GEOMETRI DENGAN WINGEOM - astramatika-unmul. · PDF file3.3 Pembelajaran Lingkaran dan Irisan...

GEOMETRI DENGAN WINGEOM

Panduan dan Ide Belajar Geometri dengan Komputer

M. Andy Rudhito, S.Pd., M.Si

Program Studi Pendidikan Matematika FKIP

Universitas Sanata Dharma

Yogyakarta 2008

iii

PRAKATA

Akhir-akhir ini pembelajaran dengan komputer memunculkan pembaharuan

dalam pembelajaran matematika di mana komputer digunakan sebagai alat bantu

berpikir atau mindtools. Siswa mengembangkan kerangka berpikirnya dengan

bantuan komputer. Peranan siswa dalam pemakaian komputer sebagai mindtools,

yaitu siswa mengeksplorasi kemampuan yang ada pada komputer dan komputer

membantu meningkatkan pemikiran dan pemahaman siswa. Pembelajaran yang

disajikan secara interaktif oleh komputer menuntut siswa merespon materi-materi

yang disediakan, sedangkan komputer akan menanggapi setiap respon yang

diberikan oleh siswa. Sebagai mindtools komputer bukan hanya jadi guru yang

memaparkan suatu materi tetapi juga sebagai ”partner” intelektual, membantu

siswa mengkonstruksi pengetahuannya, mendukung kemampuan eksplorasi siswa

pada suatu topik tetentu, dan membantu siswa memahami keterkaitan antar

konsep.

Program Wingeom merupakan suatu program aplikasi komputer yang

dirancang untuk mendukung pembelajaran geometri, baik dimensi dua maupun

dimensi tiga. Program ini dapat digunakan sebagai mindtools pada pembelajaran

geometri, di mana siswa dapat menggunakannya untuk mengembangkan kerangka

berpikir geometri dimensi. Dengan program Wingeom siswa dapat

mengeksplorasi, mengamati, melakukan animasi bangun-bangun dan tampilan

materi geometri dimensi. Program Wingeom diharapkan dapat membantu

memvisualisasikan suatu konsep geometri dengan jelas sehingga siswa akan lebih

mudah memahami konsep-konsep geometri.

Kemampuan program Wingeom dalam mendukung pembelajaran geometri

sangatlah luas. Dalam buku ini pembahasan difokuskan untuk pembelajaran

geometri di sekolah. Buku ini disusun dengan tujuan memberikan suatu panduan,

gambaran dan ide mengenai penggunaan program Wingeom dalam pembelajaran

geometri di sekolah. Sasaran pembaca dan pengguna buku ini adalah guru, calon

iv

guru, siswa, matematikawan, pengguna dan peminat matematika yang terkait

dengan geometri.

Penyusunan buku ini dengan pendekatan praktis, pengoperasian fasilitas

program Wingeom diberikan melalui contoh-contoh penggunaannya, dengan

maksud agar pembaca segera dapat mempraktekkannya dan istilah teknis dapat

dipelajari sambil digunakan secara langsung. Diberikan juga contoh-contoh

rancangan pembelajaran yang dapat digunakan di kelas maupun di laboratorium

komputer. Dalam buku ini disertakan juga CD yang berisi program Wingeom dan

file-file contoh yang dibahas.

Buku ini disajikan dengan sistematika sebagai berikut. Bab 1 membahas

tentang pengenalan program Wingeom dan fasilitasnya. Bab 2 membahas

pengoperasian program Wingeom 2-dim. Bab 3 membahas ide-ide kegiatan-

kegiatan pembelajaran yang dapat dilakukan dengan menggunakan program

Wingeom 2-dim. Bab 4 membahas pengoperasian program Wingeom 3-dim. Bab 5

membahas kegiatan-kegiatan pembelajaran yang dapat dilakukan dengan

menggunakan program Wingeom 3-dim. Bab 6 memberikan beberapa catatan

sebagai penutup.

Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih kepada DP2M Dikti

dan Kopertis Wilayah V yang telah memberikan dana penelitian kepada penulis

saat melakukan eksplorasi program, kepada para mahasiswa dan kolega di

Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma yang turut andil dalam

penyiapan materi buku ini, kepada para guru pada kesempatan penelitian dan

pelatihan bersama penulis yang telah memberikan umpan balik terhadap materi

yang pernah penulis berikan.

Yogyakarta, April 2008

Penulis

(e-mail: [email protected])

v

DAFTAR ISI

PRAKATA ................................................................................................... iii

DAFTAR ISI ................................................................................................ iv

BAB 1 PENGENALAN PROGRAM WINGEOM .................................... 1

1.1 Tentang Program Wingeom ...................................................... 2

1.2 Menginstall dan Menjalankan Program Wingeom ................. 3

1.3 Fasilitas Program Wingeom 2-dim ......................................... 7

1.4 Fasilitas Program Wingeom 3-dim ......................................... 20

BAB 2 PENGOPERASIAN PROGRAM WINGEOM 2-DIM ....................... 29

2.1 Titik, Garis dan Sudut ............................................................. 30

2.2 Segitiga dan Segiempat ............................................................ 42

2.3 Lingkaran dan Irisan Kerucut ................................................. 58

2.4 Latihan .................................................................................... 67

BAB 3 PEMBELAJARAN GEOMETRI DENGAN WINGEOM 2-DIM ... 68

3.1 Pembelajaran Garis dan Sudut ................................................. 70

3.2 Pembelajaran Segitiga dan Segiempat ..................................... 78

3.3 Pembelajaran Lingkaran dan Irisan Kerucut ........................... 97

3.4 Latihan ..................................................................................... 108

BAB 4 PENGOPERASIAN PROGRAM WINGEOM 3-DIM ................... 111

4.1 Kubus dan Balok .................................................................... 112

4.2 Prisma dan Limas .................................................................... 140

4.3 Kedudukan Titik, Garis dan Bidang ........................................ 148

4.4 Latihan .................................................................................... 161

BAB 5 PEMBELAJARAN GEOMETRI DENGAN WINGEOM 3-DIM ... 163

5.1 Pembelajaran Kubus dan Balok ............................................. 164

5.2 Pembelajaran Prisma dan Limas ............................................ 174

5.3 Pembelajaran Kedudukan Titik, Garis dan Bidang ............... 183

5.4 Latihan ................................................................................... 201

vi

BAB 6 PENUTUP ........................................................................................ 202

DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 204

GLOSARIUM ................................................................................................ 205

INDEKS .......................................................................................................... 209

1

BAB 1

MENGENAL PROGRAM WINGEOM

Setelah mempelajari bab 1 ini, diharapkan:

1. Pembaca mengenal secara umum Program Wingeom.

2. Pembaca dapat menginstall dan menjalankan Program Wingeom.

3. Pembaca mengenal fasilitas-fasilitas Program Wingeom 2-dim.

4. Pembaca mengenal fasilitas-fasilitas Program Wingeom 3-dim

Mengenal Program Wingeom 2

1.1 Tentang Program Wingeom

Program Wingeom merupakan salah satu perangkat lunak komputer

matematika dinamik (dynamic mathematics software) untuk topik geometri.

Program ini dapat digunakan untuk membantu pembelajaran geometri dan

pemecahan masalah geometri. Program Wingeom merupakan program yang dapat

diperoleh dan digunakan secara gratis (totally freeware ), dengan mengunduh

(download) dari website: (http://www.exeter.edu/public/peanut.html), seperti

dalam tampilan gambar berikut.

Gambar 1.1.1 Website Wingeom

Program Wingeom dibuat oleh Richard Parris. Program ini dijalankan under

windows. Secara umum ada dua versi Wingeom, yaitu yang dijalankan dengan

Windows 3.1 (versi compile terakhir: 2 Agustus 2001) dan yang dijalankan

dengan Windows 95/98/ME/2K/Vista (versi compile terakhir saat buku ini

disusun tangga 4 April 2008). Program Wingeom yang dibahas dan digunakan

dalam buku ini adalah versi compile 4 April 2008. Program ini selalu diupdate

fasilitas-fasilitasnya, yang dapat dilihat dalam website di atas.


Program ini memuat Program Wingeom 2-dim , untuk geometri dimensi

dua dan Wingeom 3-dim untuk geometri dimensi tiga, dalam jendela yang

terpisah. Di samping itu juga memuat Progroam untuk geometri hiperbolis dan

geometri bola. Fasilitas Program Wingeom yang cukup lengkap, baik untuk

dimensi dua maupun dimensi tiga. Salah satu fasilitas yang menarik yang dimiliki

program ini adalah fasilitas animasi yang begitu mudah. Misalnya benda-benda

dimensi tiga dapat diputar, sehingga visualisainya akan nampak begitu jelas.

1.2 Menginstall dan Menjalankan Program Wingeom

1.2.1 Menginstall Program

File program dapat diunduh dari website di atas. File program hasil

download dari internet berupa file: wg32z. ( 968 KB). File ini masih dalam bentuk

yang dipadatkan (compress), tapi file ini dilengkapi dengan Winzip self-extractor,

sehingga dengan mengklik dua kali pada file tersebut, akan muncul jendela kecil

seperti dalam gambar 1.2.1 di bawah ini.

Gambar 1.2.1 Jendela WinZip Self-Extractor

File akan diurai dan disimpan secara otomatis pada folder C:\peanut, dengan

mengklik unzip. Tetapi jika diinginkan file diurai dan disimpan pada folder yang

lain, dapat mengganti tulisan c:\peanut dengan alamat folder yang diinginkan, atau

dengan mengklik browse dan memilih folder, kemudian klik unzip. Selanjutnya


pada folder C:\peanut atau yang diinginkan tadi akan diperoleh satu file Wingeom

(berukuran sekitar 2,176 MB dengan type application), dan file program siap

dijalankan.

Dalam buku ini disertakan file program yang sudah diurai, sehingga tinggal

memindahkannya dalam harddisk dengan meng-copy-kan file ke folder yang

diinginkan, dan program siap dijalankan.

1.2.2 Menjalankan Program Wingeom

Dengan melakukan klik dua kali pada file yang telah didapatkan dengan cara

di atas, maka jendela program Wingeom akan muncul seperti dalam Gambar 1.2.2

di bawah ini.

Gambar 1.2.2 Tampilan Jendela Wingeom

Agar lebih mudah dalam membuka program dapat dibuat shortcut di desktop

Jendela utama Wingeom memuat dua menu utama yaitu Window dan Help.

Menu Window memuat beberapa submenu seperti yang tercantum pada Tabel

1.2.1 di bawah ini.


Tabel 1.2.1 Submenu pada Menu Window

Submenu Fungsi

2-dim Membuka program Wingeom untuk geometri dimensi dua.

3-dim Membuka program Wingeom untuk geometri dimensi tiga.

Hyperbolic Membuka program Wingeom untuk geometri hiperbolik

Sperical Membuka program Wingeom untuk geometri bola.

Voronai Membuka program Wingeom untuk diagram voronai.

Guess Membuka program Wingeom untuk memprediksikan macam-macam transformasi yang mungkin dengan menggunakan dua buah segitiga.

Tesselation Membuka program Wingeom untuk menampilkan macam–macam pengubinan dari bangun-bangun geometri dimensi dua.

RGB demo Membuka program Wingeom untuk simulasi pencampuran warna RGB.

Open last Membuka file yang terakhir dibuka saat program dijalankan kembali.

Use defaults Mengembalikan tampilan ke settingan awal.

Exit Keluar dari program Wingeom.

Menu Help terdiri dari submenu help, tips dan about. Submenu help beisi tentang

keterangan penggunaan program secara umum, submenu tips menampilkan tip-tip

dalam menjalankan program Wingeom, sedangkan submenu about berisi tentang

informasi identitas dan sumber program Wingeom. Tampilan jendela submenu

About dapat dilihat pada Gambar 1.2.3 berikut ini :

Gambar 1.2.3 Tampilan Menu About


Untuk menjalankan sub menu 2-dim dapat dilakukan dengan meng-klik:

Window > 2-dim (tanda “>” di sini berarti “dilanjutkan”), maka akan muncul

tampilan jendela 2-dim seperti Gambar 1.2.4 berikut.

Gambar 1.2.4 Tampilan Jendela 2-dim

Untuk menjalankan sub menu yang lain seperti 3-dim, Voronoi, Guess,

Tesselation, dapat dilakukan dengan cara yang sama seperti untuk 2-dim di atas.

Jika sub menu 3-dim dijalankan, maka akan muncul jendela dengan

tampilan seperti dalam Gambar 1.2.5 berikut:

Gambar 1.2.5 Tampilan Jendela 3-dim


1.3 Fasilitas Program Wingeom 2-dim

Jendela 2-dim, (program Wingeom untuk geometri dimensi dua),

menyediakan beberapa menu yang dapat dilihat dalam tampilan pada Gambar

1.2.4 di atas. Ada 13 menu dalam jendela 3-dim, yang akan dibahas secara ringkas

berikut ini.

1.3.1 File

Menu file memuat beberapa sub menu yang terkait dengan pengolahan file

seperti yang dirangkum dalam Tabel 1.3.1 di bawah ini. Secara umum setiap

menu dalam Program Wingeom diberikan suatu keterangan dalam sub menu Help

(untuk masing-masing menu).

Tabel 1.3.1 Menu File pada jendela 2-dim

Submenu Fungsi

New Membuat file wg2 baru.

Open Membuka file . wg2 yang tersimpan.

Save Menyimpan file wg2 yang sedang aktif.

Save as Menyimpan file wg2 yang aktif dengan nama baru.

Print Mencetak tampilan > gambar file wg2 yang sedang aktif.

Format Memformat tampilan yang akan di-print.

Select printer Mengatur tampilan kertas yang akan di-print dan option-option pada page setup.

Copy to clipboard

Mengkopi tampilan file wg2 yang sedang aktif dan menyimpannya dalam clipboard.

With back color

Mengkopi tampilan file wg2 yang sedang aktif wg2 dengan warna latar belakangnya.

High resolution Mengatur gambar dalam resolusi tinggi

Save as metafile

Menyimpan gambar sebagai file EMF

Image size Menampilkan ukuran gambar yang kita inginkan

Bitmap to clipboard

Mengkopi tampilan file wg2 yang sedang aktif sebagai file dalam format bitmap

Password Memberikan password pada file yang kita buat (simpan), untuk memproteksi beberapa pilihan.

Author Menampilkan keterangan nama pembuat file (akan muncul jika file diberi password)

Help Menampilkan informasi tentang keterangan menu file.

Keterangan: File Wingeom 2-dim disimpan dengan ekstensi wg2.


1.3.2 Point

Menu Point memuat sub menu yang terkait dengan penyusunan dan

pengoalahan titik, misalnya bagaimana Melukis titik, meletakan titik pada posisi

yang kita inginkan dan lain-lain. Keterangan tentang menu Point dicantumkan

dalam dapat dilihat dalam Tabel 3 di bawah ini.

Tabel 1.3.2 Menu Point pada jendela 2-dim

Submenu Fungsi

on Segment Melukis titik pada suatu ruas garis, dengan perbandingan tertentu

on Circle Melukis titik pada suatu ruas lingkaran, dengan sudut tertentu

in Triangle Melukis titik pada sebuah segitiga, dengan perbandingan tertentu terhadap sisi-sisinya

on Polygon Melukis titik pada sebuah segibanyak, dengan menggunakan mouse atau dengan menggunaakan koordinat

Coordinates Melukis bidang koordinat

Intersection Melukis titik potong garis dengan garis, lingkaran dengan lingkaran, garis dengan lingkaran, submenu berikut:

• Line-line

• Circ-circ

• Mixed

• Melukis titik potong garis dengan garis

• Melukis titik potong lingkaran dengan lingkaran

• Melukis titik potong garis dengan lingkaran

Random point Melukis ttik sembarang pada ruas garis atau lingkaran, submenu berikut:

• on-Segment

• on-circ

Melukis ttik sembarang pada ruas garis Melukis ttik sembarang pada lingkaran

Special Melukis titik-titik khusus, seperti titik pusat lingkaran dalam, lingkaran luar, titik fermat, dsb, submenu berikut:

• Circumcenter

• Incenter

• Orthocenter

• Fermat point

• Brocard point

• Polygon centroid

• Vertex centroid

• Melukis titik pusat lingkaran luar untuk segitiga (tiga titik) yang diberikan

• Melukis titik pusat lingkaran dalam untuk segitiga (tiga titik) yang diberikan

• Melukis titik potong garis tinggi untuk segitiga (tiga titik) yang diberikan

• Melukis titik Fermat untuk segitiga (tiga titik) yang diberikan, yaitu titik F (untuk segitiga ABC) yang meminimalkan AF + BF + CF.

• Melukis titik Brocard untuk segitiga (tiga titik) yang diberikan, yaitu titik P (untuk segitiga ABC) yang membuat sudut <PAB, <PBC dan <PCA sama besar

• Melukis titik berat segibanyak dengan merata-rata koordinat titik sudut segibanyak

• Melukis titik berat segibanyak dengan mencari pusat gravitasi segibanyak, dengan mengasumsikan poligon konveks.

Paste Menempelkan teks yang sudah disimpan dalam clipboard

Help Menampilkan informasi tentang menu Point.


1.3.3 Line

Menu Line memuat beberapa sub menu tentang penyusunan dan

pengolahan garis misalnya menggambar ruas garis, meletakkan ruas garis pada

posisi yang kita inginkan dan lain-lain. Keterangan tentang menu Linear dapat

dilihat dalam Tabel 1.3.3 di bawah ini.

Tabel 1.3.3 Menu Line pada jendela 2-dim

Submenu Fungsi

Segments Melukis ruas garis untuk 2 titik yang diberikan

Lines Melukis garis untuk 2 titik yang diberikan

Rays Melukis sinar garis untuk 2 titik yang diberikan

Parallels Melukis garis yang sejajar pada ruas atau garis dan melalui titik tertentu.

Angle Melukis sudut , submenu berikut:

• New angles

• Bisect old

• Melukis sudut baru dengan sinar asal dan besar sudut tertentu

• Melukis garis bagi sudut untuk sudut yang diberikan

Perpendiculars Melukis garis yang tegak lurus, submenu berikut:

• Altitudes

• Perp bisectors

• General

• Melukis garis yang tegak lurus sebuah garis dan dari titik tertentu.

• Melukis garis yang tegak lurus sebuah garis dan melalui titik tengah ruas garis tersebut.

• Melukis garis yang tegak lurus sebuah garis dan melalui titik tertentu.

Tangents Melukis garis singgung titik-lingkaran atau lingkaran-lingkaran, submenu berikut:

• Point-circ

• Circ-circ

• Point-conic

• Melukis garis singgung titik dan lingkaran

• Melukis garis singgung lingkaran dan lingkaran

• Melukis garis singgung titik dan conic (irisan kerucut)

Equation Melukis garis dengan menggunakan persamaan (axis harus aktif)

Vector sum Melukis jumlahan vector untuk 2 vektor dan titik asal yang diberikan

Extensions Melukis perpanjangan ruas garis yang telah diberikan

Help Menampilkan informasi tentang menu Line.

1.3.4 Circle

Menu Circle memuat beberapa sub menu tentang lingkaran. Menu Circle

dapat dijalankan jika ada lingkaran yang telah dibuat. Menu Circle dapat

digunakan untuk menambahkan bidang lengkung pada suatu bangun ruang.

Keterangan tentang menu Curved dapat dilihat dalam Tabel 1.3.4 di bawah ini.


Tabel 1.3.4 Menu Circle pada jendela 2-dim

Submenu Fungsi

Circumcircle Melukis lingkaran luar untuk tiga titik yang diberikan

Incircle Melukis lingkaran dalam untuk tiga titik yang diberikan

Radius-center Melukis lingkaran dengan titik pusat dan jari-jari atau titik yang diberikan, atau melukis busur dengan titik awal dan besar sudut atau titik akhir tertentu

Poincare Melukis busur Poincare pada suatu lingkaran

Excircle Melukis lingkaran diluar suatu segitiga yang menyentuh salah satu sisi dan menyentuh perpanjangan dua sisi yang lainnya.

Tangent circle Melukis tiga lingkaran yang saling bersinggungan dengan 3 titik yang diberikan sebagai titik pusat

Soddy circle Melukis lingkaran Soddy

Equation Melukis lingkaran dengan menggunakan persamaan (axis harus aktif)

Help Menampilkan informasi tentang menu Circle.

1.3.5 Unit

Menu Unit memuat beberapa sub menu untuk menampilkan bangun

bidang datar tertentu. Misalnya menggambar segitiga, segibanyak dengan ukuran

tertentu dan lain-lain. Keterangan tentang menu Unit dapat dilihat dalam Tabel

1.3.5 di bawah ini.

Tabel 1.3.5 Menu Unit pada jendela 2-dim

Submenu Fungsi

Triangle Melukis segitiga untuk beberapa besaran yang diberikan, submenu berikut:

• ASA

• SAS

• SSS

• HL

• Melukis segitiga dengan memberikan besar Sudut, Sisi, Sudut

• Melukis segitiga dengan memberikan besar Sisi, Sudut, Sisi

• Melukis segitiga dengan memberikan besar Sisi, Sisi, Sisi

• Melukis segitiga dengan memberikan besar Sisi miring dan Sisi lengan

Polygon Melukis segibanyak beraturan, jajaran genjang , layang-layang, bintang untuk beberapa besaran yang diberikan, submenu berikut:


• Melukis segibanyak beraturan dengan memberikan banyaknya sisi dan panjang sisi

• Melukis jajaran genjang dengan memberikan besar Sisi, Sudut, Sisi.

• Melukis trapesium sama kaki dengan memberikan besar Sisi, Sudut, Sisi.

• Melukis layang-layang dengan memberikan besar Sisi, Sudut, Sisi.

• Melukis bangun bintang dengan memberikan banyak titik, keterhubungan dan panjang sisi

• Menempelkan sebanyak pada ruas garis yang diberikan, aturan pelabelan mengikuti arah jarum jam

• Regular

• Parallelogram

• Isosceles trapezoid

• Kite

• Star

• Attach � Regular � Figure

� Menempelkan segibanyak beraturan pada ruas garis yang diberikan

� Menempelkan segibanyak pada ruas garis yang diberikan

Random Melukis berbagai bangun datar sembarang, submenu berikut

• Triangle

• Circle

• Isosceles triangle

• Right triangle

• Rectangle

• Parallelogram

• Rhombus

• Kite

• Inscribed polygon

• Convex polygon

• Trapezoid

• Isosceles trapezoid

• Coaster

• Melukis segitiga sembarang

• Melukis lingkaran sembarang

• Melukis segitiga samakaki sembarang

• Melukis segitiga siku-siku sembarang

• Melukis persegi panjang sembarang

• Melukis jajaran genjang sembarang

• Melukis belah ketupat sembarang

• Melukis laying-layang sembarang

• Melukis segi banyak sembarang dengan memberikan banyak titik sudut, yang titik sudutnya menyentuh lingkaran yang melingkupinya

• Melukis segi banyak konveks sembarang

• Melukis trapesium sembarang

• Melukis trapezium sama kaki sembarang

• Menampilkan berbagai daerah bangun segibanyak

Segment Melukis ruas garis dengan panjang tertentu

Grid Melukis kisi dengan besaran-besaran tertentu yang diberikan

3-Point conics Melukis irisan kerucut dengan diketahui 3 titik tertentu

5-Point conics Melukis irisan kerucut yang melaui 5 titik

Array of circles Melukis barisan lingkaran

• Rectangular

• Triangle

• Chain

• Melukis barisan lingkaran dalam bentuk baris dan kolom

• Melukis barisan lingkaran dalam bentuk segitiga

• Melukis barisan lingkaran dalam bentuk rantai

Duplicate Menduplikasi gambar dengan perbesaran tertentu

Help Menampilkan informasi tentang menu Unit.

1.3.6 Transf


Menu Transf memuat beberapa sub menu perintah transformasi yang dapat

kita lakukan pada bangun datar. Misalnya merotasikan suatu segitiga dengan

pusat rotasi tertentu dan besar sudut tertentu, mentranslasikan ruas garis, dan lain-

lain. Keterangan tentang menu Transf dan fungsi submenu di dalamnya dapat


Tabel 1.3.6 Menu Transf pada jendela 2-dim

Submenu Fungsi

Translate Melukis hasil translasi suatu bangun dengan perbesaran dan arah tertentu

Rotate Melukis hasil rotasi suatu bangun dengan pusat, sudut dan perbesaran tertentu

Dilatate Melukis hasil dilatasi suatu bangun dengan pusat, sudut dan perbesaran tertentu

Glide-reflect Melukis hasil pencerminan-geser suatu bangun dengan pergeseran dan arah tertentu

Last repeat Mengulang transformasi terakhir yang dilakukan

Mirror Melukis hasil pencerminan suatu bangun dengan sumbu cermin suatu ruas garis tertentu

Invert Melukis hasil pencerminan suatu bangun dengan sumbu cermin suatu lingkaran tertentu

Save labels Selalu menuliskan label hasil transformasi, meskipun berimpit

Atribute copy Mempertahankan atribut yang sudah dibuat dalam hasil transformasinya

Fill copy Mempertahankan pewarnaan daerah bangun datar dalam hasil transformasinya

Help Menampilkan informasi tentang menu transf.

1.3.7 Edit

Menu Edit memuat beberapa sub menu tentang peng-edit-an, penambahan

atribut dan pengaturan tertentu. Misalnya membatalkan pekerjaan yang baru saja

dilakukan, menghapus titik yang telah dibuat dan lain-lain. Keterangan tentang

menu Edit dapat dilihat dalam Tabel 1.3.7 di bawah ini :

Tabel 1.3.7 Menu Edit pada jendela 2-dim

Submenu Fungsi

Undo Membatalkan pekerjaan yang baru saja dilakukan.

Redo Menampilkan kembali pekerjaan yang baru saja dibatalkan.

Labels Memuat beberapa sub menu peng-editan pada label bangun datar yang sudah dibuat, submenu berikut:


• Letters on/of

• Home

• Offset

• Font

• Opaque

• Color

• Move color

• Swap

• Dot mode

• Bullet size

• Individual

• Menampilkan atau tidak menampilkan label titik

• Menampilkan label titik pada posisi semula

• Menampilkan label agar tidak berimpit dengan titik

• Mengatur jenis dan ukuran font label

• Menampilkan label di atas titik

• Mengatur warna label

• Mengatur warna label titik saat titik digeser

• Menukar label dua buah titik

• Mengatur tampilan noktah suatu titik

• Mengtur ukuran noktah suatu titik

• Mengatur pilihan tampilan noktah untuk titik-titik tertentu

Highlights Memuat beberapa sub menu peng-editan pada bangun datar yang sudah dibuat, submenu berikut:

• Line attributes

• Circle attributes

• Fill region

Mengatur ketebalan, warna dan gaya garis Mengatur ketebalan, warna dan gaya lingkaran Mewarnai atau mengarsir suatu poligon atau lingkaran

• Marking

� tick � arrow � angle arch � perp bracket � ray/vector � directed angle

• Memberikan tanda-tanda tertentu pada bangun datar, dengan type berikut: � garis pendek di tengah garis � mata panah di tengah garis � tanda sudut � tanda sudut � tanda panah pada ujung sinar atau vektor � tanda sudut berarah

• Tick length

• Arrowlength

• Arc radius

• Braket length

• Mengatur ukuran garis pendek di tengah garis

• Mengatur ukuran mata panah di tengah garis

• Mengatur ukuran tanda sudut

• Mengatur ukuran tanda sudut

Delete Menghapus obyek yang sudah dibuat seperti titik, garis dan lingkaran, submenu berikut

• Point

• Line

• Circle

• All line

• Text

• Menghapus titik yang dipilih

• Menghapus garis yang dipilih

• Menghapus lingkaran yang dipilih

• Menghapus semua garis

• Menghapus semua text

Pen attributes Mengatur ketebalan, gaya dan warna gambar

Coordinates Melukis titik dengan memasukkan koordinatnya

Header ... Menuliskan text yang akan muncul dibagian atas history.

Decimal ... Mengatur tempat desimal pada menu measurement.

Function ... Mendefinisikan suatu fungsi

Macro Mendefinisikan suatu makro

• Define

• Open macro window

• Apply

• Undo

• Mendefinisikan macro

• Membuka jendela macro

• Menggunakan macro

• Membatalkan macro


• Replay • Menjalankan kembali macro

Randomize Menampilakan gambar baru secara acak.

Help Menampilkan informasi tentang menu edit.

1.3.8 Measurement

Menu measurement digunakan untuk mencantumkan ukuran-ukuran

tertentu yang dapat ditampilkan pada jendela wg2. Misalnya ukuran panjang suatu

ruas garis, jarak antara dua titik, luas suatu bidang dan lain-lain. Perintah

diketikan pada jendela meas yang tampil. Keterangan tentang perintah pada menu

Meas dapat dilihat dalam Tabel 1.3.8 di bawah ini :

Tabel 1.3.8 Perintah pada Menu Meas pada jendela 2-dim

Perintah (misalkan) Ukuran yang ditampilkan

AB panjang ruas garis AB

<ABC besar sudut ABC

ABC luas daerah ABC

ABCDE luas daerah ABCDE

AB+BC panjang ruas garis AB ditambah panjang ruas garis BC

[per](ABCD) keliling segibanyak ABCD

AB/AC rasio panjang AB dan AC

AB*AC panjang AB kali panjang AC

[sq](AB) akar dari panjang AB

A koordinat titik A

[x](A) absis titi A

[sin](<ABC) nilai sinus sudut ABC

[arc](ABC) panjang busur dengan jari-jari BA dan sudut pusat ABC

[pie](AB) luas daerah lingkaran dengan jar-jari AB

[pie](ABC) luas daerah bagian lingkaran dengan jari-jari BA dan sudut pusat ABC

[slope] (A,B) gradien garis AB

[eqn](A, B) persamaan garis dengan gradien dan titik potong sumbu-y untuk ruas garis AB.

[rad](<ABC) ukuran radian untuk sudut ABC

[pi] menampilkan nilai pi

[phi] menampilkan nilai golden rasio

[per](A->K) keliling segi banyak ABCDEFGK

Dengan cara yang sama dapat juga berlaku untuk fungsi-fungsi: cos, tan,

sec, csc, cot, arcsin, arcos, arctan, sq (square), sqr (square root), int, frac, sgn,


abs, exp, ln, log. Untuk mode-radian digunakan perintah: sinr, cosr, tanr, secr,

cscr, cotr, arcsinr, arccosr, arctanr.

1.3.9 Btns

Menu Btns memuat beberapa sub menu tentang buttons, yaitu menu untuk

mengatur fungsi “klik” kanan dan kiri pada mouse. Keterangan tentang menu Btns

dapat dilihat dalam Tabel 1.3.9 di bawah ini :

Tabel 1.3.9. Menu Btns pada jendela 2-dim

Submenu Fungsi

Segments Mengatur fungsi mouse untuk melukis ruas garis

Rays Mengatur fungsi mouse untuk melukis sinar garis

Lines Mengatur fungsi mouse untuk melukis garis

Circles Mengatur fungsi mouse untuk melukis lingkaran

Drag vertices Mengatur fungsi mouse untuk menggerakkan titik

Text Mengatur fungsi mouse untuk menuliskan text

tie text Mengikat text pada

opaque background Text berada di depan bidang gambar (tidak tembus)

hyphen�� ASCII Mengatur tanda hubung dengan karakter ASCI tertentu

text angle Sudut kemiringan text (derajat)

font Membuka jendela font, untuk memilih font

Paste from clipboard Mengatur fungsi mouse untuk menempelkan obyek yang tersimpan dalam clipboard

XY coords Mengatur fungsi mouse untuk menempatkan titik yang di-klik di tengah-tengah bidang koordinat

Rotation Mengatur fungsi mouse untuk menempatkan titik sebagai rotasi titik-titik di sekitarnya

Toolbar Memunculkan jendela toolbar

Lattice-point mode Melukis titik-titik yang ada ke dalam koordinat-koordinat bulat terdekat.

Enable deletion by redrawing

Mempertahankan fungsi mouse yang telah dilakukan untuk penggambaran ulang

Randomize sliding points Mengacak letak titik yang ada pada ruas garis atau lingkaran

Help Menampilkan informasi tentang menu Btns

1.3.10 View


Menu View memuat beberapa sub menu tentang tampilan gambar yang

kita buat. Keterangan tentang menu View dapat dilihat dalam Tabel 1.3.10 di

bawah ini :

Tabel 1.3.10 Menu View pada jendela 2-dim

Submenu Fungsi

Window Menempatkan gambar di tengah-tengah jendela

View Mengatur titik tengah dan lebar jendela

Zoom Memperbesar atau memperkecil tampilan gambar, submenu berikut:

• In

• Out

• Factor

• Memperbesar tampilan gambar

• Memperkecil tampilan gambar

• Memperbesar atau memperkecil tampilan gambar dengan memasukkan faktor dilatasi

Shift Mengeser gambar , submenu berikut:

• Right

• Left

• Up

• Down

• Percentage

• Mengeser gambar ke kiri

• Mengeser gambar ke kanan

• Mengeser gambar ke bawah

• Mengeser gambar ke atas

• Mengatur prosentase pergeseran gambar dengan layar

Last window Mengembalikan jendela pada pengaturan sebelumnya

Grid Mengatur tampilan bidang koordinat dan kisi-kisinya, submenu berikut:

• axes

• ticks

• interval

• scale

• places

• frequency

• pi

• arrows

• dots

• labels

• tick length

• rectangular grid

• polar grid

• apply

• Pilihan menampilkan sumbu

• Pilihan menampilkan tanda strip pada sumbu

• Jarak antara dua tanda strip

• Pilihan menampilkan bilangan pada strip

• tempat desimal yang diinginkan untuk bilangan pada strip

• pilihan jarak bilangan yang ditampilkan pada strip (1= setiap strip)

• pilihan menampilkan bilangan pada strip dalam pi

• pilihan menampilkan tanda panah pada ujung sumbu koordinat

• pilihan menampilkan tanda putus-putus pada kisi koordinat

• pilihan menampilkan label sumbu koordinat

• mengatur panjang strip pada sumbu koordinat

• pilihan menampilkan koordinat kartesius siku-siku

• pilihan menampilkan koordinat kutup

• memerintahkan pilihan yang telah dilakukan

Axes Menampilkan dan mengatur pilihan sumbu koordinat, sub menu berikut:

• Axes

• Color

• Screen thickness

• Printed thickness

• Menampilkan sumbu koordinat

• Mengatur warna sumbu koordinat

• Mengatur ketebalan sumbu koordinat

• Mengatur ketebalan sumbu koordinat saat diprint


• Label font • Mengatur font label label sumbu koordinat

Gridlines Memodifikasi ketebalan dan warna ruas kisi-kisi bidang koordinat

• Color

• Screen thickness

• Printed thickness

• Mengatur warna kisi koordinat

• Mengatur ketebalan kisi koordinat

• Mengatur ketebalan kisi koordinat saat diprint

Help Menampilkan informasi tentang menu View

1.3.11 Anim

Menu Anim digunakan untuk menjalankan animasi yang telah dibuat.

Bentuk animasi tergantung pada perintah lain yang dimasukan seperti pada menu

Transf. Keterangan tentang menu Anim dapat dilihat dalam Tabel 1.3.11 di

bawah ini.

Tabel 1.3.11 Menu Anim pada jendela 2-dim

Submenu Fungsi

# slider Mengatur dan menjalankan animasi yang dibuat menggunakan # slider, dengan submenu berikut

• Set L

• Set R

• reverse

• cycle

• forward

• time

• vert at

• stop at

• Mengatur nilai parameter paling kecil / paling kiri (untuk slide bar)

• Mengatur nilai parameter paling besar / paling kanan (untuk slide bar)

• Menjalankan animasi dengan mode mundur secara bolak-balik

• Menjalankan animasi dengan mode maju secara bolak-balik

• Menjalankan animasi dengan mode berulang secara terus menerus

• Menjalankan animasi dengan menurut waktu (1 unit perdetik)

• Mengatur titik yang akan mempunyai jejak dalam animasi

• Menghentikan animasi pada parameter tertentu yang diberikan.

$ slider Mengatur dan menjalankan animasi yang dibuat menggunakan $ slider.

@ slider Mengatur dan menjalankan animasi yang dibuat menggunakan @ slider.

& Slider Mengatur dan menjalankan animasi yang dibuat menggunakan & slider.


% slider Mengatur dan menjalankan animasi yang dibuat menggunakan % slider.

? slider Mengatur dan menjalankan animasi yang dibuat menggunakan ? slider.

t slider Mengatur dan menjalankan animasi yang dibuat menggunakan t slider.

Calibrate scrollbar Mengatur langkah gerakan scrollbar pada menu Anim.

Autopilot link Menjalankan dua atau lebih slider bersama-sama.

Tracing Mengatur jejak hasil suatu gerakan titik pada animasi

Retrace Menggambar kemabali semua tracing yang sudah dibuat

Monitor tracings Melihat kembali tracing yang telah dilakukan

Temporary tracing Membuat hasil tracing yang sifatnya sementara (tidak disimpan)

Color Memberi warna jejak pada tracing yang dibuat

Graph window Menampilkan jendela graph window (hanya dapat difungsikan jika paling sedikit ada dua ukuran pada menu meas yang dilawankan)

Help Menampilkan informasi tentang menu Anim

1.3.12 Other

Menu other memuat beberapa sub menu tambahan yang berisi aksesoris

tampilan. Keterangan lebih lengkap tentang menu Other dapat dilihat dalam Tabel

1.3.12 di bawah ini.

Tabel 1.3.12 Menu Other pada jendela 2-dim

Submenu Fungsi

List Menampilkan daftar unsur-unsur yang terdapat dalam bangun datar yang telah kita buat antara lain titik-titik, ruas garis, lingkaran, langkah-langkah pengerjaan dan membuat catatan.

• Point

• Lines

• Circles

• History

• Notebook

• Menampilkan koordinat titik yang telah dibuat

• Menampilkan persamaan garis yang telah dibuat

• Menampilkan titik pusat panjang jari-jari dan persamaan lingkaran yang telah dibuat

• Menampilkan keterangan tentang pengerjaan yang telah dilakukan

• Membuat catatan

3D solid Melukis prisma atau limas dengan segibanyak yang ditentukan sebagai alas

• Prism

• Pyramid

• Menggambar prisma dengan bangun datar yang dipilih sebagai alas

• Menggambar limas dengan bangun datar yang dipilih sebagai alas

Fonts Mengatur font yang ingin ditampilkan pada submenu berikut


• Measurements

• ASCII values

• Tables and lists

• Scale on axes

• Pi symbol

• Mengatur font untuk measurement

• Mengatur nilai ASCII untuk simbol-simbol tertentu

• Mengatur font untuk tables dan list

• Mengatur font untuk bilangan pada sumbu koordinat

• Mengatur nilai ASCII untuk simbol pi

Colors Memilih warna yang kita inginkan pada submenu berikut:

• Background

• Bounce

• Measurement

• Dotted lines

• Color them

• Fill mix modes � Opaque � XOR � Not XOR � Lunch

• Memilih warna latar belakang

• Memilih warna bounce

• Memilih warna untuk font measurement

• Memilih warna untuk garis putus-putus

• (tidak ada keterangan)






Measurement Mengatur letak tampilan dan satuaan ukuran dari menu meas, submenu berikut

• Home positions

• Show unit

• Mengatur letak tampilan besaran dari meas di posisi awal (kiri atas)

• Menampilkan satuaan besaran dari meas.

Data Menyimpan data measurement hasil dari perubahan parameter dalam bentuk data array.

• Collect

• Inspect

• Width

• Zero

• Mengumpulkan data

• Menampilkan data

• Mengatur panjang karakter data

• Menghapus data

Negative angles Mengatur besar sudut dalam ukuran negatif

CCL angles Mengatur arah sudut dalam arah berlawanan arah jarum jam

Autoextend Memperpanjang ruas garis hingga nampak berpotongan dengan garis lain

Replay in slow motion

Menampilkan kembali proses pengerjaan yang telah dilalukan

Bounce Menampilkan jejak pantulan bola dengan vector asal tertentu

Thicken print Mengatur ketebalan tambahan saat di-print

Solid arrowheads Menampilkan ujung panah yang tegas

Simulprint Mencetak beberapa file sekaligus

PiCTeX file Mengubah file ke dalam ekstensi *.tex

Help Menampilkan informasi tentang menu Other

1.3.13 Help

Menu help menampilkan beberapa catatan umum tentang program Wingeom

untuk geometri dimensi dua (2-dim).


1.4 Fasilitas Program Wingeom 3-dim

Jendela 3-dim, (program Wingeom untuk geometri dimensi tiga),

menyediakan beberapa menu yang dapat dilihat dalam tampilan pada Gambar

1.2.5 di atas. Ada 13 menu dalam jendela 3-dim, yang akan dibahas secara ringkas

berikut ini.

1.4.1 File.

Menu file memuat beberapa sub menu yang terkait dengan pengolahan file

sama seperti pada jendela 2-dim. File Wingeom disimpan dengan ekstensi wg3.

1.4.2 Point

Menu Point memuat sub menu yang terkait dengan penyusunan dan

pengoalahan titik, misalnya bagaimana menggambar titik, meletakan titik pada

posisi yang kita inginkan dan lain-lain. Keterangan tentang menu Point

dicantumkan dalam dapat dilihat dalam Tabel 1.4.1 di bawah ini.

Tabel 1.4.1 Tabel menu Point pada jendela 3-dim

Submenu Keterangan

Coordinates (absolute) Menampilkan koordinat x, y, z dan menyediakan fasilitas untuk membuat koordinat baru dengan mengisi kotak edit x, y, z pada jendela dialog coordinates for new point.

1 relative coordinate Menggambar titik yang letaknya relatif terhadap suatu ruas garis.

2 relative coordinates Menggambar titik yang letaknya relatif terhadap dua ruas garis.

3 relative coordinates Menggambar titik yang letaknya relatif terhadap tiga ruas garis..

on Circle Menggambar titik pada suatu lingkaran pada suatu bangun ruang dengan sudut tertentu pada koordinat sudut

on Polygon Menggambar titik suatu pada segibanyak pada suatu bangun ruang dengan koordinat tertentu

Intersection of line and….

• Plane

• curved surface

• Menggambar titik potong antara garis dengan bidang datar.

• Menggambar titik potong antara garis dengan


bidang lengkung.

Paste coordinates Menempelkan coordinat dalam clipboard ke dalam teks pada program pengolah kata yang lain

Latittude-longitude Menampilkan titik dengan garis bujur dan garis lintangnya, dsb, pada koordinat bola.

Help Menampilkan informasi tentang menu point.

1.4.3 Linear.

Menu Linear memuat beberapa sub menu tentang penyusunan dan

pengolahan garis misalnya menggambar ruas garis, meletakkan ruas garis pada

posisi yang kita inginkan dan lain-lain. Keterangan tentang menu Linear dapat


Tabel 1.4.2. Tabel menu Linear pada jendela 3-dim

Submenu Keterangan

Segmen or face Menggambar ruas garis atau bidang sisi yang kita inginkan.

Perpendiculars

• point to Line

• point to Plane

• Plane Normal

• Menggambar garis tegak lurus dari suatu titik ke suatu garis.

• Menggambar garis tegak lurus dari suatu titik ke suatu bidang.

• Menggambar garis tegak lurus dari suatu titik ke suatu bidang normal

Vector Sum Menggambar jumlahan dua vektor dengan titik awal tertentu

Cutting plane

Menggambar hasil irisan suatu bidang yang diberikan pada suatu bangun ruang .

Dihedral Menambahkan segibanyak pada segibanyak yang sudah ada dengan sudut tertentu

Convex hull Menggambar bidangbanyak konvek terkecil dari sejumlah titik yang diberikan.

Help Menampilkan informasi tentang menu linear.

1.4.4 Curved.

Menu Curved memuat beberapa sub menu tentang bidang lengkung. Menu

Curved dapat dijalankan jika ada titik-titik yang mungkin, yang dibutuhkan untuk

menggambar bidang lengkung. Menu Curved dapat digunakan untuk

menambahkan bidang lengkung pada suatu bangun ruang. Keterangan tentang

menu Curved dapat dilihat dalam Tabel 1.4.3 di bawah ini.


Tabel 1.4.3 Tabel Menu Curved pada jendela 3-dim

Submenu Keterangan

Sphere

• Circumsphere

• inscribe in Tetrahedron

• inscribe in Cone

• Dandelin

• Radius-center

• Segment

• Latitude circle

• Meridian

• Great circle

• Tangent-point circle � Point-sphere � Sphere-sphere

Menggambar bola

• Menggambar bola luar dari titik-titik tak sebidang yang diberikan.

• Menggambar bola dalam suatu bidangbanyak yang diberikan

• Menggambar bola dalam suatu kerucut yang diberikan

• Menggambar bola dalam suatu kerucut yang dipotong suatu bidang di mana bola menyentuh bidang potong.

• Menggambar bola dengan memberikan titik pusat dan jari-jari.

• Menggambar bola dengan memberikan titik pusat, kutub utara dan diameter.

• Menggambar bola dengan memberikan titik pusat, kutub utara dan garis lintang

• Menggambar bola dengan memberikan titik pusat, kutub utara dan garis bujur

• Menggambar bola dengan memberikan titik pusat dan dua titik pada suatu bola

• Menggambar titik-titik singgung garis-garis dengan bola yang � ditarik dari titik di luar bola � ditarik dari bola yang lainnya

Cone Menggambar kerucut dengan memberikan pusat, jari-jari dan titik yang dilalui

Frustum Menggambar kerucut terpancung dengan memberikan pusat, jari-jari dan titik yang dilalui

Cylinder Menggambar tabung dengan memberikan pusat, jari-jari dan titik yang dilalui

Disk Menggambar daerah lingkaran. dengan memberikan pusat, jari-jari dan titik yang dilalui

Intersection Menggambar perpotongan bola dengan bola atau bola dengan kerucut.

Help Menampilkan informasi tentang menu curved.

1.4.5 Unit

Menu Unit memuat beberapa sub menu untuk menampilkan gambar ruang.

Misalnya menggambar kubus dengan ukuran tertentu, menggambar kerucut

dengan ukuran tertentu, dan lain-lain. Keterangan tentang menu Unit dapat dilihat

dalam Tabel 1.4.4 di bawah ini.


Tabel 1.4.4 Tabel menu Unit pada jendela 3-dim

Submenu Keterangan

Polyhedral

• Classics

• Prism

• Pyramid

• Antiprism

• Box

• Spherical

• Tetrahedron

• Pyramid of cubes

• Vertex type

• Random � Prism � Pyramid � Tetrahedron

Memvisualisasikan macam-macam bangun ruang bidang datar.

• Menggambar bangun-bangun ruang klasik, seperti Platonic, Archimedean, dsb.

• Menggambar Prisma, dengan jumlah sisi alas, panjang sisi dan tinggi.

• Menggambar Limas, dengan jumlah sisi alas, panjang sisi dan tinggi.

• Menggambar AntiPrisma, yaitu seperti prisma tetapi sisi alas dan sisi atas bersilangan, dengan jumlah sisi alas, panjang sisi dan tinggi.

• Menggambar Balok, dengan memberikan panjang sisi-sisinya.

• Menggambar pendekatan bola dengan menggu-nakan bangun datar.

• Menggambar bidang empat dengan memberikan alas dan sisi.

• Menggambar bentuk piramid dari sejumlah kubus dengan tingkat tertent

• Menggambar bidang banyak dengan mendefinisikan banyaknya bidang dan sisi yang bertemu.

• Menggambar bangun ruang sembarang untuk � Prisma � Limas � Bidang empat

Surface

• Cylinder

• Cone

• Frustum

• Sphere

• Hemisphere

• Array of Sphere � Square pyramid � Triangular

pyramid � Cube

• Disk

Memvisualisasikan bangun ruang bidang lengkung.

• Menggambar tabung dengan memberikan jari-jari dan tinggi.

• Menggambar kerucut dengan memberikan jari-jari dan tinggi.

• Menggambar kerucut terpancung dengan memberikan jari-jari atas, bawah dan tinggi.

• Menggambar bola dengan memberikan jari-jari

• Menggambar setengah bola dengan memberikan jari-jari

• Menggambar suatu susunan bola � Menggambar susunan bola dengan bentuk

piramid persegi dengan tingkat tertentu � Menggambar susunan bola dengan bentuk

piramid segitiga dengan tingkat tertentu � Menggambar susunan bola dengan bentuk

kubis dengan tingkat tertentu

Duplicate Menduplikat suatu bangun ruang yang telah dibuat.

Attach copy Mengcopy suatu bangun ruang yang dibuat.

Help Menampilkan informasi tentang menu unit.


1.4.7 Transf

Menu Transf memuat beberapa sub menu perintah transformasi yang dapat

kita lakukan. Misalnya merotasikan suatu kubus dengan sumbu rotasi tertentu dan

besar sudut tertentu, merotasikan salah satu sisi pada suatu bangun ruang, dan

lain-lain. Dalam menjlankan rotasi menggunakan aturan tangan kanan, misalnya

jika arah sumbu rotasi naik maka arah rotasi melawan arah jarum jam, jika arah

sumbu rotasi turun maka arah rotasi melawan arah jarum jam. Keterangan

tentang menu Transf dapat dilihat dalam Tabel 1.4.5 di bawah ini :

Tabel 1.4.5 Tabel menu Transf pada jendela 3-dim

Submenu Keterangan

Translate Menggambar bayangan suatu bangun ruang.

Rotate Memutar bangun ruang dengan sumbu putar tertentu dan besar sudut tertentu.

Dilatate Menggambar dilatasi pada suatu bangun ruang.

Last repeat Mengulang perintah transformasi terakhir yang dilakukan pada suatu bangun.

Mirror Menggambar pencerminan pada suatu bangun ruang

Normal translate Menggambar bayangan suatu bangun ruang.

Save labels Menyimpan label supaya tidak berubah.

Atribute copy

Help Menampilkan informasi tentang menu transf.

1.4.7 Edit

Menu Edit memuat beberapa sub menu tentang peng-edi-tan. Misalnya

membatalkan pekerjaan yang baru saja dilakukan, menghapus titik yang telah

dibuat dan lain-lain. Keterangan tentang menu edit dapat dilihat dalam Tabel 1.4.6

di bawah ini :

Tabel 1.4.6 Tabel menu Edit pada jendela 3-dim

Submenu Keterangan

Undo Membatalkan pekerjaan yang baru saja dilakukan.

Redo Menampilkan kembali pekerjaan yang baru saja dibatalkan.

Linear elements Memuat beberapa sub menu peng-editan pada garis


dan bidang sisi.

Curved elements Memuat beberapa sub menu peng-editan pada garis lengkung dan bidang lengkung.

Coordinates Meng-edit titik koordinat.

Point delete Menghapus titik yang telah dibuat.

Text delete Menghapus teks yang telah dibuat.

All faces delete Menghapus semua sisi yang telah dibuat.

Header Meng-edit judul history.

Decimal places Meng-edit tempat desimal pada menu measurement.

Function Meng-edit tampilan fungsi yang telah kita buat.

Macro Serangkaian instruksi dalam history dari suatu bangun, yang dapat diterapkan untuk bangun yang lain

• Define

• Open macro window

• Apply

• Undo

• Replay

Mendefinisikan macro Membuka jendela macro Menggunakan macro Membatalkan macro Menjalankan kembali macro

Randomize Menampilakan gambar baru secara acak.

Help Menampilkan informasi tentang menu edit.

1.4.8 Measurement

Menu measurement digunakan untuk mencantumkan ukuran-ukuran

tertentu yang dapat ditampilkan pada obyek geometri. Keterangan sama dengan

pada jendela 2-dim.

1.4.9 Btns

Menu Btns memuat beberapa sub menu tentang buttons. Keterangan

tentang menu Btns dapat dilihat dalam Tabel 1.4.7 di bawah ini :

Tabel 1.4.7 Tabel menu Btns pada jendela 3-dim

Submenu Keterangan

Slide point Meng-edit koordinat.

Text Menampilkan jendela untuk membuat teks.

Paste clipboard Menempelkan suatu copy-an clipboard

XYZ cords Menampilkan titik-titik koordinat.

Toolbar Memunculkan jendela toolbar

Help Menampilkan informasi tentang menu Btns


1.4.10 View

Menu View memuat beberapa sub menu tentang tampilan gambar yang

kita buat. Keterangan tentang menu View dapat dilihat dalam Tabel 1.4.8 di

bawah ini.

Tabel 1.4.8 Tabel menu View pada jendela 3-dim

Submenu Keterangan

Display Mengatur mode tampilan bangun ruang

• Painted

• Painted and dotted

• Ray-traced

• Dot hidden lines

• Show hidden lines

• Outlines

• Sisi tampil tertutup dan dapat diwarnai

• Sisi tampil tertutup dan rusuk yang tidak kelihatan tampil sebagai garis putus-putus

• Sisi tampil tertutup, dengan warna abu-abu, sisi yang berada di depan diwarnai lebih gelap

• Sisi tidak tampil, hanya tampil rangka bangun, dengan rusuk yang tertutup sisi tampil sebagai garis putus-putus.

• Sisi tidak tampil , hanya tampil rangka bangun, dengan rusuk tidak tertutup sehingga tampil sebagai garis tegas.

• Pilihan rusuk akan ditampilkan secara tegas atau tidak

Convexity assumed Pilihan untuk asumsi konveksitas sisi dari bangun ruang.

Zoom Mengatur besar kecil gambar bangun

• Out

• In

• Factor

• Memperbesar gambar bangun

• Memperkecil gambar bangun

• Mengatur besar kecil gambar bangun dengan faktor dilatasi tertentu

Rotate Memutar-mutar gambar bangun

• Up

• Down

• Turn

• Back

• Angle

• Memutar gambar bangun ke bawah (pengamat ke atas)

• Memutar gambar bangun ke atas (pengamat ke bawah)

• Memutar gambar bangun ke kanan

• Memutar gambar bangun ke kiri

• Memutar gambar bangun dengan sudut tertentu

Observer Mengatur penampilan gambar sesuai keinginan pengamat.

• In

• Out

• Far out

• Isometric

• Coordinate

• Bagian depan gambar tampil lebih besar

• Bagian depan gambar tampil lebih kecil

• Bagian depan gambar tampil lebih besar

• Sisi-sisi bangun tampil dengan ukuran sebenarnya

• Gambar diamati dari suatu titik dengan koordinat tertentu.


Restore Menampilkan gambar sebelumnya.

Last window Mengembalikan jendela pada pengaturan sebelumnya

Labels lihat keterangan pada 2-dim Tabel 1.3.7

Axes Menampilkan pengaturan sumbu koordinat.

• Axes

• Color

• Fix lenght

• Labels

• Arrows

• Menampilkan sumbu koordinat

• Mewarnai sumbu koordinat

• Mengatur panjang sumbu koordinat dengan panjang tertentu

• Menampilkan label x, y, z, dari sumbu koordinat

• Menampilkan tanda panah pada sumbu koordinat

Highlight segments Memodifikasi ketebalan dan warna ruas garis.

Help Menampilkan informasi tentang menu View

1.4.11 Anim

Menu Anim digunakan untuk menjalankan animasi yang telah dibuat.

Keterangan sama dengan pada jendela 2-dim.

1.4.12 Other

Menu other memuat beberapa sub menu tambahan yang berisi aksesoris

tampilan. Keterangan lebih lengkap tentang menu Other dapat dilihat dalam Tabel

1.4.9 di bawah ini.

Tabel 1.4.9 Tabel menu Other pada jendela 3-dim

Submenu Fungsi

List Menampilkan daftar unsur-unsur yang terdapat dalam bangun datar yang telah kita buat antara lain titik-titik, ruas garis, lingkaran, langkah-langkah pengerjaan dan membuat catatan.

• Point

• Faces

• Surface

• History

• Condense

• Notebook

• Menampilkan koordinat titik yang telah dibuat

• Menampilkan luasan-luasan yang telah dibuat

• Menampilkan bidang lengkung yang telah dibuat

• Menampilkan keterangan tentang pengerjaan yang telah dilakukan

• Memadatkan file gambar yang sudah dibuat

• Membuat catatan

Fonts Mengatur font yang ingin ditampilkan pada submenu berikut

• Measurements

• ASCII values

• Label on axes

• Tables and lists

• Mengatur font untuk measurement

• Mengatur nilai ASCII untuk simbol-simbol tertentu

• Mengatur font untuk label pada sumbu koordinat

• Mengatur font untuk tables dan list

Colors Memilih warna yang kita inginkan pada submenu berikut:


• Background

• Measurement

• Dotted lines

• Color them

• White faces

• Transparant faces

• Memilih warna latar belakang

• Memilih warna untuk font measurement

• Memilih warna untuk garis putus-putus


• Mewarnai setiap poligon dengan warna putih

• Membuat setiap poligon menjadi transparant

Measurement Mengatur letak tampilan dan satuaan ukuran dari menu meas, submenu berikut

• Home positions

• Show unit

• Mengatur letak tampilan besaran dari meas di posisi awal (kiri atas)

• Menampilkan satuaan besaran dari meas.

Data Menyimpan data measurement hasil dari perubahan parameter dalam bentuk data array.

• Collect

• Inspect

• Width

• Zero

• Mengumpulkan data

• Menampilkan data

• Mengatur panjang karakter data

• Menghapus data

Thicken print Mengatur ketebalan tambahan saat di-print

Solid arrowhead Menampilkan ujung panah yang tegas

Simulprint Mencetak beberapa file sekaligus

PiCTex file Mengubah file ke dalam ekstensi *.tex

SVG file Mengubah file ke dalam ekstensi *.svg, yang dapat digunakan dalam grafik XML

Euler Menampilkan data Euler.

Volume Menampilkan volume bangun ruang yang kita buat.

Surface area Menampilkan luas permukaan bidang lengkung

Help Menampilkan informasi tentang menu Other

1.4.13 Help

Menu help menampilkan beberapa catatan umum tentang program

Wingeom untuk geometri dimensi tiga (3-dim).

29

BAB 2

PENGOPERASIAN PROGRAM

WINGEOM 2-DIM


1. Pembaca dapat menggunakan Program Wingeom 2-dim untuk

menggambar dan mengeksplorasi konsep garis, sudut dan sifat-sifatnya.


menggambar dan mengeksplorasi konsep segitiga, segiempat dan sifat-

sifatnya.


menggambar dan mengeksplorasi konsep lingkaran dan sifat-sifatnya.

Pengoperasian Program Wingeom 2-dim 30

2.1 Titik, Garis dan Sudut

2.1.1 Menggambar sembarang titik

Untuk menggambar titik terlebih dulu harus diaktifkan fungsi klik untuk

segment, dengan cara: klik Btns > Segments atau dengan klik Btns > Toolbar,

maka akan muncul jendela toolbar, kemudian pilih submenu segments. Bisa juga

dilakukan dengan klik Btns > klik Segments. Kemudian lakukan klik kanan pada

bidang gambar di tempat yang diinginkan, maka akan muncul noktah dan label

(huruf) dari titik yang dibuat. Kondisi awal noktah berupa lingkaran kecil lubang.

Lakukan beberapa kali untuk membuat beberapa titik. Contoh hasil pengerjaan

dapat dilihat pada Gambar 2.1.1 berikut.

Gambar 2.1.1 Menggambar Titik

Untuk menggambar titik dengan lokasi tertentu dapat dilakukan dengan

memberikan koordinatnya, dengan cara: klik Point > Coordinate, maka akan

muncul subjendela untuk mengisikan nilai x dan y. Dalam cara ini sumbu


koordinat akan otomatis tampil. Tampilan koordinat dapat diatur melalui menu

View > Grid.

Untuk mengubah bentuk noktah dapat dilakukan: klik: Edit > Labels > Dot

mode, atau dengan menekan Ctrl D pada keybord. Lakukan berulang-ulang

sampai untuk memilih bentuk noktah yang diinginkan. Untuk mengubah font

label: klik: Edit > Labels > Font, akan muncul jendela vertex label, pilih font yang

diinginkan. Untuk mengubah warna label: klik: Edit > Labels > Color, akan

muncul jendela label, pilih warna yang diinginkan, dengan cara klik pada warna.

Label titik dapat digeser dengan terlebih dulu mengaktifkan fungsi klik pada text

edit pada submenu dari toolbar. Kemudian klik pada label, tahan sambil digeser

ke tempat yang diinginkan. Hal ini kadang diperlukan kalau label tertutup gambar

yang lain, yang mungkin akan dijumpai pada bagian selanjutnya. Gambar 2.1.2

berikut memberikan contoh modifikasi tampilan di atas dengan font arial, warna

hitam dan besar font 14.

Gambar 2.1.2 Menggambar Titik yang dimodifikasi


Menghapus titik.

Untuk menghapus titik dapat dilakukan dengan: klik Edit > Delete > Point ,

ketikan label titik yang akan di hapus pada kotak dialog (bisa satu demi satu atau

beberapa sekaligus), lalu klik ok. Dalam proses menggambar kita tidak selalu

harus menghapus titik yang sudah digambar kalau melakukan kesalahan atau hal

yang tidak inginkan, tetapi dapat menggunakan klik Edit > Undo atau Ctrl Z.

2.1.2 Menuliskan Text

Menuliskan text pada gambar kadang diperlukan untuk memberikan judul

maupun keterangan-keterangan yang diperlukan. Untuk menuliskan text terlebih

dulu harus diaktifkan fungsi klik untuk text edit, dengan cara: klik Btns > Text

atau dengan klik Btns > Toolbar, maka akan muncul jendela toolbar, kemudian

pilih submenu text edit. Lakukan klik kanan di lokasi yang diinginkan pada

bidang gambar, maka akan muncul jendela edit text. Isikan text yang diinginkan

pada tempat bagian atas, pilih font yang diinginkan dengan klik font, klik ok.

Gambar 2.1.3 berikut memberikan contohnya.

Gambar 2.1.3 Menuliskan Teks


Text yang muncul dapat digeser dengan klik pada text, tahan dan geser ke

tempat yang diinginkan. Untuk menghapus text, klik kanan pada text, kemudian

hapus text pada jendela, klik ok.

2.1.3 Menggambar ruas garis

Pastikan submenu Segments pada submenu Btns sudah aktif, dengan cara:

klik Btns > Segments atau dengan klik Btns > Toolbar, maka akan muncul jendela

toolbar, kemudian pilih submenu segments. Dari sembarang dua titik yang sudah

dibuat dapat dilukis ruas garis dengan cara: klik pada salah satu titik, tahan dan

geser hingga ujung mouse menyentuh titik lainnya lalu lepaskan. Cara lain yang

dapat dilakukan adalah: klik: Line > Segment, muncul jendela new segment, lalu

isikan dua titik yang dimaksud (misalkan: AB). Untuk mengubah tebal, warna dan

bentuk ruas garis dapat dilakukan dengan klik: Edit > Highlights > Line attributes,

akan muncul jendela line attributes. Isikan pada lines dengan label garis yang

diinginkan, misalkan AB, isikan pada thickness dengan bilangan 1 atau 2 atau 3

dan seterusnya, klik: color, akan muncul jendela color, pilih warna yang

diinginkan, klik style untuk bentuk yang diinginkan, di samping tombol style akan

muncul tulisan berganti-ganti: solid (tegas), doted (titik-titik), dashed (strip-strip),

dot-dash (titik-strip), dot-dash-dot (titik-strip-titik) dan invisible (tidak nampak).

Pilihan style ini akan berfungsi untuk selain bentuk solid jika thickness berisi 1.

Contoh hasilnya dapat dilihat pada Gambar 2.1.4 .

Menghapus ruas garis.

Untuk menghapus ruas garis dapat dilakukan dengan: klik Edit > Delete > Line ,

ketikan label garis yang akan di hapus pada kotak dialog, misal: AB, lalu klik ok.


Gambar 2.1.4 Menggambar Ruas Garis

2.1.4 Menggambar garis dan sinar garis

Menggambar sembarang garis caranya seperti saat kita menggambar ruas

garis. Pastikan submenu Line pada submenu Btns sudah aktif, caranya seperti saat

kita mengaktifkan menu Segments. Dari sembarang dua titik yang sudah dibuat

dapat dilukis ruas garis dengan cara: klik pada salah satu titik, tahan dan geser

hingga ujung mouse menyentuh titik lainnya lalu lepaskan.

Perhatian: jangan melepaskan klik, sebelum ujung mouse menyentuh titik yang

lain, meskipun garis yang muncul sudah menyentuh titik yang lain. Cara lain yang

dapat dilakukan adalah: klik: Line > Line, muncul jendela new line, lalu isikan

pada make a list dengan dua titik yang dimaksud (misalkan: AB). Gambar 2.1.5

berikut memberikan contoh hasil menggambar untuk garis AB dan sinar garis CD.

Untuk menebalkan atau memberi warna pada garis atau sinar garis dapat

dilakukan seperti pada ruas garis.


Gambar 2.1.5 Menggambar Garis dan Sinar Garis

2.1.5 Menggambar Dua Garis Sejajar

Menggambar dua garis sejajar dapat dilakukan dengan cara berikut. Mula-

mula lukislah sebuah garis, misalkan garis AB. Lukislah sembarang titik di luar

garis tersebut, misalkna titik C. Selanjutnya dilukis garis yang sejajar garis AB

dan melalui titik C, dengan cara: klik: Line > Parallels, maka muncul jendela

draw parallel. Isilah parallel to dengan AB dan through point dengan C, lalu klik

draw. Kita peroleh garis CD yang sejajar dengan garis AB, seperti pada Gambar

2.1.6 berikut.


Gambar 2.1.6 Menggambar Dua Garis Sejajar

2.1.6 Menggambar Dua Garis Berpotongan Tegaklurus

Menggambar dua garis berpotongan tegaklurus dapat dilakukan dengan

cara berikut. Mula-mula lukislah sebuah garis, misalkan garis AB. Lukislah

sembarang titik di luar garis tersebut, misalkna titik C. Selanjutnya dilukis garis

yang memotong tegaklurus garis AB dan melalui titik C, dengan cara: klik: Line >

Perpendicular > general, , maka muncul jendela draw perpendicular. Isilah

perpendicular to dengan AB dan through point dengan C, lalu klik draw. Kita

peroleh garis CD yang tegaklurus dengan garis AB, seperti pada Gambar 2.1.7

berikut.


Gambar 2.1.7 Menggambar Dua Garis Berpotongan Tegaklurus

2.1.7 Menggambar Sudut

Setelah kita dapat menggambar ruas garis maka kita dapat menggambar

sudut, yaitu dengan menggambar dua ruas garis di mana salah satu titiknya sama.

Untuk menandai sudut dapat dilakukan dengan: klik: Edit > Highlights >

Markings, akan muncul jendela markings, ketik nama sudut yang diinginkan

(misalkan BAC), pada type pilihlah angle arc, pilihlah banyak (number) dan besar

(rel size) tanda, lalu klik mark. Contoh hasilnya dapat dilihat dalam Gambar 2.1.8

berikut.


Gambar 2.1.8 Menggambar Sudut

Untuk menghapus tanda yang sudah dibuat, dapat dilakukan dengan: klik: Edit >

Highlights > Markings, akan muncul jendela markings. Kemudian klik daftar

catatan tanda yang sudah dilakukan pada jendela, lalu klik delete one. Klik delete

all untuk menghapus semua tanda yang sudah dibuat.

Untuk meampilkan ukuran sudut yang sudah dibuat dapat dilakukan dengan : klik:

Meas, akan muncul jendela measurements, pada jendela measurements ketik :

<ABC, lalu tekan enter, maka text besar sudut akan tampil sudut kiri atas pada

jendela gambar. Text measurement dapat digeser dengan cara seperti menggeser

text atau label. Font dan Warna hasil measurement dapat diatur dengan cara klik:

Other > Font > Measurement, sedangkan untuk warna klik: Other > Font >

Color. Untuk menghapusnya dapat dilakukan dengan menampilkan jendela

measurement dengan klik Meas , pilih (dengan klik pada besaran yang ingin

dihapus, pada jendela tersebut), kemudian klik delete. Contoh hasilnya dapat

dilihat dalam Gambar 2.1.9 berikut.


Gambar 2.1.9 Menampilkan Ukuran Sudut

2.1.8 Membagi sudut menjadi dua bagian sama besar

Untuk membagi sudut menjadi dua bagian yang sama dapat dilakukan

dengan cara: klik : Line > Angles > Bisect old, muncul jendela bisect angles ,

pada make a list isikan dengan label sudut yang akan dibagi, klik ok.

2.1.9 Menggambar sudut dengan besar sudut tertentu

Mula-mula lukislah sembarang ruas garis sebagai salah satu kaki sudut,

misalkan ruas garis AB. Untuk membuat kaki sudut yang lain dengan besar sudut

tertentu: klik: Line > Angles > New angles, akan muncul jendela draw angle, isilah

initial ray dengan AB dan angle size dengan besar sudut yang diinginkan dalam

satuan derajat, misalkan 60, lalu klik draw, maka akan diperoleh garis AC sebagai

kaki sudut yang lain. Untuk menggambar ruas garis AC, hapuslah garis AC

dengan cara: klik: Edit > Delete > Line, muncul jendela line deletion, pada make a

list ketikkan AC, klik ok, maka garis akan terhapus tetapi titik A dan C tidak

terhapus. Buatlah ruas garis AC, maka didapat sudut BAC, yang besarnya 600.

Gambar 2.1.10 berikut.


Gambar 2.1.10 Menggambar Sudut dengan besar tertentu

2.1.10 Dua Sudut Saling Berpenyiku

Untuk menggambar sudut berpenyiku, terlebih dahulu perlu dilukis sudut

siku-siku. Cara menggambarnya dapat dilakukan dengan dengan cara seperti pada

menggambar sudut dengan besar sudut tertentu seperti di atas dengan memberikan

besar sudut 900. Cara lain yang dapat ditempuh adalah sebagai berikut. Mula-mula

lukislah sembarang ruas garis, misalkan ruas garis AB. Kemudian lukis garis yang

tegak lurus AB dan melalui A, dengan cara: klik: Line > Perpendiculars >

General, muncul jendela draw perpendicular, ketik pada perpendicular to dengan

AB dan pada through point dengan A, lalu klik draw, maka akan muncul garis

yang dimaksud, yaitu garis AC. Untuk menggambar ruas garis AC, hapuslah garis

AC dengan cara seperti pada menggambar sudut. Buatlah ruas garis AC, maka

didapat sudut siku-siku BAC. Untuk menandai sudut siku-siku dapat dilakukan

dengan cara menandai sudut, tetapi dengan memilih type: perp bracket.

Selanjutnya lukis sembarang titik di dalam daerah sudut siku-siku tadi, misalkan


titik D, lukislah ruas garis AD, maka akan diperoleh sudut CAD dan DAB yang

saling berpenyiku, seperti dalam Gambar 2.1.11 berikut

Gambar 2.1.11 Menggambar dua Sudut yang saling berpenyiku

2.1.11 Sifat-sifat Garis dan Sudut

Untuk menjelaskan konsep ini, kita perlu menggambar dua garis sejajar

yang dipotong oleh garis yang lain. Kita dapat Menggambar dua garis sejajar,

misalkan garis AB dan CD yang dipotong garis EF beserta titik-titik potongnya

dengan cara seperti yang telah dijelaskan di atas. Sudut-sudut yang sehadap,

dalam berseberangan, luar berseberangan, dalam sepihak dan luar sepihak dapat

dilukiskan dengan memberikan tanda sudut yang sama. Di samping itu dengan

menampilkan ukurannya melalui menu Meas terlihat bahwa sudut-sudut tersebut

sama besar. Contoh tampilannya dapat dilihat dalam Gambar 2.1.12 berikut.


Gambar 2.1.12 Sifat-sifat Garis dan Sudut

2.2 Segitiga

2.2.1 Menggambar segitiga sembarang

Menggambar segitiga sembarang dapat dilakukan dengan menggambar

tiga buah sembarang titik dan menghubungkannya dengan ruas garis. Silakan

pembaca dapat mencobanya sendiri. Kita dapat merubah-rubah bentuk segitiga

dengan menggeser-geser titik sudut, dengan terlebih dahulu mengaktifkan fungsi

klik kanan pada menu drag vertices, seperti saat mengatifkan segments. Untuk

menggambar daerah segitiga dapat dilakukan dengan mewarnai atau mengarsir

daerah segitiga. Hal ini dapat dilakukan dengan cara berikut. Klik: Edit >

Highlights > Fill Region, akan tampil jendela fill, klik color untuk memilih

warna, klik pattern untuk memberi pola arsiran. Misalkan untuk segitiga ABC

yang sudah dibuat, pilih polygon, isi dengan ABC, klik fill. Contoh hasilnya dapat

dilihat dalam Gambar 2.2.1 berikut.


Gambar 2.2.1 Segitiga Sembarang

Cara yang lainnya lagi adalah menggambar segitiga sembarang secara

acak. Caranya: klik: Units > Random > Triangle, maka akan muncul segitiga

dengan besaran dan posisi secara acak. Menggambar segitiga dengan

menggunakan menu Unit ini kita tidak dapat mengontrol posisi segitiga. Posisi

segitiga diberikan secara acak.

2.2.2 Menggambar segitiga dengan besaran yang diketahui

Masalah Menggambar segitiga di sini prinsipnya sama dengan

Menggambar dengan menggunakan pengaris dan jangka. Fungsi jangka di

wingeom digantikan dengan fasilitas lingkaran.


Diketahui tiga sisi:

Misalkan akan dilukis segitiga ABC dengan panjang AB = 5 sp, BC = 4 dan AC =

7 sp. Langkah-langkahnya sebagai berikut:

i.) Misalkan mula-mula AB dilukis mendatar dengan cara klik: Unit > Segment,

maka muncul jendela new segment pada length isikan dengan 5, klik ok.

Kemudian muncul jendela degrees, pada angle (degrees) isikan dengan 0

(horisontal), klik ok. Muncul ruas garis AB dengan panjang 5 sp.

ii.) Buat lingkaran dengan pusat A dan panjang jari-jari 7 sp, dengan cara: klik:

Circle > Radius-center, muncul jendela: draw circle or arc, isikan centered

at dengan A, pilih circle radius dan isikan dengan 7, klik draw. Akan

diperoleh lingkaran dengan pusat A dan panjang jari-jari 7 sp.

iii.) Dengan cara yang sama dapat dilukis lingkaran dengan pusat B dan panjang

jari-jari 4 sp.

iv.) Lukislah titik potong kedua lingkaran dengan cara: klik: Point > Intersection

> Circ-circ, muncul jendela circle-circle intersection. Klik: center A;

through C pada bagian atas dan center B; through D pada bagian bawah.

Lalu klik mark, maka akan diperoleh titik potongnya E dan F.

v.) Tukarlah label C dan F dengan cara: klik: Edit > Label > Swap, maka

muncul jendela swap labels, ketikkan C <- - > F, klik swap. Hapuslah kedua

lingkaran dengan cara: klik: Edit > Delete > Circle, maka akan muncul

jendela delete circle. Klik pada center A; through F, lalu klik: delete. Ulangi

untuk linkaran yang satunya. Hapuslah titik-titk yang tidak diperlukan

dengan cara : klik: Edit > Delete > Point, maka akan muncul jendela point

deletion, pada make a list isikan titik yang akan dihapus, yaitu: D, E, F.

vi.) Lukislah segitiga yang dimaksud dengan menggambar ruas garis AC dan

BC.

Contoh hasilnya dapat dilihat dalam Gambar 2.2.2 berikut.


Gambar 2.2.2 Menggambar Segitiga dengan diketahui panjang ketiga sisinya

Diketahui dua sisi dan satu sudut

Misalkan akan dilukis segitiga ABC dengan panjang AB = 5 sp, AC = 4 dan

∠BAC = 550. Langkah-langkahnya sebagai berikut:

i.) Misalkan mula-mula AB dilukis mendatar dengan cara seperti langkah ke-i

pada cara sebelumnya di atas.

ii.) Lukislah ∠BAC = 55 dengan cara seperti pada menggambar sudut dengan

besar tertentu.

iii.) Lukislah lingkaran dengan pusat pada titik A dan panjang jari-jari 4 sp.

Lukislah titik potong garis AC dengan lingkaran, dengan cara: klik: Point >

Intersection > Mixed, muncul jendela line-circle intersection, isikan line

dengan AC dan pilih lingkaran center A; through D, lalu klik mark. Akan

muncul titik E sebagai titik potongnya.

Sampai proses ini, dengan menambahkan text dan menampilkan beberapa

ukuran yang terkait, seperi dalam Gambar 2.2.3 berikut.


Gambar 2.2.3 Menggambar Segitiga diketahui dua sisi dan satu sudut

iv.) Tukarlah titik C dan E, kemudian hapuslah garis AC, lingkaran dan titik-titik

yang tidak diperlukan.

v.) Lukislah segitiga yang dimaksud dengan menggambar ruas garis AC dan

BC.

Diketahui satu sisi dan dua sudut

Misalkan akan dilukis segitiga ABC dengan panjang AB = 5 sp, ∠BAC = 550

dan

∠ABC = 700. Langkah-langkahnya sebagai berikut:

i.) Kerjakan seperti langkah i dan ii di atas. Lukislah ∠ABC = 70 dengan cara

seperti pada menggambar sudut dengan besar tertentu, tetapi dengan

mengisikan initial ray denga BA dan angle size = 70 (karena arahnya

berlawanan). Maka akan diperoleh garis BD.

ii.) Lukislah titik potong AC dengan BD. Langkah selanjutnya seperti pada

masalah sebelumnya.


Cara lainnya dengan menggunakan menu unit, dengan cara klik: Units >

Triangle > 1 ASA atau yang lain. Cara ini untuk menggambar segitiga dengan

besaran-besaran yang diinginkan. Penjelasan lihat Meas pada Bab 2. Misalkan

ingin menggambar segitiga dengan panjang sisi 5 satuan dan 8 satuan serta besar

sudut yang diapit adalah 600, klik: Units > Triangle > 2 SAS, muncul jendela SAS

input, isikan side dengan 5, angle dengan 60 dan side dengan 8, lalu klik ok, maka

muncul segitiga yang diinginkan. Menggambar segitiga dengan cara ini akan

menghasilkan segitiga yang posisinya tidak dapat kita tentukan. Posisi diberikan

secara acak oleh software.

2.2.3 Menggambar Garis-garis pada Segitiga

Garis Tinggi Segitiga

Untuk menggambar garis tinggi pada sebuah segitiga, misalkan segitiga

ABC, dapat dilakukan sebagai berikut: klik: Line > Perpendiculars > Altitudes,

muncul jendela draw altitude. Misalkan akan dilukis garis tinggi melalui titik C

dan tegak-lurus AB, kita isikan perp to line dengan AB, form point dengan C, klik

draw. Contoh hasilnya dapat dilihat dalam Gambar 2.2.4 berikut.

Gambar 2.2.4 Garis Tinggi Segitiga


Garis Bagi Segitiga

Untuk menggambar garis bagi pada sebuah segitiga dapat dilakukan

dengan cara yang sama dengan membagi sudut menjadi dua bagian yang sama.

Garis Berat dan Garis Sumbu Segitiga

Untuk menggambar garis berat pada sebuah segitiga dapat dilakukan

dengan membuat titik tengah sebuah sisi, misalkan AB, dengan cara: klik: Point >

on Segment, muncul jendela new point, isikan relative to segment dengan AB,

isikan coordinat dengan 1/2 , klik mark, maka diperoleh titik tengan AB yaitu titik

D. Selanjutnya lukis ruas garis CD.

Menggambar garis sumbu terlebih dulu dengan menggambar titik tengah

suatu sisi dan dilanjutkan dengan menggambar garis yang melalui titik tengah

tersebut dan tegak lurus sisi tersebut. Contoh hasilnya dapat dilihat dalam Gambar

2.2.5 berikut.

Gambar 2.2.5 Garis Berat Segitiga


2.2.4 Sudut-sudut pada Segitiga

Jumlah Sudut-sudut Segitiga

Jumlah sudut segitiga dapat ditunjukkan dengan pertama-tama

menggambar segitiga sembarang dengan membuat sembarang tiga titik dan garis,

misalkan segitiga ABC. Perlihatkan besar sudut masing-masing dengan

menggunakan menu Meas, yaitu: <ABC, <BCA dan <CAB. Selanjutnya pada

menu Meas isikan dengan <ABC + <BCA + CAB, maka akan nampak bahwa

<ABC + <BCA + CAB = 1800. Titik-titik sudut segitiga dapat digeser-geser

dengan mengaktifkan fungsi drag vertices dengan cara : klik: Btns > Drag

vertices. Selanjutnya klik pada titik, tahan sambil digeser. Nampak bahwa panjang

sisi dan sudut yang ada berubah tetapi jumlah ketiga sudut tidak berubah. Hal ini

dapat digunakan dalam menjelaskan jumlah sudut dalam segitiga selalu sama

yaitu 1800.

Hubungan Sudut Dalam dan Sudut Luar Segitiga

Untuk menjelaskan hal ini perlu dilukis segitiga dengan sedikit

perpanjangan untuk masing-masing sisi untuk kedua arah. Misalkan sisi AB ingin

diperpanjang, hal ini dapat dilakukan dengan cara: klik : Line > Extensions, akan

muncul jendela switch extensions on/off, pada make a list isikan dengan AB, maka

ruas garis AB akan diperpanjang ke arah B, kemudian lukis titik di dekat titik B

ke arah perpanjangannya, misalkan titik D. Cara yang sama dapat dilakukan untuk

perpanjangan BA, lukislah titik E di dekat titik A, dan seterusnya untuk titik-titik

yang lain. Selanjutnya hubungan sudut dalam dan sudut luar dapat diperlihatkan

hubungannya dengan mengamati besar sudut yang dapat ditampilkan lewat menu

Meas. Contoh hasilnya dapat dilihat dalam Gambar 2.2.6.


Gambar 2.2.6 Sudut dalam dan Sudut luar pada segitiga

2.2.5 Keliling dan Luas Segitiga

Keliling suatu segitiga ABC dapat diperoleh dengan mengentrikan pada

menu Meas sebagai berikut: AB + BC + CA. Sedangkan luas segitiga ABC dapat

diperoleh dengan mengentrikan pada menu Meas sebagai berikut: ABC.

2.2.6 Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras dapat diilustrasikan dengan cara berikut. Pertama kita

buat segitiga siku-siku sembarang, misalkan segitiga ABC. Pada pasing-masing

sisi akan dilukis persegi dengan sisi tersebut sebagai salah satu sisinya, caranya:

klik: Unit > Polygon > Attach > Regular, akan muncul jendela attach, pada

regular polygon with isilah dengan 4 sides, to edge(s) diisi dengan (bisa satu

persatu atau sekaligus) CB, BA, AC , klik attach. Perhatikan bahwa urutan label


persegi berlawanan dengan arah jarum jam. Kemudian dengan menggunakan

menu Meas dapat ditunjukkan bahwa luas persegi pada sisi miring merupakan

jumlahan dari luas persegi yang lainnya. Contoh hasilnya dengan menampilkan

besaran-besaran yang menunjukkan berlakunya Teorema Pythagoras dapat dilihat

dalam Gambar 2.2.7 berikut.

Gambar 2.2.7 Teorema Pythagoras


2.2.7 Contoh Membuat Animasi pada Segitiga

Penggunaan fasilitas animasi berikut diberikan dengan mengambil contoh

kasus untuk segitiga. Contoh animasi berikut dapat untuk menjelaskan simetri

putar pada segitiga samasisi. Hal ini dapat dilakukan dengan langkah berikut :

i.) Buatlah sebuah segitiga samasisi ABC beserta garis-garis beratnya, misalkan

AD, BF, ED, dan titik perpotongannya, misalkan titik G.

ii.) Klik Transf > Rotate, sehingga muncul kotak rotate/dilate. Kolom vertices

diisi dengan titik-titik yang ingin dirotasikan misalnya titik-titik pada

segitiga ABC, kolom using center diisi dengan pusat rotasi, misalkan G.

Kolom angle diisi dengan besarnya sudut perputaran yang diikuti slider

yang dipilih, misalkan #, dan pada kolom dilation factor diisi dengan

besarnya faktor dilatasi, misalkan 1 (karena diinginkan besarnya segitiga

tetap), klik ok untuk menjalankan perintah yang dibuat atau klik cancel untuk

membatalkan.

iii.) Kilk Anim > # slider maka akan muncul subjendela current value of #.

Kemudian kita atur rentang nilai # (yang telah kita isikan sebagai besar

sudut rotasi), dengan mengatur batas kiri , yaitu dengan mengisikan besar

sudut, misalkan 0, kemudian klik Set L . Batas kanan slider, diatur dengan

cara mengisikan besar sudut, misalkan 360 (kita inginkan 1 putaran penuh),

kemudian klik Set R.

iv.) Cobalah kita lihat hasil animasi dengan mengerakan slider maju-mundur.

Klik reverse untuk menggerakkan secara mundur bolak-balik atau cycle

menggerakkan secara terus menerus, atau forward untuk menggerakkan

secara maju bolak-balik. Cobalah juga untuk menu yang lain.

v.) Untuk menghentikan (keluar dari animasi) tekan tombol Q pada keyboard

komputer, tekan tombol F untuk mempercepat gerakan dan tekan tombol S

untuk memperlambat gerakan.

Contoh tampilan dapat dilihat dalam Gambar 2.2.8 berikut.


Gambar 2.2.8 Animasi Simetri Putar Segitiga Samasisi

2.2.8 Menggambar segiempat sembarang

Untuk menggambar segiempat sembarang dapat dilakukan dengan Menggambar

empat buah titik sembarang, kemudian menggambar ruas garis yang

menghubungkan titik pasangan titik sebagai sisinya. Untuk memberi tanda arsiran

atau warna dapat dilakukan seperti pada menggambar segitiga sembarang di atas.


2.2.9 Menggambar segiempat khusus

Menggambar Persegipanjang dan Persegi

Menggambar persegipanjang dapat dilakukan dengan menggunakan menu

Unit . Untuk persegipanjang dengan besaran dua sisi dan salah satu sudut yang

diketahui, misalkan persegipanjang ABCD, dapat dilakukan dengan cara: klik:

Unit > Polygon > Parallelogram, maka akan muncul jendela SAS input, pada side

(bagian atas) isikan dengan panjang sisi mendatar (sisi AB), angle isikan dengan

besar sudut BAD, yaitu 90 dan side (bagian bawah) isikan dengan panjang sisi

AC, klik ok.

Untuk menggambar persegi dapat dilakukan dengan cara yang sama

dengan Menggambar persegipanjang di atas, dengan memberikan panjang sisi

yang sama panjang. Dari menu Unit juga dapat dilakukan dengan cara: klik: Unit

> Regular , maka akan muncul jendela regular polygon, pada sides isikan dengan

4 dan pada length of side isikan dengan panjang sisi yang dikehendaki, klik ok.

Persegipanjang dan persegi yang dihasilkan dengan cara di atas selalu

dalam posisi mendatar. Untuk menggambar persegipanjang sembarang, misalkan

persegipanjang ABCD dengan panjang AB = 5 sp dan AD = 4 sp, dapat dilakukan

dengan cara:

i.) Lukis ruas garis AB dengan panjang 5 sp pada posisi (derajat) yang

diinginkan, misalkan 250.

ii.) Lukis garis tegaklurus AB dan melalui A, diperoleh garis AC

iii.) Lukis lingkaran dengan pusat A dan radius 4 sp, diperoleh lingkaran

dengan pusat A; melalui D.

iv.) Lukis titik potong garis AC dan lingkaran dengan pusat A; melalui D,

diperoleh titik E.

v.) Lukis garis sejajar AB dan melalui E, diperoleh garis EG.

vi.) Lukis garis sejajar garis AE dan melalui B, diperoleh garis BH

vii.) Lukis titik potong garis EG dan BH, diperoleh titik I.

viii.) Tukar titik C dengan I dan titik D dengan E, dengan pusat A; melalui D

ix.) Hapus garis AI, DG , BH, lingakaran dan titik-titik yang tidak diperlukan.

x.) Lukislah ruas garis BC, CD dan DA, diperoleh persegipanjang ABCD.


Contoh hasilnya dapat dilihat dalam Gambar 2.2.9 berikut.

Gambar 2.2.9 Persegipanjang Sembarang

2.2.10 Menggambar Jajargenjang dan belah ketupat

Untuk Menggambar jajargenjang, misalkan jajargenjang ABCD dengan

panjang AB = 5 sp , ∠BAD = 600 dan AD = 4 sp, dapat dilakukan dengan cara:

i.) Lukis ruas garis AB dengan panjang 5 sp pada posisi (derajat) yang

diinginkan, misalkan horisontal.

ii.) Lukis lingkaran dengan pusat A dan radius 4 sp, diperoleh lingkaran

dengan pusat A; melalui C.

iii.) Lukis titik potong garis AC dan lingkaran dengan pusat A; melalui C,

diperoleh titik D.


iv.) Lukis busur lingkaran dengan pusat A mulai dari titik D sebesar 600,

dengan cara: klik Circle > Radius-center, maka muncul jendela draw circle

or arc, isikan centered at dengan A, arc starting at dengan D, klik pilihan

angular size dan isiskan dengan 60, klik draw.

v.) Lukis ruas garis AF

vi.) Lukis garis sejajar garis AB dan melalui F, diperoleh garis FG.

vii.) Lukis garis sejajar garis AF dan melalui B, diperoleh garis BH

viii.) Lukis titik potong garis FG dan BH, diperoleh titik I

ix.) Tukar titik I dengan C dan F dengan D.

x.) Hapus garis AC, EG dan BH, serta lingakaran

xi.) Tukar titik C dengan I dan titik D dengan E, dengan pusat A; melalui D

xii.) Hapus Lingkaran, busur, garis dan titik yang tidak diperlukan

xiii.) Lukislah ruas garis BC dan CD maka diperoleh persegipanjang ABCD.

Dengan menggunakan menu Unit dapat juga dilukis jajargenjang. Untuk

jajargenjang dengan besaran dua sisi dan salah satu sudut yang diketahui,

misalkan persegipanjang ABCD, dapat dilakukan dengan cara: klik: Unit >

Polygon > Parallelogram, maka akan muncul jendela SAS input, pada side

(bagian atas) isi kan dengan panjang sisi mendatar (sisi AB), angle isikan dengan

besar sudut BAD dan side (bagian bawah) isikan dengan panjang sisi AC, klik ok.

Untuk Menggambar belah ketupat dapat dilakukan dengan cara yang sama

dengan Menggambar jajargenjang di atas, dengan memberikan panjang sisi yang

sama panjang.

Dari menu Unit untuk menggambar jajargenjang secara acak dapat

dilakukan dengan cara: klik: Unit > Random > Parallelogram. Sedangkan untuk

menggambar belah ketupat secara acak dapat dilakukan dengan cara: klik: Unit >

Random > Rhombus. Gambar 2.2.10 berikut memberikan contoh dengan

menggunakan fasilitas di atas, dengan memberikan tambahan text sebagai

keterangan.


Gambar 2.2.10 Jajargenjang dan Belahketupat

2.2.11 Menggambar Layang-layang

Untuk menggambar layang-layang kita dapat menerapkan cara-cara yang

sudah dibahas pada cara menggambar bangun-bangun sebelumnya. Menggambar

layang-layang dapat dilakukan juga melalui menu Unit, yaitu dengan cara: klik:

Unit > Polygon > Kite , maka akan muncul jendela SAS input, selanjutnya kita isi

side yaitu panjang sisi AB, angle yaitu sudut ABC, dan side yaitu panjang sisi

CD, klik ok. Untuk menggambar layang-layang sembarang dapat dilakukan

dengan klik: Unit > Random > Kite.

2.2.12 Menggambar Trapesium

Untuk menggambar layang-layang kita dapat menerapkan cara-cara yang sudah

dibahas pada cara menggambar bangun-bangun sebelumnya, terutama


jajargenjang. Menggambar trapesium sama kaki dapat dilakukan juga melalui

menu Unit, yaitu dengan cara: klik: Unit > Polygon > Isoseles trapezoid , maka

akan muncul jendela SAS input, selanjutnya kita isi side yaitu panjang sisi AB,

angle yaitu sudut ABC, dan side yaitu panjang sisi CD, klik ok. Untuk

menggambar trapesium sembarang dapat dilakukan dengan klik: Unit > Random

> Trapezoid.

2.2.13 Keliling dan Luas Segiempat

Keliling suatu segiempat ABCD dapat diperoleh dengan mengentrikan

pada menu Meas sebagai berikut: AB + BC + CD + DA. Sedangkan luas segitiga

ABCD dapat diperoleh dengan mengentrikan pada menu Meas sebagai berikut:

ABCD

2.3 Lingkaran dan Irisan Kerucut

2.3.1 Menggambar lingkaran

Untuk menggambar lingkaran sembarang dilakukan dengan cara: Pastikan

fungsi klik kanan yang aktif adalah pilihan Circles, caranya sama dengan saat kita

mengaktifkan Segment. Klik kanan pada bidang gambar maka akan muncul titik,

titik ini sebagai pusat lingkaran. Klik pada titik tersebut, tahan kemudian geser,

maka akan terbentuk lingkaran. Lepaskan klik sesuai dengan besar lingkaran yang

diinginkan, maka akan diperoleh lingkaran AB, yaitu lingkaran dengan pusat A

dan jari-jari AB.

Menggambar lingkaran dengan pusat dan jari-jari tertentu dapat dilakukan

seperti saat kita menggambar lingkaran saat menggambar bangun-bangun di

depan. Untuk menampilkan panjang jari-jari sama dengan menampilkan panjang

ruas garis, misalkan AB.


Mengarsir daerah lingkaran dapat dilakukan dengan cara: klik: Edit >

Highlight > Fill regions, muncul jendela fill, pilih circle, pilih color dan patern

yang diinginkan, klik fill. . Gambar 2.2.10 berikut memberikan contoh hasil

menggambar daerah lingkaran

Gambar 2.3.1 Menggambar Daerah Lingkaran

2.3.2 Keliling dan Luas Lingkaran

Untuk menampilkan keliling lingkaran, misalkan lingkaran AB, dapat

dilakukan dengan cara: klik: Meas > isikan dengan: [cir] (AB), lalu enter. Untuk

menampilkan luas lingkaran dapat dilakukan dengan cara: klik: Meas > isikan

dengan: [pie] (AB), lalu enter.


2.3.3 Busur dan Juring

Menggambar busur pada lingkaran, misalkan busur CD dengan sudut

pusat CAD sebesar 600 pada lingkaran AB, dapat dilakukan dengan berikut.

Lukis lingkaran AB, lukis titik C pada lingkaran, klik : Circle > Radius-center,

maka muncul jendela draw circle or arc, isikan centered at dengan A, arc starting

at dengan C, klik pilihan angular size dan isikan dengan 60, klik draw.

Menggambar tali busur dapat dilakukan sama seperti menggambar ruas garis.

Program Wingeom 2 dim ini nampaknya belum dapat mengarsir juring dan

tembereng suatu lingkaran, arsiran dapat diberikan untuk suatu segibanyak.

Untuk menampilkan panjang busur lingkaran, misalkan pada lingkaran

AB, akan ditentukan panjang busur dengan sudut pusat DAC, dapat dilakukan

dengan cara: klik: Meas > isikan dengan: [arc] (ACD), lalu enter. Untuk

menampilkan luas juring lingkaran dengan sudut pusat DAC , dapat dilakukan

dengan cara: klik: Meas > isikan dengan: [pie] (ACD), lalu enter. Untuk

menampilakan satuan dari ukuran yang diberikan, dapat dilakukan dengan Other

>Measurements > Show Unit. Perhatikan contoh hasilnya pada Gambar 2.3.2

berikut

Gambar 2.3.2 Busur dan Juring


2.3.4 Sudut pada Lingkaran

Sudut pusat, sudut keliling lingkaran dan sudut anatara dua tali busur dapat

dilukis dengan cara menggambar lingkaran, titik-titik pada lingkaran dan

Menggambar sudutnya dengan menghubungkan titik-titik dengan ruas garis. Sifat-

sifat sudut ini dapat ditunjukkan dengan menampilkan besar sudut yang terkait.

Dengan memanfaatkan Btns > drag vertices titik-titik dapat di geser-geser dan

hubungan antar sudut yang ada dapat diamati. Tampilannya seperti dalam Gambar

2.3.3 berikut.

Gambar 2.3.3 Sudut Pusat dan Sudut Keliling

2.3.5 Lingkaran dan Segitiga

Menggambar Lingkaran Dalam Segitiga

Menggambar lingkaran dalam segitiga langkah demi langkah dapat

dilakukan dengan pertama-tama menggambar titik potong garis-garis bagi sudut

segitiga, misalkan titik D, lalu menggambar titik potong salah satu titik potong

garis bagi dengan sisi segitiga, misalkan titik E, kemudian menggambar lingkaran


dengan pusat D dan melalui E dengan klik: Circle > Radius-center, muncul

jendela draw circle or arc, isikan centered at D, pilih circle through E, klik draw.

Wingeom 2-dim menyediakan fasilitas untuk menggambar lingkaran

dalam segitiga. Misalkan kita sudah mempunyai segitiga ABC, untuk

menggambarnya, klik: Circle > Incircle, muncul jendela incircle, isikan list

triangles dengan ABC, klik ok.

Menggambar Lingkaran Luar Segitiga

Menggambar lingkaran dalam segitiga langkah demi langkah dapat

dilakukan dengan pertama-tama menggambar titik potong garis-garis sumbu

segitiga, misalkan titik D, kemudian menggambar lingkaran dengan pusat D dan

melalui salah satu titik sudut segitiga, misalkan A dengan cara seperti di atas.

Wingeom 2-dim menyediakan fasilitas untuk menggambar lingkaran

dalam segitiga. Misalkan kita sudah mempunyai segitiga ABC, untuk

menggambarnya, klik: Circle > Circumcircle, muncul jendela circumcircle, isikan

list triangles dengan ABC, klik ok. Contoh tampilan lingkaran dalam dan

lingkaran luar seperti dalam Gambar 2.3.4 berikut.

Gambar 2.3.4 Lingkaran Dalam dan Luar


2.3.6 Garis Singgung Lingkaran

Menggambar garis singgung lingkaran yang melalui titik pada lingkaran

Menggambar garis singgung lingkaran, misalkan lingkaran AB, yang

melalui titik pada lingkaran, misalkan titik C, langkah demi langkah dapat

dilakukan dengan pertama-tama Menggambar ruas garis AC, kemudian

Menggambar garis yang tegak lurus AC dan melalui C.

Wingeom 2-dim menyediakan fasilitas untuk Menggambar garis singgung

lingkaran yang melalui titik pada lingkaran. Misalkan kita sudah mempunyai

lingkaran AB, untuk Menggambarnya, klik: Line > Tangents > Point-circ, muncul

jendela tangents, klik: center A; through B, isikan through vertex dengan C, klik

draw. Gambar 2.3.5 berikut memberikan contoh hasilnya.

Gambar 2.3.4 Garis Singgung titik pada Lingkaran

Menggambar garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran

Menggambar garis singgung lingkaran, misalkan lingkaran AB, yang

melalui titik di luar lingkaran, misalkan titik C, langkah demi langkah dapat


dilakukan dengan menjalankan langkah-langkah seperti yang biasa digunakan

dalam geometri, dengan menggunakan fasilitas-fasilitas pada Wingeom 2-dim

seperti yang sudah dibahas pada bagian sebelumnya.


lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran. Caranya sama dengan pada

Menggambar garis singgung lingkaran yang melalui titik pada lingkaran di atas.

Menggambar garis singgung persekutuan dalam

Menggambar garis singgung lingkaran persekutuan dalam, misalkan

lingkaran AB dan CD, langkah demi langkah dapat dilakukan dengan

menjalankan langkah-langkah seperti yang biasa digunakan dalam geometri,

dengan menggunakan fasilitas-fasilitas pada Wingeom 2-dim seperti yang sudah

dibahas pada bagian sebelumnya.


lingkaran persekutuan dalam. Misalkan kita sudah mempunyai lingkaran AB dan

lingkaran CD, untuk Menggambarnya, klik: Line > Tangents > Circ-circ, muncul

jendela common tangents, pada bagian atas klik center A; through B, pada bagian

bawah pilih center C; through D, pilihan internal jangan diklik (tanda cek), klik

mark.

Menggambar garis singgung persekutuan luar

Menggambar garis singgung lingkaran persekutuan luar, misalkan

lingkaran AB dan CD, langkah demi langkah dapat dilakukan dengan

menjalankan langkah-langkah seperti yang biasa digunakan dalam geometri,

dengan menggunakan fasilitas-fasilitas pada Wingeom 2-dim seperti yang sudah

dibahas pada bagian sebelumnya.


lingkaran persekutuan luar. Misalkan kita sudah mempunyai lingkaran AB dan

lingkaran CD, untuk menggambarnya, klik: Line > Tangents > Circ-circ, muncul

jendela common tangents, pada bagian atas klik center A; through B, pada bagian


bawah pilih center C; through D, pilihlah pilihan internal dengan klik (berilah

tanda cek), klik mark.

Gambar 2.3.5 Garis Singgung Persekutuan Dalam dan Luar

2.3.7 Irisan Kerucut

Menggambar irisan kerucut melalui menu Unit dapat dilakukan dengan

dua cara, yaitu irisan kerucut melalui 3 titik (3-point conics) dan melalui 5 titik (5-

point conics). Untuk irisan kerucut melalui 3 titik dapat dilakukan dengan terlebih

dahulu membuat minimal tiga titik terlebih dahulu. Selanjutnya klik: Unit > 3-

Point conics, akan muncul subjendela three-point conic inventory. Klik ellipse

untuk melukis ellips dengan fokus pada dua titik pertama yang dipilih (misal AB)

dan melalui titik ke-3 (misal C). Klik hyperbola untuk melukis hiperbola dengan

fokus pada dua titik pertama yang dipilih (misal AB) dan melalui titik ke-3 (misal


C). Klik eccentricity untuk melukis parabola dengan sumbu arah (directrix) pada

dua titik pertama yang dipilih (misal AB) dan dengan fokus titik ke-3 (misal C),

eccentricity dapat diisikan dengan nilai tertentu. Gambar 2.3.5 berikut

memberikan contoh hasilnya.

Gambar 2.3.6 Garis Singgung Persekutuan Dalam dan Luar

Dalam contoh di atas diberikan ellips dengan fokus AB dan titik yang dilalui

adalah titik C, hiperbola dengan fokus AC dan titik yang dilalui adalah titik B dan

parabola dengan directrix adalah BC dan titik fokus adalah titik A.

Untuk irisan kerucut melalui 3 titik dapat dilakukan dengan terlebih

dahulu membuat minimal lima titik terlebih dahulu. Selanjutnya klik: Unit > 5-

Point conics, akan muncul subjendela five-point conic inventory. Masukkan 5 titik

yang ingin dilalui oleh irisan kerucut. Wingeom akan menggambar sustu irisan

kerucut yang mungkin melalui ke-5 titik yang diinginkan.


2.4 Latihan

1. Dengan menggunakan program Wingeom-2dim, gambarlah sudut ACD dan

sudut BCD yang saling berpelurus.

2. Dengan menggunakan program Wingeom-2dim, gambarlah sudut AEC dan

sudut DEB yang saling bertolak belakang.

3. Gambarlah segitiga samakaki dan sama sisi dengan menggunakan program

Wingeom-2dim.

4. Gambarlah persegipanjang seperti pada Gambar 2.2.8 dengan menggunakan

fasilitas Unit dan Trans > Rotate.

5. Lukislah jajargenjang dan belah ketupat sembarang (tidak mendatar) dengan

langkah-langkah seperti pada menggambar persegipanjang sembarang.

6. Gambarlah dua lingkaran yang saling berpotongan, beserta titik-titik

potongnya. Gambarlah garis yang hubungkan titi-titik potong tadi dan garis

yang melalui pusat kedua lingkaran. Tunjukkan (dengan menampilkan

besaran-besaran yang terkait, menggunakan Meas) bahwa kedua garis tersebut

berpotongan tegaklurus.

7. Buatlah animasi untuk memperlihatkan dilatasi pada suatu bangun segitiga.

8. Buatlah animasi yang menjelaskan proses diperolehnya rumus luas suatu

jajargenjang.

68

BAB 3

PEMBELAJARAN GEOMETRI

DENGAN WINGEOM 2-DIM



pembelajaran untuk topik garis dan sudut.


pembelajaran untuk topik segitiga dan segiempat.


pembelajaran untuk topik lingkaran dan irisan kerucut.

Pembelajaran Geometri dengan Wingeom 2-dim 69

Dalam pelaksanan kegiatan pembelajaran, ditinjau dari fasilitas yang ada,

ada dua pendekatan yang dapat dilakukan, yaitu pendekatan kelas dan pendekatan

laboratorium. Pendekatan kelas digunakan jika tidak cukup tersedianya komputer

bagi siswa. Pendekatan ini cukup memerlukan satu komputer dengan dukungan

viewer (proyektor untuk komputer). Guru dapat membuat presentasi materi

pembelajaran yang menarik dan menantang, yang memperhatikan aspek visual ,

animasi yang menarik, sekuensial, dan pertanyaan-pertanyaan bagi siswa yang

mendukung pemahaman konsep.

Jika tersedia fasilitas komputer yang mencukupi (idealnya satu komputer

untuk satu siswa), maka dapat dilakukan pendekatan laboratorium. Dalam

pendekatan ini Guru menyusun lembar kerja dan lembar kegiatan bagi siswa.

Lembar kegiatan siswa berisi serangkaian tugas/kegiatan yang harus dikerjakan

siswa untuk mengkonstruksikan pengetahuan (menuju suatu konsep tertentu).

Lembar kerja siswa secara umum berisi pertanyaan-pertanyaan atau latihan yang

harus dikerjakan siswa untuk makin memantapkan konsep yang didapat.

Dalam bab ini akan diberikan beberapa contoh kegiatan pembelajaran

dengan pendekatan laboratorium. Dengan memodifikasi yang diperlukan, ide

untuk pendekatan laboratorium ini dapat digunakan untuk pendekatan kelas.

Dalam contoh-contoh berikut siswa melakukan perintah dengan menggunakan

program Wingeom-2dim. Gambar-gambar yang ditampilkan adalah contoh hasil

yang diharapkan dalam pengerjaan siswa dan juga berfungsi untuk memberikan

umpan balik siswa dengan pengerjaanya. Siswa juga diberikan pertanyaan-

pertanyaan dan jawaban contoh yang diharapkan dicetak miring. Untuk dapat

mengerjakan kegiatan yang diberikan sebelumnya siswa diberikan pengenalan

pengoperasian program Wingeom.


3.1 Pembelajaran Garis dan Sudut

3.1.1 Sudut pada Garis-garis Sejajar yang dipotong sebuah Garis

1. Bukalah program Wingeom-2dim.

2. Klik Btns > Segments, lalu dengan mengklik kanan mouse buatlah dua titik A

dan B. Kemudian gunakan bagian kiri mouse untuk menggambar AB .

Sesudah itu klik kanan titik C dan D di atas (pada) AB dan titik E di sebarang

tempat di luar garis tersebut. Gambarlah CE .

3. Klik Line > Parallels, lalu ketik D dalam kotak through point dan CE dalam

kotak parallel to, lalu klik tombol draw. Tampak bahwa DF sejajar dengan

CE . Klik kanan titik G di atas (pada) CE dan titik H di atas DF (manfaatkan

cara seperti pada langkah ke-2 di atas).

4. Klik Other > Autoextend, untuk memungkinkan titik-titik tampak pada

perpanjangan ruas garis-ruas garis, terutama untuk permintaan sesudahnya.


Tempatkan mouse pada Btns > Drag vertices dan gunakan tombol bagian kiri

mouse untuk mendorong titik G sedemikian sehingga titik G tidak terletak

pada sisi yang sama dengan titik E di AB . Ulangilah proses tersebut untuk

titik H dan F.

Perhatikan apa yang terjadi ketika engkau mendorong titik C dan D sepanjang

AB atau apa yang terjadi ketika engkau menggeser titik E di sekitar

layar/tampilan.

Hasil pengamatan:

• Ketika titik C digeser sepanjang AB , ternyata : EG bergeser di

sepanjang AB dengan titik E sebagai tumpuan/porosnya. Sementara itu

FH selalu bergerak sejajar mengikuti EG dengan titik D sebagai titik

tumpuan pergerakan FH

• Ketika titik D digeser sepanjang AB , ternyata : FH bergerak sepanjang

AB dengan titik D sebagai pusatnya, akan tetapi tidak sekaligus diikuti

dengan pergerakan EG ( EG tetap pada posisinya di AB )


• Ketika E digeser sekitar layar/tampilan, ternyata : EG bergeser dengan

titik E sebagai pusatnya dan FH turut bergerak sejajar dengan EG .

Selain itu, panjang EG dan FH akan bertambah jika titik E digeser

menjauhi AB dan berkurang apabila titik E digeser mendekati AB

5. Klik Meas, ketiklah BCE∠ dan tekan Enter.

Carilah dua sudut dalam gambar yang kelihatannya memiliki ukuran yang

sama (<CDF dan <ADH), lalu gunakan fasilitas Meas untuk memeriksa

dugaanmu.

6. Periksa (dengan Meas) ukuran dari .CDH∠ Bagaimana besar sudut tersebut

jika dikaitkan dengan ukuran dari BCE∠ ? (Jumlah besar

sudut CDH∠ ditambah dengan besar sudut BCE∠ sama dengan 1800).

Apakah prediksimu tetap benar ketika gambar tersebut diubah dengan

menggeser titik-titik di sekitarnya? (Ya, bila titik-titik pada gambar awal digeser

hingga bertukar posisi, meski besar sudut masing-masing dapat berbeda tetapi

jumlah besar sudut keduanya tetap 180 derajat. Sebagai bandingannya dapat

diperlihatkan dengan tampilan di bawah ini).


7. Rangkumlah penemuanmu tentang kedelapan sudut yang dibentuk ketika

sepasang garis sejajar dipotong sebuah garis lurus.

• <BCE dan <CDF,<ECD dan <FDA, <GCD dan <HAD, <BCG dan

<HDC merupakan sudut-sudut sehadap. Berdasarkan ukuran sudut-

sudut sehadap tersebut disimpulkan bahwa jika dua buah garis

sejajar dipotong oleh garis lain maka sudut-sudut sehadapnya sama

besar.

• <ECD dan <HDC, <GCD dan <CDF merupakan sudut-sudut

berseberangan dalam. Berdasarkan ukuran sudut-sudut

berseberangan dalam tersebut disimpulkan bahwa jika dua buah garis

sejajar dipotong oleh garis lain maka sudut-sudut yang berseberangan

dalam adalah sama besar.

• <BCG dan <FDA, <BCE dan <HAD merupakan sudut-sudut

berseberangan luar. Berdasarkan ukuran sudut-sudut berseberangan

luar tersebut disimpulkan bahwa jika dua buah garis sejajar dipotong

oleh garis lain maka sudut-sudut yang berseberangan luar adalah

sama besar.

• <ECD dan <CDF, <GCD dan <HDC merupakan sudut-sudut sepihak

dalam. Jumlah besar <ECD dan <CDF = <GCD dan <HDC yakni

180 derajat. Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka

jumlah setiap pasang sudut sepihak dalam adalah 180 derajat.

• <BCG dan <HAD, <BCE dan <FDA merupakan sudut-sudut sepihak

luar. Jumlah besar <BCG dan <HAD = <BCE dan < FDA yakni 180

derajat. Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka

jumlah setiap pasang sudut sepihak luar adalah 180 delapan puluh

derajat.


3.1.2 Sudut Bagi


2. Pilih Random > Triangle ABC dari menu Units.

3. Gunakan menu Line membagi sudut segitiga ABC.

4. Pilih mode Btns/Segments, gunakan tombol kanan ke gambar untuk membuat

titik E yang terletak antara garis BD yang membagi garis AC.

5. Gunakan menu Edit untuk menghapus titik D

6. Pilih Meas. Tulis di measurements BA, BC, AE/EC kemudian tekan enter

setelah masing-masing penulisan sudut, kemudian keluar dari dialog. Salah

satu dalam layar akan menunjukkan bahwa titik E adalah bukan titik tengah

dari AC.


7. Ubah mouse ke mode Drag vertices, kemudian pakai tombol kiri ke drag

vertices dari segitiga ABC untuk mengubah-ubah segitiga ABC tersebut

dalam layar. Pertama kali cobalah membuat rasio AE/EC = 1. Dari berbagai

jenis yang terjadi apa yang benar antara BA dan BC?

Untuk membuat ratio AE/EC = 1, maka besar BA = 5,24 dan BC = 4

8. Kemudian coba temukan pengaturan untuk membuat panjang BA dua kali

lebih panjang daripada BC. Ketika kamu menemukan hal tersebut, perhatikan

besar dari AE/EC.


(Setelah membuat panjang BA dua kali lebih panjang daripada BC, misalnya

BA = 5 maka nilai BC = 2,5 maka besar nilai dari AE/EC = 1.47

Maka dari gambar didapat bahwa (teorema):

Jika dua sisi dari sebuah segitiga tidak sama besar, maka sudut yang

berhadapan akan tidak sama dan sudut yang lebih besar itu berhadapan

dengan sisi yang lebih panjang.

Jika dua sudut dalam segitiga tidak sama, maka sisi yang berhadapan tidak

sama besar dan sisi yang panjang berhadapan dengan sudut yang besar).

9. Rumus dari pernyataan disebut Teorema Sudut Bagi. Hal itu akan

menjelaskan lokasi dari titik sudut sisi berhadapan dalam segitiga. Buat

pengukuran tambahan untuk menguatkan peryataan anda.

10. Gunakan teorema untuk menghitung AE, dimana AB = 9, BC = 15, dan CA =

12 (Jika AB = 9, BC = 15 maka AE/EC = 6)

11. Hasilnya yang berupa angka tidak dapat membuktikan maupun menjelaskan.

Salah satu jalan untuk memahaminya dari mana asal sudut bagi tersebut ialah

mengikuti aturan sebagai berikut. Gunakan menu line untuk memperpanjang


CB dan menggambar garis parallel ke BE menembus A. Karena garis

memotong BC mungkin tidak jelas maka gunakan dialog Point > intersection

> Line-line ke titik ( yang mungkin titik F, kecuali kamu bisa menggantikan

langkah-langkah sebelumnya ). Kemudian tekan Ctrl + W untuk membuat

semuanya jelas.

12. Gunakan Measure untuk menentukan besar < BAF dan < BFA dan jelaskan

mengapa hasilnya sama. Gunakan Measure untuk menentukan besar BA dan

BF dan jelaskan mengapa hasilnya sama. Gunakan Measure untuk

menentukan besar BF/BC dan EA/EC dan jelaskan mengapa hasilnya selalu

sama. (Teorema Hasil Bagi Sudut di atas).


3.2 Segitiga dan Segiempat

3.2.1 Pencerminan pada Segitiga


2. Buatlah garia AB dan segitiga CDE yang berada disebelah kanan garis AB,

seperti pada gambar berikut.

3. Klik Transform > Mirror, ketik CDE ke kotak vertices, dan lihat bahwa AB

muncul di kotak mirror. Klik draw. Bayangan segitiga CDE yaitu segitiga

C'D'E' seharusnya akan muncul.

4. Gambarlah 'CC dengan klik kiri pada mode segment, dan klik kanan untuk

membuat label F pada perpotongan 'CC dan AB .

5. Segitiga CDE dan C'D'E' tentu saja kongruen, tapi perhatikan bahwa arah

penamaan titik berbeda.


6. Sebelum kamu membuat perhitungan (mengukur), perkirakan hubungan

antara 'CC dan AB , antara 'DD dan AB , dan antara 'EE dan AB .

Sekarang ubah mode mouse ke Drag Vertices dan gunakan tombol kiri untuk

menggerakkan puncak (sudut) dari segitiga CDE ke sekitar layar. Perhatikan

apa yang terjadi pada bayangan segitiga, dan apa yang terjadi pada

penghubung 'CC .

• Jika kita menggerakkan titik C maka, gambar segitiga CDE akan

berubah dan segitiga C'D'E' juga akan berubah sesuai dengan bentuk

gambar segitiga CDE dan 'CC akan mengalami perubahan panjang.

• Jika kita menggerakkan titik D maka 'CC tidak akan mengalami

perubahan, tetapi 'DD akan mengalami perubahan panjang.

• Jika kita menggerakkan titik E maka 'CC tidak akan mengalami

perubahan, tetapi 'EE akan mengalami perubahan panjang.

7. Jika kamu menduga bahwa dua buah bangun akan kongruen oleh

pencerminan, bagaimana kamu pastikan dugaanmu dan bagaimana membuat

garis pencerminan (cermin itu)?


(Dengan memeriksa ukuran-ukuran yang bersesuaian untuk kedua segitiga

tersebut, seperti pada gambar berikut)

Langkah-langkah pembuatan garis pencerminan :

1. Misalkan dua hasil pencerminan segitiga ABC adalah segitiga A’B’C’.

Tarik garis yang menghubungkan C dengan C', B dengan B', dan A

dengan A'.

2. Tentukan titik tengah 'AA , 'BB , dan 'CC dan beri nama D, E, F pada

setiap perpotongannya, ketiga titik potong ini hendaknya segaris. Buatlah

garis yang melalui ketiga titik tersebut misalkan garis GH. Jika garis GH

ini tegaklurus terhadap 'AA , 'BB , dan 'CC , maka garis GH merupakan

sumbu pencerminan.


3.2.2 Titik Berat Luasan


2. Klik Unit / Random / Triangle untuk membuat segi tiga ABC yang nampak

di jendela.

3. Tanda midpoints D dan E dari garis AB dan BC: klik point / on segmen,

membuat AB, BC ke dalam kotak segmen, dan klik mark.

4. Dengan mouse di Btns / Segmen mode, menggunakan tombol kiri untuk

menggambar titik tengah AE dan CD. kemudian klik kanan pada titik F ke

dalam persimpangan dari AE dan CD.

5. Panjang dari FD dan FE digunakan untuk menunjuk titik G dan H berturut-

turut.( Dengan kata lain, kita ingin FD = DG dan FE = EH) untuk melakukan

ini, klik point / on segmen ( bisa menggunakan langkah 2). Kemudian ketik

garis FD, FE ke dalam kotak segmen, masukkan 2 titik koordinat ke dalam

kotak, dan klik mark. Dari langkah ini terlihat gambar yang ada di bawah.


6. Klik Measure, dan kitik garis AF / FE dan tekan Enter. Nomor yang dikenal

seharusnya nampak. Tujuan kita adalah untuk menemukan mengapa, dan juga

untuk menunjukkan median dari beberapa segi tiga yang sama panjang. Tutup

kotak tersebut.

7. Segitiga diberi warna berbeda, agar mudah diamati dengan melakukan klik

Edit > Highlight > Line attributes. Ketik titik AB, BC, CA kedalam kotak

lines, 2 ke dalam kotak thickness, dan klik apply. Tutup kotak tersebut.

8. Klik Line > Segments, ketikan titik AGBF kedalam kotak, dan tekan Enter.

Apakah dari ke-empat sisi AGBF terlihat sama? Panjang ke-empat sisi AGBF

tidak sama. Ubah klik pada mode Drag vertices dan gunakan tombol kiri untuk

mengerakkan puncak dari segi tiga ABC di sekitar layar – tidakkah jawabanmu

berubah? Ya berubah, tetapi panjang garis AG = FB dan panjang garis GB =


AF. Dapatkah kamu membuktikan tanggapanmu? Dengan menggunakan

langkah No.5 ( Measure ), untuk mencari panjang dari keempat sisi tersebut.

9. Gambar garis BH dan HC. Seperti Apa segiempat BHCF? Seperti jajar

genjang. Bagaimana Anda mengetahui? Karena panjang kedua sisi yang

berhadapan sama besar, yaitu pajang garis FB = CH dan panjang garis FC

= BH dan keempat sisinya tidak sama panjang.

10. Terlihat FH adalah sejajar ke GB, dan FG adalah sejajar ke HB. Berikan bukti

bahwa itu benar. Dengan menggunakan langkah No.5 ( Measure ), dengan

mencari <GFH, <GBH, <FGB dan <FHB, karena sudut sehadap sama besar

yaitu <GFB = <GBH dan <FGB = <FHB jadi FH sejajar ke GB dan FG

sejajar ke HB. Seperti apa segiempat BHGF? Seperti jajar genjang.

11. Temukan dua bagian garis dalam gambarmu bahwa kamu yakin mempunyai

panjang yang sama dengan garis AF, tak peduli bagaimana puncak dari ABC

ditempatkan pada layar.

2 garis yang mempunyai panjang sama dengan garis AF tak peduli puncak dari

segitiga ABC ditempatkan adalah garis FH dan garis GB.


12. Temukan dua bagian garis dalam gambarmu bahwa kamu yakin mempunyai

panjang yang sama dengan garis CF, tak peduli bagaimana puncak dari ABC

ditempatkan pada layar.

2 garis yang mempunyai panjang sama dengan garis CF tak peduli

bagaimana puncak dari segitiga ABC digerakkan adalah garis FG dan garis

HB.

13. Bagaimana cara membandingkan panjang dari AF dan FE? Dengan

mengetahui dahulu panjang dari garis AF dan FE. Di dapat bahwa

perbandibangan AF dan FE adalah 2 : 1. ( klik Measure ) atau ( klik Point /

On segmen ‘koordinat’ )

14. Bagaimana cara membandingkan panjang dari CF dan FD? Dengan

mengetahui dahulu panjang dari garis CF dan FD. Di dapat bahwa

perbandibangan AF dan FD adalah 2 : 1. ( klik Measure ) atau ( klik Point /

On segmen ’koordinat’ )

15. Apa yang akan terjadi jika nilai titik tengah dari B ke CA sekarang digambar?

Bagaimana anda mengetahui? Dengan klik Point / On Segmen, dari sana kita

dapat menarik garis dari titik F ke titik I ( titik tengah dari garis AC ) dengan

menggunakan Toolbar / Segmen, ternyata titik I segaris dengan BF .

16. Titik F disebut pusat luasan (titik berat) dari segi tiga ABC. Ringkaslah dalam

beberapa kalimat apa yang sudah kamu pelajari dari hal ini!

RINGKASAN :

# Mencari titik F ( pusat luasan ) bisa dengan cara mencari 2 titik tengah

baik dari garis AB, BC atau CA.

# Segiempat AGBF di dapat dengan cara menarik garis dari titik F melalui

titik D ke titik G dengan catatan panjang garis FD = DG, dan di dapat

segiempat AGBF seperti jajar genjang..

# Segiempat BHCF di dapat dengan cara menarik garis dari titik F melalui

titik E ke titik H dengan catatan panjang garis FE = EG, dan di dapat

segiempat BHCF seperti jajar genjang.


# Lihat Segiempat BHGF, garis FH sejajar ke GB, dan garis FG sejajar ke

HB. Pembuktiannya bisa menggunakan cara mencari sudut dari <GFH,

<GBH, <FGB dan <FHB, diketahui bahwa sudut sehadap mempunyai besar

sudut yang sama besar yaitu <GFH = <GBH dan <FGB = <FHB.

# Titik tengah AC ternyata dapat dicari dengan cara menarik garis lurus dari

garis BF.

3.2.3 Titik Tengah Segiempat


2. Untuk memulai, klik Unit > Random > Convex polygon, ketik 4 dalam boks

edit kemudian tekan Enter. Sebuah Segiempat ABCD sembarang akan

ditampilkan pada layar.

3. Tanda titik tengah pada keempat sisinya: Klik Point > on Segment, ketiklah

AB, BC, CD, DA, dalam kotak segment, akan nampak 0.5 telah disiapkan

dalam kotak coordinate dan klik mark. Keempat titik tengah E, F, G dan H,

akan nampak pada AB, BC, CD, dan DA secara berturut-turut. Tutuplah kotak

dialog itu.

4. Menyambungkan titik tengah untuk membentuk sebuah segiempat baru: Klik

Line > Segements, ketik EFGHE, pada kotak edit, dan tekan enter.(Kotak

dialog ini menerima EFGH sebagai sebuah singkatan untuk dari sisi-sisi EF,

FG, GH, HE. Cara singkatnya akan dikerjakan pada langkah ke-2). Sekarang,

segiempat EFGH akan ditampilkan pada layar.


5. Karena dipilih secara random maka segiempat ABCD tidak memiliki sifat-

sifat khusus. Namun demikian, segiempat EFGH hasil dari titik tengahnya

adalah segiempat yang khusus. Untuk melihat kekhususannya, gunakan

measurements EF, FG, GH, HE. (Measure, hanya dapat digunakan pada saat

itu) Kekhususan seperti apakan Segiempat EFGH itu?

6. Jika segiempat ABCD memiliki sifat khusus, maka segiempat EFGH hasil

dari titik tengahnya mungkin memiliki sifat khusus lainnya. Jika kamu

arahkan mouse pada Btns > Drag vertices dan menggeser sudut dari ABCD

pada sekitar layar kerja, kamu dapat memberikan sifat khusus dari ABCD dan

lihat apa yang terjadi pada EFGH sebagai hasilnya. Atau, dengan pendekatan

sementara, kamu dapat memulai dengan sebuah ABCD yang memiliki sifat

khusus dan buatlah segiempat EFGH hasil dari titik tengahnya. Sebagai

contoh, klik Units > Random > Kite untuk memperoleh sebuah layang-layang

atau klik Units > Random > Trapezoid untuk memperoleh sebuah trapesium,

keduanya ditampilkan secara random.


Dengan pendekatanmu, kamu mungkin ingin membuat pengukuran

tambahan sebagai jawaban dari masing-masing pertanyaan berikut:

Jika ABCD adalah persegi panjang, maka EFGH adalah belah ketupat

Jika IJKL adalah layang-layang, maka MNOP adalah persegi panjang

Jika QRST adalah belah ketupat, maka UVWX adalah persegi panjang


Jika ABCD adalah trapesium, maka EFGH adalah belah ketupat

Jika IJKL adalah jajargenjang, maka MNOP adalah jajargenjang

Jika QRST adalah persegi, maka UVWX adalah persegi

Jika ABCD adalah segiempat tidak beraturan, maka EFGH adalah

jajargenjang

7. Sebaliknya, dapat ditanyakan bagaimanakah seharusnya sifat segiempat

ABCD, yang menghasilkan suatu segiempat EFGH. Lengkapilah masing-

masing berikut:

Jika EFGH adalah persegi panjang, maka ABCD harus belah ketupat atau

layang-layang


Jika EFGH adalah belah ketupat, maka ABCD harus persegi panjang atau

trapesium

Jika EFGH adalah jajargenjang, maka ABCD harus jajargenjang dan

segiempat tak beraturan.

Jika EFGH adalah persegi, maka ABCD harus persegi

(Jawaban diatas berdasarkan hasil pengamatan pada langkah 5)

8. Diagonal-diagonal ABCD berperan penting dalam pola dari contoh-contoh

sebelumnya. Apakah peran pentingnya itu?

Pada bangun datar segiempat yang mempunyai sisi-sisi saling sejajar dan

sama panjang, diagonal-diagonalnya akan membagi dua sama panjang

masing-masing sisi pada bangun datar hasil dari midpointnya. Bangun

datar tersebut diantaranya adalah persegi panjang, belah ketupat, persegi

dan jajargenjang.

Selain bagun datar segiempat tersebut kecuali segiempat tak beraturan,

hanya salah satu diagonalnya saja yang membagi dua sama panjang pada

dua sisi yang saling berhadapan pada bangun datar hasil dari

midpointnya.


9. Efek yang berguna: Gambar diagonal AC dan BD (gunakan tombol kiri

mouse, atau cara lain, klik Line > Segments), dan kemudian meng-highlight.

Caranya, klik Edit > Highlihgts > Line attributes, ketiklah AC, BD pada

kotak lines, 2 pada kotak thickness dan klik apply. Tutup kotak dialog ini,

kemudian geser masing-masing sudut ABCD dan pelajari hubungan antara

EFGH dan diagonal-diagonal AC dan BD .

10. Sebuah pendekatan yang mungkin untuk pertanyaan pertama pada nomor 6:

Mulai dengan sebuah persegi panjang dan rubahlah labelnya menjadi EFGH

(pertama arahkan dan klik mouse pada Btns > Text, kemudian klik kanan

masing-masing label untuk merubahnya). Arahkan mouse kembali pada Btns

> Segments dan tandailah titik A diluar persegi panjang di sekitar E.

Kemudian buatlah segiempat ABCD sedemikian sehingga EFGH merupakan

titik tengah segiempatnya: Pertama, hubungkan A ke E, kemudian gunakan

Point > on Segments untuk memperpanjang AE ke B sedemikian sehingga E

adalah titik tengah AB . Kemudian hubungkan B ke F dan begitu seterusnya.

Ketika kamu selesai, temukan sifat khusus dari ABCD, tidak masalah dimana

A diletakkan dimanapun.

Kesimpulan:

Pengerjaan soal pada langkah 6 dengan cara pada langkah 9, didapatkan

hasil sebagai berikut:


Hal ini memberikan tambahan jawaban bahwa segiempat tak beraturan

dapat memberikan hasil bangun datar tertentu pada titik-tengahnya

3.2.4 Teorema Pythagoras


2. Untuk memulainya, klik Unit > Random > Right triangle. Sebuah segitiga

siku-siku sembarang akan muncul dilayar.

3. Klik Units > Polygon >Attach > Reguler, Pastikan angka 4 didalam sides

box, ketik BA, AC, CB didalam kotak sisi, dan klik attach. Persegi BADE,

ACFG, dan CBHI harus terletak diluar segitiga ABC. Karena program ini


pengerjaan pemberian label berlawanan arah jarum jam, kamu harus teliti

jangan sampai terbalik dalam penulisan BA dengan AB dalam mengetik.

4. Klik Measure. Ketik BADE dan tekan Enter untuk melihat luas persegi

BADE. Ketik ACFG+CBHI dan tekan enter untuk melihat jumlah luas persegi

ACFG dan CBHI. Perhatikan hasilnya. Tutup kotak dialog.

5. Klik Edit >Randomize. Sebuah segitiga siku-siku sembarang akan muncul

dilayar dengan disertai segi empat. Perhatikan bahwa perhitungan tetap sama..

6. Untuk mulai lagi dari awal, klik File >New (klik no jika tidak akan

menyimpan file yang telah dibuat). Kemudian klik Units > Random >

Triangle (perhatikan: bukan sebuah segitiga siku-siku). Sebuah segitiga


sembarang akan muncul dilayar. Lakukan langkah 2 dan 3. Dua perhitungan

yang mungkin tidak sama. Kembali ke dialog Measure dan bertanya untuk

ukuran dari sudut BCA. (Ingat untuk mengetik < BCA). Tutup dialog box.

7. Agar dapat menggunakan mouse untuk mengeser satu persatu titik sudut, klik

Btns >Drag vertices.

8. Ambil sembarang titik sudut dari segitiga ABC, klik kiri tahan, dan geser titik

sudut yang dipilih keposisi yang baru. Perhatikan bahwa label sudut berubah

warna, untuk menandakan kamu telah mengubah titik sudut. Pengeseran titik

sudut kesekitar dalam diagram acak. Perhatikan bahwa perhitungan yang

ditampilkan berubah ketika diagram tersebut dijalankan. Coba untuk

mengubah segitiga ABC sehingga ukuran luas BADE dan ACFG+CBHI sama

besar, perhatikan apa yang terjadi pada ukuran segitiga BCA.


9. Jika kamu mencoba menggeser salah satu titik sudut selain A, B, atau C, kamu

akan mengetahui jumlah keseluruhan. Apakah kamu dapat memperkirakan

bahwa ini dapat terjadi?

Karena pada awalnya kita hanya membuat segitiga ABC sehingga titik-

titik sudut yang lain merupakan satu kesatuan yang tidak dapat diubah.

10. Sesuatu yang menarik: Ulangi lagi langkah 1, 2, dan 3 tetapi gantilah persegi

yang diluar segitiga ABC dengan segi lima beraturan. Untuk melakukan ini,

taruh angka 5 kedalam sides box seperti pada langkah 2. Pada langkah 3

sertakan luas dari segilima dengan mengetik 5 huruf yang membentuk segi

lima tersebut, sebagai contoh BADEF. Apakah kamu memperhatikan sesuatu

yang tidak asing dalam pangukuran?


Dari percobaan 1 dan 3 dapat dilihat bahwa jumlah luas segilima BCLKJ dan

ACGHT sama dengan luas segilima ABFED.

11. Pada soal yang sebelumnya dapat diulangi dengan segi banyak lainnya.disini

ada suatu explorasi yang sedikit berbeda.Mulai dengan segitiga siku-siku

senbarang yang baru dan menandai titik tengah dari sisinya: klik Point >on

Segment. Ketik AC,CB,BA didalam segments box,periksa bahwa

0,5menunjukkan coordinate box dan klik mark. Tutup dialog box.

12. Klik Circle >Radius-Center untuk menggambar beberapa setengah lingkaran.

Ini harus digambar satu persatu. Ketik D ke dalam center box, dan C ke dalam

arc starting at box. Klik ending at button, ketik A pada adjacent edit box, dan

klik draw.Sebuah setengah lingkaran akan terletak di luar segitiga ABC.

Untuk melihat dua busur lingkaran lainnya, gunakan E dan F sebagai pusat,

dan B dan A sebagai puncak, berturut-turut. Perhatikan bahwa itu


membedakan busur lingkaran yang terakhir yang di mulai dari puncak, sebab

program ini menggeser ke arah yang berlawanan dengan arah jarum jam.

13. Pada suatu waktu kamu dapat membatalkan langkah terakhir dengan mengklik

undo.

14. Untuk mengukur luas setengah lingkaran, kamu harus menggunakan rumus

umum ½ πr2. Klik Measure untuk membuka dialog, kemudian ketik 0.5

[pi]DC^2 dan tekan enter untuk melihat luas setengah lingkaran yang pertama.

(Tanda kurung siku di atas perlu, karena di sini tidak dijelaskan pada program

untuk mencari bagian yang dinamakan PI). Kamu dapat menekan F1 sebagai

pengganti [pi]. Kamu juga dapat mengetik [pie] (DC) untuk melihat luas

daerahnya. Sekarang ketik rumus untuk luas daerah dua setengah lingkaran

lainnya. Apakah jawabannya berhubungan dengan perkiraanmu?

15. Dalil pythagorean yang ditetapkan, persegi dalam hipotenuse dengan segitiga

siku-siku adalah sama untuk jumlah dari kaki-kaki perseginya. Kemukakan


beberapa versi umum dari dalil ini, dengan mempertimbangkan contoh yang

baru saja kamu lihat.

Jawab:

• Persegi dapat dibentuk dari dua segitiga siku-siku yang sama

besar

• Jumlah sudut persegi (dalam derajat) yang dibentuk oleh dua

segitiga siku-siku yang sama besar adalah 1800.

3.3 Pembelajaran Lingkaran dan Irisan Kerucut

3.3.1 Titik Pusat Lingkaran Luar Segitiga


Bagian I

2. Untuk memulai membuat segitiga sembarang dengan mengklik Unit >

Random > Triangle.

3. Gambar dua garis tegak lurus yaitu AB dan BC : cara yang paling mudah

untuk menghasilkan dua garis tegak lurus dengan mengklik Line >

Perpendiculars > Perp bisectors, ketik AB, BC kedalam kotak lalu tekan

enter. Layar akan mengatur untuk menampilkan DE dan FG , dimana D dan F

sebagai titik tengah.

4. Namakan titik potong dari dua sektor. Ada dua cara untuk membuatnya. Jika

mouse dalam model Btns > Segments, hanya titik pada titik potong dan klik

pada kanan bawah. Label H akan ditampilkan. (Cara lain untuk menampilkan

titik potong yaitu dengan menggunakan Point > Intersection > Line-line. Cara

ini lebih baik untuk melihat titik potong dengan bagus.


5. Menandai titik tengah CA : klik Point > on Segment, ketik CA pada kotak

segmen, peringatan bahwa koordinat 0,5 selalu ditampilkan dalam kotak

koordinat dan klik Mark. Label I akan ditampilkan pada titik tengah.

6. Hubungkan H dan I. (ada dua cara untuk melakukanya).


7. Buka kotak Measure lalu ketik HC, HA , ∠ HIA, pada waktu yang sama.

Tutup kotak dialog. Peringatan bahwa tampilan konfirmasi ukuran-ukuran

sebuah teorema tentang dua garis tegak lurus dari segitiga, Apa teoremanya?

Karena °=∠ 90HIA maka menggunakan Teorema Phytagoras.

8. Karena ABC adalah segitiga sembarang , maka titik puncaknya dapat ditarik

disekitar layar,dan ketika berhenti maka ukuranya akan berubah. Letakkan

mouse di Btns >Drag verticles, kemudian gunakan tekhnik penarikan kiri-

bawah pada A, B, dan C untuk melihat tampilan ukuran, selanjutnya untuk

mengilustrasikan teorema. (bagian lain dari gambar tidak bisa ditarik

mengelilingi dengan memindahkan keseluruhan dari gambar).

Bagian II

9. Klik Edit > Delete > Point,ketik E F G I ke dalam kotak lalu tekan Enter. Ini

memindahkan kembali dua garis lebih baik dari pada, memindahkan 4 titik

dari gambar. Apakah akan tetap segitiga ABC dan satu dari dua garis

tegaklurus bernama DH, dimana H disebut keliling pusat dari ABC. Kamu

dapat menghapus ukuran dari gambar (membuat pengertian dari salah satu

garis yang tidak panjang ).

10. Tarik titik C disekitar layar, perhatikan bahwa kontruksi H untuk digeser

diantara 2 sektor DH, dimana H tidak bisa dipindah. H bebas dari C.


11. Tarik A dan B disekitar layar. Perhatikan bhwa H terpaksa berhenti untuk

digeser diantara dua sector DH ,salah satu harus bergeser karena AB

berpindah.

12. Perhatikan bahwa kadang-kadang pusat keliling H ada didalam

segitiga,kadang-kadang ada diluar segitiga, tentunya ini tergantung posisi dari

3 titik. Cobalah untuk membuktikan tentang fenomena diluar dan didalam dan

luar ini. Dalam keterangan ketika pusat keliling dari dalam ke luar (atau luar

ke dalam), dimana letek perpotongannya?


Bagian III

13. Untuk membuat bagian baru dengan mengklik File > New. Pilih No, lalu

meminta yang lain Units| Random| Triangle

14. Cara cepat membuat pusat keliling dari menampilkan ABCadalah dengan

meminta dari keliling lingkaran. Klik Circle > Circumcircle, perhatikn bahwa

ABC siap ditampilkan di kotak edit, laku tekan Enter. Lingkaran dengan pusat

D akan ditampilkan. Karena pada bagian ini kita tidak membicarakan tentang

lingkaran , maka kita akan menghapusnya dengan cara : klik Edit > Delete >

Circle,pilih Circle pada daftar kotak lalu klik tombol Delete. Lingkaran tidak

ditampilkan hanya meningalkan dibelakang pusat D tutup kotak dialog

penghapusan.

15. Sama seperti pada langkah 10, 11 dan 12, memindahkan puncak ABC sekitar

layar , mencoba untuk membuat pengertian dari gerakan pusat keliling D.


Bagian IV

16. Sekarang kita fokus pada segitiga sama kaki, yang sejuh ini menjadi dasar.

Klik Line > Segments,tulis DA, DB, DC dalam kotak lalu tekan Enter.

17. Klik Measure dan meminta ( bersamaan) untuk .,, DBCDCBDCA ∠∠∠ Tutup

kotak dialog dan geser puncak segitiga ABC di sekitar layar. Perhatikan

pernyataan kedua dan ketiga tentang sudut, kenapa begitu? Pernyataan

pertama dan kedua tidak sesuai, apakah CD adalah sudut bisector? Apakah

dua dari segitiga sama kaki selalu kongruen satu sama lain?

Pernyataan kedua dan ketiga memiliki sudut yang sama walaupun salah

satu titik digeser disekitar layar. Tidak, CD merupakan bukan sudut

bisector karena

DCBDCAdan∠∠ tidak sama besar. Tidak, karena tidak ditemukan dari

dua atau tiga segitiga yang sama dan sebangun.


18. Chek bagian ini dengan mengklik Other > Autuextend. Klik Point >

Intersection > Line-line > tulis AB dan CD kedalam kotak dan tekan Enter.

Titik E menghadap AB danCD akan diperpanjang untuk jangkauannya, jika

perlu (ini adalah alasan untuk mengaktifkan Autoextend). Geser ABC

disekitar layar, apakah E merupakan titik tengah dari AB ? apakah CE

tegaklurus AB ? buatlah pengukuran tambahan jika diperlukan. Tidak,karena

ukuran EBdanAE tidak sama besar. CE tidak tegak lurus dengan AB ,

karena BECAECdan∠∠ tidak sama dengan °90

19. Sebagai efek ekstra kamu bisa mewarnai segitiga tersebut. Klik Edit >

Highlights > Fill regions , ketik DAB di dalam kotak dan Klik Fill, sebelum

mewarnai segitiga DBC dan DCA, buka Color palette dan klik cell baru untuk

mengubah warna, jika kamu berubah pikiran kamu dapat Delete one item dari

Fill inventory. Tekan Ecape untuk menutup dalog. Jika label alphabetic ada

dalam warna ,kamu bias menekan Ctrl + L untuk mematikan label. Atau kamu

bisa pakai cara Btns > Text dan memindah label dalam lokasi baru.


3.3.2 Parabola


2. Untuk memulai, klik Unit >Segment, kemudian klik ok. Muncul garis AB.

3. Klik Point > Coordinates. Ketik koordinat x = 0.5 dan koordinat y = 0.3 ke

dalam kotak. (Kita dapat menggunakan tombol Tab untuk menggeser dari

kotak satu ke kotak yang lain, atau dengan klik kiri. Dengan menekan Tab

akan selalu menampilkan teks yang akan dipilih). Klik Mark untuk membuat

titik C pada koordinat. Kita dapat menekan Escape untuk menutup kotak

dialog, yang mana akan memindahkan titik koordinat.

4. Kita dapat membatalkan kembali langkah terakhir dengan Edit > Undo (atau

dengan menekan control +Z).

5. Klik Point > on Segment. Kita akan membuat titik yang dapat bergerak pada

garis AB. Untuk membuatnya, Ketik # (yang mana membantu banyaknya

suatu variabel) ke dalam kotak edit, periksa kotak segment yang

memperlihatkan AB, kemudian klik Mark. Titik D muncul pada garis AB.


6. Kita akan menghubungkan C ke D, klik Line > Segments. Ketik CD (huruf

kecil tidak masalah) dan tekan Enter (atau klik OK). Muncul garis CD.

7. Kita akan melukis garis tegak lurus membagi dua garis yg kita buat. Klik Line

> Perpendiculars > Perp bisectors. Ketik CD ke dalam kotak edit dan tekan

Enter (atau klik OK). Muncul garis EF dengan E titik tengah garis CD.

8. Kita akan melukis garis yang tegak lurus garis AB dan memotong D. Klik

Line > Perpendiculars > General. Ketik AB ke dalam kotak perpendicular to

dan D ke dalam kotak through point dan klik draw. Muncul garis DG. Bingkai

yang terlihat mungkin akan berubah posisi karena titik baru tersebut. Tutup

kotak dialog.

9. Kita akan memberi nama titik pada dua garis tegak lurus yang saling

berpotongan. Ada dua cara yang dapat dilakukan. Jika menggunakan mouse

cara Btns > Segments, klik pada titik potong dengan klik kanan. Muncul H.

(Cara lain : klik Point > Intersection > Line-line. Ketik garis dengan nama

DG dan EF ke dalam kotak dan klik Mark. H muncul. Kita dapat menekan

Escape untuk menutup kotak dialog).

10. Klik Animate > # Slider. Ini membuat sebuah control Scrollbar yang dapat

mengubah-ubah posisi titik D pada garis AB. Variasi posisi dilukiskan dengan


satu koordinat #, yang sudah dibuat sehingga 0 sesuai dengan posisi A dan 1

sesuai dengan posisi B. Kita dapat mengubah posisi D dengan mengetik nilai

baru untuk # dan tekan Enter, atau dengan menggunakan klik kiri dan tarik

Scroll, atau dengan klik panah ke kiri dan ke kanan. Cobalah! Ketika gambar

bereaksi, posisi titik H berubah. Pandanglah mengikuti lintasannya. Jangan

meng-klik dua tombol set kecuali kamu tahu apa guna tombol itu.

11. Kita dapat juga meletakkan scrollbar pada autopilot dengan meng-klik tombol

reverse. Sebagai peringatan bahwa kotak dialog hilang, dan muncul judul baru

diatas gambar window : untuk menghentikan animasi kamu dapat menekan Q.

12. Untuk melihat lintasan parabola H, buka Animasi > Tracing dialog dan klik

New. Ketik H ke dalam kotak pen on, periksa bahwa tombol control untuk #


terpilih, tinggalkan yang lainnya dan tekan Enter untuk mengkonfirmasikan

pilihanmu. Kurva parabola harus tampak dengan konstruksi kita diatasnya

Pertanyaan:

Dengan pengecualian titik H, semua titik pada perpotongan garis tegak

lurus membagi dua garis CD mendekati garis AB(direktrik) dari pada titik

C(titik fokus). Jelaskan mengapa?

Gambar tersebut memperlihatkan bahwa garis tegak lurus membagi dua

garis CD merupakan garis singgung parabola(di H). Jelaskan mengapa?

Jawab:

Karena garis tersebut memotong tegak lurus garis CD, sedangkan garis

AB merupakan lintasan titik D, sehingga garis tersebut tidak mendekati titik C

maupun titik D, tetapi mendekati lintasan titik D.


Karena ada satu titik pada garis tersebut, yaitu titik H, yang membuat

lintasan parabola(titik potong antara garis EF dan parabola), sehingga garis

tegak lurus CD tersebut selalu menyinggung parabola jika digerakkan.

3.4 Latihan

1. Buatlah file wg.2 yang dapat digunakan untuk pembelajaran dengan topik

“simetri putar pada persegi”, dengan memanfaatkan fasilitas animasi, seperti

pada tampilan berikut.


2. Buatlah file wg.2 yang dapat digunakan untuk pembelajaran “sifat-sifat

belahketupat”, dengan fasilitas animasi, seperti pada tampilan berikut.

3. Buatlah file wg.2 yang dapat digunakan untuk pembelajaran “dilatasi”, dengan

memanfaatkan fasilitas animasi, seperti pada tampilan berikut.



“garis singgung lingkaran”, seperti pada tampilan berikut.


“fungsi 1/x”, dengan memanfaatkan fasilitas animasi, seperti pada tampilan

berikut.

BAB 4

PENGOPERASIAN PROGRAM

WINGEOM 3-DIM



menggambar dan mengeksplorasi konsep kubus, balok dan sifat-sifatnya.


menggambar dan mengeksplorasi konsep prisma, limas dan sifat-sifatnya.


menggambar dan mengeksplorasi konsep kedudukan titik, garis, bidang

dan sifat-sifatnya.

111


4.1 ubus dan Balok

nyediakan menu untuk menyajikan berbagai bentuk

bangu

Gambar 4.1.1 Kubus ABCD.EFGH

K

4.1.1 Menggambar kubus

Program Wingeom me

n ruang, termasuk kubus. Untuk menggambar kubus pada jendela 3-dim

dapat dilakukan dengan meng-klik Unit > Polyhedral > Box, dan mengisi

submenu rectangular box yang menyatakan panjang rusuk yang kita inginkan.

Misalnya rectangular box tersebut length, width dan height kita isi dengan 3,

berarti kubus yang muncul mempunyai ukuran panjang rusuk 3 satuan panjang.

Tampilannya akan muncul seperti pada Gambar 4.1.1 di bawah ini. Untuk

menampilkan kubus transparan seperti pada gambar tersebut, pastikan bahwa sub

menu Dotted aktif, dengan mengklik View > Display > Dot hidden lines.

Jika label titik sudut (A, B, C, D, E, F, G, H) belum tampil, dapat

dimunculkan mengklik : View > Labels > Letter on/off. Modifikasi font untuk

label dapat dilakukan dari View > Label > font. Untuk memodifiaksi warna label


dapat dilakukan dengan View > Label > color. Dapat pula dicoba untuk sub menu

yang lain dari sub menu Label, dan diamati perubahan yang terjadi. Periksa

kembali seperti yang dibahas dalam Bab I atau bisa dilihat dari help, bila

diperlukan informasi yang terkait. Untuk membatalkan suatu peritah yang sudah

terlanjur diberikan dapat dilakukan dengan mengklik Edit > Undo.

Tampilan model kubus tersebut dapat diamati dari berbagai sudut pandang

denga

arna, sebelumnya pastikan

dulu

n menggunakan tombol anak panah ke atas , ke bawah , ke kanan dan

ke kiri pada keyboard. Tekan tombol anak panah ke atas jika ingin memutar

kubus ke atas, tekan tombol anak panah ke bawah jika ingin memutar kubus ke

bawah, tekan tombol anak panah ke kanan jika ingin memutar kubus ke kanan,

dan tekan tombol anak panah ke kiri jika ingin memutar kubus ke kiri. Kita juga

dapat memperbesar tampilan kubus dengan menekan tombol Page up atau

memperkecil tampilan kubus dengan menekan tombol Page down atau gunakan

menu view untuk mengubah-ubah tampilan. Pastikan menu view pada View >

Display > Dot hidden lines untuk membedakan gambar tampak depan dan

tampak belakang. Label nama kubus dapat kita ubah dengan meng-klik kanan

label yang ingin kita ganti dan mengisi kotak edit yang muncul dengan label

baru yang kita inginkan. Visualisasi yang tampak pada gambar 3.1 dapat

digunakan untuk mengenalkan bentuk kubus pada siswa. Siswa diharapkan dapat

mengeksplorasi dan mengamati model kubus tersebut.

Jika kita menghendaki tampilan kubus yang berw

bahwa sub menu Covexity assumed dari menu View harus diaktifkan (diberi

tanda cek ). Kemudian klik View > Display > Painted kemudian klik Edit >

Linear elements sehingga muncul jendela edit linear items. Pewarnaan kubus

dimulai dengan menuliskan atau memilih poligon yang diinginkan, sehingga

memunculkan bingkai merah yang menunjukkan sisi yang siap diwarnai atau

mengisi items dengan nama sisi yang akan kita warnai, selanjutnya klik color >

warna yang kita inginkan pada jendela face color. Klik undo untuk membatalkan

perintah. Contoh tampilan kubus berwarna tampak seperti Gambar 4.1.2 di bawah

ini :


Gambar 4.1.2 Kubus ABCD.EFGH dengan sisi berwarna

Gambar-gambar yang ditampilkan dari program Wingeom dapat

dipindahkan ke Program Pengolah kata, misalnya Microsoft Word. Hal ini dapat

dilakukan dengan mengklik File > Copy to clipboard, nampak tidak ada

perubahan apa-apa, tapi sebenarnya gambar sudah dicopy ke dalam clipboard.

Kemudian buka program Word, lalu gunakan paste, maka gambar akan

menempel pada Word sebagai file suatu file gambar. Gambar mungkin besarnya

tidak sama dengan yang ada di jendela Wingeom. Untuk mengatur ukuran gambar

seperti yang diinginkan dari Wingeom, dapat dilakukan dari File > Image size.

Dapat juga dilakukan dengan memodifikasi file gambar yang sudah menempel di

Word, dengan mengklik dua kali, dan selanjutnya dapat dilakukan modifikasi

yang diinginkan


4.1.2 Menggambar diagonal-diagonal pada kubus

a dilengkapi dengan fasilitas

mem

Program Wingeom untuk geometri dimensi tig

buat ruas garis baru pada bangun ruang. Fasilitas tersebut dapat digunakan

untuk menjelaskan dan memahami diagonal sisi pada kubus.

Menggambar diagonal sisi pada kubus.

Untuk menggambar diagonal sisi pada kubus dapat dilakuakan dari Linear >

segm

Gambar 4.1.3 Diagonal-diagonal sisi pada kubus ABCD.EFGH

ent or face sehingga muncul jendela new linear elements, ketik nama ruas

garis baru yang akan kita buat dan klik ok. Misalnya kita ingin membuat diagonal

sisi AF, maka pada jendela new linear elements ketikan AF, selanjutnya klik ok.

Program Wingeom tidak sensitif terhadap input text, artinya input huruf besar

ataupun huruf kecil dianggap sama saja. Lakukan dengan cara yang sama untuk

membuat diagonal sisi kubus yang lain, misalnya untuk diagonal sisi CH. Jika

ingin membatalkan klik cancel. Tampilan diagonal-diagonal sisi kubus yang

dilakukan seperti tampak pada Gambar berikut ini :

.


Tampilan diagonal-diagonal sisi seperti pada Gambar 4.1.3 dapat sedikit

dianimasikan dengan melihat dari berbagai sudut pandang dengan menggunakan

tombol panah kanan, kiri, atas atau bawah pada keyboard, dan tampilan dapat

diperbesar dan diperkecil dengan menggunakan tombol Page Up dan Page Down

pada keyboard atau gunakan fasilitas menu view. Visualisasi diagonal-diagonal

sisi dengan program Wingeom ini dapat semakin memudahkan siswa untuk

melihat diagonal-diagonal sisi pada kubus.

Menggambar diagonal ruang pada kubus.

Menggambar diagonal ruang pada kubus dapat dilakukan dengan cara yang

sama dengan menggambar diagonal sisi pada kubus di atas. Hal ini dilakukan

denga mengklik Linear > segment or face ketikan nama-nama ruas garis yang

merupakan diagonal ruang kubus tersebut pada kotak edit new linear element

Misalkan akan digambar diagonal ruang CE dan AG, pada jendela new linear

element ketikkan CE dan AG satu persatu, tapi dapat juga dengan menuliskan

sekal

.

igus: CE,AG. Gambar 4.1.4 berikut menampilkan diagonal-diagonal ruang

kubus yang dimaksud.

Gambar 4.1.4 Diagonal-diagonal ruang pada kubus ABCD.EFGH.


Ta unakan

tombol panah kanan, sehingga diperoleh efek kubus bergerak memutar. Pada

Gambar 4.1.4 di atas diagonal ruang CE terlihat berpotongan dengan diagonal sisi

AF dan CH. Dengan memutar kubus ini terlihat bahwa tampilan diagonal ruang

CE yang sebenarnya tidak berpotongan dengan diagonal sisi AF dan CH, akan

benar-benar terlihat tidak berpotongan, seperti terlihat pada Gambar 4.1.5 berikut.

Hal ini diharapkan dapat meningkatkan kemampuan keruangan siswa.

Gambar 4.1.5 Diagonal ruang CE tidak berpotongan dengan AF dan CE

mpilan seperti pada gambar 3.4 dapat juga dianimasikan mengg

B

E

F G

C

D

H

kemudian

paste di Word.

Meng

Gambar 4.1.5 di atas (yang nampak dalam teks ini) dibuat dengan memanfaatkan

fasilitas File > Copy to clipboard (dengan with background diaktifkan),

gambar bidang diagonal pada kubus.

Program Wingeom untuk geometri dimensi tiga juga dilengkapi dengan

fasilitas membuat bidang atau sisi baru pada bangun ruang. Fasilitas tersebut

dapat digunakan untuk menjelaskan dan memahami bidang diagonal pada kubus.

Untuk menggambar suatu bidang diagonal dapat dilakukan dengan

mengklik Linear > Segment or face. Pada kotak edit new linear elements ketikan

nama bidang baru yang akan dibuat sebagai bidang diagonal pada kubus. Supaya


tampilan bidang diagonal kubus semakin jelas, bidang-bidang diagonal tersebut

kita tampilkan satu-persatu (tidak sekaligus pada satu gambar kubus). Misalnya

kita akan membuat diagonal bidang ACGE, maka pada jendela new linear element

kita ketikaan ACGE, selanjutnya klik ok. Klik cancel untuk membatalkan.

Tampilan bidang diagonal ACGE pada kubus tampak pada Gambar 4.1.6 berikut :

Gambar 4.1.6 Bidang diagonal ACGE pada kubus ABCD.EFGH

Lakukan langkah yang sama untuk menampilkan bidang diagonal kubus

yang lain.

Untuk semakin memperjelas tampilan kita juga dapat mewarnai rusuk-rusuk

pemb ntuk bidang diagonal tersebut dengan warna yang kita inginkan. Klik View

> Thick s

etikan nama rusuk atau ruas garis yang akan kita warnai, kemudian klik color

untuk memilih warna. Kotak edit thickness digunakan untuk mengatur tebal tipis

ruas garis, selanjutnya klik add untuk mengerjakan perintah itu. Untuk

membatalkan klik item yang akan dihapus selanjutnya klik delete atau delete all

e

egments, sehingga muncul kotak edit highlight. Pada kotak edit segment

k


untuk menghapus semua perintah yang pewarnaan yang telah dibuat. Misalnya

kita menginginkan tampilan rusuk-rusuk penyusun diagonal ACGE berwarna biru

dengan ketebalan 3, maka pada kotak edit segment kita ketik AC, klik color pilih

warna biru, isikan angka 3 pada kotak edit thickness. Selanjutnya klik add, maka

ruas garis AC akan berwarna biru, sedikit agak tebal. Ulangi cara yang sama

untuk ruas garis CG, GE, dan EA, maka bidang diagonal ACGE akan tampil

seperti Gambar 4.1.7 berikut.

Gambar 4.1.7 Bidang diagonal ACGE kubus ABCD.EFGH yang diperjelas

Langkah mewarnai dan mempertebal ruas garis dapat dilakukan untuk

rusuk-rusuk kubus yang diinginkan.

Jika kita ingin mewarnai seluruh permukaan bidang diagonal dan bukan

hanya rusuk-rusuk penyusunnya, maka dapat dilakukan dengan cara berikut klik

View > Display > Painted. Pastikan dulu bahwa sub menu Covexity assumed dari

menu View harus diaktifkan Sampai di sini kubus tampil dengan sisi-sisinya

berupa suatu daerah yang berwarna putih (sisi di belakang tidak nampak).


Sementara untuk pilhan sub menu Dotted, kubus ditampilkan secara transparan

sehi ed,

sisi tidak dapat diwarnai karena transparan. Langkah selanjutnya adalah klik Edit

> linear elements, pada kotak edit item ketikan nama bidang diagonal yang akan

diwarnai, kemudian klik color untuk memilih warna. Bidang diagonal sudah

diwarnai, tapi belum kelihatan, karena masih tertutup bidang sisi kubus. Untuk

memperlihatkan bidang diagonal yang berwarna tersebut, bidang sisi kubus

ABCD.EFGH, dibuat transparan dengan cara klik tombol item sampai muncul

bingkai merah yang menunjukkan sisi yang terpilih. Kemudian klik tombol transp

sisi yang terpilh akan ditampilkan transparan. Lakukan juga untuk bidang sisi

kubus yang lain. Setelah semua sisi penyusun kubus ABCD.EFGH transparan,

maka tampilan diagonal bidang ACGE (diberi warna hijau muda) tampak seperti

Gambar 4.1.8 berikut ini.

Gambar 4.1.8 Bidang diagonal ACGE pada kubus ABCD.EFGH berwarna.

ngga rusuk di belakang ditampilkan putus-putus. Tapi pada pilihan Dott


Menggambar titik timbus diagonal ruang dan bidang diagonal pada kubus.

Dari beberapa hal di atas dapat dikembangkan untuk menggambar titik

tembus diagonal ruang dan bidang diagonal. Pertama-tama sub menu Convexity

assumed dari menu View tidak kita aktifkan, dengan mengklik sub menu tersebut,

sehingga tanda cek tidak muncul. Kemudian kita buat ruas garis DF. Selanjutnya

klik Point > Intersection of line and > plane. Kita isikan DF pada kotak edit whre

segm t dan kita isikan ACGE pada kotak edit meet plane, kemudian klik mark.

Ma eri

label I, seperti pada Gambar 4.1.8 berikut.

Gambar 4.1.8 Titik tembus DH pada ACGE.

en

ka akan muncul titik tembus ruas garis DF dan bidang ACGE, yang dib

4.1.3 Beberapa pengukuran dalam kubus.

Program Wingeom menyediakan fasilitas pengukuran unsur-unsur dalam

sustu bangun ruang dalam menu Meas (Measurement). Pastikan dulu ada bangun

ruang yanga akan diukur. Klik Meas kemudian isikan perintah pengukutan pada


kotak edit, lalu tekan enter, maka hasilnya akan muncul di kiri atas layar.

Barangkali tampilan ini tertutup jendela Meas. Untuk itu geserlah jendela Meas

dengan klik bagian atas jendela sambil ditahan dan digeser ke tempat yang

diinginkan. Bebera kukan misalnya:

Ketik AB untuk panjang ruas garis AB.

Ketik > ABC untuk ukuran (dalam derajat) dari sudut ABC.

Ketik ABC untuk luas daerah segitiga ABC.

Ketik ABCDE untuk luas segibanyak ABCDE.

Ketik AB+CD untuk panjang ruas garis AB ditambah ruas garis CD.

Ketik A untuk koordinat titik A.

Keterangan lebih lengkapnya dapat dilihat di sub menu Help pada jendela Meas.

Sebagai contoh dari hasil seperti tampilan pada Gambar 4.1.9 dapat

ditentukan beberapa pengukuran seperti yang nampak pada Gambar 4.1.10 berikut

ini.

Gambar 4.1.10 Beberapa contoh pengukuran pada kubus dengan panjang sisi 3.

pa contoh perintah pengukuran yang dapat dila


Dari engetahui luas permukaan

kubu edit

jende me benda ruang pada jendela tamoilan

s

ABC

an ABCDEFGH (atau A-H) yang akan kita cari volumenya. Selanjutnya klik

ok, m ka muncul volume kubus ABCD.EFGH yaitu 27.

J l

place isilah pada jendela yang muncul tempat desimal yang kita inginkan.

Program Wingeom 3-dim juga dilengkapi fasilitas rumus Euler S + T = R + 2, di

mana S menyatakan banyak sisi (faces) kubus, R menyatakan banyaknya rusuk

(edges) dan T menyatakan banyaknya titik sudut.(vertices). Klik menu Other >

Euler untuk melihatnya. Sebagai contoh dapat dilihat dalam Gambar 4.1.11

berikut.

Gambar 4.1.11 Tampilan rumus euler untuk kubus.

menu Meas ini kita dapat menghitung atau m

s, misalnya dengan mengetikkan 6AB^2 atau 6*AB*AB pada kotak

la Meas. Untuk menentukan volu

dapat dilakukan dengan mengklik Other > Volume. Misalnya dari kubu

D.EFGH yang kita gambar dengan panjang rusuk 3 satuan panjang, untuk

mengetahui volumenya klik Other > volume maka dalam kotak edit muncul

ketik

a

ika kita ingin mengubah tempat desimal pada menu Meas, klik edit > decima


4.1.4 Sifat-sifat simetri pada kubus.

Program Wingeom 3-dim juga dapat digunakan untuk membantu

menjelaskan sifat-sifat simetri pada kubus, terutama sifat simetri putar pada

kubus.

Simetri putar tingkat 4 pada kubus.

i) Buatlah kubus ABCD.EFGH, dengan klik File > new, selanjutnya klik Unit >

Polyhedral > Regular > Cube. Perhatikan tampilan kubus ABCD.EFGH

tersebut. Buatlah salah satu sumbu simetri putar tingkat 4, misalnya sumbu

yang melalui titik pusat sisi alas dan sisi atas. Buatlah diagonal-diagonal sisi,

pada sisi alas dan sisi atas dengan klik Linear > Segment or face. Masukan

nama diago near elements

yang muncul.

ii) Buat titik perpotongan diagonal-diagonal sisi alas dan sisi atas, dengan klik

Point > 3 relative coordinate. Muncul kotak edit New point, pada kotak edit

relative to ABCD ketik nama sisi atas, selanjutnya klik mark. Ketik juga nama

sisi alas, lalu klik mark, sehingga akan didapatkan titik pusat pada sisi alas dan

titik pusat pada sisi atas.

iii) Hubungkan kedua titik tersebut untuk membuat sumbu simetri, dengan klik

Linear > Segment or face. Ketikan titik-titik yang akan dihubungkan pada

kotak edit New linear elements yang muncul, klik ok. Akan didapatkan

tampilan seperti berikut ini :

Gambar 4.1.12 Salah satu sumbu simetri putar tingkat 4 pada kubus

nal sisi yang akan dibuat, pada kotak edit New li


iv) Untuk memperlihatkan simetri putar tingkat 4 pada kubus klik Transf >

Rotate sehingga muncul kotak edit Rotate. Pada kotak edit vertices diisi

dengan nama kubus yang akan dirotasikan, kotak edit thru angle diisi

dengan besar perputaran yang diikuti jenis slider yang digunakan. Pada

kotak edit arround axis diisi dengan nama sumbu putarnya kemudian klik

ok. Arah putaran atau rotasi menggunakan aturan tangan kanan (right hand

rule), seperti yang kita kenal dalam fisika, yaitu, jika kita ingin memutar

kubus tersebut sebesar 3600 melawan arah jarum jam maka gunakan

sumbu JI, tetapi jika kita ingin memutar kubus tersebut sebesar 3600

searah jarum jam maka gunakan sumbu IJ. Contoh pengisiannya seperti

berikut :

Gambar 4.1.13 Tampilan pengisian jendela rotate

v) Untuk meng-animasi-kannya klik Anim > #slider (sesuai dengan jenis

slider yang dipilih), selanjutnya gerakan scrollbar ke kanan dan ke kiri.

Kita juga dapat menggerakan dengan meng-klik autorev atau autocyc,

dengan catatan tekan tombol Q pada keyboard untuk menghentikan

pemrosesan animasi (keluar dari proses animasi), tombol S untuk

memperlambat animasi dan tombol F untuk mempercepat animasi.

Melalui kegiatan ini siswa diharapkan mengamati perputaran kubus


ABCD.EFGH sebesar 360 derajat dengan sumbu putar IJ, apakah Kubus

ABCD.EFGH dapat berimpit dengan posisi semula sebanyak 4 kali?.

Tampilan kubus yang telah di-animasi seperti pada Gambar 4.1.14

berikut.

Gambar 4.1.14 Tampilan simetri putar tingkat 4 pada kubus

Cara yang sama dapat dilakukan untuk pengecekan sumbu simetri putar tingkat 4

yang lain.

Tampilan perputaran kubus pada gambar 4-16 dapat diwarnai supaya lebih

menarik perhatian siswa, dengan menggunakan fasilitas View > hidden kemudian

Edit linear elements. Kita buat tampilan kubus ABCD.EFGH transparan dan

kubus A’B’C’D’.E’F’G’H’ berwana. Selanjutnya klik View > thick segment untuk

mewarnai sumbu putarnya. Hasilnya tampak seperti Gambar 4.1.15 berikut ini :


Gamb rna. ar 4.1.15 Tampilan simetri putar tingkat 4 pada kubus berwa


amati simetri putar tingkat 3 pada kubus. Caranya hampir sama

denga

ti

dengan AG. Arah rotasi juga menggunakan aturan tangan kanan. Proses peng-

animasi-annya, klik Anim > #slider (slider tergantung jenis slider yang dipilih).

Tamp annya dapat dilihat pada gambar di bawah ini :

Fasilitas animasi pada program Wingeom khususnya wg.3 dapat digunakan,

untuk meng

n pengamatan simetri putar tingkat 4 pada kubus, buatlah sebuah kubus

pada jendela wg.3, tentukan sumbu putar yang mana yang akan diamati. Misalnya

dengan menggunakan diagonal ruang AG maka klik Linear > segment or face

ketik AG, selanjutnya klik Transf > rotate, pada kotak edit rotate pengisiannya

sama dengan pengamatan simetri putar tingkat 4, tetapi sumbu putarnya digan

il



Siswa dapat mengamati apakah kubus ABCD.EFGH jika diputar sebesar

360 derajat menggunakan sumbu AG dapat tepat menempati posisinya sebanyak 3

kali?

Tampilan perputaran simetri putar tingkat 3 kubus pada gambar 3.16

dapat diwarnai supaya lebih menarik perhatian siswa, dengan menggunakan

fasilitas View > hidden kemudian edit linear elements. Kita buat tampilan kubus

ABCD.EFGH transparan dan kubus A’B’C’D’.E’F’G’H’ berwarna. Selanjutnya

klik View > thick segment untuk mewarnai sumbu putarnya. Hasilnya tampak

seperti gambar berikut ini :


Gambar 4.1.17 Tampilan simetri putar tingkat 3 pada kubus yang berwarna


3. Pada pengamatan simetri putar tingkat 2 yang berubah hanya sumbu

putar

ua titik tengah kedua rusuk tersebut, dengan klik

Linear > segment or face. Ketikan nama ruas garis yang akan dibuat tersebut pada

kotak edit New linear element. Untuk memutar > merotasikan klik Transf >

rotate engisian kotak edit dialog rotate sama seperti proses pengisian pada

simetri putar tingkat dan tingkat 3, yang berbeda hanya nama sumbu putarnya

saja. Arah rotasi menggunkan aturan tangan kanan. Perputaran kubus untuk

menunjukkan simetri putar tingkat 2 pada kubus tampak pada gambar berikut ini :

Untuk mengamati simetri putar tingkat 2 pada kubus langkah–langkah

yang ditempuh sama dengan proses pemgamatan simetri putar tingkat 4 dan

tingkat

nya. Sumbu simetri putar tingkat 2 pada kubus ada 6 buah yang masing-

masing melalui titik tengah dari dua buah rusuk yang berhadapan dalam kubus.

Misalnya kita buat sumbu putarnya melalui titik tengah rusuk AE dan titik tengah

rusuk CG. Buat titik tengah rusuk AE dan CG menggunakan menu Point > 1

relative coordinate, pada kotak edit coordinate ketik 0.5, kemudian klik ok.

Selanjutnya hubungkan ked

, p



Siswa juga dapat mengamati apakah kubus ABCD.EFGH jika diputar

sebesar 360 derajat menggunakan sumbu IJ dapat tepat menempati posisinya

semula sebanyak 2 kali? Siswa juga diharapkan mampu menyebutkan sumbu

simetri putar tingkat 2 yang lain.

Tampilan perputaran simetri putar tingkat 2 kubus pada gambar 3.18 tersebut

dapat diwarnai supaya lebih menarik perhatian siswa, dengan langkah-langkah

yang sama seperti di atas.

4.1.5 Menggambar irisan pada kubus

Program Wingeom 3-dim dapat digunakan untuk menggambar irisan kubus

oleh suatu bidang datar yang melalui 3 titik yang diberikan.

Menggambar irisan pada kubus dengan sumbu afinitas

GH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik

I pada rusuk AE sehingga panjang AI = 3 cm, titik J pada rusuk BF sehingga

Misalkan : Diketahui kubus ABCD.EF


panjang BJ = 1 cm. Bidang melalui H I dan J. Gambarlah irisan bidang pada

kubus ABCD.EFGH tersebut, dengan menggunakan sumbu afinitas.

Langkah-langkah pengerjaan sebagai berikut:

a. Klik Units > Polyhedral > Regular > Cube > muncul kotak dialog edge

length, ketik 4.00 > ok. Pada layar akan muncul gambar kubus

ABCD.EFGH.

b. Untuk menggambar titik I pada rusuk AE, klik Point > 1 relative

coordinate > muncul kotak dialog new point > relative to segment :

AE, coordinate : ¾ > mark > close, maka pada rusuk AE terdapat titik I

dengan AI = ¾ AE.

c. Dengan langkah yang sama, buatlah titik J pada rusuk BF sesuai dengan

apa yang diketahui pada soal.

d. Untuk menghubungkan titik I dan titik J, klik Linier > Segment or face

> muncul kotak New linier elements > make a list : IJ > ok Dengan

cara yang sama buatlah garis IH dan garis HJ.

ar muncul titik K yang merupakan

i di atas.

Buat garis HK, DK, IL, AL, dan KL.

sumbu afinitas.

> plane > muncul

t : CB, meets plane : JKL

kotak dialog intersection point, where segment : MJ, meets plane : DCG

> mark > close. Apa yang terjadi ? Pada rusuk CG muncul titik N. Kita

.

e. Untuk membuat sumbu afinitas perhatikan langkah-langkah berikut ini,

Klik Point > intersection of line and > plane > muncul kotak dialog

intersection point, where segment : HJ, meets plane : ABC > mark >

close. Apa yang terjadi ? Pada lay

titik tembus dari garis HJ dengan bidang alas ABCD.

Buatlah titik tembus garis IJ dengan bidang alas ABCD dengan cara

yang sama sepert

Garis KL inilah yang disebut

f. Buatlah titik M yang merupakan titik potong garis CB pada sumbu

afinitas KL. Klik Point > intersection of line and

kotak dialog intersection point, where segmen

> mark > close. Buatlah titik potong garis MJ pada bidang BCGF.

Selanjutnya klik Point > intersection of line and > plane > muncul


buat juga garis MK, MN, MB, dan HN. Bidang IJNH adalah irisan

antara bidang dengan kubus. Hasil akhir langkah-langkah di atas

berikut. nampak seperti pada Gambar 4.1.19

Gambar 4.1.19 Irisan pada kubus dengan menggunakan sumbu afinitas

Menggambar irisan pada kubus dengan menggunakan sifat titik potong diagonal

Misalkan: dari masalah yang sama dengan di atas akan digambar irisan

pada kubus ABCD.EFGH tersebut, dengan menggunakan sifat titik

otong diagonal. Langkah-langkah menggambar sebagai berikut:

a. Klik Units > Polyhedral > Regular > Cube > muncul kotak dialog edge

length, ketik 4.00 > ok. Pada layar akan muncul gambar kubus

ABCD.EFGH.

bidang

p


b. Untuk menggambar titik I pada rusuk AE, klik Point > 1 relative

coordinate > muncul kotak dialog new point, relative to segment : AE,

coordinate : ¾ > mark > close, maka pada rusuk AE terdapat titik I

dengan AI = ¾ AE.

c. ngan

apa yang diketahui pada soal.

d. Untuk menghubungkan titik I dan titik J, klik Linier > segment or face >

muncul kotak new linier elements, make a list : IJ > ok. Dengan cara yang

sama buatlah garis IH dan garis HJ.

e. Buat garis diagonal pada bidang alas dan bidang atas dengan

menggunakan linear yang telah dibahas di atas. Buat titik potong garis

diagonal atas dan alas dengan menggunakan point – intersection – plane

(Klik Point > intersection of line and > plane > muncul kotak dialog

intersection point, where segment : AC, meets plane : BDH > mark >

close).

f. Buat garis KL dengan linear. Buat titik tembus garis KL pada IJH. Buat

titik tembus garis IM pada bidang BDH. Buat garis IN, HN, dan JN.

Bidang HIJN adalah bidang irisan kubus dan bidang .

Program Wingeom dapat menggambar irisan kubus oleh suatu bidang datar

yang melalui 3 titik yang diberikan. Misalkan untuk masalah seperti di atas,

pertama-tama kerjakan langkah langkah dari a) sampai c). Kemudian klik Linear

> Cutting plane , kemudian muncul jendela slice , kotak edit vertices diisi : A-J,

kotak edit by-vertex plane dipilih dan diisi : HIJ, kemudian klik do, ma

diperoleh irisan seperti pada Gambar 4.1.20 di bawah ini, yang hasilnya sama

Dengan langkah yang sama, buatlah titik J pada rusuk BF sesuai de

ka akan

dengan Gambar. 4.1.19 di atas.


Gambar 4.1.20 Irisan pada kubus langsung menggunakan perintah dari menu

2.1.6 Menyusun animasi jaring-jaring kubus.

Program Wingeom untuk geometri dimensi tiga dapat digunakan

untuk menampilkan jaring-jaring kubus dalam suatu animasi yang menarik.

Pema

s.

iii) erhatikan tampilan kubus ABCD.EFGH tersebut, misalnya kita tentukan

idang alasnya adalah sisi ABCD. Sisi-sisi mana sajakah yang harus dibuka

ehingga membentuk model jaring-jaring seperti gambar 4-9?

iv) isalnya sisi yang pertama kali dibuka adalah sisi ADHE. Menggunakan

isualisasi kubus yang telah dibuat klik transf > rotate sehingga muncul

otak edit rotate. Pada kotak edit vertices diisi dengan nama sisi yang akan

nfaatan fasilitas wg.3 untuk menjelaskan jaring-jaring kubus dapat dilakukan

dengan langkah-langkah berikut :

i) Buatlah sebuah kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya 3 satuan

panjang dengan klik file new, selanjutnya klik unit > polyhedral > regular >

cube.

ii) Untuk meyakinkan bahwa tampilan kubus tersebut bersih klik view > Thick

segments > Delete all > ye

P

b

s

M

v

k


diputar atau dibuka (dirotasikan), pada kotak edit thru angle diisi dengan

esarnya sudut putaran > rotasi diikuti dengan jenis parameter slider yang

diinginkan. Pada kotak edit arround axis diisi dengan nama sumbu putarnya.

Arah putaran > rotasi menggunakan aturan tangan kanan, di mana jika arah

sumbu naik maka arah putaran melawan arah jarum jam begitu sebaliknya.

Jika arah sumbu ke kanan maka arah putaran searah jarum jam begitu pula

sebaliknya. Misalnya kita ingin memutar sisi ADHE sebesar 900 melawan

arah jarum jam dengan # slider, maka gunakan kan sumbu putar DA maka

pengisian pada kotak edit rotate sebagai berikut.

Gambar 4.1.21 Tampilan pengisian kotak edit rotate

b

Klik ok untuk melihat rotasi pada sisi ADHE atau klik cancel untuk

rusuk AB sebgai sumbu putarnya, kemudian isikan dalam kotak edit

rubahan yang

membatalkan perintah rotasi. Misalnya kita ingin merotasikan sisi ABFE

sebesar 900 searah jarum jam menggunakan # slider, maka gunakan ruas

garis >

rotate. Selanjutnya untuk membuka atau merotasikan sisi yang lain lakukan

dengan cara yang sama.

v) Jika semua sisi telah dirotasikan > dibuka, klik Anim > #slider, kemudian

geser scrollbar pada kotak edit current value of # ke kanan atau ke kiri. Kita

juga dapat meng-klik autorev atau autocyc untuk mengamati pe

terjadi, dengan catatan tekan Q untuk keluar, tekan S untuk memperlambat

gerakan dan tekan F untuk mempercepat gerakan. Tampilannya seperti

berikut ini.


Gambar 4.1.22 Tampilan sisi-sisi kubus yang dirotasikan

vi) Tampilan pada gambar 4.1.22 dapat dimodifikasi dengan menghapus sisi-

sisi yang tidak diperlukan untuk menunjukkan jaring-jaring kubus, dengan

cara klik Edit > linear elements selanjutnya pada kotak edit item kita isikan

nama sisi yang akan kita hapus selanjutnya klik delete atau klik secara

berulang pada item, bingkai merah menunjukkan sisi yang akan dihapus.

Titik-titik yang tidak digunakan dalam jaring-jaring juga dapat kita abaikan

dengan klik Edit > Point delete, selanjutnya kotak edit point deletion kita isi

D secara berulang. Tampilan jaring-jaring kubus

dengan titik-titik yang akan dihapus. Untuk semakin memperjelas tampilan,

abaikan dulu pelabelannya (penamaan titik-titiknya), dengan melakukan klik

View > Labels > Letter on > off atau tekan control L atau ganti label dengan

cara klik kanan pada label yang akan diganti, selanjutnya pada kotak edit

new label ketikan nama label pengganti. Untuk memilih jenis tampilan titik

tekan tombol Ctrl >

tersebut seperti berikut ini :


Gambar 4.1.22 Tampilan jaring-jaring kubus

vii) Pada tampilan seperti pada gambar 3.22 klik Anim > #slider sehingga

muncul kotak edit current value of #. Geser scrollbar sampai ke ujung

paling kiri untuk menset tampilan dan mengisi kotak editnya dengan

0.00001 kemudian klik set L. Kita dapat menset tampilan, baik set L ataupun

set R sesuai keinginan kita dengan cara yang sama. Selanjutnya pada

scrollbar geser ke kanan atau ke kiri untuk melihat bahwa tampilan seperti

tampak pada gambar 3.22 merupakan salah satu bentuk jaring-jaring kubus.

Kita juga dapat meng-klik autorev atau klik autocyc untuk menggerakan

animasinya, dimana perlu diigat tekan tombol Q untul keluar, S untuk

memperelambat gerakan, F untuk mempercepat gerakan.

viii) Jika kita ingin membuat jaring-jaring kubus yang berwarna, klik view

hidden. Langkah selanjutnya klik Edit > Linear element, klik item secara

berulang, bingkai merah menunjukkan sisi yang akan diwarnai. Klik color

untuk memilih warna, klik undo untuk membatalkan perintah. Tampilan

jaring-jaring kubus berwarna tampak seperti pada gambar berikut ini.


Gambar 4.1.23 Tampilan jaring-jaring kubus berwarna

Langkah-langkah di atas dapat digunakan untuk menampilkan animasi

model-jaring-jaring kubus yang lain. Kita dapat membuat 11 bentuk jaring-jaring

kan mendapatkan

kubus yang berbeda.

2.1.7 Balok

Program Wingeom untuk wg.3 menyediakan fasilitas untuk menyajikan

bangun ruang balok. Untuk menampilkan model bangun ruang balok pada jendela

wg.3 kita cukup meng-klik Unit > Polyhedral > Box, dan mengisi kotak edit

untuk menentukan panjang, lebar dan tinggi balok. Misalnya kotak edit length kita

isi 6, widht kita isi 3 dan kotak edit height kita isi 2, maka kita a

tampilan balok dengan ukuran panjang 6 satuan panjang, lebar 3 satuan panjang

dan tinggi 2 satuan panjang.tampilan balok dengan ukuran tersebut dalam jendela

wg.3 tampak sebagai berikut.


Gambar 3.24 Tampilan balok ABCD.EFGH

Untuk mengetahui volume balok ABCD.EFGH dengan ukuran tersebut klik

> Volume maka muncul kotak editnya kita isi dengan nama balok yang

enya, selanjutnya klik ok, maka muncul volume balok

yaitu 36 dalam satuan kubik, di mana ini berdasarkan rumus

olume balok. dalam satuan kubik. Untuk melakukan proses

penghi

Other

akan kita ketahui volum

ABCD.EFGH

x x tlpV v

tungan luas permukaan balok misalnya kita tahu bahwa luas permukaan

kubus, ) x (2) x (2) x (2 tltplpL dalam satuan persegi. Klik meas

kemudian pada kotak edit kita ketikan rumus tersebut dengan panjang dan

lebarnya diganti dengan nama ruas garis yang mewakili panjang balok, lebar

balok dan tinggi balok. Misalnya penulisannya dalam menu meas adalah

((2(AB*BC)+2(AB*BF)+2(BC*BF)) selanjutnya tekan enter. Maka akan

didapatkan luas permukaaan balok tersebut. Untuk memperlihatkan rumus Euler

pada suatu balok klik Other > Euler, maka akan muncul unsur penyusun balok,

meliputi banyaknya sisi, banyaknya rusuk dan banyaknya titik sudut pada balok.


4.2 Prisma dan

Proses menggambar dan menampilkan beberapa sifat dan pengerjaan pada

Kubus di atas dapat juga dikerjakan untuk bangun ruang yang lainnya seperti:

Balok, Prisma dan Limas. Pada Sub Bab ini akan membahas pengantar dan

beberapa ide konstruksi tambahan untuk bangun ruang Balok, Prisma dan Limas.

4.2.1 Prisma

Program Wingeom menyediakan fasilitas untuk menampilkan bangun

ruang prisma beraturan. Untuk menampilkan model bangun ruang prisma

beraturan pada jendela 3-dim, klik Unit > Polyhedral > Prism, dan mengisi kotak

edit yang menyatakan banyaknya sisi, panjang rusuk yang kita inginkan dan tinggi

prisma. Misalnya pada kotak edit number of sides kita isi dengan 3, pada kotak

edit length

Limas

kita isi 3 ( tiga disini menyatakan ukuran 3 satuan panjang), dan pada

kotak edit height kita isi 5 ( lima disini menyatakan ukuran 5 satuan panjang)

sehingga akan muncul tampilan prisma segitiga beraturan dengan panjang rusuk

segitiganya 3 satuan panjang, dan tinggi prisma 5 satuan panjang. Tampilannya

seperti gambar berikut ini.

Gambar 4.2.1 Tampilan bangun ruang prisma ABCDEF


Jika kita menginginkan model prisma beraturan yang lain kita tinggal

mengubah pengisian jendela regular prism sesuai keinginan kita.

Untuk menampilan prisma sembarang kita dapat menggunakan bangun

ruang yang lain. Misalnya saja prisma sembarang yang dihasilkan dari

pemotongan balok, atau kubus. Misalnya kita akan menampilkan prisma tegak

sembarang dari kubus, langkah-langkahnya adalah sebagi berikut :

bus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 3 satuan panjang.

ii) Kit

i) Buatlah ku

a buat titik dan garis seperti pada tampilan pada Gambar 3.26 di bawah ini,

menggunakan menu Point dan menu Linear > segment or face. Buatlah, garis

BD, FH dengan klik Linear > segment or face, selanjutnya buatlah titik tengah

pada garis AB,EF,BD, dan FH, dengan klik Point > 1 relative coordinate.

Langkah yang terakhir buatlah bidang IJKL, dengan klik Linear > segment or

face.

Gambar 4.2.2 Penyusunan prisma sembarang dengan pemotongan kubus


iii) Bua

ements > delete,

seh

tlah prisma tegak sembarang DAJL.HEIK, kita hapus titik dan sisi yang

tidak dibutuhkan dengan menggunakan menu Edit > linear el

ingga kita dapatkan seperti berikut ini :

Gambar 4.2.3 Prisma tegak sembarang

4.2.2 Limas

Dengan menggunakan mengklik menu Unit > Polyhedral > Pyramid kita

dapat menampilkan macam-macam bentuk limas beraturan dengan cara mengisi

jendela yang meliputi jumlah sisi limas, ukuran tinggi dan panjang rusuk limas

yang kita inginkan. Misalnya kita ingin menampilkan limas segitiga dengan

ukuran panjang rusuknya 3 dan tinggi limas 3,5 maka langkah yang dilakukan

adalah klik submenu Unit > Polyhedral > Pyramid kemudian mengisi kotak edit

yang tersedia sebagai berikut:


Gambar 4.2.4 Kotak edit untuk menampilkan limas beraturan

Untuk menampilkan limas beraturan yang kita inginkan klik ok atau klik

cancel untuk membatalkan perintah yang baru saja kita lakukan. Jika pada kotak

edit tersebut kita mengklik ok maka akan muncul gambar limas, klik kanan pada

titik D, gantilah titik D dengan titik T. Tampilannya seperti berikut :

Gambar 4.2.5 Limas segitiga beraturan ABCT


Gari to plane

kemudian pada kotak edit dialog untuk kotak edit perp to plane kita ketik ABC,

pada kotak edit from point kita ketik T untuk selanjutnya klik draw, maka ruas

garis tinggi dapat terlihat. (Gerakkan limas menggunakan tombol anak panah atas

bawah kanan kiri untuk melihat dengan jelas). Langkah yang dapat dilakukan

untuk memunculkan ukuran unsur limas pada layar yaitu dengan langkah sebagai

berikut ketik AB pada kotak edit paling atas jendela measurement, tekan enter,

selanjutnya ketik BC tekan enter, ketik CA tekan enter, ketik TD (ruas garis

tinggi) tekan enter, maka akan muncul tampilan seperti pada Gambar 4.2.6

berikut

s tinggi limas dapat digambar dengan klik Linear > Altitude >

.

Gambar 4.2.6 Tampilan limas beraturan dengan ukuran-ukurannya

Program Wingeom dapat digunakan memvisualisasikan rumus volume

limas menu Transf > rotate dan menu Anim. Langkah-langkah lengkapnya

sebagai berikut :

i) Buatlah gambar ruang kubus ABCD.EFGH dengan klik Unit > Polyhedral

> Regular > Cube dengan panjang rusuk 3 satuan panjang.

ii) Buatlah diagonal-diagonal ruang kubud ABCD.EFGH, seperti pada tampilan

berikut ini :


Gambar 4.2.7 Diagonal-diagonal ruang pada kubus ABCD.EFGH

iii) D g pada

kubus, menghasilkan 6 buah limas tegak beraturan yang kongruen. Misalnya

titik T adalah titik perpotongan diagonal-diagonal ruang pada kubus. Maka

kubus tersebut terdiri dari limas T.ABCD, T.BCGF, T.CDHG, T.ADHE,

T.EFGH dan T.ABFE. Luas alas limas keenam limas tersebut sama dengan

luas alas kubus dan tinggi limas sama dengan 1/2 tinggi kubus.

iv) Terlebih dahulu kita buat titik perpotongan diagonal-diagonal ruang

tersebut, dengan klik Poin > 3 relative coordinates, ketik nama bidang alas

dan bidang atas tersebut lalu klik mark. Hubungkan kedua titik yang

dihasilkan dengan klik Linear > Segment or face. Buatlah juga sisi-sisi

pembentuk keenam limas tersebut dengan klik Linear segment or face.

Rotasikan keenam limas tersebut dengan menggunakan menu tranf agar

rlihat efek “membuka”.

v)

t point delete. Sehingga akan terlihat tampilan seperti Gambar

ari Gambar 3.30 tampak bahwa perpotongan diagonal-diagonal ruan

te

Selanjutnya kita kits hapus sisi-sisi dan titik-titk yang tidak digunakan untuk

menunjukkan rumus volume limas dengan klik edit > linear elemen > delete

dan klik edi

4.2.8 berikut.


Gambar 4.2.8 Keenam limas yang kongruen penyusun kubus

vi) Tampilan di atas dapat diwarnai supaya menarik perhatian siswa dengan

klik View > Hidden lines > Hidden, selanjutnya klik Edit linear elements

untuk memilih warna tampilannya, sehingga diperoleh tampilan seperti pada

Gambar 4.2.9 berikut ini.

Gambar 4.2.9 Animasi limas kongruen penyusun kubus yang berwarna

Dapat lita lihat bahwa keenam buah limas tersebut masing-masing

enya sama. Oleh karena itu volume masing-masing limas : volum


tinggialasbidangluasV

liimastinggiABCDluasV

aaV

aV

VV kubus

x ) (3

1

x ) ( 3

1

2

1

3

1

6

1

6

1

2

3

Secara umum volume dari limas ditentukan dengan rumus :

tLaV x 3

1 , L = luas bidang alas, dan

t = tinggi limas, yaitu jarak titik puncak ke bidang alas

limas secara tegak lurus.

dari

tiga buah limas yang kongruen. Caranya sama dengan langkah-langkah di

atas. sebelumnya. Hasilnya dapat kita lihat pada Gambar 4.2.10 berikut.

Gambar 4.2.10 Pemotongan kubus menjadi 3 buah limas yang kongruen

Kita juga dapat memvisualisasikan bahwa sebuah kubus dapat disusun


4.3 Kedudukan Titik, Garis dan Bidang

Dalam pembelajaran kedudukan titik, garis dan bidang pada bangun ruang

program Wingeom dapat digunakan untuk menampilkan visualisasi konsep-

konsep tertentu sehingga semakin mudah dipahami siswa. Konsep-konsep pada

kedudukan titik, garis dan bidang dalam ruang yang dapat divisualisasikan dengan

program Wingeom berikut.

4.3.1 Kedudukan titik Terhadap Garis

Dalam geometri ruang atau geometri dimensi tiga kedudukan titik terhadap

Kedudukan tersebut rogram Wingeom dengan

memanfaatkan tampilan

diharapkan siswa akan s inya dan meningkatan

kemampuan keruannya. Misalnya kita gunakan gambar kubus yang didapat

dengan

segmen

garis m >

Coordinat, isikan pada sumbu x, koordinat titik baru yang kita inginkan yang

berim tuk

mewarnainya. Tampilannya seperti Gambar 4.3.1 berikut ini.

Gambar 4.3.1 Kedudukan titik terhadap garis (pada kubus)

garis ada 2 macam yaitu titik terletak pada garis dan titik terletak di luar garis.

dapat divisualisasikan p

gambar ruang kubus. Melalui visualisasi tersebut

emakin jelas memaham

cara seperti saat menggambar kubus di atas, kemudian klik View > Thick

t untuk mewarnai rusuk-rusuk sisi alasnya. Selanjutnya untuk membuat

erah, misalkan garis merah tersebut mewakili garis g, klik menu Point

pit dengan ruas garis AB. Selanjutnya klik View > Thick segment un


Kubus tersebut dapat dieksplorasi dengan menggunakan tombol anak panah

atas

berada di luar garis merah atau garis g adalah titik C,

, E, F, G, dan H.

mpilkan visualisasi dalam bentuk lain

meng

bawah dan kanan kiri serta tombol page down dan page up, untuk

mendapatkan tampilan sesuai keinginan kita. Berdasarkan kubus ABCD.EFGH

tersebut kita misalkan ruas garis AB sebagi wakil garis merah, garis g sehingga :

Titik-titik sudut kubus yang terletak pada garis g adalah titik A dan titik B.

Titik-titik sudut kubus yang

D

Program Wingeom juga dapat mena

enai kedudukan titik pada garis. Misalnya tampilan kedudukan titik terletak

pada garis tampak pada Gambar 4.3.2 berikut ini.

Gambar 4.3.2 Kedudukan titik terletak pada garis

Gamb elanjutnya

memanfaatkan fasilitas Edit > linear element dan Edit > point delete untuk

menghapus sisi, ruas garis dan titik-titik yang tidak diperlukan hingga hanya

meninggalkan satu ruas garis saja. Buatlah titik pada ruas garis tersebut dengan

klik point > 1 relative coordinate. Bila gambar tersebut kita gerakan

menggunakan tombol anak panah atas bawah kiri kanan, maka semakin jelaslah

bahwa titik B terletak pada garis tersebut. Kita juga dapat membuat tampilan lain

mengenai kedudukan titik yang terletak di luar ruas garis dengan cara yang sama,

misalkan kita dapatkan tampilan sebagi berikut :

ar 4.3.2 di atas diperoleh dari visualisasi gambar kubus. S


Gambar 4.3.3 Kedudukan titik di luar garis yang nampak terletak pada garis

Sekilas tampak bahwa titik H terletak pada ruas garis AC, padahal

sebenarnya titik H terletak di luar ruas garis AC. Kita dapat menggunakan fasilitas

program Wingeom untuk menunjukkan bahwa titik H terletak di luar ruas garis

AC. Gerakkan tombol anak panah kanan kiri atas bawah untuk melihat bahwa

titik H terletak di luar ruas garis AC, seperti terlihat pada tampilan Gambar 3.36

berikut ini :

Gambar 4.3.4 Kedudukan titik terletak di luar garis


4.3

Dalam geometri ruang atau geometri dimensi tiga mengenai kedudukan titik

terhadap bidang juga ada 2 macam kedudukan yaitu titik terletak pada bidang dan

titik terletak di luar bidang. Kedudukan tersebut dapat divisualisasikan

menggunakan program Wingeom dengan memanfaatkan tampilan gambar bangun

ruang kubus. Melalui visualisasi tersebut diharapkan siswa akan semakin jelas

memahaminya kedudukan titik terhadap garis. Misalnya kita gunakan gambar

kubus yang didapat, kemudian rusuk-rusuk salah satu sisi tegaknya kita tandai

denga memberikan warna, dengan menu View > Thick segment. Tampilannya

dapat dilihat pada Gambar 4.3.5 berikut :

Gambar 4.3.5 Kedudukan titik terhadap bidang (pada kubus)

.2 Kedudukan titik terhadap bidang

Perhatikan kubus ABCD.EFGH pada gambar 4.3.5, misalnya kita anggap

sisi CDHG sebagai wakil bidang V, maka :

Titik-titik sudut kubus yang terletak pada bidang V adalah titik-titik C, D, H,

dan G.


Titik-titik sudut kubus yang terletak di luar bidang V adalah titik-A, B, F, dan

E.

Program Wingeom juga dapat menampilkan visualisasi dalam bentuk lain

mengenai kedudukan titik terhadap bidang. Misalnya tampilan kedudukan titik

terletak pada bidang tampak pada Gambar 4.3.6 berikut ini.

Gambar 4.3.6 Kedudukan titik terletak pada bidang

Gambar 4.3.6 diperoleh dari gambar kubus. Selanjutnya dengan

memanfaatkan menu Edit > Linear element dan Edit > Point delete untuk

menghapus sisi, ruas garis dan titik-titik yang tidak diperlukan hingga hanya

meninggalkan sisi alasnya saja. Buatlah titik pada sisi alas tersebut dengan dengan

klik point > 1 relative coordinate. Bila gambar tersebut kita gerakan

menggunakan tombol anak panah atas bawah kiri kanan, maka semakin jelaslah

bahwa titik H terletak pada sisi a

tau bidang ABCD. Misalkan terlihat seperti pada

Gambar 4.3.7 berikut ini :


Gambar 4.3.7 Kedudukan titik terletak di luar bidang

Kedudukan garis dengan garis lain

Kedudukan garis terhadap garis lain dalam sebuh bangun ruang ,

kemungkinannya adalah berpotongan, sejajar daatau bersilangan. Kedudukan

tersebut juga dapat divisualisasikan menggunakan program Wingeom dengan

emanfaatkan tampilan gambar ruang kubus. Melalui visualisasi tersebut

diharap

m

kan siswa akan semakin jelas memahaminya kedudukan garis terhadap

garis lain. Misalnya kita gunakan gambar kubus yang didapat dengan cara klik

Unit > Polyhedarl > Regular > Cube, selanjutnya kita warnai rusuk-rusuk sisi

alasnya dengan klik View > Thick segment. Tampilannya dapat dilihat pada

Gambar 4.3.8 berikut ini :


Gambar 4.3.8 Kedudukan garis dengan garis lain (pada kubus)

Pada kubus ABCD.EFGH di atas, misalkan rusuk AB sebagai wakil garis g,

aka :

H yang berpotongan dengan garis g adalah

A

m

Rusuk-rusuk kubus ABCD.EFG

D, AE, BC, dan BF. Untuk semakin memperjelas visualisasi kedudukan

garis yang berpotongan kita memanfaatkan fasilitas Edit > Linear elemen >

Delete dan Edit > Point delete untuk menghapus sisi-sisi dan titik-titik pada

kubus yang tidak digunakan, selanjutnya gunakan juga menu Linear >

Segment or face untuk membuat ruas garis AC dan garis BD. Kita dapatkan

tampilan seperti Gambar 4.3.8 berikut ini :

Gambar 4.3.8 Kedudukan garis yang berpotongan


Berdasarkan Gambar 4.3.8, jika kita gerakan dengan tombol anak panah

kanan AC dan

BD berpotongan di titik I.

Rusuk-rusuk kubus ABCD.EFGH yang sejajar dengan garis g adalah DC, EF

dan HG. Untuk semakin memperjelas visualisasi kedudukan garis yang sejajar

kita dapat memanfaatkan fasilitas Edit > Linear element > Delete dan Edit >

poin delete untuk menghapus sisi-sisi dan titik-titik yang tidak digunakan.

Misalkan kita dapatkan tampilan seperti pada Gambar 4.3.9 berikut ini :

Gambar 4.3.9 Kedudukan garis yang sejajar (kelihatan berimpit)

, kiri, atas dan bawah, semakin terlihat jelas bahwa ruas garis

Sekilas gambar garis AB dan CD berhimpit, tetapi sesungguhnya kedua garis

tersebut tidak berhimpit melainkan sejajar. Kita dapat memperlihatkannya

dengan menggunakan fasilitas tombol anak panah kanan,kiri,atas dan bawah,

untuk melihat bahwa ruas garis AB dan CD sejajar dan tidak berhimpit seperti

terlihat pada Gambar 4.3.10 berikut:

Gambar 4.3.10 Kedudukan garis yang sejajar


Rusuk-rusuk kubus ABCD.EFGH yang bersilangan (tidak berpotongan dan

tidak sejajar) dengan garis

g adalah CG, DH, EH dan FG. Untuk semakin

memperjelas visualisasi kedudukan garis yang bersilangan dapat

menggunakan diagonal sisi pada kubus, seperti pada tampilan Gambar 4.3.11

berikut ini:

Gambar 4.3.11 Kedudukan garis yang bersilangan (pada kubus)

Pada Gam pak berpotongan,

tetapi setelah diputar dengan menggunakan tombol anak panah atas bawah

dan kanan kiri akan terlihat bahwa ruas garis BE dan DG tidak

berpotongan hanya bersilangan. Misalkan diperoleh seperti pada Gambar

4.3.12 berikut, ternyata ruas garis BE dan DG tidak berpotongan :

bar 4.3.11 sekilas ruas garis BE dan DG tam


Gambar 4.3.12 Kedudukan garis yang bersilangan

4.3.3 Kedudukan garis terhadap Bidang

Kedudukan garis terhadap sebuah bidang dalam sebuah bangun ruang,

kemungkinannya adalah garis terletak pada bidang, garis sejajar bidang dan garis

memotong atau menembus bidang. Kedudukan tersebut dapat divisualisasikan

program Wingeom dengan memanfaatkan tampilan gambar ruang kubus.

Misalnya kita susun seperti Gambar 4.3.13 berikut ini.

Gambar 4.3.13 Kedudukan garis terhadap bidang (pada kubus)


Berdasarkan kubus ABCD.EFGH pada Gambar 3.46 tersebut, kita anggap

bidang alas ABCD sebagai wakil bidang U, maka:

Rusuk-rusuk kubus pada Gambar 4.1.13 yang terletak pada bidang U adalah

rusuk AB, AD, BC, dan CD.

Program Wingeom dapat juga menampilkan kedudukan garis terletak pada

bidang , seperti yang nampak pada Gambar 4.3.14 berikut ini :

Gambar 4.3.14 Kedudukan garis terletak pada bidang

Berdasarkan visualisasi Gambar 4.3.14 semakin terlihat jelas bahwa ruas

garis dengan

menggerakan tampilan tersebut menggunakan tombol anak panah kanan kiri

atas bawah.

Rusuk-rusuk kubus seperti pada Gambar 4.3.13 yang sejajar bidang U adalah

rusuk EF, EH, FG, dan GH.

Program Wingeom dapat juga menampilkan kedudukan garis yang sejajar

bidang dengan visualisasi lain seperti pada Gambar 4.3.15 berikut ini.

AC terletak pada bidang ABCD. Kita dapat memperlihatkannya


Gambar 4.3.15 Kedudukan garis sejajar bidang (nampak terletak pada bidang)

Sekilas gambar 4.3.15 nampak bahwa ruas garis EF terletak pada bidang

ABCD. Dengan menggerakkan tampilan seperti pada Gambar 4.3.15

menggunakan tombol anak panah kanan, kiri, atas dan bawah, dapat terlihat

bahwa sebenarnya ruas garis EF tidak terletak pada bidang ABCD melainkan

sejajar dengan bidang ABCD, seperti tampak pada tampilan Gam ar 4.3.16

berikut ini :

b

Gambar 4.3.16 Kedudukan garis sejajar bidang


Rusuk-rusuk kubus pada Gambar 4.3.13 yang memotong atau menembus

bidang U adalah rusuk-rusuk EA, FB, GC, dan HD.

Kita dapat menvisualisasikan kedudukan garis yang memotong atau

memotong bidang menggunakan tampilan lain seperti pada Gambar 4.3.17

berikut ini :

Gambar 4.3.17 Kedudukan garis memotong bidang

Dengan menggerakkan tampilan seperti pada Gambar 4.3.17 di atas dengan

menggunakan tombol anak panah atas, bawah, kanan dan kiri, maka akan

terlihat jelas visualisasi ruas garis GH yang menembus bidang IJKL.


Latihan

etri putar pada bangun

2.

CDEF, yang diiris bidang yang melalui titik GHI di mana titik G

dalah titik tengah ruas garis AF, titik H adalah titik pada ruas garis CF

dengan CH seperti dalam

gambar berikut.

1. Dengan memanfaatkan fasilitas animasi pada Wingeom 3-dim buatlah file

yang dapat digunakan untuk memvisualisasikan sim

bidang-empat, balok, prisma, limas, bidang-duabelas, dan sebagainya.

Dengan menggunakan Wingeom 3-dim gambarlah irisan limas segilima

beraturan AB

a

:HF=1:2 dan ttik I adalah titik tengah DF, hasilnya


memanfaatkan fasilitas animasi pada Wingeom 3-dim buatlah file 3. Dengan

yang dapat digunakan untuk memvisualisasikan jaring-jaring bangun bidang-

empat, balok, prisma, limas, bidang-duabelas, dan sebagainya. Contoh

tampilan jaring-jaring untuk bangun bidang-duabelas seperti berikut.

163

BAB 5

PEMBELAJARAN GEOMETRI

DENGAN WINGEOM 3-DIM


1. Pembaca dapat menggunakan Program Wingeom 3-dim untuk topik kubus

dan balok.

2. Pembaca dapat menggunakan Program Wingeom 3-dim untuk topik prisma

dan limas.

3. Pembaca dapat menggunakan Program Wingeom 3-dim untuk topik

kedudukan titik, garis dan bidang.


3.1 Pembelajaran Kubus dan Balok

3.1.1 Kubus

LEMBAR KEGIATAN SISWA

Pokok Bahasan : Geometri dimensi Tiga.

Sub Pokok Bahasan : Menggambar dan memahami bangun ruang kubus.

Tujuan : Siswa dapat mengenal bangun ruang kubus dan

menggambar bangun ruang kubus.

: Siswa dapat memahami unsur-unsur yang pada

kubus.

: Siswa dapat mendefinisikan kubus dengan

bahasanya sendiri.

: Siswa dapat menggambar diagonal sisi, diagonal

ruang dan bidang diagonal pada kubus.

: Siswa dapat mnnggambar model jaring-jaring kubus

yang mungkin.

: Siswa dapat menunjukkan sifat-sifat simetri pada

kubus.

: Siswa dapat menentukan luas permukaan dan

volume kubus.

Alat : Komputer yang di dalamnya sudah terdapat

program wingeom.

Sumber : Buku Matematika dan contoh File berbantuan

wingeom.

KEGIATAN 1 : Mengenal dan Menggambar bangun ruang kubus.

1. Perhatikanlah sekelilingmu, adakah benda-benda yang berbentuk kubus?

2. Sebutkan benda-benda yang pernah kamu lihat yang bentuknya mirip dengan

kubus?

3. Gambarkan salah satu benda yang kamu sebutkan tadi di dalam kertas!


4. Ikuti langkah-langkah berikut untuk menggambarkan kubus dalam jendela

wingeom.

a. Bukalah program Wingeom.

b. Klik window > 3 -dim, sehingga muncul jendela wg.3.

c. Klik Unit > Polyhedral > Box, isilah kolom dialog dengan ukuran

kubus yang diiginkan, misalnya ketik 3 lalu klik ok.

5. Akan muncul sebuah gambar ruang kubus dengan ukuran rusuk 3 satuan

panjang seperti berikut ini :

6. Simpanlah gambar kubus yang kamu buat, klik File/save as, simpan dengan

nama Kubus1.wg3.

KEGIATAN 2 : Memahami unsur-unsur yang terdapat pada kubus

1. Amati tampilan seperti gambar dari file Kubus1.wg3.

2. Gerakan gambar menggunakan tombol anak panah atas bawah kanan kiri , jika

ingin memperbesar tekan tombol Page Up dan untuk memperkecil gambar

tekan tombol Page Down.

KEGIATAN 3 : Mendefinisikan kubus

Berdasarkan kegiatan 1 dan kegiatan 2 dapatkah kamu mendefinisikan apa yang

dimaksud dengan kubus dengan bahasamu sendiri?


KEGIATAN 4 : Menggambarkan diagonal sisi, diagonal ruang dan

bidang diagonal pada kubus.

1. Perhatikan gambar Kubus1.wg3 yang kamu buat pada jendela wingeom.

2. Klik linear/segment or face, ketik nama ruas garis pada kubus yang

menunjukkan diagonal sisinya. Simpan gambar tersebut dengan nama

Kubus2.wg3.

3. Bukalah gambar Kubus1, klik File > open > Kubus1.wg3. Pada gambar

Kubus1 yang muncul buatlah ruas garis yang dapat menunjukkan diagonal

ruang pada kubus, dengan cara klik linear > segment or face. Simpan gambar

tersebut dengan nama Kubus3.wg3.

4. Bukalah gambar Kubus1.wg3, dengan klik File > open > Kubus1.wg3.

Buatlah salah satu bidang diagonal pada kubus dengan klik linear > segment

or face ketik nama bidang baru yang harus dibuat untuk menunjukkan bidang

diagonal pada kubus. Simpan gambar tersebut dengan nama Kubus4.wg3.

KEGIATAN 5 : Menggambar model jaring-jaring kubus

1. Bukalah File > Open > Kubus5a.wg3. (dari CD)

2. Klik menu Anim > #slider, gerakan slidebar ke kanan dan kekiri. Perhatikan

perubahan yang terjadi!

3. Klik reverse atau cyclic, amati apa yang terjadi pada gambar dari file

Kubus5a.wg3 tekan Q untuk keluar, tekan F untuk mempercepat gerakan dan

tekan S untuk memperlambat gerakan.

4. Amati juga dengan cara yang sama untuk file Kubus5b.wg3, Kubus5c.wg3,

Kubus5d.wg3, dengan cara seperti langkah di atas.

KEGIATAN 6 : Mengenal sifat-sifat simetri pada kubus.

1. Bukalah File Kubus6a.wg3, (dari CD) klik Anim/$slider, klik reverse atau

gerakan scroll bar ke kanan dan ke kiri. Amati apa yang terjadi!

2. Bukalah File Kubus6b.wg3, klik Anim/$slider, klik reverse atau gerakan scroll

bar ke kanan dan ke kiri. Amati apa yang terjadi!


3. Bukalah File Kubus6c.wg3, klik Anim/$slider, klik reverse atau gerakan scroll

bar ke kanan dan ke kiri. Amati apa yang terjadi!

KEGIATAN 7 : Menentukan luas permukaan dan volume kubus.

1. Bukalah File Kubus1.wg3.

2. Klik meas, ketik AB kemudian tekan enter, ketik 6*AB tekan enter,

selanjutnya ketik AB*AB*AB tekan enter.( simpan dengan nama Kubus7)

3. Berapakah Luas permukaan dan volume kubus tersebut?

4. Klik other > Volume, bandingkan hasil Volume yang muncul dengan hasil

perhitunganmu pada menu meas!

LEMBAR KERJA SISWA

Kerjakan soal-soal berikut ini sebagai latihan dalam lembar jawab yang

tersedia !

1. Kerjakan soal berikut ini :

a. Bukalah file Kubus2.wg3, dengan klik File > Open > Kubus2.wg3. Amati

dan eksplorasi gambar tersebut menggunakan tombol anak panah atas

bawah kanan kiri. Ada berapakah diagonal sisi pada kubus? Sebutkan !

b. Bukalah file Kubus3.wg3, dengan klik File > Open > Kubus3.wg3. Amati


bawah kanan kiri. Ada berapakah diagonal ruang pada kubus? Sebutkan!

c. Bukalah file Kubus4.wg3, dengan klik File > Open > Kubus4.wg3. Amati


bawah kanan kiri. Menurut kamu ada berapakah bidang diagonal pada

kubus? Sebutkan !

2. Bukalah file Kubus1.wg3, dengan klik File > Open > Kubus1.wg3. Amatilah

gambar Kubus 1.wg3 dengan cermat !

a. Tulislah rusuk yang sejajar dengan rusuk AB, BC, dan rusuk AE.

b. Tulislah sisi-sisi kubus yang saling berhadapan.


c. Sebutkan rusuk-rusuk alas, rusuk-rusuk tutup dan rusuk-rusuk tegak kubus

ABCD.EFGH tersebut!

d. Isilah tabel berikut ini.

Unsur Banyaknya Nama-nama

Titik sudut

Rusuk

Sisi

Diagonal sisi

Diagonal

Ruang

Bidang

Diagonal

3. Bukalah file Kubus5e.wg3, selanjutnya klik anim > #slider. Gerakan slidebar

ke kanan atau ke kiri. Berdasarkan kegiatan tersebut dapatkah kamu membuat

model jaring-jaring kubus yang mungkin? Gambarlah salah satu model jaring-

jaring tersebut dalam lembar jawabmu!

4. Menurut kamu ada berapakah model jaring-jaring kubus yang mungkin?

5. Bukalah file Kubus6a.wg3, berapa kalikah kubus A’B’C’D’.E’F’G’H’ dapat

tepat menempati posisi kubus ABCD.EFGH jika kubus tersebut diputar

sebesar 3600 menggunakan sumbu IJ?

6. Bukalah file Kubus6b.wg3, klik Anim > $slider, klik reverse atau gerakan

slidebar ke kanan dan ke kiri. Berapa kalikah kubus A’B’C’D’.E’F’G’H’

dapat tepat menempati posisi kubus ABCD.EFGH jika kubus tersebut diputar

sebesar 3600 menggunakan sumbu AG?

7. Bukalah file Kubus6c.wg3, klik Anim > $slider, klik reverse atau gerakan

slidebar ke kanan dan ke kiri. Berapa kalikah kubus A’B’C’D’.E’F’G’H’

dapat tepat menempati posisi kubus ABCD.EFGH jika kubus tersebut diputar

sebesar 3600 menggunakan sumbu KL?


8. Jika diketahui panjang rusuk suatu kubus a cm, dapatkah kamu menentukan

rumus umum mencari panjang diagonal sisi, panjang diagonal ruang dan luas

bidang diagonalnya .

9. Bukalah file Kubus1.wg3, klik Linear > segment or face, buatlah ruas garis

AB,BG,AG dan bidang sisi BDHF. Klik pada menu meas, ketik AB tekan

enter, ketik BG tekan enter, ketik AG tekan enter dan ketik BDHF tekan enter.

Cocokkah hasilnya dengan rumus pada no.8? (Kerjakan dengan program

wingeom dan simpanlah gambarmu dengan Kubus7.wg3)

10. Jika suatu kubus KLMN.OPQR tersebut mempunyai panjang rusuk 10 cm,

hitunglah :

a. Panjang diagonal sisi.

b. Panjang diagonal ruang

c. Luas bidang diagonalnya.

d. Luas permukaan

e. Volume

5.1.2 Balok


Pokok Bahasan : Geometri Dimensi Tiga

Sub pokok bahasan : Menggambar dan Memahami Bangun Ruang Balok

Tujuan :

• Siswa dapat mengenal bangun ruang balok dan

menggambar bangun ruang balok, memahami unsur-

unsur yang ada dalam balok serta dapat mendefinisikan

balok dengan bahasanya sendiri.

• Siswa dapat menggambar diagonal sisi, diagonal ruang

dan bidang diagonal pada balok.


• Siswa dapat menggambar model jaring-jaring balok

yang mungkin.

• Siswa dapat menunjukkan sifat-sifat simetris pada

balok.

• Siswa dapat menentukan Luas permukaan dan Volume

balok.

Alat : Komputer yang didalamnya sudah terdapat program

wingeom.

Sumber : Buku Matematika dan contoh file berbantuan wingeom.

KEGIATAN I : Mengenal dan Menggambar bangun ruang balok,

memahami unsur-unsur pada balok serta

mendefinisikan balok.

1. Perhatikanlah sekelilingmu, adakah benda-benda yang berbentuk balok?

2. Sebutkan benda-benda yang pernah kamu lihat yang bentuknya mirip dengan

balok !

3. Gambarkanlah salah satu benda yang kamu sebutkan tadi di dalam kertas !

4. Ikutilah langkah-langkah berikut untuk menggambarkan balok dalam jendela

wingeom.

a. Bukalah program wingeom.

b. Klik window > 3 –dim, sehingga muncul jendela wg.3.

c. Klik Unit > Polyhedral /Box

Isilah kotak ukuran, misalnya : length: 6, width : 3, height : 2.

Lalu klik Ok.

� Untuk membuat balok transparan : Klik View > Display > Dot hidden

lines.

� Perhatikan tampilan balok dari berbagai sudut pandang dengan

menggunakan tombol anak panah ←←←←, ↑↑↑↑, →→→→, ↓↓↓↓.


� Jika label titik-titik sudut belum tampil maka : Klik View > Label >

Letter on/of lalu dimodifikasi dengan Klik View > Label > Font atau

Color

d. Simpan gambar balok yang kamu buat, Klik File /save as, simpan dengan

nama Balok 1.wg3.

5. Amatilah tampilan pada gambar Balok 1.wg3.

6. Gerakkan gambar menggunakan tombol anak panah atas bawah kanan kiri,

jika ingin memperbesar tekan tombol Page Up dan untuk memperkecil

gambar tekan tombol Page Down.

7. Berdasarkan kegiatan diatas yang telah kamu lakukan, dapatkah kamu

mendefinisikan apa yang dimaksud dengan balok dengan bahasamu sendiri ?

KEGIATAN 2 : Menggambarkan Diagonal Sisi, Diagonal Ruang dan Bidang

Diagonal pada Balok.

1. Perhatikan gambar dari file Balok 1.wg3 yang kamu buat pada jendela

wingeom!

2. Untuk membuat diagonal sisi : Klik Linear > segment or face > ok. Ketik

nama ruas garis pada balok yang menunjukkan diagonal sisinya. Simpan

gambar tersebut dengan nama Balok 2. wg3.

3. Bukalah file Balok 1. wg3, klik File > open > Balok 1. Pada gambar dari file

Balok 1 yang muncul buatlah ruas garis yang dapat menunjukkan diagonal

ruang pada balok, dengan cara klik Linear > Segment or face. Simpan gambar

tersebut dengan nama Balok 3. wg3.

4. Bukalah file Balok 1 wg3 dengan klik File > Open > Balok 1. Buatlah salah

satu bidang diagonal pada balok dengan klik linear > segment or face ketik

nama bidang baru yang harus dibuat untuk menunjukkan bidang diagonal pada

balok.

Warnai rusuk pada bidang diagonal dengan cara Klik View > Thick segments

lalu muncul hightlights > color.

Untuk membuat tebal tipisnya ruas garis dengan cara klik thickliness > add.


Ketik nama bidang baru yang harus dibuat untuk menunjukkan bidang

diagonal pada balok. Simpan gambar tersebut dengan nama Balok 4. wg3.

KEGIATAN 3 : Menggambar model Jaring - Jaring Balok.

1. Bukalah File > Open > Balok 1. wg3. Klik Transf > rotate lalu isi kotak

dialog , dengan Vertices : ADHE, thrugh angle : $ , arround axis : DA.

Klik menu Anim > $slider, gerakan slidebar ke kanan dan ke kiri. Perhatikan

perubahan yang terjadi !

2. Klik reverse atau cyclic, amati apa yang terjadi pada gambar Balok 1, tekan Q

untuk keluar, tekan F untuk mempercepat gerakan dan tekan S untuk

memperlambat gerakan.

3. Amati juga dengan cara yang sama. Simpan gambar tersebut dengan nama

Balok 5. wg3.

KEGIATAN 4 : Mengenal sifat-sifat simetri pada Balok.

1. Bukalah file Balok 1. wg3.

2. Klik point > 1 relative coordinate. Isi kotak dialognya, sehingga diperoleh

titik-titik untuk membentuk bidang parallel tengah pada balok .

3. Klik Linear > segment or face > ok. Hubungkan masing-masing titik tengah

sehingga membentuk bidang parallel tengah pada balok, buatlah bentuk yang

sama, berapakah gambar yang dapat dibentuk?

4. Bukalah file Balok 2.wg3.

5. Klik Point > 1 relative coordinate. Isi kotak dialognya, sehingga terbentuk

titik-titik tengah sisi-sisi yang berhadapan.

6. Buatlah sumbu simetri putar dengan cara Klik Linear > segment or face..

Ketiklah titik-titik tengah yang sudah dibuat sehingga terbentuk ruas garis

sebagai sumbu simetri putar balok.

7. Buat animasi dengan cara klik Trans > rotate, isilah pada kotak edit rotate,

sehingga dapat dilakukan rotasi balok terhadap sumbu yang telah dibuat.

8. Klik menu Anim > #slider, gerakan slidebar ke kanan dan ke kiri. Perhatikan

perubahan yang terjadi !


9. Dengan langkah yang sama coba temukan sumbu simetri putar yang lain dan

buatlah animasinya. Simpan gambar tersebut dengan nama Balok 6.wg3.

KEGIATAN 5 : Menentukan Luas Permukaan dan Volume Balok.

1. Bukalah file Balok 1.wg3.

2. Klik meas, isi kotak edit ((2(AB*BC)+2(AB*BF)+2(BC*BF)) > enter.

3. Berapakah luas permukaan balok tersebut? Simpan gambar tersebut dengan

nama Balok 7.wg3.

4. Klik other/volume, isi kotak edit dengan nama balok yang akan dihitung

volumenya lalu klik ok. Berapakah volumenya? Simpan gambar tersebut

dengan nama Balok 8.wg3.

LEMBAR KERJA SISWA


tersedia !

1. Kerjakan soal-soal berikut ini:

a. Bukalah file Balok 1.wg3, dengan klik File > open > Balok 1. Amati

eksplorasi gambar tersebut dengan menggunakan tombol anak panah ←←←←,

↑↑↑↑, →→→→, ↓↓↓↓.Tulislah semua sisi balok!

b. Buka file Balok 2.wg3, dengan klik File > open. Amati eksplorasi gambar

tersebut dengan menggunakan tombol anak panah ←←←←, ↑↑↑↑, →→→→, ↓↓↓↓.Tulislah

semua diagonal sisinya dan kelompokkan menurut ukuran panjangnya!

2. Buka file Balok 1.wg3, dengan klik File > open > Balok 1. Amati eksplorasi

gambar tersebut dengan cermat!

Hitunglah :

a. Panjang diagonal sisi AF dan CH, apakah panjang keduanya sama?

b. Panjang diagonal sisi AH dan CF, apakah panjang keduanya sama ?

c. Hitung luas permukaan bidang ABEF dan volume balok itu?


3. Buka file Balok 5.wg3, kemudian klik menu Anim > $slider, gerakan slidebar

ke kanan dan ke kiri. Perhatikan perubahan yang terjadi ! Berdasarkan

kegiatan itu, buatlah model jaring-jaring yang lain?

4. Buka file Balok 6.wg3, kemudian klik menu Anim > $slider, gerakan slidebar

ke kanan dan ke kiri. Perhatikan perubahan yang terjadi! Berapa kalikah balok

A’B’C’D’E’F’G’H’ tersebut dapat tepat menempati posisi balok

ABCDEFGH. Jika balok tersebut diputar sebesar 360 derajat menggunakan

sumbu IJ. Dengan cara yang sama buatlah pada sumbu simetri AG?

5. Jika akan dibuat sebuah balok dari kawat dengan ukuran 25 cm, 10 cm dan 7

cm. Berapakah panjang kawat yang diperlukan?

5.2 Prisma dan Limas

5.2.1 Prisma


Pokok Bahasan : Geometri Dimensi Tiga

Sub Pokok Bahasan : Menggambar dan Memahami Bangun Ruang Prisma

Tujuan : 1. Siswa dapat mengenal bangun ruang Prisma dan

menggambar bangun ruang Prisma.

2. Siswa dapat memahami unsur-unsur yang ada pada

prisma

3. Siswa dapat mendefinisikan pengertian prisma

dengan bahasanya sendiri.

4. Siswa dapat menggambar model jaring-jaring

prisma yang mungkin.

5. Siswa dapat menentukan luas permukaan dan

volume prisma.


Alat : Komputer yang didalamnya sudah terdapat program

Wingeom

Sumber : Buku Matematika dan contoh file berbantuan

Wingeom.

Kegiatan 1 : Mengenal dan Menggambar Bangun Ruang Prisma

1. Adakah benda-benda yang berbentuk prisma di sekelilingmu? sebutkan!

2. Gambarkan salah satu benda yang kamu sebutkan tadi pada selembar kertas!

3. Ikuti langkah-langkah berikut untuk menggambarkan Prisma dalam jendela

Wingeom.

a. Bukalah Program Wingeom

b. Klik Window 3-dim sehingga muncul jendela wg.3

c. Klik Unit > Polyhedral > Prism isilah kotak edit yang menyatakan

banyaknya sisi, panjang rusuk yang kita inginkan dan tinggi Prisma

misalnya pada kotak edit number of side kita isi dengan 3, pada kotak

length kita isi 3 ( 3 di sini menyatakan ukuran 3 satuan panjang ) dan pada

kotak edit height kita isi 5 ( 5 di sini menyatakan ukuran 5 satuan panjang)

lalu klik ok.

4. Akan muncul sebuah gambar ruang prisma dengan ukuran seperti pada

langkah 3(c)


5. Simpanlah gambar prisma yang kamu buat, klik File > save as , simpan

dengan nama PrismaA.wg3.

Kegiatan 2 : Memahami unsur-unsur yang terdapat pada Prisma

1. Amati tampilan seperti gambar dari file PrismaA.wg3.

2. Gerakan gambar menggunakan tombol anak panah atas bawah kanan kiri,

jika ingin memperbesar tekan tekan tombol Page Up dan untuk memperkecil

gambar tekan tombol Page Down .

Kegiatan 3 : Mendefinisikan Pengertian Prisma


dimaksud dengan Prisma dengan bahasamu sendiri?

Kegiatan 4 : Menggambar model jaring-jaring Prisma

1. Bukalah File > open > Prisma1.wg3 (yang telah disediakan)

2. Klik Anim > # slider, gerakkan slidebar ke kanan dan ke kiri. Perhatikan

perubahan yang terjadi!

3. Klik reverse atau cyclic, amati apa yang terjadi pada gambar dari file

Prisma1.wg3 , tekan Q untuk keluar, tekan F untuk mempercepat gerakan dan

tekan S untuk memperlambat gerakan.


4. Lakukanlah langkah (1), (2), dan (3) untuk file Prisma2.wg3 (yang telah

disediakan) Bandingkan!

Kegiatan 5 : Menentukan luas permukaan dan volume Prisma

1. Bukalah File Prisma3.

2. Klik meas, ketik DEF kemudian tekan Enter. Lakukan hal yang sama pada

ABC, ABED, EBCF, DACF ! Selanjutnya ketik DEF + ABC + ABED +

EBCF + DACF kemudian tekan Enter.

3. Berapakah luas permukaan prisma tersebut?

4. Setelah itu, bukalah File Prisma4.

5. Klik meas, ketik ABC kemudian tekan Enter. Lakukan hal yang sama pada

AD! Selanjutnya ketik ABC*AD kemudian tekan Enter.

6. Berapakah volume prisma tersebut ?

7. Klik Other/volume, bandingkan hasil volume yang muncul dengan hasil

perhitungan pada menu meas !


LEMBAR KERJA SISWA

Kerjakan Soal-soal berikut ini sebagai latihan dalam lembar jawab yang

tersedia !

1. Bukalah file PrismaE.wg3, dengan klik File > open . Amati gambar dari

file PrismaE.wg3 ini dengan cermat !

a. Tulislah rusuk-rusuk yang sejajar dengan rusuk AF, BG, dan HC !

b. Tulislah sisi dari gambar file PrismaE.wg3 !

c. Sebutkan rusuk-rusuk alas, rusuk-rusuk atas dan rusuk-rusuk tegak pada

gambar dari file PrismaE.wg3 tersebut !

d. Isilah table berikut !

Unsur Banyak

unsur

Nama-nama

Titik sudut

Rusuk

Sisi


2. Bukalah file Prisma1.wg3, selanjutnya klik Anim > # slider gerakan slidebar

ke kanan atau ke kiri. Berdasarkan kegiatan tersebut dapatkah kamu membuat

model jaring-jaring yang mungkin ? Gambarlah salah satu model jaring-jaring

prisma !

3. Menurut anda ada berapa jaring-jaring yang mungkin untuk prisma dari file

Prisma1.wg3 ?

4. Buka file Prisma2.wg3, selanjutnya klik Anim > # slider, gerakan slidebar ke

kanan atau ke kiri. Bandingkan dengan prisma dari file Prisma2.wg3.

Bagaimanakah jaring-jaring prisma pada file Prisma2.wg3 ? Gambarkan

model-model lain dari jaring-jaring prisma pada file Prisma2.wg3 ?

5. Hitunglah luas permukaan dan volume prisma tegak segitiga yang panjang sisi

alasnya 5 cm, 12 cm, 13 cm, dan panjang rusuk tegaknya 4 cm !

5.2.2 Limas


Pokok Bahasan : Geometri dimensi Tiga.

Sub Pokok Bahasan : Menggambar dan memahami bangun ruang limas.

Tujuan : Siswa dapat mengenal bangun ruang limas dan

menggambar bangun ruang limas.

: Siswa dapat memahami unsur-unsur yang terdapat

pada limas.

: Siswa dapat mendefinisikan limas dengan

bahasanya sendiri.

: Siswa dapat menggambar model jaring-jaring

berbagi jenis limas.

: Siswa dapat menentukan luas permukaan dan

volume limas.


Alat : Komputer yang di dalamnya sudah terdapat

program wingeom.

Sumber : Buku Matematika, contoh File wingeom.

KEGIATAN 1 : Mengenal dan Menggambar bangun ruang limas.

1. Sebutkan benda-benda yang bentuknya mirip dengan limas?

2. Gambarkan salah satu benda yang kamu sebutkan tadi di dalam kertas!

3. Ikuti langkah-langkah berikut untuk menggambarkan limas beraturan dalam

jendela wingeom.

a. Bukalah program Wingeom.

b. Klik window > 3 -dim, sehingga muncul jendela wg.3.

b. Klik Unit > Polyhedral > Pyramid, isilah jendela dialog dengan jenis

limas dan ukuran limas yang diinginkan. Misalnya kita ingin menggambar

limas segitiga beraturan dengan panjang rusuk alasnya 2 satuan panjang

dan tingginya 3 satuan panjang, ketik 3 pada kolom number of sides, ketik

2 pada kolom length dan ketik 3 pada kolom height, lalu klik ok.

4. Akan muncul gambar ruang limas segitiga beraturan dengan ukuran panjang

rusuk 2 satuan panjang dan tinggi 3 satuan panjang. Klik kanan pada titik

puncak limas tersebut, kemudian gantilah titik puncaknya dengan label T.

Simpanlah gambar limas yang kamu buat, klik File > save as, simpan dengan

nama Limas1.wg3. Tampilannya seperti berikut ini :


KEGIATAN 2 : Memahami unsur-unsur yang terdapat pada limas

1. Amati gambar dari file Limas1.wg3 di atas!

2. Klik point >2-relative coordinate, ketik ABC. Amati perubahan yang terjadi

dengan mengerakkan gambar menggunakan tombol anak panah atas bawah

kiri kanan. jika ingin memperbesar tekan tombol Page Up dan untuk

memperkecil gambar tekan tombol Page Down.

3. Klik Linear > segment or face, buatlah ruas garis baru dari titik T ke titik baru

yang muncul. Amati perubahan yang terjadi! ( Simpan gambarmu dengan

nama Limas2.wg3.)

KEGIATAN 3 : Mendefinisikan limas


dimaksud dengan limas dengan bahasamu sendiri?

KEGIATAN 4 : Menggambar model jaring-jaring limas

1. Amati gambar dari file Limas1.wg3.

2. Dapatkah kamu membuat salah satu model jaring-jaringnya? Gambarkan di

atas kertas!

3. Bukalah file Limas3a.wg3 (yang telah disediakan), klik Anim > #slider,

gerakan slidebar ke kanan atau ke kiri, amati perubahan yang terjadi. Coba

juga untuk meng-klik reverse atau cyclic, amati perubahan yang terjadi! (tekan

Q untuk kelua, tekan F untuk mempercepat gerakan dan tekan S untuk

memperlambat gerakan).

8. Bukalah File Limas3b.wg3, menurut kamu apakah tampilan gambar tersebut

merupakan jarring-jaring limas segiempat beraturan? Klik Anim > #slider,

gerakan slidebar ke kanan atau ke kiri untuk menguatkan jawabanmu!

KEGIATAN 5 : Menentukan luas permukaan dan volume limas.

1. Bukalah file Limas4a.wg3, tampak bahwa kubus ABCD.EFGH tersusun atas 6

buah limas yang kongruen.


2. Untuk lebih jelasnya bukalah file Limas4b.wg3, gerakan slidebar ke kanan

atau ke kiri, amatilah gambar tersebut!

3. Berdasarkan rumus mencari volume limas, dapat dilihat bahwa volume limas

= 1/3 volume kubus. Dapatkah kamu membagi sebuah kubus menjadi 3 buah

limas yang volumenya sama? Bukalah file Limas4c.wg3, gerakan slidebar ke

kanan atau ke kiri untuk mengecek jawabanmu!

LEMBAR KERJA SISWA


tersedia !

1. Buatlah gambar ruang limas segitiga beraturan T. ABC, limas segiempat

beraturan T. ABCD, limas segilima beraturan T.ABCDE, dengan tinggi limas

3 satuan panjang dan panjang rusuk alas 2 satuan panjang. (Kerjakan

menggunakan program wingeom, simpan gambar yang kamu buat berturut-

turut dengan nama Limas5a.wg3, Limas5b.wg3, Limas5c.wg3).

2. Isilah tabel berikut :

Rusuk Limas Bidang sisi Limas

Titik-Titik

Sudut

Rusuk

Alas

Rusuk

tegak

Bidang

sisi alas

Bidang

sisi tegak

Limas5a

Limas5b

Limas5c

3. Ruas garis manakah yang merupakan tinggi limas? Titik manakah yang

merupakan titik puncak limas?


4. Diketahui limas segiempat beraturan T. ABCD dengan panjang rusuk AB=6

cm dan panjang rusuk tegak TA=5 cm. Carilah luas permukaan dan volume

limas tersebut?

5.3 Kedudukan Titik, Garis dan Bidang

5.3.1 Kedudukan Titik dan Garis dalam Ruang


Pokok Bahasan : Kedudukan titik, garis dan bidang pada ruang

Sub-Pokok Bahasan : Kedudukan titik, garis pada ruang

Tujuan :

• Siswa dapat memahami berbagai kedudukan titik

terhadap garis

• Siswa dapat memahami berbagai kedudukan titik

terhadap bidang

• Sisiwa dapat memahami berbagai kedudukan garis

dengan garis lain

Alat : komputer yang sudah memiliki program wingeom

Sumber : buku matematika dan file-file yang berkaitan dengan

materi berbantuan Wingeom

KEGIATAN 1 : Memvisualisasikan Kedudukan Titik terhadap Garis

Kemungkinan kedudukan sebuah titik terhadap sebuah garis di dalam suatu ruang

adalah:

i) Titik terletak pada Garis

ii) Titik terletak di luar garis


i) Titik terletak pada garis

1. Buka Wingeom 3-dim.

2. Klik Unit > Polyhedral > Box, akan muncul kotak dialog Rectangular.

Tentukan ukuran yang diinginkan, kemudian ketik ok

3. Perhatikanlah ruas garis-ruas garis sisi alasnya. Tentukanlah salah satu ruas

garis yang mau diamati dari ruas garis-ruas garis sisi alas. Misalnya ruas garis

AB(Lihat pula koordinat titik dari ruas garis tersebut, dengan mengklik Btns >

Toolbar > Edit Coordinate. Lalu gantilah ukurannya supaya rusuk AB

menjadi lebih panjang dengan rusuk-rusuk lain, caranya dengan mengklik

Point > Coordinates > x= -1 dan x = 3(misalnya)) dan warnailah dengan

warna yang berbeda dengan warna ketiga rusuk alas lainnya, caranya dengan

mengklik View > Thick segment.Akhirnya dengan mengklik Edit > Point

delete, hapus titik yang terbentuk ketika anda memperpanjang ruas garis AB.

Simpan dalam file Ketigar1.wg3.


4. Eksplorasilah kubus tersebut dengan menggunakan tombol anak panah atas-

bawah dan kanan-kiri serta tombol page down dan page up.Perhatikan titik-

titik dari ruas garis-ruas garis itu ketika anda mengeksplorasi?

5. Misalkan ruas garis AB pada kubus ABCD EFGH dinamai garis g. Titik-titik

apa yang terletak pada garis g ?

6. Buatlah file baru, dengan cara klik File > New.



8. Hapuslah sisi, ruas garis dan titik dari kubus yang tidak diperlukan dengan

menggunakan fasilitas Edit > Linear element dan Edit > Point delete. Buatlah

garis AB dengan memakai fasilitas Linear > Segment or face kemudian

tambahkan titik pada ruas garis tersebut dengan mengklik Point > 1 relative

coordinate. Simpan dalam file Ketigar2.wg3.

9. Gerakanlah gambar tersebut dengan menggunakan tombol anak panah kiri -

kanan dan atas-bawah. Apa yang terjadi dengan titik C, ketika ruas garis AB

bergerak-gerak?


ii) Titik terletak di luar garis

1. Buatlah file baru, dengan cara klik File > New.


Tentukan ukuran yang diinginkan, kemudian ketik ok.

3. Perhatikanlah ruas garis-ruas garis sisi alasnya. Tentukanlah salah satu ruas

garis yang mau diamati dari ruas garis-ruas garis sisi alas. Misalnya ruas garis

AB(Lihat pula koordinat titik dari ruas garis tersebut, dengan mengklik Btns >

Toolbar > Edit Coordinate. Lalu gantilah ukurannya supaya rusuk AB

menjadi lebih panjang dengan rusuk-rusuk lain, caranya dengan mengklik

Point > Coordinates > x= -1 dan x = 3(misalnya)) dan warnailah dengan

warna yang berbeda dengan warna ketiga rusuk alas lainnya, caranya dengan

mengklik View > Thick segment. Akhirnya dengan mengklik Edit > Point

delete, hapus titik yang terbentuk ketika anda memperpanjang ruas garis AB.

Simpan dalam file Ketigar3.wg3.

4. Eksplorasilah kubus tersebut dengan menggunakan tombol anak panah atas-

bawah dan kanan-kiri serta tombol page down-page up.Perhatikan titik-titik

dari ruas garis-ruas garis itu ketika anda mengeksplorasi


5. Misalkan ruas garis AB pada kubus ABCD EFGH dinamai garis g. Titik-titik

apa yang tidak terletak pada garis g ?

KEGIATAN 2: Memvisualisasikan kedudukan titik terhadap bidang

Kemungkinan kedudukan sebuah titik terhadap garis di dalam suatu ruang adalah:

i) Titik terletak pada Bidang

ii) Titik terletak di luar Bidang

i) Titik terletak di Bidang

1. Buatlah file baru.




menggunakan fasilitas Edit > Linear element dan Edit > Point delete. Sisakan

bidang ABCD. Anda dapat mewarnai bidang itu agar lebih menarik Buatlah

titik pada bidang tersebut dengan mengklik Point > 3 relative coordinate.

Simpan dalam file Ketibid1.wg3.

4. Gerakkanlah gambar tersebut dengan menggunakan tombol anak panah kanan

kiri, atas-bawah.Amatilah titik E ketika bidang tersebut digerakan.

5. Akankah titik E bergerak keluar atau tidak terletak pada bidang ABCD?


ii) Titik terletak di luar bidang





menggunakan fasilitas Edit > Linear element dan Edit > Point delete.

Sisakan bidang ABCD dan EFGH. Buatlah titik pada bidang EFGH dengan

mengklik Point > 3 relative coordinate. Simpan dalam file Ketibid2.wg3.

4. Gerakkanlah gambar tersebut dengan menggunakan tombol anak panah kanan

kiri, atas-bawah.Amatilah titik I ketika bidang tersebut digerakan.

5. Apakah titik I tidak terletak pada bidang ABCD?


KEGIATAN 3: Memvisualisasikan kedudukan garis dengan garis lain

Kemungkinan kedudukan sebuah garis terhadap garis lain di dalam suatu ruang

adalah:

i) Dua Garis Berpotongan

ii) Dua Garis Sejajar

iii) Dua Garis Bersilangan

i) Dua garis berpotongan





menggunakan fasilitas Edit > Linear element dan Edit > Point delete. Sisakan

bidang ABCD.

4. Buatlah ruas garis AC dan BD dengan mengklik menu Linear > Segment or

face. Buatlah titik perpotongan kedua ruas garis tersebut dengan mengklik

Point > 1relative coordinate. Simpan dalam file Kegagar1.wg3.


5. Gunakanlah tombol panah kiri-kanan, atas bawah untuk menggerakannya.

Amatilah apa yang terjadi pada titik perpotongan tersebut ketika ruas garis-

ruas garis itu digerakkan.

ii Dua garis sejajar





menggunakan fasilitas Edit > Linear element dan Edit > Point delete.

4. Buatlah ruas garis AB dan CD dengan menggunakan fasilitas Linear >

Segment or face . Simpan dalam file Kegagar2.wg3.


Amatilah apakah kedua ruas garis tersebut akan berpotongan?


iii) Dua garis bersilangan

1. Buatlah file baru



3. Buatlah garis BE dan DG dengan menggunakan Linear > Segment or face.

Simpan dalam file Kegaga3.wg3.


Amatilah apa yang terjadi pada kedua ruas garis tersebut?Apakah keduanya

memang berpotongan?Ataukah sejajar?


LEMBAR KERJA SISWA

Kerjakanlah soal-soal berikut sebagai latihan

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Jika BC mewakili garis s, tentukanlah :

a. Titik sudut-titik sudut kubus yang terletak pada garis s

b. Titik sudut-titik sudut kubus yang tidak terletak pada garis s

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Jika bidang EFGH mewakili bidang U,

tentukanlah:

a. Titik sudut-titik sudut kubus yang terletak pada bidang U

b. Titik sudut-titik sudut kubus yang terletak di luar bidang U

5.3.2 Kedudukan Garis dan Bidang dalam Ruang


Pokok Bahasan : Geometri Dimensi Tiga.

Sub Pokok Bahasan : Kedudukan Garis dan Bidang dalam Ruang.

Tujuan :

• Siswa dapat memahami berbagai kedudukan garis

terhadap bidang.

• Siswa dapat memahami berbagai kedudukan bidang

terhadap bidang lain.

Alat : Komputer yang di dalamnya sudah terdapat program

wingeom.

Sumber : Buku matematika dan contoh file berbantuan wingeom

yang terkait dengan materi.


KEGIATAN 1 : Memahami Kedudukan Garis terhadap Bidang

Kemungkinan kedudukan sebuah garis terhadap sebuah bidang di dalam suatu

ruang adalah:

i) Garis terletak pada bidang

ii) Garis sejajar bidang

iii) Garis memotong atau menembus bidang

i) Kedudukan Garis terletak pada Bidang

1. Kedudukan garis terletak pada bidang dapat kita pelajari dengan

memanfaatkan tampilan gambar ruang kubus dengan program wingeom!

Buatlah kubus ABCD EFGH. Pada kubus ABCD EFGH, dimisalkan

bidang alas ABCD sebagai wakil bidang U. Coba kamu sebutkan rusuk-

rusuk kubus yang terletak pada bidang U!

2. Untuk semakin memperjelas visualisasi kedudukan garis yang terletak

pada bidang dalam kubus ABCD EFGH , caranya:

a. Dari gambar kubus yang telah kamu buat Klik Edit > Linear elements

> Delete dan Edit > Point delete untuk menghapus sisi- sisi dan titik-

titik pada kubus yang tidak digunakan.

b. Klik Linear > Segment or face untuk membuat ruas garis AC.

c. Amati hasil tampilan gambar kedudukan garis terletak pada

bidang.Gerakkan gambar menggunakan tombol ←, ↑, →, ↓. Jika ingin

memperbesar tekan tombol Page Up dan untuk memperkecil tekan

tombol Page Down.


ii) Kedudukan Garis Sejajar Bidang

1. Gunakan gambar kubus untuk mempelajari kedudukan garis sejajar

bidang. Buatlah gambar kubus kubus ABCD EFGH. Pada kubus ABCD

EFGH, dimisalkan bidang alas ABCD sebagai wakil bidang U. Sebutkan

rusuk- rusuk kubus yang sejajar bidang U!

2. Untuk semakin memperjelas visualisasi kedudukan garis yang sejajar pada

bidang dalam kubus ABCD EFGH , caranya:

a. Dari tampilan gambar kubus yang telah kamu buat Klik Edit > Linear

elements > Delete dan Edit > Point delete untuk menghapus sisi- sisi

dan titik- titik pada kubus yang tidak digunakan.

b. Klik Linear > Segment or face untuk membuat ruas garis EF.

c. Eksplorasilah tampilan tersebut menggunakan tombol ←, ↑, →, ↓

untuk menjawab pertanyaanmu. Apa yang kamu dapat?


iii) Kedudukan Garis Memotong atau Menembus Bidang

1. Gunakan gambar kubus untuk mempelajari kedudukan garis yang

memotong atau menembus bidang. Buatlah gambar kubus kubus ABCD

EFGH. Pada kubus ABCD EFGH, dimisalkan bidang alas ABCD sebagai

wakil bidang U. Sebutkan rusuk- rusuk kubus yang sejajar bidang U!

2. Untuk semakin memperjelas visualisasi kedudukan garis yang memotong

atau menembus bidang dalam kubus ABCD EFGH , caranya:

a. Dari gambar kubus yang telah kamu buat, buatlah titik tengah di ruas

garis AE, BF, CG dan DH dengan meng-klik Point > 1 relative

coordinate, isilah kotak dialog dengan nama ruas garis tersebut dan

dengan coordinat ½.

b. Buatlah bidang baru dengan menghubungkan titik tengah tadi dengan

meng-klik Linear > Segment or face, isilah kotak dialog dengan nama

titik tengah dari hasil kegiatan a, kemudian klik ok.

c. Klik Linear > Segment or face untuk membuat ruas garis HB.

d. Klik Edit > Linear elements > Delete dan Edit > Point delete untuk

menghapus sisi- sisi dan titik- titik pada kubus yang tidak digunakan.


e. Eksplorasilah tampilan tersebut menggunakan tombol ←, ↑, →, ↓

untuk menjawab pertanyaanmu.

KEGIATAN 5 : Kedudukan Bidang Terhadap Bidang Lain

Kemungkinan kedudukan sebuah bidang terhadap bidang lain di dalam suatu

ruang adalah

i) berimpit,

ii) sejajar, dan

iii) berpotongan.

i) Kedudukan Dua Bidang Berimpit

Kedudukan dua Bidang Berimpit dapat kita pelajari dengan memanfaatkan

tampilan gambar ruang kubus dengan program wingeom. Buatlah gambar

kubus ABCD EFGH. Dari kubus yang telah kamu buat yaitu kubus ABCD

EFGH, dimisalkan bidang alas ABCD sebagai wakil bidang U dan bidang

atas EFGH sebagai wakil bidang V.


Cobalah kamu amati gambar kubus itu, apakah menurutmu bidang alas

ABCD dan bidang atas EFGH dapat berimpit?

Untuk semakin memperjelas visualisasi kedudukan dua bidang berimpit,

caranya:

1. Dari gambar kubus yang telah kamu buat Klik Edit > Linear

elements > Delete untuk menghapus sisi- sisi pada kubus yang tidak

digunakan.

2. Amati hasil tampilan gambar yang berupa bidang alas dan bidang

atas kubus ABCD EFGH. Eksplorasilah dengan menggerakkan

gambar menggunakan tombol ←, ↑, →, ↓. Jika ingin memperbesar

tekan tombol Page Up dan untuk memperkecil tekan tombol Page

Down. Apa yang dapat kamu dapatkan atau simpulkan?

ii) Kedudukan Dua Bidang Sejajar

Untuk mempelajari kedudukan dua bidang sejajar dapat dilakukan seperti

kegiatan sebelumnya yaitu kegiatan 4A. Apakah menurutmu bidang U dan

bidang V sejajar?


iii) a Kedudukan Dua Bidang Berpotongan

Kedudukan Dua Bidang Berpotongan dapat dipelajari dengan

memanfaatkan tampilan gambar ruang kubus dengan program wingeom.

Caranya:

1. Buatlah kubus ABCD EFGH..

2. Dari gambar kubus yang telah kamu buat, buatlah titik tengah di

ruas garis AE, BF, CG dan DH dengan meng-klik Point > 1

relative coordinate, isilah kotak dialog dengan nama ruas garis

tersebut dan dengan coordinat ½.

3. Buatlah bidang baru dengan menghubungkan titik tengah tadi

dengan meng-klik Linear > Segment or face, isilah kotak dialog

dengan nama titik tengah dari hasil kegiatan a, kemudian klik ok.

4. Buatlah bidang diagonal BCHE dengan cara klik Linear > Segment

or face, isilah kotak dialog dengan nama BCHE kemudian klik ok.

5. Dari tampilan gambar kubus yang telah kamu buat tersebut

kemudian Klik Edit > Linear elements > Delete dan Edit > Point


delete untuk menghapus sisi- sisi dan titik- titik pada kubus yang

tidak digunakan.

6. Amati tampilan gambar tersebut dan eksplorasilah dengan

menggerakkan gambar menggunakan tombol ←, ↑, →, ↓. Jika

ingin memperbesar tekan tombol Page Up dan untuk memperkecil

tekan tombol Page Down. Apa yang dapat kamu dapatkan atau

simpulkan?

iii) b Kedudukan Tiga Bidang Berpotongan

Kedudukan tiga bidang berpotongan dapat dipelajari dengan melakukan

kegiatan sebagai berikut:

1. Buatlah kubus seperti pada kegiatan 2A1a-A1c.

2. Buatlah bidang diagonal pada kubus dengan cara klik Linear >

Segment or face dan isilah kotak dialog dengan nama bidang yang

akan dibuat, misalnya ADGF kemudian klik ok.


3. Klik Edit > Linear elements > Delete untuk menghapus sisi- sisi

pada kubus yang tidak digunakan.

4. Amati tampilan gambar tersebut dan eksplorasilah dengan

menggerakkan gambar menggunakan tombol ←, ↑, →, ↓. Jika

ingin memperbesar tekan tombol Page Up dan untuk memperkecil

tekan tombol Page Down.

LEMBAR KERJA SISWA

Kerjakanlah soal- soal di bawah ini sebagai latihan dalam lembar jawaban yang

tersedia!

1. Diketahui kubus ABCD EFGH, misalnya rusuk AB mewakili garis t,

tentukan :

a. Rusuk kubus yang memotong garis t.

b. Rusuk kubus yang sejajar garis t.

c. Rusuk kubus yang bersilangan dengan garis t.


2. Diketahui kubus ABCD EFGH, misalnya bidang alas mewakili bidang Z,

tentukan :

a. Rusuk kubus yang terletak pada bidang Z.

b. Rusuk kubus yang sejajar bidang Z.

c. Rusuk kubus yang berpotongan dengan bidang Z.

3. Diketahui kubus ABCD EFGH, misalnya bidang alas mewakili bidang Z,

tentukan :

a. Sisi kubus yang sejajar dengan bidang Z.

b. Sisi- sisi kubus yang berpotongan dengan bidang Z.

5.4 Latihan

1. Dengan memanfaatkan ide-ide pembelajaran di atas, buatlah persiapan

pembelajaran dengan pendekatan kelas, yang meliputi persiapan file untuk

presentasi, pertanyaan-pertanyaan yang akan diajukan di kelas beserta

kemungkinan jawaban yang diharapkan dari siswa.

2. Buatlah Rencana Pembelajaran yang lengkap, ide-ide pembelajaran di atas

dapat dilengkapi dengan pedoman untuk guru dan evaluasi dari pembelajaran

yang akan anda laksanakan.

3. Masalah kemampuan pemahaman keruangan menjadikan faktor utama siswa

dalam mempelajari geometri dimensi 3. Apakah anda setuju dengan

penyataan ini? Apakah pembelajaran dengan bantuan program Wingeom,

khususnya Wingeom 3-dim ini dapat meningkatkan kemampuan pemahaman

keruangan ? Dari masalah ini cobalah susun sebuah proposal penelitian

tindakan kelas dan laksanakan di kelas.

202

BAB 6

PENUTUP

Penulis yakin bahwa Program Wingeom mempunyai potensi yang besar

untuk membantu pembelajan geometri baik dimensi dua maupun dimensi tiga dari

SD sampai dengan SMA, bahkan dapat digunakan juga di perguruan tinggi untuk

jurusan dan mata kuliah yang terkait. Apa yang dipaparkan dalam buku ini belum

mengungkapkan semua kemampuan maupun potensi Program Wingeom. Masih

banyak kemampuan maupun potensi Program Wingeom 3-dim yang dapat

dieksplorasi untuk mendukung pembelajan geometri maupun pemecahan masalah

dan penelitian yang terkait dengan geometri. Geometri yang dibahas dengan

program Wingeom 2-dim dan 3-dim masih terbatas pada geometri Euclides, yaitu

geometri yang sering dibicarakan. Fasilitas pada jendela Hyperbolic dan Sperical

dapat digunakan untuk membahas geometri hiperbolis dan geometri bola, yang

kadang dibahas di perguruan tinggi maupun dalam penggunaan dan penelitian di

bidang lain, seperti astronomi dan sebagainya. Eksplorasi akan kemampuan lain

program ini tentu saja hal ini memerlukan keinginan yang kuat dan kemauan

untuk mencoba-coba program ini.

Beberapa contoh dan ide-ide penggunaan program Wingeom untuk

membantu pembelajan geometri dimensi yang disampaikan dalam buku ini belum

seluruhnya diujicobakan di sekolah. Uji coba terus-menerus secara nyata perlu

dilakukan untuk memberikan umpan balik, agar diperoleh suatu hasil yang lebih

mapan dan teruji. Untuk uji coba di kelas maupun laboratorium, diperlukan suatu

keyakinan dan keinginan bahwa usaha inovasi pembelajaran geometri ini akan

memberikan hasil yang diharapkan lebih baik, sejalan dengan pemanfaatan

teknologi. Uji coba di awal barangkali dapat terjadi hasil belajar siswa tidak selalu

Penutup 203

lebih baik. Hal ini sangat dimungkinkan karena masih banyak aspek-aspek lain

yang harus dikuasai dan dibiasakan, seperti: penguasaan komputer, pengelolaan

pembelajaran di laboratorium komputer, penekanan aspek proses pembelajaran

dan sebagainya. Dari ujicoba yang pernah penulis lakukan bersama mahasiswa

dan guru menunjukkan siswa cukup antusias. Siswa senang karena ada variasi

pembelajaran yang diberikan guru dan cukup belajar dengan menggunakan

komputer.

Penulis sangat terbuka dan senang atas saran dan kritik yang diberikan

pembaca dan pengguna untuk penyempurnaan buku ini. Bagi pembaca yang

berminat menggunakannya dalam pembelajaran, dengan senang hati penulis

bersedia berkomunikasi dan memberikan pendampingan. Demikian, semoga

bermanfaat. Terimakasih.

GEOMETRI DENGAN WINGEOM - astramatika-unmul. · PDF file3.3 Pembelajaran Lingkaran dan Irisan...

Documents

Transcript of GEOMETRI DENGAN WINGEOM - astramatika-unmul. · PDF file3.3 Pembelajaran Lingkaran dan Irisan...