1. Transformasi Geometri Disini akan dibahas bangun geometri ...

of 6 /6
1. Transformasi Geometri Disini akan dibahas bangun geometri pada bidang dua dimensi yaitu bisa berupa titik, garis dan bidang Ada 4 macam proses perubahan ukuran atau letak yang akan dipelajari yaitu (1) Pergeseran (Translasi) (2) Pencerminan (Refleksi) (3) Perputaran (Rotasi) (4) Dilatasi (Perkalian) Prose perubahan ukuran atau letak bisa juga berupa gabungan atau kombinasi dari proses transformasi tunggal di atas yang disebut transformasi komposisi Pada proses transformasi pergeseran, pencerminan dan perputaran merubah letak bangun geometri tanpa merubah ukuran dan bentuk semula Pada proses transformasi perkalian merubah ukuran bentuk bangun geometri Transformasi geometri adalah proses perubahan letak atau ukuran suatu bangun geometri Transformasi pada bidang dua dimensi diwakili dengan matriks kolom 2×1 atau baris 1×2 atau mariks bujur 2×2 = = =

Transcript of 1. Transformasi Geometri Disini akan dibahas bangun geometri ...

Page 1: 1. Transformasi Geometri Disini akan dibahas bangun geometri ...

 

1. Transformasi  Geometri  

   Disini  akan  dibahas  bangun  geometri  pada  bidang  dua  dimensi  yaitu  bisa  berupa  titik,  garis  dan  bidang    Ada  4  macam  proses  perubahan  ukuran  atau  letak  yang  akan  dipelajari  yaitu    

(1) Pergeseran  (Translasi)  (2) Pencerminan  (Refleksi)  (3) Perputaran  (Rotasi)  (4) Dilatasi  (Perkalian)  

 Prose  perubahan  ukuran  atau  letak  bisa  juga  berupa  gabungan  atau  kombinasi  dari  proses  transformasi  tunggal  di  atas  yang  disebut  transformasi  komposisi    Pada  proses  transformasi  pergeseran,  pencerminan  dan  perputaran  merubah  letak  bangun  geometri  tanpa  merubah  ukuran  dan  bentuk  semula    Pada  proses  transformasi  perkalian  merubah  ukuran  bentuk  bangun  geometri      

       

Transformasi  geometri  adalah  proses  perubahan  letak  atau  ukuran  suatu  bangun  geometri  

Transformasi  pada  bidang  dua  dimensi  diwakili  dengan  matriks  kolom  2×1  atau  baris  1×2  atau  mariks  bujur  2×2    

𝑇 = 𝑎𝑏 = 𝑎 𝑏  

 

𝑇 = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑  

Page 2: 1. Transformasi Geometri Disini akan dibahas bangun geometri ...

 

2. Pergeseran  (Translasi)    

         

Gambar  1    Pada  gambar  titik  𝑃 𝑥,𝑦  digeser  dengan  transformasi  𝑇 = 𝑎

𝑏  ke  titik  𝑃′ 𝑥!,𝑦′  

Titik  𝑃′ 𝑥′,𝑦′  disebut  bayangan  titik  𝑃 𝑥,𝑦  oleh  transformasi  𝑇 = 𝑎𝑏  

 Absis  dan  ordinat  bayangannya  adalah  𝑥! = 𝑥 + 𝑎  dan  𝑦! = 𝑦 + 𝑏  sehingga  dapat  ditulis  dalam  bentuk  aljabar  matriks  sebagai  berikut    𝑥′𝑦′ =

𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏

𝑥′𝑦′ =

𝑥𝑦 + 𝑎

𝑏

   

 Jika  fungsi  𝑦 = 𝑓 𝑥  digeser  dengan  transformasi  𝑇 = 𝑎

𝑏  hasilnya  adalah    

Pergeseran  (Translasi)  adalah  transformasi  yang  memindahkan  setiap  titik  sepanjang  ruas  garis  lurus  dengan  jarak  dan  arah  tertentu.    Karena  pemindahan  ditentukan  dengan  jarak  dan  arah  tertentu  maka  transformasi  pergeseran  (translasi)  dapat  diwakili  oleh  sebuah  vektor  yang  penulisannya  berupa  matriks  kolom  atau  matriks  baris    

𝑇 = 𝑎𝑏 = 𝑎 𝑏  

 dimana    𝑎        mewakili  pergeseran  sejajar  sumbu  X      𝑏        mewakili  pergeseran  sejajar  sumbu  Y  

Page 3: 1. Transformasi Geometri Disini akan dibahas bangun geometri ...

 

𝑦′ = 𝑓 𝑥′𝑦 + 𝑏 = 𝑓 𝑥 + 𝑎    

 

       

Gambar  2      Titik  𝑃  ,𝑄  dan  𝑅  di  geser  dengan  transformasi  𝑇 = 𝑎

𝑏  hasilnya  adalah  titik  

𝑃′  ,𝑄′  dan  𝑅′  sehingga  𝑃𝑃! = 𝑄𝑄! = 𝑅𝑅′ = 𝑎𝑏  

   

Panjang  𝑃𝑄   adalah   𝑃𝑄 = 𝑥! − 𝑥!! + 𝑦! − 𝑦!

!      

           

Hasil  transformasi  pergeseran  titik   𝑥,𝑦  oleh  pergeseran  (translasi)  𝑇 = 𝑎𝑏  

adalah    

𝑥′𝑦′ =

𝑥𝑦 + 𝑎

𝑏  

Page 4: 1. Transformasi Geometri Disini akan dibahas bangun geometri ...

 

Panjang  𝑃′𝑄′    

𝑃′𝑄′ = 𝑥!! − 𝑥!!!+ 𝑦!! − 𝑦!!

!

𝑃′𝑄′ = 𝑥! + 𝑎 − 𝑥! + 𝑎! + 𝑦! + 𝑏 − 𝑦! + 𝑏

!

𝑃′𝑄′ = 𝑥! + 𝑎 − 𝑥! − 𝑎! + 𝑦! + 𝑏 − 𝑦! + 𝑏

!

𝑃′𝑄′ = 𝑥! − 𝑥! + 𝑎 − 𝑎! + 𝑦! − 𝑦! + 𝑏 + 𝑏

!

𝑃′𝑄′ = 𝑥! − 𝑥!!+ 𝑦! − 𝑦!

!

𝑃′𝑄′ = 𝑃𝑄

   

 Dengan  cara  yang  sama  bisa  diperoleh   𝑃′𝑅′ = 𝑃𝑅  dan   𝑄′𝑅′ = 𝑄𝑅  sehingga  ∆𝑃𝑄𝑅 = ∆𝑃′𝑄′𝑅′      

         

Pada  proses  translasi  pergeseran  bentuk  geometri  tidak  berubah  hanya  tempat  yang  berubah  

Page 5: 1. Transformasi Geometri Disini akan dibahas bangun geometri ...

 

3. Rotasi    

   Tiga  hal  yang  menentukan  rotasi    

(1) Titik  pusat  putaran  (2) Besar  sudut  putar    (3) Arah  putaran   –  searah  jarum  jam  dan   +  berlawanan  arah  jarum  jam  

 

   Titik  𝑄 𝑥,𝑦  di  putar  dengan  sudut  𝛼  dan  hasilnya  adalah  titik  𝑄′ 𝑥!,𝑦′    Lihat  garis  𝑃𝑄            𝑥 − 𝑎 = 𝑟 cos𝛽           𝑦 − 𝑏 = 𝑟 sin𝛽      Lihat  garis  𝑃𝑄′    𝑥! − 𝑎 = 𝑟 cos 𝛼 + 𝛽𝑥! − 𝑎 = 𝑟 cos𝛽 cos𝛼 − sin𝛽 sin 𝛼𝑥! − 𝑎 = 𝑟 cos𝛽 cos𝛼 − 𝑟 sin𝛽 sin 𝛼𝑥! − 𝑎 = 𝑥 − 𝑎 cos𝛼 − 𝑦 − 𝑏 sin 𝛼

   

𝑦! − 𝑏 = 𝑟 sin 𝛼 + 𝛽𝑦! − 𝑏 = 𝑟 sin𝛽 cos𝛼 + cos𝛽 sin 𝛼𝑦! − 𝑏 = 𝑟 sin𝛽 cos𝛼 + 𝑟 cos𝛽 sin 𝛼𝑦! − 𝑏 = 𝑦 − 𝑏 cos𝛼 + 𝑥 − 𝑎 sin 𝛼𝑦! − 𝑏 = 𝑥 − 𝑎 sin 𝛼 + 𝑦 − 𝑏 cos𝛼

 

   Dengan  menggunakan  cara  aljabar  matriks  dapat  ditulis    𝑥! − 𝑎𝑦! − 𝑏 = 𝑥 − 𝑎 cos 𝛼 − 𝑦 − 𝑏 sin 𝛼

𝑥 − 𝑎 sin 𝛼 + 𝑦 − 𝑏 cos 𝛼𝑥! − 𝑎𝑦! − 𝑏 = cos 𝛼 − sin 𝛼

sin 𝛼 cos 𝛼𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑏

   

Perputaran  (rotasi)  adalah  transformasi  dengan  proses  memutar  sebuah  titik  terhadap  titik  pusat  perputaran  

Page 6: 1. Transformasi Geometri Disini akan dibahas bangun geometri ...

 

 

   Jika  diputar  dengan  pusat  𝑂 0,0  maka    𝑥! − 𝑎𝑦! − 𝑏 = cos 𝛼 − sin 𝛼

sin 𝛼 cos 𝛼𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑏

𝑥! − 0𝑦! − 0 = cos 𝛼 − sin 𝛼

sin 𝛼 cos 𝛼𝑥 − 0𝑦 − 0

𝑥!𝑦! = cos 𝛼 − sin 𝛼

sin 𝛼 cos 𝛼𝑥𝑦

   

 

       

Hasil  transformasi  putar  titik   𝑥,𝑦  dengan  pusat   𝑎, 𝑏  dengan  sudut  sebesar  𝛼  berlawanan  arah  jarum  jam  adalah    

𝑥! − 𝑎𝑦! − 𝑏 = cos 𝛼 − sin 𝛼

sin 𝛼 cos 𝛼𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑏  

Hasil  transformasi  putar  titik   𝑥,𝑦  dengan  pusat  𝑂 0,0  dengan  sudut  sebesar  𝛼  berlawanan  arah  jarum  jam  adalah    

𝑥!𝑦! = cos 𝛼 − sin 𝛼

sin 𝛼 cos 𝛼𝑥𝑦