fungsi-invers-revisi
Transcript of fungsi-invers-revisi
FUNGSI INVERS, FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS DARI SUATU FUNGSI KOMPOSISIA. Fungsi
Fungsi adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, jika dan hanya jika tiap unsur dalam himpunan A berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur dalam himpunan B.a b c 1 2 3
B. Fungsi Komposisio
Ditentukan f adalah fungsi dari A ke B dan g adalah fungsi dari B (kodomain dari f) ke C. Maka fungsi {(a,b)| ada elemen b B sedemikian hingga (a,b) f dan (b,c) g} dari A ke C yang dinyatakan sebagai (g o f) atau (gf) Atau bisa juga ditulis f: A (g o f)(a) g(f(a)) B dan g: B C, maka (g o f): A C dengan
o
f
g
gof
A
B
C
Sifat Sifat Komposisi Fungsi Identitas
a.
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
1
Jika fungsi identitas I pada R ditentukan oleh : I(x) = x dan fungsi f : R maka (I o f) (x) = I(f(x)) = f(x), (f o I) (x) = f(I(x)) = f(x), maka terbukti (f o I) (x) = (I o f) (x) = f(x) b. Asosiatif
R,
Jika f adalah fungsi dari A ke B, g adalah fungsi dari B ke C dan h adalah fungsi dari C ke D, maka (h o (g o f)) = ((h o g ) o f). Bukti : Bentuk perkalian fungsi g o f: A C, dan kemudian h o (g o f): A D
f
g
h
A gof
B
C
D
h o (g o f
Lalu, bentuk perkalian fungsi h o g: B (h o g) o f: A D
D dan kemudian fungsi
f
g
h
h
A
B
C hog
D
(h o g) o f
Maka, h o (g o f) = (h o g) o f c. Tidak komutatif
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
2
Bentuk perkalian fungsi f o g: C
A, jika g o f: A
C
f
g
A
fog
B
C
gof Jadi, (f o g) (g o f)
Syarat fungsi komposisi : Syarat agar fungsi f dan fungsi g dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi (g o f) adalah irisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan himpunan kosong atau Rf Dg .
C. Fungsi Invers Jika fungsi f : A B dinyatakan dengan pasangan terurut
f = {(a,b) | a A dan b B} maka invers fungsi f adalah f-1 : B f-1 = {(b,a) | b B dan a A} A ditentukan oleh
Suatu fungsi f : A B mempunyai invers f -1 : B A jika dan hanya jika f merupakan fungsi bijektif atau himpunan A dan himpunan B berada dalam korespondensi satu-satu. Bukti :
a b c Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
1 2 3
A
B
f:A B merupakan fungsi karena daerah asal A mempunyai tepat stu kawan pada B, tetapi jika f-1 : B A mempunyai bukan merupakan fungsi karena daerah B mempunyai kawan lebih dari satu di A. Maka terbukti suatu fungsi mempunyai invers, fungsi tersebut merupakan fungsi bijektif.o
Jika f-1 adalah invers dari fungsi f, berlaku (f-1 o f) hasilnya merupakan fungsi identitas
Menentukan Rumus (Aturan) Fungsi Invers Untuk menentukan rumus dari f-1, dapat dilakukan langkah-langkah sebagai berikut :a.
Misalkan y = f(x). Nyatakan x dalam y (sebagai fungsi y). Nyatakan x sebagai f-1 (y) Gantilah y pada f-1 (y) dengan x untuk mendapatkan f-1 (x)
b.c. d.
Fungsi Invers dari Suatu Fungsi Komposisi Misalkan h (x) adalah fungsi komposisi yang di bentuk dari fungsi f(x) dan fungsi g(x),ada 2 kemungkinan :
h (x) =(f o g) (x) atau h(x) = (g o f) (x) Dengan demikian, invers dari fungsi h(x) adalah Jika h-1 merupakan fungsi, maka disebut sebagai fungsi invers dari fungsi komposisi. Fungsi invers dari suatu fungsi komposisi dapat di tentukan dengan menggunakan hubungan :
(f o g)-1(x) = (g-1 o f-1) (x) atau (g o f)-1(x) = (f-1 o g-1) (x) Jika berbentuk persamaan kuadrat maka penyelesaiannya sebagai berikut, memakai rumus kuadrat sempurna :Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 4
ax2 +bx +c =0 ax2 +bx + c-c =0-c ax2 +bx = -c a(x2+ (x+ )2 =2
a(x2 + ) = -c +
) = -c
a(x+ )2 = (x+ ) =
x=
x=
Contoh
:
Diketahui fungsi f : R R dan g: R R, dimana R adalah bilangan real, didefinisikan oleh f(x) = 4x - 6 dan g(x)= x + 3. Tentukan fungsi berikut ini.a. f-1 (x)
b. :
g-1 (x)
c.
(f o g)-1 (x)
Jawab
Misalkan y = f (x)a. y = 4x - 6
Jadi
4x = y - 6 x
=
b. y = g (x)
c.
(f o g)-1(x) = (g-1 o f-1) (x) = g-1(f-1(x)) = g-1 =
y=x+3 x=y -3 g-1 (y) = y 3
Jadi g-1 (x) = x -3Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 5
Jadi (f o g)-1(x) DAFTAR PUSTAKA Siswanto.2005.Matematika Inovatif.Solo:Tiga Serangkai Sukahar.1986.Aljabar.Madiun:IKIP PGRI MADIUN Dra. Theresia M. H. Tirta Seputro M.Pd.1992.Pengantar Dasar Matematika Logika dan Teori Himpunan.Surabaya:Erlangga.
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
6