dua titik adalah pada suatu garis lurus (diukur menurut jgaris

lurus).

Postulat 2.3 : Pada setiap garis l, titik-titiknya dapat diletakkan suatu korespondendsi 1-1

dngan

bilangan real R.

b. Aksioma-aksioma keantaraan:

Aksioma 2.6 : Jika A dan B dua titik, maka:

a) Terdapat setidaknya satu titik C sehingga C diantara A dan B.

b) Terdapat setidaknya satu titik D sehingga B diantara A dan D.

c) Terdapat setidaknya satu titik E sehingga A diantara B dan E.

Aksioma 2.7: Jika A, B dan C suatu titik sehingga B diantara A dan C, maka A, B dan C

berbeda dan terletak pada satu garis (kolinear).

Aksioma 2.8: Jika A, B dan C suati titik sehingga B diantara A dan C, maka B diantara C dan A.

Aksioma 2.9: Jika A, B dan C tiga titik kolinear, maka tepat satu dari tiga keadaan benar:

a) B diantara A dan C

b) C diantra A dan B

c) A diantara B dan C.

Catatan: istilah keaantaraaan merupakan primitf, karena itu tidak didefinisikan.

3. Kekongruenan Segmen Garis dan Sudut.

Definisi 3.1: Segmen (ruas) garis AB dinotasikan AB adalah himpunan titik-titik dari aris yang

memuat titik A dan titik B dan semua titik diantara titik A dan titik B.

Definisi 3.2: Sinar adalah himpunan titik-titik yang merupakan gabungan dari titik pangkal

sinar garis dan semua titik pada sisi yang sama terhadap titik pangkalnya.

A B

Gambar dibawah ini contoh sinar AB yang dinotasikan AB.

Definisi 3.3 : Sudut adalah himpunan titik-titik dari gabungan dua sinar yang kedua titik

paangkaalnya berserikat, tetapi tdak terletak pada garis yang sama.

Pada gambar di atas dapat dituliskan sudut-sudut yang sama: ∠ ACE , ∠ECA atau ∠BCE.

Titik C disebut titik sudut, sedangkan sinar sinar CE dan CA merupakan kaki sudut.

Postulat 3.1 (Postulat Ukuran Sudut):

a) Ukuran sudut merupakan fungsi dari himpunan sudut ke himpunan bilangan real R.

b) Untuk setiap ∠ A, maka ukuran sudut ∠ A, yaitu u∠ A, terletak diantara 0 dan 180.

c) Untuk setiap sinar AB atau garis AB dan setiap bilangan r diantara 0 dan 180 ada

tepat satu sinar AP sehingga u∠PAB=r.

Definisi 3.4: garis bagi (bisektor) dari ruas garis adalah garis yang memotong ruas garis pada

titik tengahnya.

AB bisektor CD, maka B titik tengah CD. Karena B titik tengah CD, maka uCD = uBD.

Dengan demikian CB ≅ BD.

4. Kekongruenan Segitiga.

Definisi 4.1: Suatu jhimpunan S adalah himpunan konveks jika setiap dua titik X dan Y di S,

maka segmen garis XY terletak di S.

A B

A

B

CE

A

CB

D

Definisi 4.2: Poligon adalah gabungan himpunan titik-titik P1 ,P2 , P3 ,⋯ , Pn−1 , Pn dengan

ruas-ruas garis: P1P2 , P2P3 , . . . , Pn−1Pn , Pn P1 , sedemikian sehingga jika dua sebarang

dari ruas garis berpotongan, bertitik potong salah satu dari titik P1 ,P2 , P3 ,⋯ , Pn−1 , Pn dan

tidak ada titik lain. Poligon konveks adalah poligon yang masing-masing sudutnya lebih kecil

dari sudut lurus.

Definisi 4.1: Dua poligon adalah kongruen, jika ada korespondensi 1-1 diantara titik-titiknya

sedemikian sehingga

a. semua sis yang berkorespondensi kongruen

b. semua sudut yang berkorespondensi kongruen

Definisi 4.2: Segitiga adalah poligon bersisi tiga.

Postulat 4.1: Dua segitiga adalah kongruen, jika ada suatu korespondensi diantara titik

sudut-

titik sudutnya sedemikian sehingga dua sisi dan sudut apitnya dari sebuah

segitiga kongruen terhadap bagian-bagian yang berkorespondensi segitiga

kedua.

(Postulat S-Sd-S).

Teorema 4.1: Dua segitiga adalah kongruen, jika ada suatu korespondensi diantara titik

sudut-

titik sudutnya sedemikian sehingga dua sudut dan sisi apitnya dari sebuah

segitiga

kongruean terhadap bagian-bagian yang berkorespondensi segitiga yang

kedua.

(Teorema Sd-S-Sd).

Teorema 4.2: Dua segitiga adalah kongruen jika terdapat korespondensi diantara titik sudut-

titik

sudutnya, ketiga sisi pada segitiga adalah kongruen terhadap sisi-sisi yang

berkorespondensi pada segitiga yang lain. (Teorema S-S-S).

/

/

/