Fungsi Trigonometri

Fungsi Trigonometri, Pengertian-Pengertian

Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaran-satuan, r = 1

Fungsi sinus

PQPQ

sin r

Fungsi Cosinus

OQOQ

cos r

Fungsi Tangent

cos

sin

OQ

PQtan

tanOQ

PQ

OQ

QP)tan(

Fungsi Cotangent

sin

cos

PQ

OQcot

cotPQ

OQ

QP

OQ)cot(

Fungsi Secan

Fungsi Cosecan

OQ

1

cos

1sec

PQ

1

sin

1csc

P

Q

O

[0,0]

-1

1

-1 1 x

y

r = 1

P’

-

22 cossin1

Fungsi Trigonometri, Relasi-Relasi

Relasi-Relasi

sin

-1

1

-1 [0,0] 1 x

y

cos

cos cos

cos sin

sin sin

sin cos

Relasi-Relasi

sin

-1

1

-1 [0,0] 1 x

y

cos

cos cos

cos sin

sin sin

sin cos

)sin( sincoscossin

)cos( sinsincoscos

sinsincoscos)cos(

sincoscossin)sin(Karena

sin)sin(

cos)cos(

Fungsi Trigonometri, Relasi-Relasi

Contoh:

cossin2sincoscossin)sin()2sin( a).

22 sincossinsincoscos)cos()2cos( b).

22 sincos1

2cos21)2cos(

1cos2)2cos( 2

2sin21)2cos( 2sin21)2cos(

22 sincos)2cos(c).

sincoscossin)sin(

2

)sin()sin(cossin

2

)cos()cos(coscos

sinsincoscos)cos(

2

)cos()cos(sinsin

sinsincoscos)cos(

sinsincoscos)cos(

Contoh:

sincoscossin)sin(

d).

cossin2)sin()sin(

e). sinsincoscos)cos(

coscos2)cos()cos(

f).

sinsin2)cos()cos(

Fungsi Trigonometri Normal

Fungsi Trigonometri, Normal

Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y

perioda

-1

0

1

0 x

y

2x

y

-1

0

1

0 22

perioda

)2/cos()sin( xxy

pergeseran fungsi cosinus sejauh /2 ke arah sumbu-x positif

Contoh:oooo 34cos)9056cos(56sin

)sin(xy )cos(xy

Fungsi Sinus Fungsi Cosinus

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3/4 0-/2 /4 /2 3/4-/4

Fungsi Tangent

cot

1

cos

sintan

asimptot

Rentang: -/4 < tan < /4 /4 < tan < 3/4 dst. Lebar rentang: /2


cos

sin

-3

-2

-1

0

1

2

3

0-3/4 -/2 -/4 /4 /2 3/4

Fungsi Cotangent

tan

1

sin

coscot

asimptot

Rentang: 0 < tan < /2 -/2 < tan < 0 dst.Lebar rentang: /2

cos

sin

Fungsi Secan

Fungsi Cosecan

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1,5 - -0,5 0 0,5 1,5

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1,5 - -0,5 0 0,5 1,5

)cos(

1)sec(

xxy

)sin(

1)csc(

xxy

Rentang: -/2 < tan < /2 /2 < tan < 3/2 dst. Lebar rentang:

Rentang: 0 < tan < -< tan < 0 dst.Lebar rentang:

asimptot


Fungsi Trigonometri Inversi

Fungsi Trigonometri, Inversi

Sinus Inversi

x

xy1sin

atau arcsin

x

y

-10

10

2

2

-0,5

-0,25

0

0,25

0,5

-1 -0,5 0 0,5 1x

y

Kurva lengkap

Kurva nilai utama

-/2 < sin-1x </2

-1 < x < 1

yx

1

21 x

xy 1sin

2

2

1tan

1cos

x

xy

xy

Sudut y yang sinusnya = x

xy sin

Cosinus Inversi

x

y

-10

10

0

0,25

0,5

0,75

1

-1 -0,5 0 0,5 1x

y

Kurva lengkap

Kurva nilai utama

0 < cos-1x <

-1 < x < 1

xy 1cos

y

x

1 21 x

xy 1cos

x

xy

xy

2

2

1tan

1sin

yx cos


Tangent Inversi xy 1tan

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1,5

-

-0,5

0

0,5

1,5y

x

-0,5

-0,25

0

0,25

0,5

-10 -5 0 5 10x

y

2tan

21

xKurva lengkap

Kurva nilai utama

yx tan

yx

1

21 x

xy 1tan

2

2

1

1cos

1sin

xy

x

xy


Cotangent inversi

xy 1cot

dengan nilai utama

x1cot0

0

0,5

1

-10 -5 0 5 10

y

x

x1cot0

Kurva nilai utama

yx cot

y

x

121 x

xy 1tan

2

2

1cos

1

1sin

x

xy

xy


Secan Inversi

xxy

1cossec 11

dengan nilai utama

x1sec0

0

0,25

0,5

0,75

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x

y

x1sec0

Kurva nilai utama

yx sec

y

x

1

21 x

xy 1sec

2

2

1tan

1cos

1sin

xy

xy

x

xy


Cosecan Inversi x

xy1

sincsc 11

2csc

21

xy

-0,5

-0,25

0

0,25

0,5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x

Kurva nilai utama

dengan nilai utama

2csc

21

x

yx csc

y

x1

21 x

xy 1csc

2

2

1

1tan

1cos

1sin

xy

x

xy

xy


Gabungan Fungsi Sinus

Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal yang merupakan fungsi waktu, seperti misalnya gelombang cahaya, gelombang radio

pembawa, gelombang tegangan listrik sistem tenaga, dsb

Oleh karena itu kita akan melihat fungsi sinus dengan menggunakan waktu, t, sebagai peubah bebas

Tiga besaran karakteristik fungsi sinus

)2sin(

)sin(

0 tfA

xAy

sudut fasa

frekuensi siklus amplitudo

Selain frekuensi siklus, f0, kita mengenal juga frekuensi sudut, 0, dengan hubungan

2 00 f


Hubungan antara frekuensi siklus dan perioda adalah:

00

1

Tf

Karena fungsi sinus adalah fungsi periodik maka gabungan fungsi sinus juga merupakan fungsi

periodik walaupun tidak berbentuk sinus.

T0

-A

0

A

0 t

y

Ts

T0

-A

0

A

0 t

y

Fungsi sinus adalah fungsi periodik yaitu fungsi yang memenuhi hubungan

)()( 0 tfTtf

perioda


Contoh:

y

y = 3 cos 2f0t-4

0

4

-5 15 t

y

y = 1 + 3 cos 2f0t-4

0

4

-5 15 t

))2(2cos(22cos31 00 tftfy

y

t

-4

0

4

-5 15

)4/)2(2cos(22cos31 00 tftfy

-4

1

-5 15

Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan oleh besaran karakteristik fungsi sinus penyusunnya

Perbedaan amplitudo, frekuensi, dan sudut fasa menentukan bentuk gelombang gabungan


Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan juga oleh jumlah komponen sinus yang terlibat

Komponen-komponen sinus yang terlibat dalam pembentukan gelombang gabungan disebut harmonisa

Komponen sinus dengan f0 disebut komponen fundamental

Di atas komponen fundamental adalah

Harmonisa ke-2 dengan frekuensi 2f0

Harmonisa ke-3 dengan frekuensi 3f0

Harmonisa ke-4 dengan frekuensi 4f0 dst.

Gabungan fungsi sinus juga mungkin mengandung fungsi tetapan yang disebut komponen searah


sinus dasar (fundamental).

Contoh: Gabungan fungsi sinus yang membentuk gelombang persegi

hasil penjumlahan sampai pada harmonisa ke-21.

harmonisa-3 dan

sinus dasar + harmonisa-3. harmonisa-5 dan

sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5.

harmonisa-7 dan

sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 + harmonisa-7.


Spektrum

Jika gabungan fungsi sinus membentuk gelombang periodik yang tidak berbentuk sinus (non-sinus) maka bentuk gelombang non-sinus dapat diuraikan menjadi komponen-komponen sinus

Komponen-komponen sinus itu membentuk suatu spektrum.

Ada dua spektrum yaituSpektrum Amplitudo dan Spektrum Sudut-fasa

Makin tinggi frekuensi harmonisa, makin rendah amplitudonya.

Frekuensi tertinggi, fmaks, adalah frekuensi harmonisa yang amplitudonya sudah dapat diabaikan.

Frekuensi terendah, fmin, adalah frekuensi komponen fundamental yaitu 1, atau 0 jika spektrum mengandung komponen searah

Lebar Pita

Lebar pita frekuensi suatu spektrum adalah selang frekuensi yang merupakan selisih fmaks dan fmin

Contoh:


)42cos(5,7)2/22cos(15)2cos(3010 000 tftftfy

Frekuensi 0 f0 2 f0 4 f0

Amplitudo 10 30 15 7,5

Sudut fasa 0 /2

0

10

20

30

40

0 1 2 3 4 5Frekuensi [f0]

Am

plit

ud

o

0

/2

2

0 1 2 3 4 5

Su

du

t F

asa

Frekuensi [f0]

/2

2

Spektrum Sudut-fasa Spektrum Amplitudo

Suatu persamaan gelombang:


Deret Fourier

Penguraian suatu sinyal periodik menjadi suatu spektrum sinyal tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret Fourier

)2sin()2cos()( 000 tnfbtnfaatf nn

fungsi periodik

Koefisien Fourier

Contoh:

1 0 ; 2/

ganjil 0 genap; 1

/2

/

1

2

0

nbAb

nann

Aa

Aa

n

nn

T0

t

y

Contoh:

Contoh:


T0

A

t

y

nb

nann

Aa

Aa

n

nn

semuauntuk 0

ganjil 0 genap; 1

/4

/2

2

0

nn

Ab

na

Aa

n

n

semuauntuk

semuauntuk 0

2/0

T0

A

t

y

CourseWare

Fungsi Trigonometri

Sudaryatno Sudirham

Fungsi Trigonometri

Documents

Transcript of Fungsi Trigonometri