geometri 3 dimensi

KOMPETENSI : MENERAPKAN KONSEP GEOMETRI TIGA DIMENSI

KODE : X

DURASI PEMB. : 35 JAM ( @ 45 Menit )

SUB KOMPETENSI : MENGIDENTIFIKASI BANGUN RUANG DAN UNSUR-

UNSURNYA

KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG TERHADAP SATU SAMA LAIN

Pembahasan tentang kedudukan titik, garis dan bidang terhadap satu sama lain dikaitkan

dengan kedudukan mereka sebagai bagian dari sebuah kubus.

G H

E F

D C

A B

Gambar 1

Kedudukan Titik Terhadap Garis

Perhatikanlah gambar kubus ABCD.EFGH pada gambar 1

1. Titik A dan titik B terletak pada garis AB.

2. Titik E tidak terletak pada (diluar) garis AB.

3. Titik P terletak pada garis AB.

Kedudukan Titik Terhadap Bidang


1. Titik F terletak diluar bidang ADHE.

2. Titik D terletak pada bidang DCGH.

3. Titik D terletak pada bidang ABCD.

Kedudukan Garis Terhadap Garis Lain


1. Garis AB sejajar garis EF.

2. Garis AB sejajar garis HG.

3. Garis AB berpotongan dengan garis BC di titik B.

4. Garis AB dan garis FH tidak berpotongan tetapi juga tidak sejajar. Dikatakan garis

AB dan garis FG bersilangan.

Kedudukan Garis Terhadap Bidang


1. Garis AB terletak pada bidang ABFE.

2. Garis AB terletak pada bidang ABCD.

3. Garis FG memotong (menembus) bidang ABFE di titik F.

Titik F disebut titik tembus.

4. Garis F menembus bidang CGHD di titik G.

Titik F disebut titik tembus.

5. Garis EF sejajar bidang ABCD.

6. Garis EF sejajar bidang CDHG.

Kedudukan Garis Terhadap Garis Lain


1. Bidang ABCD sejajar bidang EFGH.

2. Bidang DCGH berpotongan dengan bidang ABCD menurut garis potong CD.

3. Bidang ABCD berpotongan dengan bidang BCGF menurut garis potong BC.

Catatan :

Titik tembus garis EA yang terletak di bidang ABCD terletak di garis potong kedua

bidang tersebut, yaitu garis AG.

Tiga Bidang Berpotongan


Jika ada tiga bidang yang berpotongan, maka terdapat tiga macam kemungkinan :

a. Berpotongan menurut tiga garis yang sejajar.

b. Berpotongan menurut tiga garis yang melalui satu titik.

c. Berpotongan pada sebuah garis.

Misalnya :

1. Tiga bidang ABCD, BCGF, dan CDHG berpotongan menurut tiga buah garis

CB, CG, dan CD yang melalui sebuah titik C.

2. Tiga bidang ABFE, ABGH, dan EFGH berpotongan menurut tiga buah garis

AB, GH, dan EF yang sejajar.

3. Tiga bidang ABCD, ABGH, dan ABFE berpotongan menurut sebuah garis

AB.

Gambar 2A B

Latihan 1


H G

E F

D C

Jawablah setiap pertanyaan di bawah ini dengan teliti.

1. Katakanlah titik A terletak pada garis apa

2. Garis mana sajakah yang melalui titik C.

3. Sebutkanlah semua titik yang terletak di luar garis BC.

4. Sebutkanlah semua titik yang terletak pada bidang CDGH.

5. Sebutkanlah semua titik yang terletak diluar bidang EFGH.

6. Sebutkanlah semua rusuk kubus yang sejajar rusuk EF.

7. Sebutkanlah semua rusuk kubus yang bersilangan dengan rusuk CG.

8. Sebutkanlah tiga bidang yang melalui titik H.

9. Sebutkanlah semua rusuk kubus yang tegak lurus bidang ADHE.

10. Sebutkanlah semua rusuk kubus yang sejajar bidang DCGH.

Contoh 1

Lihat Gambar 3

Garis a // b. Garis a menembus bidang ABCD di titik p, dan menembus bidang DCEF di titik

R. Garis b menembus bidang ABCD di titik Q. Tentukanlah titik tembus garis b dengan

bidang DCEF.

F a b E F a b E

R R

D P C D E

Q P Q

A B A B

Gambar 3 Gambar 4

Lihat Gambar 4

Melalui garis a dan b yang sejajar dapat dibuat bidang PQR. Bidang PQR memotong bidang

ABCD menurut garis PQ yang memotong garis DC di Titik S. Jadi Bidang PQR memotong

bidang DCEF menurut garis RS. Garis b menembus bidang DCEF di titik potong garis b

dengan garis RS.

Gambar 5 Gambar 6

Contoh 2

Lihat Gambar 5

Pada kubus ABCD .EFGH dibuat bidang ACH dan diagonal ruang DF . Tentukanlah titik

tembus ruang dengan bidang ACH.

H G H G

E F E F

D C D C

A B A B

Penyelesaian :

Lihat gambar 6

Diagonal ruang DF terletak pada bidang diagonal DBFH. Buatlah bidang diagonal DBFH

memotong bidang ACH menurut garis HP. Titik potong garis HP dengan garis DF adalah

titik tembus diagonal ruang dengan bidang ACH

Latihan 2

1. Pada kubus ABCD . EFGH dibuat bidang BCHE. Tentukanlah titik tembus diagonal

ruang DF dengan bidang BCHE. Jika titik tembus ini disebut titik P, dan panjang rusuk

kubus 8 cm, hitunglah panjang ruas garis PF.

2. Dari kubus ABCD,EFGH diketahui titik P, Q, dan R berturut-turut adala itik tengah

rusuk

3. Pada kubus ABCD . EFGH dibuat bidang BDE. dan diagonal ruang AG, titik P

adalah titik tembus diagonal ruas AG dengan bidang BDE. Jka rusuk Ab = 8 cm,

tentukanlah panjang ruas garis PG.

4. Garis a//b Garis a menembus bidang ABCD di titik P dan menembus bidang DCEF

di titik Q . Garis b menembus bidang ABCD di titik R. Tentukanlah titik tembus garis b

dengan bidang DCEF. a b

F E Q

D C P R A B

Gambar 7

Gambar 8

Gambar 9

5. Dari kubus ABCD, EFGH diketahui titik P, dan Q bertutut – turut titik tengah rusuk

AB dan rusuk AE buatlah bidang melalui garis PQ yang sejajar rusuk AD. Tentukan juga

titik tembus garis AG dengan bidang tersebut.

H G

E F

P D C

A Q B

MENGGAMBAR BANGUN RUANG

. H G

E F

D C

A B

Gambar 9 adalah gambar kubus

Untuk menggambar kubus di atas ada beberapa pengertian yang harus dipahami .

1. Garis yang digambar mendatar disebut garis horizontal

Misalnya : garis AB, DC, HG dan EF

2. Garis yang digambar sejajar dengan didang disebut garis Frontal .

Misalnya : garis AB, AE , BF, EF

3. Bidang yang digambar sejajar dengan bidang gambar disebut frontal

Misalnya : Bidang ABEF dan bidang DCHG

4. Garis yang digambar sejajar dengan bidang gambar disebut garis ortogonal

Misalnya : garis AD, BC, EH, dan FG

5. Sudut yang dibentuk oleh gambar garis ortogonal dengan garis horizontal disebut

sudut surut ( sudut menyisi )

Misalnya : < DAB, dan <HEF

6. Perbandingan panjang gambar ruas garis ortogonal disebut perbandingan proyeksi panjang ruas garis ortogonal sebenarnya

Catatan :

1. Ukuran gambar garis pada bidang frontal sama dengan ukuran garis yang sebenarnya .

2. Sudut surut dibuat di antara 250 dan 400

3. Perbandinganproyeksi, kurang dari satu

4. Garis yang tidak kelihatan digambar sebagai garis putus

Gambar 11

Gambar 12

Contoh 3

Gambarlah kubus ABCD, EFGH dengan rusuk AB = 4 cm, rusuk AB digambar hirozontal

dan bidang ABFE frontal. Sudut surut 300, dan perbandingan proyeksi ½.

Penyelesaian :

H G

E F Gambar 10

D C

A B

Contoh 4

Gambarlah kubus ABCD, EFGH dengan rusuk AB = 4 cm . Diagonal AC digambar

horizontal. Dan bidang diagonal ruang ACGE frontal. Sudut surut 300 dan perbandingan

proyeksi ½.

Penyelesaian :

Bidang diagonal ruang ACGE frontal, sehingga ukuran gambar AC sama dengan ukuran

yang sebenarnya yaitu 42 cm. Diagonal BD menjadi garis ortogonal. Sudut DPC adalah

sudut surut. H

D C E G

F D A B A C B

Contoh 5

Gambarlah limas segi 4 beraturan T. ABCD dengan ketentuan rusuk Ab = 4 cm, bidang TAC

frontal, diagonal bidang alas AC horizontal, dan tinggi limas 5 cm. Sudut surut 300 dan

perbandingan proyeksi ½.

T D C

C

D B

A B A

Latihan 31. Gambarlah kubus ABCD, EFGH dengan rusuk AB = 6 cm . Bidang ABFE frontal, dan

rusuk AB horizontal . Perbandingan proyeksi ½ sudut surut 300

2. Gambarlah kubus ABCD, EFGH dengan rusuk AB = 4 cm . Bidang ACGE frontal, dan

rusuk AEB horizontal . Sudut surut 300 Perbandingan proyeksi ½

3. Gambarlah kubus ABCD, EFGH dengan rusuk AB = 4 cm . Bidang ABFE frontal, dan

diagonal AF horizontal . Sudut surut 300 Perbandingan proyeksi ½

4. Gambarlah limas segi 4 beraturan T. ABCD dengan rusuk alas AB = 4 cm . Tinggi limas

6 cm Titik P dan Q berturut – turut titik tengah rusuk BC dan rusuk AD. Bidang TPQ

frontal dan PQ horizontal.

5. Gambarlah limas segitiga beraturan TABCD denganrusuk als 8 cm . titik P adalah titik

tengah rusuk BC . Bidang TAB frontal dan AP horizontal .

SUB KOMPETENSI : MENENTUKAN HUBUNGAN UNSUR–UNSUR DENGAN BANGUN RUANG.

GARIS DAN BIDANG DI DALAM RUANG

H G

E F

D C

A B

Perhatikanlah gambar kubus ABCD, EFGH pada gambar 13 di atas . dengan mengamati

kubus ABCD, EFGH akan di dapat beberapa pengertian tentang letak garis dan bidang di

dalam ruang.

1. Garis AB // EF

Dua garis yang sejajar adalah dua garis yang terletak pada satu bidang dan tidak

berpotongan .

Misalnya , AB//DC, BC//AD, BC//EH, BC//FG, BC//AD dan lain sebaginya.

2. Garis AB dan garis FG disebut dua garis yang bersilangan dua garis disebut

bersilangan jika tidak dapat dibuat sebuah bidang datar melalui dua garis tersebut.

Misalnya : AB dan EF; BC dan EF dll.

3. Garis EF // Bidang ABCD.

Garis EF disebut sejajar bidang ABCD, jika garis EF sejajar garis yang terletak di bidang

ABCD, garis EF//AB. Garis HG sejajar bidang ABCD, BF sejajar bidang ADHE , dan

lain-lainnya.

4. Garis EA tegak lurus bidang ABCD.

Garis EA disebut tegak lurus bidang ABCD, Jka garis EA tegak lurus dua garis

berpotongan di bidang ABCD. Garis EA tegak lurus garis AB dan AD

Garis EA tegak lurus bidang ABCD, garis FG tegak lurus bidang DCGH, dll.

5. Bidang ABCD // bidang EFGH

Bidang ABCD disebut sejjar dengan bidang EFGH jika terdapat dua garis berpotong an di

bidang ABCD yang sejajar dengan dua garis berpotongan di bidang EFGH. Bidang

ABCD sejajar bidang EFGH karena garis AB//HG dan AD//FG

Bidang ABFE sejajar bidang DCGH, dan BCGF sejajar bidang ADHE

Gambar 13

Latihan 4

Perhatikanlah gambar kubus ABCD.EFGH pada gambar 14.

Gambar 14 H G

E F D C

A B Lengkapilah setiap pernyataan di bawah ini sehingga menjadi pernyataan yang benar.

1. Garis yang sejajar dengan garis AB adalah garis DC, …..,.dan ……2. Garis yang bersilangan dengan garis AE adalah garis BC, …….,…..,……..,dan……3. Garis EF sejajar bidang ABCD, garis EF sejajar bidang …..4. Garis BF sejajar bidang …….., dan bidang ……..5. Garis DC sejajar bidang ……..., dan bidang …….6. Garis HG sejajar bidang ……..., dan bidang …….7. Garis BC tegak lurus bidang ABFE, dan bidang …….8. Garis CH tegak lurus bidang …….., dan bidang …….9. Garis EF tegak lurus bidang …….., dan bidang …….10. Bidang ABFE sejajar bidang …………11. Bidang EFGH sejajar bidang …………. a

CGARIS TEGAK LURUS BIDANG

Gambar 15 H G

E F T D C A P A B

B B

Gambar 16 D

Perhatikanlah gambar kubus ABCD, EFGH pada gambar 15Sudah dibicarakan bahwa garis AE tegak lurus bidang ABCD karena garis AE tegak lurus garis AB dan AD yang erpotongan dan terletak di bidang ABCD

Sifat 1.Jika sebuah garis tegak lurus sebuah bidang, maka garis tersebuttegak lurus setiap garis pada bidang yang melalui titik tembusnya.

Pembuktian :Diketahui : garis a tegak lurus bidang . Garis a menembus bidang di titik T garis

b di bidang dan melalui titik T

Buktikanlah garis a tegak lurus garis b.Bukti :Perhatikanlah pada gambar 16 , tari garis TA dan TB di bidang Maka garis a tegak lurus garis TA dan garis TB.Tariklah garis g yang menghubungkan titik A dan B .pilihlah titik C dan D di garis Aa yang berlawanan pihak terhadap titik T dan TC = AB.

Dapat diambil kesimpulan ABC ABDKarena TA adalah sumbu ruas garis DC, maka CA = DAKarena TA adalah sumbu ruas garis DC, maka CB = DB

AB = ABDapat diambil kesimpulan ABC ABD ( sisi, sisi, sisi )Akibatnya < CAB < DABGaris b di bidang dan melalui titik T . garis b memotong garis g di titik P

Perhatikanlah : APC APD AP = AP < CAP = < DAP CA = DADapat diambil kesimpulan APC APD ( sisi, sisi, sisi )Akibatnya CP = DP yang berarti garis TP adalah sumbu ruas garis CDJadi a TP, berarti garis a b . terbukti

Sifat 2Jika garis a tegak lurus bidang , maka garis a tegak lurus (menyilang tegak lurus ) setiap garis yang terletak di bidang ,, maka garis menembus bidang ,

Buktikanlah : garis a b a

Bukti :

Gambar 17 b T b’

Garis a tegak lurus bidang seperti yang terlihat pada gambar 17 . garis a menembus bidang di titi T . garis b terletak di bidang . Tariklah garis b’//b melalui titik T karena garis b’ di bidang dan melalui titik T , maka garis a b’ ( sifat 1. ). Yang berarti garis a tegak lurus ( menyilang tegak lurus ) garis b terbukti.

Sifat 3.Jika salah satu dari dua garis yang sejajar tegak lurus sebuah bidang, maka garis yang kedua tegak lurus bidang tersebut juga.

Pembuktian Diketahui : Garis a//b . garis a .Buktikanlah : garis b tegak lurus bidang

Bukti : a b

Gambar 18 T d

c

Garis b menembus bidang di titik T . Tariklah garis c dan d pada bidang yang melalui titik T

Karena garis a tegak lurus bidang , maka garis a tegak lurus garis c dan d ( sifat 2 )Karena b//a dan a c , maka b cKarena b//a dan a d , maka b dKarena b c , b d , dan garis c dan c berpotongan di T , maka garis b terbukti.

Sifat 4Jika dua garis tegak lurus sebua bidang, maka dua garis tersebut sejajar

Sifat 4 merupakan kebalikan sifat 3.

Contoh 13.Limas T.ABCD memiliki bidang alas ABCD berbentuk persegi dan rusuk tegak TD tegak lurus bidang alas . Buktikanlah bahwa < TAB, dan TDB adalah sudut siku – siku. Buktikanlah juga bahwa TD menyilang tegak lurus AC.

Penyelesaian :Diketahui : Limas T.ABCD alas ABCD berbentuk persegi, Rusuk TD tegak lurus bidang alas.

Buktikanlah : TAB dan TDB adalah sudut siku – siku Rusuk TD menyilang tegak lurus AC

Bukti : T

Gambar 19

D C A B

1. Karena TD tegak lurus bidang ABCD, maka TD ABKarena ABCD sebuah persegi, maka AB AD.Karena AB tegak lurus AD dan TD, maka AB tegak lurus bidang ADT . Jadi :AB tegaklurus TA yang berarti TAB adalah sudut siku – siku.

2. Karena TD tegak lurus bidang ABCD, maka TD tegaklurus setiap garisYang terletak di bidang ABCD. Jadi TBD adalah sudut siku – siku.

3. Karena TD tegak lurus bidang ABCD, maka TD tegak lurus setiap garis Yang terletak di bidang ABCD. Jadi TD menyilang tegak lurus AC

Contoh 14.Buktikanlah bahwa diagonal ruang AG dari kubus ABCD,EFGH tegak lurus bidang BDE.Penyelesaian :Diketahui : kubus ABCD,EFGH.Buktikanlah : Diagonal AG tegak lurus bidang BDE

Bukti :Gambar 20 H G

E F D C

A BKarena CG tegak lurus ABCD, maka CG BD atau BD CG karena BD CG dan juga BD AC, maka BD Bidang ACGE sehingga BD AG atau AG BD. Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa AG BE . Karena AG BD dan AG BE, maka Ag tegal lurus BDE Terbukti.

JARAK

Jarak antara dua bangun ruang adalah panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan dua bangun ruang tersebut.

Jarak antara dua Titik.Jarak antara dua titik adalah panjang ruas garis yang menghubungkan dua titik itu.Gambar 21 A B

Jarak antara titik A dan B adalah panjang ruas garis AB.

Jarak antara Titik dan Garis A

g gambar 22 A

Jarak antara Titik dan Bidang

Jarak antara titik dan bidang adalah Panjang ruas garis yang dibuat dari titik gambar 23Itu tegak lurus ke bidang. BJarak titik A ke bidang adalah panjang Ruas garis AB.

Jarak antara Dua garis Sejajar Jarak antara dua garis sejajar adalah jarak gambar 24 a b Antara sebuah titik pada garis pertama P Dan garis kedua. Q Jarak antara garis a dan b adalah panjang Garis PQ g

P

Jarak antara Garis dan Bidang yang Sejajar

Jarak antara garis dan bidang yang sejajar garisTersebut adalah jarak antara sebuah titik Q

pada garis dan bidang.Jarak antara garis g dan bidang yang sejajar Garis g adalah panjang ruas garis PQ gambar 25

Jarak Antara Dua Bidang yang Sejajar

Jarak antara dua bidang yang sejajar adalah jarak antara sebuah titik pada bidang pertama dan bidang kedua. Jarak antara bidang dan bidang yang sejajar adalah ruas garis PQ.

Jarak antara titik dan garis adalah panjang ruas garis yang dibuat dari titik itu tegak lurus jke garis jarak titik A ke garis g adalah panjang ruas garis AB

Gambar 26 P

Q

Gambar 26

Latihan 10 Gambar 27 H G

E F K D C

A B

Perhatikanlah gambar kubus ABCD, EFGH pada gambar 27Lengkapilah setiap pernyataan di bawah ini sehingga menjadi pernyataan yang benar.

1. Jarak antara titik A dan titik G sama dengan panjang ruas garis …2. Diagonal GB tegak lurus diagonal FC. Jarak antara titik G dan garis FC sama dengan

panjang ruas garis … Jarak antara titik C dan garis BG sama dengan panjang ruas garis …

3. Jarak antara garis AB dan garis EF sama dengan panjang ruas garis …4. Garis GB tegak lurus garis AB. Jarak antara titik G dan garis AB sama dengan

panjang ruas garis …5. Garis HG sejajar dengan garis AB. Jarak antara garis HG dan garis AB sama dengan

panjang ruas garis …6. Jarak antara garis AE dan garis CG sama dengan panjang ruas garis …7. Jarak antara garis HD dan garis BF sama dengan panjang ruas garis …8. Garis GC tegak lurus bidang ABCD. Jarak antara titik G dan bidang ABCD sama

dengan panjang ruas garis …9. Garis GK tegak lurus bidang DCFE. Jarak antara titik G dan bidang DCFE sama

dengan panjang ruas garis …10. Diagonal ruang AG tegak lurus bidang BDE. Jarak antara titik G dan bidang BDE

sama dengan panjang ruas garis …11. Jarak antara titk A dan bidang BDE sama dengan panjang ruas garis …12. Garis EF sejajar bidang ABCD. Jarak antara garis EF dan bidang ABCD sama dengan

panjang ruas garis …13. Garis HG sejajar bidang CDEF. Jarak antara garis HG dan bidang CDEF sama dengan

panjang ruas garis …14. Bidang ABCD sejajar bidang EFGH. Jarak antara bidang ABCD dan bidang EFGH

sama dengan panjang ruas garis …15. Jarak antara bidang ADHE dan bidang BCGF sama dengan panjang ruas garis …

Contoh 15Diketahui rusuk kubus ABCD>EFGH sama dengan 6 cm. Gambarlah dan tentukanlah jarak antara :

a. Titik C dan titik tengah rusuk EH.

b. Titik C dan titik potong diagonal sisi AH dan ED.c. Titik tengah BC dan titik tengah DH.

Penyelesaian :Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Titik K titik tengah rusuk EH. Titik M titik potong diagonal sisi AH dan ED. Titik N dan O berturut-turut titik tengah rusuk BC dan DH.Ditanya :

a. Jarak antara titik C dan titik K.b. Jarak antara titik C dan titik M.c. Jarak antara titik N dan titik O.

Jawab : Gambar 28 H G

E F M D C

A B

a. Buatlah gambar persegi panjang EBCH. H CRusuk BC = 6 cm. Diagonal sisi HC = 62 cm.Jarak antara titik C dan K adalah panjang ruasRuas garis CK. KLihat segitiga CHK.CHK = 900, HC = 62 cm, dan HK = 3 cm.Maka CK = (3)2 + (62)2 E BCK = 81 = 9 gambar 29Jarak antara titik C dan K sama dengan 9 cm.

b. Buatlah gambar persegi panjang EDCF. E F Rusuk CD = 6 cm. Diagonal sisi ED = 62 cm.Jarak antara titik C dan M adalah panjang ruasCM.Lihat segitiga MDC. MMDC = 900, CD = 6cm, dan MD = 32 cm.Maka CK = (3)2 + (32)2

CK = 27 = 33 cmJarak antara titik C dan K sama dengan 33 cm D C

c. Jarak antara titik N dan O sama dengan panjang ruas garis NO. gambar 30 H G D C

O N

D C A B Gambar 31 gambar 32 Lihat ODCODC = 900, DC = 6 cm, dan OD = 3 cm, maka CO = (3)2 + (6)2 . CD = 45 cm

Lihat OCNKarena garis NC tegak lurus bidang CGHD, maka NC CO.NCO = 900, CO = 45 cm, dan CN = 3 cm, maka NO = (3)2 + (45)2

NO = 54 = 36 cmJadi jarak antara titik N dan O sama dengan 36 cm.

Contoh 16 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 6 cm. Hitunglah jarak antara

titik A dengan bidang BDE, dan jarak antara bidang BDE dan CHF.

Penyelesaian :Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 6 cm.

Ditanya : Jarak antara titik A dan bidang BDE, dan jarak antara BDE dan bidang CHF.Jawab : Gambar 33 H G

E F M D C

A B

Pada contoh 4 telah dibuktikan bahwa diagonal ruang AG tegak lurus bidang BDE. Untuk menentukan jarak antara titik A dan bidang BDE perlu dicari titik tembus garis AG dengan bidang BDE.Juka diagonal bidang alas AC dan BD berpotongan di L, maka titik potong garis EL dengan garis AG adalah titik tembus garis AG dengan bidang BDE (titik K). Jarak antara titik A dan bidang BDE sama dengan panjang ruas garis AK.Perhatikanlah segitiga sama sisi BDE. Sisi BE = 62 cm. Garis EL adalah garis tinggi (garis berat) segitiga sama sisi BDE.EBL = 600

EL = (BE) sin 600

EL = 62 . 3 = 36 cm 2

Titik K titik berat segitiga BDE sehingga EK = 2 EL dan KL = 1 EL

3 3EK= 2 (36) = 26 cm dan KL = 3 (36) = 6 cm Gambar 34

2 3 H GPerhatikanlah persegi panjang ACGE. KarenaGaris AG tegak lurus bidang BDE, maka AGTegak lurus garis EL.Ruas garis AK adalah garis tinggi segitiga siku- K K Siku EAL. Maka menurut garis proyeksi (AK)2 = (EK) . (KL)(AK)2 = (26). (6) A CAK = 12 = 23 cm L Jarak antara titik A dan bidang BDE sama dengan 23 cm. M Karena BE // CF dan BD // HF, maka bidang BDE dan bidang CHF sama dengan jarak antara titik C dan bidang BDE.Perhatikanlah persegi panjang ACGE. Tarik garis lurus dari titik C sejajar garis AG yang memotong garis di titik M. Karena CM // GA, maka CM tegak lurus bidang BDE (sifat 4).Jadi panjang ruas garis CM sama dengan jarak antara bidang BDE dan CHF.

Perhatikanlah AKL dan CML.KLA = MLC (sudut bertolak belakang)AL = CL (titik tengah AC)KAL = MCL (dua sudut dalam berseberangan)Dapat disimpulkan KLA MCL (sisi, sudut, sisi), dan CM = AK

CM = 23 cmJarak anatara bidang BDE dan CHF sama dengan 23 cm.

Latihan 101. Buktikanlah bahwa diagonal ruang AG dari kubus ABCD.EFGH menyilang

tegak lurus diagonal alas kubus BD.2. Buktikanlah bahwa pada kubus ABCD.EFGH bidang BDE sejajar bidang

CHF.3. Pada kubus ABCD.EFGH, titik M adalah titik potong diagonal sisi alas.

Hitunglah panjang ruas garis EM jika diketahui panjang rusuk kubus sama dengan 6 cm

4. ABC.DEF adalah prisma tegak segitiga. Bidang alas ABC merupakan segitiga siku-siku di titik A dengan AB = AC = 4 cm. Hitunglah jarak anatara garis AD dan bidang BEFC.

5. T.ABC adalah limas segitiga beraturan. Titik P adalah titik potong garis tinggi segitiga ABC. Buktikanlah TP adalah garis tinggi limas.

6. T.ABCD adalah limas segi empat. Alas ABCD berbentuk persegi. Rusuk TD tegak lurus bidang alas. Buktikanlah bahwa AC tegak lurus bidang BDT.

7. ABCD.EFGH adalah kubus dengan panjang rusuknya 8 cm. Hitunglah jarak antara titik G dan bidang BDE.

8. ABCD.EFGH adalah kubus dengan panjang rusuknya 6 cm. Hitunglah volum limas segitiga A.BDE.

9. ABCD.EFGH adalah kubus dengan panjang rusuknya 6 cm. Hitunglah volum benda ruang BDE.FCH.

10. T.ABCD adalah limas segi empat. Alas ABCD berbentuk persegi. Rusuk TD tegak lurus bidang alas. Buktikanlah bahwa AB tegak lurus bidang TAD.

KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR 4SUDUT PADA BANGUN RUANG

Proyeksi Titik Pada Bidang

Proyeksi titik A pada bidang , adalah titik kaki A1. Yaitu titik tembus garis melalui titik A yang etgak lurus bidang .Titik A disebut garis yang diproyeksikan.A1 disebut proyeksi titik A

A Gambar 35

A1

Proyeksi Garis Pada Bidang

Proyeksi garis pada bidang umumyaberupa garis juga. Proyeksi garis g pada bidang .Garis g 1 adalah proyeksi garis g pada Bidang .Jika garis g tegak lurus bidang , maka proyeksi garis g pada bidang berupa sebuah titik.

Sudut Antara Garis dan BidangSudut antara garis (yang tidak tegak lurus bidang) dan bidang adalah sudut antara garis dan proyeksinya pada bidang tersebut. G Sudut antara garis AB dan bidang

Adalah BAB1 tegak lurus bidang

Gambar 36 G1

Sudut Bidang DuaJika bidang dan berpotongan menurut garis Ab, maka bagian ruang yang dibatasi oleh bagian bidang , bagian bidang dan garis potong AB disebut bidang dua. Gambar 37 F E Gambar 37adalah gambar sudut bidang dua D.AB.E. Memberi nama sudut bidang dua

Dilakukan dengan menuliskan sebuah titik Pada bidang , titik, garis potongnya, titik,

A B Sebuah titik pada bidang . Seperti sudut bidang dua D.AB.E pada

Gambar. D CBidang AEFB dan bidang ADCB disebut sisi-sisi bidang dua D.AB.E. Garis Ab disebut rusuk bidang dua D.AB.E.

Bidang Tumpuan dan Sudut Tumpuan

Bidang yang dibuat tegak lurus bidang dua disebut bidang tumpuan. F M E

A K B

D L C Gambar 38

Bidang tumpuan sudut bidang dua D.AB.E memotong sisi-sisinya menurut garis KM dan KL. Karena rusuk AB tegak lurus bidang tumpuan, maka AB KM dan AB KL.MKL disebut sudut tumpuan sudut bidang dua D.AB.E.

Besar sudut bidang dua sama dengan besar sudut tumpuannya.Suatu sudut bidang dua disebut siku-siku, lancip, dan tumpul. Jika sudut tumpuannya berturut turut siku-siku, lancip, dan tumpul.Misalnya, sudut bidang dua disebut 60O, jika besar sudut tumpuannya 60O.

Dua Bidang Saling Tegak LurusDua bidang datar yang saling tegak lurus sesamanya adalah dua bidang yang merupakan sisi-sisi bidang dua siku-siku.

A

gambar 39 B

Jika garis AB tegak lurus bidang , maka setiap bidang yang dibuat melalui garis AB akan tegak lurus bidang .

Contoh …

T.ABCD adalah limas segi empat beraturan dengan rusuk alas 6 cm. Sisi tegak TAD membentuk sudut 60O dengan bidang alas ABCD.

Hitunglah volume limas tersebut.

Penyelesaian : Diketahui T.ABCD adalah limas segi empat beraturan dengan rusuk alas 6 cm. Sisi tegak

TAD membentuk sudut 60O dengan bidang alas ABCD.Ditanya : Volum limas T.ABCD.Jawab : Perhatikanlah gambar 40 T.ABCD adalah limas segi empat beraturan. Ruas garis TP adalah garis tinggi limas.

T

D C R P A B Gambar 40

Titik P adalah titik potong diagonal bidang alas.Titik R titik tengah rusuk AD, sehingga PR tegak lurus AD. Dengan demikian bidang TRP adalah bidang tumpuan, dan TRP adalah sudut tumpuan pada rusuk AD. TRP = 45O

Perhatikanlah TRPAB = 6 cm atau RP = 3 cm (diketahui)TRP = 60O (Sudut antara sisi tegak TAB dan bidang ABCD)TPR = 90O (TP garis tinggi limas)Volum limas T.ABCD = 1 (6)2 (33) cm3 = (363) cm3

3

Contoh …ABC.DEF adalah prisma miring dengan bidang alas segitiga sama sisi ABC dan sisi AB = 6 cm. Rusuk tegak AD = 12 cm, dan membentuk sudut 60O dengan bidang alas. Hitunglah volum prisma ABC.DEF.Penyelesaiannya :Diketahui prisma miring ABC.DEF dengan bidang alas segitga sama sisi ABC dan sisi AB = 6 cm. Rusuk tegak AD 12 cm, dan membentuk sudut 60O dengan bidang alas.Ditanya : Volum prisma ABC.DEF D FJawab :Perhatikanlah gambar 41 Segitiga ABC merupakan segitiga sama sisi. ERuas garis CN adalah garis tinggi segitiga ABC.Perhatikanlah ABC.

AC = 6 cm (diketahui)CAN = 60O (ABC sama sisi) A CCNA = 90O (CN garis tinggi ABC) p

N B gambar 41Kesimpulan CN = AC sin 60O

= 6. 3 = 33 cm 2

Luas ABC = 1 (6). 33 = 93 cm2

2 Tarik garis DP sebagai garis tinggi prisma. Garis AP adalah proyeksi rusuk AD pada bidang alas ABC, berarti DAP = 60O .Perhatikanlah DAP.

AD = 12 cm (diketahui)DAP = 60O (diketahui)DPA = 90O (DP adalah garis tinggi prisma)

Kesimpulannya DP = AD sin 60O

= cm

Volum prisma ABC. DEF = [ 93 ] . [ 63] cm3 = 162 cm3

Latihan 12

1. T. ABCD adalah limas segi empat beraturan dengan rusuk alas AB = 8 cm dan tinggi limas 12 cm. Jika sudut antara sisi tegak TDA dan bidang alas disebut , tentukanlah tg . Hitung juga luas sisi limas.

2. T. ABC adalah limas segitiga beraturan dengan rusuk alas 6 cm dan rusuk tegak 8 cm. Jika sudut antara rusuk tegak TA dan bidang alas disebut , tentukanlah cos .

3. Dari limas segitiga beraturan T.ABC diketahui bahwa sudut antara rusuk TA dan bidang alas ABC sama dengan 60O . Titik P pada rusuk TA dan PA = 10 cm. Hitunglah jarak antara titik P dan bidang alas ABC.

4. T. ABCD adalah limas segi empat beraturan dengan rusuk alas AB = 6 cm. Sisi tegak membuat sudut 60O dengan bidang alas. Tentukan juga luas sisi limas.

5. T. ABC adalah limas segitiga beraturan dengan rusuk alas 12 cm. Jika sudut antara rusuk tegak dan bidang alas 45O , hitunglah volume limas segitiga beraturan tersebut.

6. ABC.DEF adalah prisma segitiga dengan panjang rusuk AB = AC = 5cm dan panjang rusuk BC = 6 cm. Titik P adalah titik tengah rusuk BC. Titik P adalah proyeksi titik D pada bidang alas ABC. Jika sudut antara rusuk AD dan bidang alas ABC sama dengan 45o, hitunglah volum prisma tersebut.

7. Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Gambar dan hitunglah jarak antara titik A dan bidang DBG.

8. Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Titik K adalah titik potong diagobnal sisi EFGH. Jika sudut antara bidang BCK dan bidang alas ABCD disebut , hitunglah cos .

9. T.ABCD adalah limas segi empat beraturan. Titik-tik P, Q, R, dan S berturut-turut adalah titik tengah rusuk tegak TA, TB, TC, dan TD. Buktikanlah bahwa perbandingan Volum limas T.PQRS dan Volum limas T.ABCD 1 banding 8.

10. T. ABCD adalah limas segi empat beraturan dengan panjang rusuk alas 8 cm. Sudut antara rusuk tegak dan bidang alas sama dengan 60o. Hitunglah luas dan volum limas beraturan T.ABCD.

LUAS PERMUKAAN BANGUN RUANG

Jika suatu persegi panjang diputar mengelilingi salah satu sisinya maka bangun ruang yang terjadi disebut silinder atau tabung . Sedangkan jika suatu segitiga siku – siku diputar mengelilingi sisi siku – sikunya. Maka bangun ruang yang terjadi disebut kerucut

Gambar 1 gambar 2Contoh

Tentukan luas seluruh permukaan benda – benda berikut .1. Tabung yang tingginya 10 cm dan jari – jarinya 5 cm2. Limas ( piramida ) persegi dengan panjang sisi alas 20 cm dan tingginya 24 cm

Jawab :1.

Gambar 3

Jaring – jaring tabung ( silinder ) menunjukkan 2 tutup ( lingkaran ) dan selimut ( persegi panjang )

Panjang selimut adalah keliling tutupnya Luas permukaan tabung = luas selimut + luas tutup

= 2 rt + 2 r2

= 2 r ( t + r ) = 2 x 5 x ( 10 + 5 ) = 150

Jadi Luas permukaan tabung itu adalah 150 cm2

T

20 cm D C D C P O P P T A B A B

Limas T.ABCD beraturan, dengnan bidang alas persegi ABCD dan sisi tegak ( permukaan miring ) empat segi tiga sama kaki

Jaring – jaring limas menunjukkan alas ( persegi ) dan 4 segitiga yang kongruen

Luas permukaan limas = luas persegi + luas permukaan miring

Gunakan TOP untuk menentukan tinggi segitiga TBC yaitu :

TP ( P titik tengah BC )TP2 = TO2 + OP2

= 242 + 102

= 676 TP = 676 = 26

Luaspermukaan miring = 4 x luas TBC = 4 x ½ x 20 x 26 = 1040 cm2

Luas persegi ABCD = 202 = 400 cm2

Luas permukaan limas = 1040 + 400 = 1440 cm2

Jadi Luas permukaan limas adalah 1440 cm2

LATIHAN SOAL

1. Tentukan luas permukaan kubus dengan panjang rusuka. 1,5 m b. 6 cm c. 9 cm d. 18,25 m

2. Diketahui kubus dengan panjang rusuk 20 cm, dan kubus lain yang panjang rsuknya dua kali panjang rusuk tersebut. Tentukan :

a. Luas permukaan kubus kecilb. Luas permukaan kubus yang besarc. Dengan memperbesar ukuran rusuk kubus besar, berapa kali luas permukaan

kubus kecil akan meningkat ?

3. Tentukan luas permukaan pipa plastik dengan panjang 10 m dan diameter 10 cm, yang terbuka di kedua ujungnya ?

4. Panjang diagonal ruang suatu kubus adalah 82 cm. Hitunglah :a. panjang rusuknya b. panjang diagonal sisinyac. luas permukaannya.

5. Prisma segi 12 beraturan mempunyai rusuk alas 6 cm dan tingginya 10 cm , Hitunglah :

a. luas alas b. luas alas selimutc. luas permukaannya

6. Pada paralel epibedum ABCD. EFGH pada gambar di samping ABCD adalah persegi. AB = 6 cm , ABF = 600, BCGF adalah persegi panjang, dan BF = 10 cm. Hitunglah luas permukaannya.

7. Gambarlah kubus PQRS , EFGH dengan panjang rusuk 6 cm.a. Berapakah banyaknya diagonal sisi kubus PQRS, EFGH ? b. Tulislah nama –nama diagonal tersebut

8. Panjang suatu balok 6 kali tingginya dan lebar balok itu 3 kali tingginya.a. Hitunglah panjang diagonalnya balok terbut b. Hitunglah luas permukaan balok ( jumlah luas sisi – sisi balok ) terebut c. Hitunglah luas semua bidang diagonalnya

9. Luas bidang diagonal suatu kubus adalah 8 cm. Hitunglah panjang rusuk dan panjang diagonal ruangnya.

10. Panjang diagonal ruang suatu kubus adalah 12 cm. Hitunglah panjang diagonal sisinya

11. Panjang, lebar, dan tinggi suatu balok berurutan turun sepanjang 1 cm, Jika luas permukaanya 94 cm2, maka tentukan panjang, lebar dan tinggi balok terebut.

geometri 3 dimensi

Documents

Transcript of geometri 3 dimensi