8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi...
Transcript of 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi...
![Page 1: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/1.jpg)
1
8. FUNGSI TRANSENDEN
![Page 2: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/2.jpg)
2
8.1 Fungsi Invers
Misalkan dengan ff RDf :
)(xfyx
vu )()( vfuf
Definisi 8.1 Fungsi y = f(x) disebut satu-satu jika f(u) = f(v) maka u = v atau jika maka
xy
fungsi y=x satu-satu
xy
fungsi y=-x satu-satu
2xy
u v
fungsi tidak satu-satu 2xy
![Page 3: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Secara geometri grafik fungsi satu-satu dan garis yang sejajar dengan sumbu x berpotongan di satu titik.
Teorema : Jika fungsi f satu-satu maka f mempunyai invers notasi 1f
ff DRf :1
yfxy 1
Berlaku hubungan
xxff ))((1
yyff ))(( 1
ffffDRRD 11 ,
Df Rf f
x y=f(x)
R R
1f)(1 yfx
![Page 4: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Teorema : jika f monoton murni(selalu naik/selalu turun) maka f mempunyai invers
xxf )(
xxf )(
2)( xxf
u v
f(x)=x
Rxxf ,01)('
f selalu naik
f(x)=-x
Rxxf ,01)('
f selalu turun
0,0
0,02)('
x
xxxf
f naik untuk x>0 turun untuk x <0
1f1f1f ada ada tidak ada
![Page 5: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Contoh : Diketahui f xx
x( )
1
2
a. Periksa apakah f mempunyai invers b. Jika ada, tentukan inversnya
Jawab:
a. 2)2(
)1.(1)2.(1)('
x
xxxf Dfx
x
,0
)2(
32
Karena f selalu naik(monoton murni) maka f mempunyai invers
b. Misal 2
1
x
xy
12 xyxy1
1212
y
yxyxyx
1
12)(
1
12)( 11
x
xxf
y
yyf
![Page 6: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Suatu fungsi yang tidak mempunyai invers pada daerah asalnya dapat dibuat mempunyai invers dengan cara membatasi daerah asalnya.
2)( xxf
u v
1f tidak ada RxUntuk
2)( xxf
Untuk x>0 ada 1f
2)( xxf
Untuk x<0 ada 1f
![Page 7: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Grafik fungsi invers
Titik (x,y) terletak pada grafik f
Titik (y,x) terletak pada grafik 1f
Titik (x,y) dan (y,x) simetri terhadap garis y=x
Grafik f dan semetri terhadap garis y=x 1ff
1f
![Page 8: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Soal Latihan
f xx
x( )
1
1
2
32)(
x
xxf
Tentukan fungsi invers ( bila ada ) dari
1.
2.
![Page 9: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/9.jpg)
9
8.2 Fungsi Logaritma Asli
Fungsi Logaritma asli ( ln ) didefinisikan sebagai :
Dengan Teorema Dasar Kalkulus II, diperoleh :
Secara umum, jika u = u(x) maka
ln ,xt
dt x
x
1
0
1
x
dtt
DxD
x
xx
11ln
1
dx
du
udt
tDuD
xu
xx
11ln
)(
1
.
![Page 10: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Contoh : Diberikan
maka
Jika
Jadi,
Dari sini diperoleh :
Sifat-sifat Ln : 1. ln 1 = 0
2. ln(ab) = ln a + ln b
3. ln(a/b)=ln(a) – ln(b)
)24ln()( xxf
)24()24(
1)('
xD
xxf x
24
4
x
0,||ln xxy
0,)ln(
0,ln
xx
xx
xyxy
1'ln
xxyxy
11')ln(
.0,1
|)|(ln xx
xdx
d
C|x|lndxx
1
arar lnln.4
![Page 11: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/11.jpg)
11
dxx
x
4
0
2 2
x
dudxxdxduxu
2222
Contoh: Hitung
Jawab:
Misal
x
du
u
xdx
x
x
222 cudu
u ||ln
2
11
2
1
cx |2|ln2
1 2
0
4|2|ln
2
1
2
2
4
0
2
xdxx
x.9ln
2
1)2ln18(ln
2
1
sehingga
![Page 12: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Grafik fungsi logaritma asli
0,ln)(1
xt
dtxxf
x
fDxx
xf 01
)('
f selalu monoton naik pada Df
fDxx
xf 01
)(''2
Diketahui
a.
b.
c.
Grafik selalu cekung kebawah
d. f(1) = 0
1
f(x)=lnx
![Page 13: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/13.jpg)
MA1114 KALKULUS I 13
8.3 Fungsi Eksponen Asli Karena maka fungsi logaritma asli
monoton murni, sehingga mempunyai invers. Invers dari fungsi
logaritma asli disebut fungsi eksponen asli, notasi exp. Jadi
berlaku hubungan
Dari sini didapat : y = exp(ln y) dan x =ln(exp(x))
Definisi 8.2 Bilangan e adalah bilangan Real positif yang
bersifat ln e = 1.
Dari sifat (iv) fungsi logaritma diperoleh
,0untuk01
ln xx
xDx
yxxy ln)exp(
reree rr explnexp)exp(ln xex )(exp
![Page 14: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/14.jpg)
14
xeydydxdx
dy
/
1
xx
x eeD )(,Jadi
yxey x ln
Turunan dan integral fungsi eksponen asli
Dengan menggunakan turunan fungsi invers
Dari hubungan
ydy
dx 1
'.)( )( ueeD uxu
x Secara umum
Sehingga
Cedxe xx
![Page 15: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/15.jpg)
15
1
y=ln x y=exp (x)
Grafik fungsi eksponen asli
Karena fungsi ekponen asli merupakan invers dari fungsi logaritma asli maka grafik fungsi eksponen asli diperoleh dengan cara mencerminkan grafik fungsi logaritma asli terhadap garis y=x
1
Contoh:
)23(.)( 22323 22
xDeeD x
xx
x .6 23 2 xxe
![Page 16: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/16.jpg)
16
.4
1
4
1
4
44 CeCedu
edxe xuux
Contoh :Hitung
dxe x
4
Jawab :
444
dudxdxduxu Misalkan
Sehingga
![Page 17: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/17.jpg)
17
)())(()( xhxgxf
Penggunaan fungsi logaritma dan eksponen asli
Menghitung turunan fungsi berpangkat fungsi
Diketahui
))(ln()())(ln( xgxhxf
)))(ln()(()))((ln( xgxhDxfD xx
)(')(
)())(ln()('
)(
)('xg
xg
xhxgxh
xf
xf
)()(')(
)())(ln()(')(' xfxg
xg
xhxgxhxf
?)(', xf
![Page 18: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Contoh :
Tentukan turunan fungsi xxxf 4)()(
)ln(4)ln()(ln 4 xxxxf x
Jawab:
))ln(4())((ln xxDxfD xx
xx
xxf
xf4
1)ln(4
)(
)('
Ubah bentuk fungsi pangkat fungsi menjadi perkalian fungsi dengan menggunakan fungsi logaritma asli
Turunkan kedua ruas
)(4)ln(4)(' xfxxf
xxxxf 4)(4)ln(4)('
![Page 19: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Soal latihan
'y
xx eey sin22
xexy 35xx eey tan2 )tan(
)3ln( 3 yxe y
1322 xyey x
A.Tentukan dari
132 xyye x
65ln 2 xxy
xy 3cosln
yx
x
ln
2
y x ln sin
))12sin(ln( xy
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. xxy 2)(sin
![Page 20: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/20.jpg)
20
B. Selesaikan integral tak tentu berikut
4
2 1xdx
dx
x
x
13
2
( )x e dxx x
32
6
(cos )sin
x e dxx
dxex x322
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
dxex x32
dxx
x
cos
sin
dxx
x
sin
cos
![Page 21: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/21.jpg)
21
C. Selesaikan integral tentu berikut
3
1 21
4
xdx
e dxx2 3
0
1
dxe x
2ln
0
3
2
0
4 2
dxxe x
1.
2.
3.
4.
![Page 22: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/22.jpg)
22
8.5 Fungsi Eksponen Umum
Fungsi , a > 0 disebut fungsi eksponen umum
Untuk a > 0 dan x R, definisikan
Turunan dan integral
Jika u = u(x), maka
Dari sini diperoleh :
:
xaxf )(
a ex x a
ln
aaaeeDaD xaxax
x
x
x lnln)()( lnln
auauaeeDaD uauau
x
u
x ln''.ln)()( lnln
Caa
dxa xx
ln
1
![Page 23: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Sifat–sifat fungsi eksponen umum
Untuk a > 0, b > 0, x, y bilangan riil berlaku
yxyx aaa
yx
y
x
aa
a
xyyx aa )(
x
xx
b
a
b
a
1.
2.
3.
4. xxx baab )(
5.
![Page 24: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/24.jpg)
24
xdxx .42
CCdu xu
u 4ln2
4
4ln
4
2
1
24
2
xxxf 2sin12 23)(
2ln2cos2.23ln3.2)(' 2sin12 xxf xx
Contoh:
Hitung turunan pertama dari
Jawab :
2. Hitung
Jawab :
dudxxdxduxux2
12 2 Misal
xdxx .42
![Page 25: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Grafik fungsi eksponen umum
0,)( aaxf x
),( Df
a.
b. aaxf x ln)('
1,0ln
10,0ln
aaa
aaax
x
f monoton naik jika a > 1 monoton turun jika 0 < a < 1
f
x Dxaaxf 0)(ln)('' 2c.
Grafik f selalu cekung keatas
d. f(0) = 1
Diketahui
1,)( aaxf x
10,)( aaxf x
![Page 26: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/26.jpg)
26
8.6 Fungsi Logaritma Umum
Karena fungsi eksponen umum monoton murni maka ada Inversnya. Invers
dari fungsi eksponen umum disebut fungsi Logaritma Umum
( logaritma dengan bilangan pokok a ), notasi , sehingga berlaku :
Dari hubungan ini, didapat
Sehingga
Jika u=u(x), maka
xa log
yax
xy alog
a
xx
a
xyayax ay
ln
lnlog
ln
lnlnlnln
axa
xDxD x
a
xln
1)
ln
ln()log(
au
u
a
uDuD x
a
xln
')
ln
ln()log(
![Page 27: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Contoh: Tentukan turunan pertama dari
)1log()( 23 xxf
Jawab :
3ln
)1ln()1log()(
223
x
xxf3ln
1
1
2)('
2
x
xxf
![Page 28: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Grafik fungsi logaritma umum
Untuk a > 1
xaxf )(
Untuk 0 < a < 1
xaxf )(
Grafik fungsi logaritma umum diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi eksponen umum terhadap garis y=x
xxf log)( a
xxf log)( a
![Page 29: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/29.jpg)
29
yx x
32 4
4
9log 210 xy
Soal Latihan
A. Tentukan dari 'y
1.
2.
![Page 30: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/30.jpg)
30
8.7 Fungsi Invers Trigonometri
Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi, fungsi trigonometri bisa dibuat menjadi satu- satu sehingga mempunyai invers.
a. Invers fungsi sinus
Diketahui f(x) = sinx , 22 x
Karena pada f(x)=sinx monoton murni maka inversnya ada. Invers dari fungsi sinus disebut arcus sinus, notasi arcsin(x),atau )(sin 1 x
22 x
Sehingga berlaku
yxxy sinsin 1
2
2
![Page 31: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Turunan
Dari hubungan yxxy sinsin 1
ydydxdx
dy
cos
1
/
1
22,11 yx
dan rumus turunan fungsi invers diperoleh
1||,1
1
sin1
1
22
x
xy
2
1
1
1)(sin
xxDx
atau
Jika u=u(x) 2
1
1
')(sin
u
uuDx
Dari rumus turunan diperoleh
Cxx
dx 1
2sin
1
![Page 32: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/32.jpg)
32
b. Invers fungsi cosinus
Fungsi f(x) = cosx x0,
xxf cos)(
monoton murni(selalu monoton turun), sehingga mempunyai invers
Definisi : Invers fungsi cosx disebut arcuscosx, notasi arc cosx atau )(cos 1 x
Berlaku hubungan
yxxy coscos 1
Turunan
Dari yxxy coscos 1
ydydxdx
dy
sin
1
/
1
yx 0,11,
1||,1
1
cos1
1
22
x
xy
diperoleh
![Page 33: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/33.jpg)
33
atau 2
1
1
1)(cos
xxDx
2
1
1
')(cos
u
uuDx
Jika u= u(x)
Dari rumus turunan diatas diperoleh
Cxx
dx 1
2cos
1
Contoh:
))((sin 21 xDx)(
)(1
1 2
22xD
xx
41
2
x
x
![Page 34: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Contoh: Hitung
dxx 24
1
Jawab :
Gunakan rumus
Cuduu
)(sin1
1 1
2
dxx
)4
1(4
1
2
dx
x 24
1
dxx 2)2
(1(
1
2
1
Misal dudxdxdux
u 22
21
dxx24
1
Cuduu
1
2sin
1(
2
2
1Cx )(sin
2
1
![Page 35: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/35.jpg)
35
c. Invers fungsi tangen
Fungsi f(x) = tanx, 22 x
2
2
f(x)=tanx
Monoton murni (selalu naik)
sehingga mempunyai invers.
Definisi Invers dari tan x disebut fungsi arcus tanx, notasi arc tanx atau )(tan 1 x
Berlaku hubungan
yxxy tantan 1
yxxy tantan 1
ydydxdx
dy2sec
1
/
1
Turunan
Dari 22
, ydan turunan fungsi invers diperoleh
22 1
1
tan1
1
xy
![Page 36: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/36.jpg)
36
2
1
1
1)(tan
xxDx
2
1
1
')(tan
u
uuDx
Cxx
dx 1
2tan
1atau
Jika u=u(x)
d. Invers fungsi cotangen
Fungsi f(x)= cot x x0,
f(x)=cotx
selalu monoton turun(monoton murni) sehingga mempunyai invers
Definisi Invers dari fungsi cot x disebut Arcus cotx, notasi arc cotx atau x1cot
Berlaku hubungan
yxxy cotcot 1
Turunan
ydydxdx
dy2csc
1
/
1 22 1
1
cot1
1
xy
![Page 37: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/37.jpg)
37
atau 2
1
1
1)(cot
xxDx
24 x
dx
Cxx
dx 1
2cot
1
2
1
1
')(cot
u
uuDx
Jika u=u(x)
Contoh :
)1((tan 21 xDx )1()1(1
1 2
22
xDx
x22 )1(1
2
x
x
Contoh: Hitung
![Page 38: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/38.jpg)
38
dxx
dxx
)4
1(4
1
4
122
Jawab :
dxx 2)2
(1
1
4
1
dudxdxdux
u 22
21
Cuduu
dxx
1
22tan
2
1
1
2
4
1
4
1
Cx )
2(tan
2
1 1
Gunakan rumus
Cuduu
)(tan1
1 1
2
![Page 39: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/39.jpg)
39
e. Invers fungsi secan
Diberikan f(x) = sec x 2
,0, xx
2,0,0tansec)(' xxxxxf
f(x) = sec x monoton murni
Ada inversnya
Definisi Invers dari fungsi sec x disebut arcus secx, notasi arc secx atau x1sec
Sehingga
yxxy secsec 1
![Page 40: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/40.jpg)
40
Turunan
Dari yxxy secsec 1
xy
1cos
xy 11cos
x
x 111 cossec
Sehingga
xxx DxD 111 (cos)(sec
221
1
)(1
1
xx
1
||
22
xx
x
1||
1
2
xx
Jika u = u(x) 1||
')(sec
2
1
uu
uuDx
cxdxxx
||sec1
1 1
2
![Page 41: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/41.jpg)
41
e. Invers fungsi cosecan
Diberikan f(x) = csc x 0,,22
xx
0,,0cotcsc)('22
xxxxxf
f(x) = sec x monoton murni
Ada inversnya
Definisi Invers dari fungsi csc x disebut arcus csc x, notasi arc cscx atau x1csc
Sehingga
yxxy csccsc 1
![Page 42: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/42.jpg)
42
Turunan
Dari yxxy csccsc 1
xy
1sin
xy 11sin
x
x 111 sincsc
Sehingga
xxx DxD 111 (sin)(csc
221
1
)(1
1
xx
1
||
22
xx
x
1||
1
2
xx
Jika u = u(x) 1||
')(sec
2
1
uu
uuDx
cxdxxx
||csc1
1 1
2
![Page 43: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/43.jpg)
43
Contoh:
A. Hitung turunan pertama dari
)(sec)( 21 xxf
1
2)(
1)(||
1)('
42
2
222
xx
xxDx
xxxf
1
2
4
xx
Jawab:
![Page 44: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/44.jpg)
44
B. Hitung
dxxx 4
1
2
dxx
x
dxxx
)14
(4
1
4
1
22
dx
xx 1
2
1
2
1
2
Jawab:
Misal dudxdxdux
u 22
21
duuu
duuu
dxxx 1
1
2
12
12
1
2
1
4
1
222
Cx
Cu |2
|sec2
1||sec
2
1 11
![Page 45: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/45.jpg)
45
Soal Latihan
21 )(sin xy
)(tan 1 xey
xxy 12 tan
A. Tentukan turunan pertama fungsi berikut, sederhanakan jika mungkin
1.
2.
3.
![Page 46: 8. FUNGSI TRANSENDEN - rinim.files. · PDF file30 8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi,](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102516/5a7a13837f8b9ab80d8d21b6/html5/thumbnails/46.jpg)
46
B. Hitung
169 2x
dx
164 2xx
dx
2/1
02
1
1
sindx
x
x
1.
2.
3.