Geometri Dimensi Tiga ~ titik, garis dan bidang

RUANG DIMENSI

TIGA

http://furahasekai.wordpress.com

http://furahasekai.wordpress.com/

MATERI: TITIK, GARIS DAN BIDANG

LUAS PERMUKAAN DAN VOLUME BANGUN RUANG

PROYEKSI

MENGGAMBAR IRISAN BANGUN RUANG

SUDUT-SUDUT DALAM RUANG

MENGGAMBAR BANGUN RUANG

MENENTUKAN JARAK PADA BANGUN RUANG



TITIK, GARIS,DAN BIDANG



Titik, Garis, dan Bidang dinamakan sebagai unsur-unsur ruang

> Digambarkan dengan noktah dan ditulis dengan huruf besar.

> Hanya dapat ditentukan oleh letaknya, tetapi tidak mempunyai ukuran (dikatakan tidak berdimensi).

TITIKA

B

P Q

GarIS (Garis Lurus)

> Merupakan himpunan (kumpulan) titik-titik.> Hanya mempunyai ukuran panjang> Garis ditulis dengan huruf kecil, misalnya garis g, garis h, garis k, dan seterusnya. Atau menyebutkan nama segmen garis dari titik pangkal ke titik ujung.

g

BA



Bidang (Bidang Datar)

> Sebuah bidang memiliki luas yang tak terbatas. Dalam geometri, sebuah bidang cukup digambarkan wakilnya saja, yaitu suatu daerah terbatas yang terletak pada bidang.> Mempunyai ukuran panjang dan lebar.> Nama dari wakil bidang dituliskan di daerah pojok bidang dengan memakai huruf α, β, γ atau dengan menyebutkan titik-titik sudut dari wakil bidang itu.

αQP

S R

bidang α bidang PQRS



Aksioma Garis dan BidangAksioma atau postulat adalah pernyataan yang diandaikan benar dalam sebuah sistem dan kebenaran itu diterima tanpa pembuktian.

Dalam geometri ruang ada tiga buah aksioma yang penting. Ketiga buah aksioma itu diperkenalkan oleh Euclides (+ 300 SM), seorang ahli matematika dari Alexandria.

-



Aksioma-aksioma EuclidesAksioma 1Melalui dua buah titik sebarang (kedua titik tidak berimpit) hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.

gAksioma 2Jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua titik persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang.

g. . B

Aksioma 3Melalui tiga buah titik sebarang hanya dapat dibuat sebuah bidang.

α

α. A . B

. C

. A

. B

A



MENGKONSTRUKSIKAN SEBUAH BIDANG

Sebuah bidang tertentu dibentuk oleh:

(1) Tiga buah titik yang tidak segaris.

α

Tiga buah titik A, B, C yang tidak segaris membentuk sebuahbidang α. A

. B

. C



(2) Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu.

β

g

Titik P ada di luar garis g.

Titik P dan garis g membentuk bidang β . P



(3) Dua garis yang berpotongan.

gh

α

Garis g dan garis h berpotongan.

Garis g dan garis h membentuk bidang α



(4) Dua garis yang sejajar.

β

m

n

Garis m dan garis n sejajar.

Garis m dan garis n membentuk bidang β



Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang pada Bangun RuangKedudukan Titik Terhadap Garis

Jika titik A dilalui oleh garis g, maka titik A dikatakan terletak pada garis g.

Titik terletak pada garis

. A

g

Titik di luar garisJika titik B tidak dilalui oleh garis h, maka titik B dikatakan berada di luar garis h.

. B

h



Kedudukan Titik Terhadap Bidang

Titik terletak pada bidang

Titik di luar bidang

Jika titik A dapat dilalui oleh bidang α, maka dikatakan titik A terletak pada bidang α

Jika titik B tidak dapat dilalui oleh bidang β, maka dikatakan titik B berada di luar bidang β.

. A

α

. B

β

.



. B

E . . F

. G

. D

. A

. CU

H .

Bidang DCGH sebagai wakil bidang U

> Titik-titik sudut kubus yang terletak pada bidang U adalah titik-titik C, D, G, dan H.

> Titik-titik sudut kubus yang berada di luar bidang U adalah titik-titik A, B, F, dan E.

Kedudukan Dua Garis

1) BerimpitGaris g berimpit dengan garis h jika setiap titik di garis g juga terletak di garis h, dan sebaliknya.

g h

2) Berpotongan

Syarat untuk dua garis berimpit, cukup memiliki dua titik persekutuan.

Garis g dan h berpotongan jika kedua garis tersebut memiliki tepat satu titik persekutuan, yaitu titik potong kedua garis.Dua garis hanya dapat berpotongan jika terletak pada bidang yang sama.

g. A

h

3) SejajarGaris g dan h sejajar ( // ) jika kedua garis tak mempunyai titik persekutuan.

4) BersilanganGaris g dan h dikatakan bersilangan jika garis g dan h tidak memiliki titik persekutuan, tidak sejajar dan terletak di dua bidang yang berbeda.

A B

D C

AB // DCAD // BC

A B

CD

E

H G

F

Garis AE bersilangan dengan garis BC, FG, BG, FC, FD, DC, DG, HG, DB, BH, dan FH



Aksioma Dua Garis SejajarAksioma 4Melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis, hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis itu.

g

. A

h

Dalil-Dalil tentang Dua Garis SejajarJika garis k sejajar dengan garis l dan garis l sejajar dengan garis m, maka garis k sejajar dengan garis m.

k

l

m k // ll // m

k // m

Jika garis k sejajar dengan garis h dan memotong garis g, garis l sejajar garis h dan juga memotong garis g, maka garis-garis k, l dan g terletak pada sebuah bidang.

k // h dan k memotong gl // h dan l memotong g

k , l dan g terletak pada sebuah bidang

k

l

h

. .

.

g

Jika garis k sejajar dengan garis l dan garis l menembus bidang α, maka garis k juga menembus bidang α.

α

k

l P .

Q . k // ll menembus bidang α

k menembus bidang α

Kedudukan Garis terhadap Bidang

1) Garis terletak pada bidangGaris g terletak pada bidang α jika setidaknya dua titik pada garis g terletak di bidang α

α

. . g

2) Garis sejajar bidangJika garis h sejajar bidang β, maka β memuat tepat sebuah garis yang sejajar dengan h.

β

h

3) Garis menembus atau memotong bidangGaris k menembus bidang α, jika garis k tidak terletak pada bidang α dan garis k tidak sejajar bidang α.

k Garis k dan bidang α memiliki tepat satu titik persekutuan yang disebut titik tembus (titik potong)

α

.

. B

E . . F

. G

. D

. A

. CU

H .


> Rusuk yang terletak pada bidang U ?

Rusuk-rusuk DC, CG, GH dan HD

> Rusuk yang sejajar pada bidang U ?Rusuk-rusuk AB, BF, FE dan EA

> Rusuk yang menembus atau memotong pada bidang U ?

Rusuk-rusuk AD, FG,BC, dan EH



Dalil-Dalil tentang Garis Sejajar Bidang

g // h h terletak pada bidang α g // bidang α

α melalui gg // bidang β (α, β) // g

α

g

h

α

g

β

(α, β)

g // h h // bidang α g // bidang α

α berpotongan dengan βα // gβ // g (α, β) // g

g

α

h

α

β

g

(α, β)

1. BerimpitBidang α dan bidang β dikatakan berimpit, jika setiap titik yang terletak pada bidang α juga terletak pada bidang β atau setiap titik yang terletak pada bidang β juga terletak pada bidang α.

α

β

D

A B

C

Daerah ABCD sebagai daerah persekutuan, sehingga α dan β berimpit

2. SejajarBidang α dan bidang β dikatakan sejajar, jika kedua bidang itu tidak mempunyai satu pun titik persekutuan.

Kedudukan Dua Bidang

Jika setiap titik di bidang α jaraknya sama ke bidang β, maka α dan β sejajar.

β

α. .

. . = =

3. BerpotonganBidang α dan bidang β yang tidak sejajar akan berpotongan.

Perpotongan α dan β membentuk tepat sebuah garis potong. Garis perpotongan bidang α dan β ditulis (α,β)

α

β

(α,β)



. B

E . . F

. G

. D

. A

. CU

H .


> Bidang sisi kubus yang berimpit dengan bidang U ?

Bidang sisi DCGH

> Bidang sisi kubus yang sejajar dengan bidang U ?

Bidang sisi ABFE



. B

E .

. G

. A

. CU

H .


> Bidang sisi kubus yang berpotongan dengan bidang U ?

Bidang sisi ABCDBidang sisi BCGFBidang sisi FGHEBidang sisi ADHE

. F

. D



Perpotongan lebih dari dua bidangMisalkan tiga bidang (α, β, dan γ) berpotongan dan mempunyai tiga buah persekutuan. Kedudukan dari ketiga garis persekutuan itu dapat:

1) Berimpit

αβ

γ

(α, β)(α, γ)(β, γ)

2) Sejajar

(α, β)

(β, γ)

(α, γ)

3) Melalui sebuah titik

.

LATIHAN SOAL

Perhatikan kubus ABCD.EFGH. Tentukan:a. Bidang-Bidang yang memotong bidang

BDHF, tentukan garis potongnya.b. Rusuk-rusuk yang sejajar dengan BC.c. Rusuk-rusuk yang menembus bidang

ACGE.d. Jika misalnya titik M pada pertengahan

AD, N pada pertengahan EH, O pada pertengahan AB, dan P pada pertengahan EF, apakah bidang MNOP sejajar dengan bidang BDHF? Mengapa?

e. Buatlah dua bidang lain yang sejajar dengan bidang BDHF.

f. Berapa banyak rusuk yang menyilang AD?

A B

CD

E F

GH

LATIHAN SOAL

Perhatikan prisma segitiga gambar di samping!a. Tentukan bidang-bidang yang

sejajar.b. Tuliskan pasangan rusuk-rusuk

yang sejajar.c. Tentukan perpotongan bidang

CBEF, ACFD, dan ABC.d. Tentukan garis-garis yang

bersilangan dengan FE. A B

C

D E

F

Perhatikan limas segilima beraturan T.ABCDE.

a) Adakah bidang yang sejajar dengan bidang TBC?

b) Sebutkan rusuk-rusuk yang menembus bidang alas.

c) Adakah rusuk-rusuk yang saling sejajar?

d) Adakah rusuk-rusuk yang saling bersilangan?

T

E

A B

C

D



SELAMAT BELAJAR



Geometri Dimensi Tiga ~ titik, garis dan bidang

Education

Transcript of Geometri Dimensi Tiga ~ titik, garis dan bidang