D S R B S P I S N

Oleh : Emanueli Mendrofa, S.Pd

Distribusi Poisson disebut juga distribusi peristiwa yang jarang terjadi,

ditemukan oleh S.D. Poisson (1781 – 1841), seorang ahli matematika bangsa

Prancis. Distribusi poisson termasuk distribusi teoretis yang memakai variabel

random diskrit. Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu

variabel random X(X diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi

dalam suatu interval waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu.

Distribusi Poisson memiliki ciri-ciri sebagai berikut.

a. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu atau

suatu daerah tertentu tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan

yang terjadi pada interval waktu atau daerah lain yang terpisah.

b. Probabilitas terjadinya hasil percobaan selama suatu interval waktu yang

singkat atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang

interval waktu atau besarnya daerah tersebut dan tidak bergantung pada

banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar interval waktu atau daerah

tersebut.

c. Probabilitas lebih dari satu hasil percobaan yang terjadi dalam interval

waktu yang singkat atau dalam daerah yang kecil dapat diabaikan.

Contoh:

Peristiwa datangnya kendaraan yang lewat dalam suatu interval waktu di suatu

ruas jalan. Dari peristiwa tersebut, dapat diamati hal-hal berikut.

1) Tingkat kedatangan rata-rata kendaraan dapat dihitung berdasarkan data

masa lalu.

2) Tingkat kedatangan rata-rata kendaraan per satuan waktu adalah konstan.

3) Banyaknya kedatangan kendaraan dalam suatu interval waktu tertentu

merupakan peristiwa independen (bebas).

4) Probabilitas kedatangan kendaraan-kendaraan itu dalam suatu interval waktu

adalah sangat kecil, dan dapat dikatakan mendekati nol.

Distribusi Poisson banyak digunakan dalam hal berikut.

a. Menghitung probabilitas terjadinya peristiwa menurut satuan waktu, ruang atau isi,

luas, panjang tertentu, seperti menghitung probabilitas dari:

1) banyaknya penggunaan telepon per menit atau banyaknya mobil yang lewat

selama 5 menit di suatu ruas jalan;

2) banyaknya bakteri dalam 1 tetes atau 1 liter air;

3) banyaknya kesalahan ketik per halaman sebuah buku;

4) banyaknya kecelakaan mobil di jalan tol selama minggu pertama bulan

Oktober.

b. Menghitung distribusi binomial apabila nilai n besar (n ≥ 30) dan p kecil (p < 0,1)

a. Rumus probabilitas Poisson suatu peristiwa

Probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi Poisson dirumuskan:

𝑃 𝑋 = 𝑥 =𝜆𝑥𝑒−𝜆

𝑥!

Keterangan:

𝜆 = rata-rata terjadinya suatu peristiwa (𝜆 = 𝑛 × 𝑝)

𝑒 = bilangan alam = bilangan natural = bilangan euler = 2,71828

Probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi Poisson dirumuskan:

𝑃 𝑋 = 𝑥 =𝑒−𝜆𝑡 𝜆𝑡 𝑥

𝑥!

Keterangan:

𝜆 = tingkat kedatangan rata-rata per satuan waktu

𝑡 = banyaknya satuan waktu

𝑥 = banyaknya kedatangan dalam 𝑡 satuan waktu

𝑒 = bilangan alam = 2,71828

Contoh soal:

1. Sebuah toko alat-alat listrik mencatat rata-rata penjualan lampu TL 40 W setiap hari 5buah. Jika permintaan akan lampu tersebut mengikuti distribusi Poisson, berapaprobabilitas untuk penjualan berikut?

a. 0 lampu TL

b. 3 lampu TL

Penyelesaian:

𝜆 = 5; 𝑒−5 = 2,71828−5 = 0,00674

a. 0 lampu TL (𝑥 = 0)

𝑃 𝑋 = 0 =𝜆𝑥𝑒−𝜆

𝑥!=50𝑒−5

0!=1(0,00674)

1= 0,00674

b. 3 lampu TL (𝑥 = 3)

𝑃 𝑋 = 3 =𝜆𝑥𝑒−𝜆

𝑥!=53𝑒−5

3!=125(0,00674)

6= 0,14

2. Dalam sebuah majalah yang terdiri dari 120 halaman terdapat 80 kata yang salah cetak dan

berdistribusi secara acak dalam halaman-halaman majalah tersebut. Hitung probabilitas,

seandainya sebuah halaman majalah tersebut dibuka:

a. tidak terdapat salah cetak,

b. 4 kata yang salah cetak!

Penyelesaian:

𝑛 = 80; 𝑝 =1

120

𝜆 = 𝑛 × 𝑝 = 80 ×1

120= 0,67

a. tidak terdapat salah cetak (𝑥 = 0)

𝑃 𝑋 = 0 =𝜆𝑥𝑒−𝜆

𝑥!=0,67 0𝑒−0,67

0!=1 × (2,71828)−0,67

1=1 × 0,512

1= 0,512

b. 4 kata yang salah cetak (𝑥 = 4)

𝑃 𝑋 = 4 =𝜆𝑥𝑒−𝜆

𝑥!=0,67 4𝑒−0,67

4!=0,202 × (2,71828)−0,67

24=0,202 × 0,512

24= 0,004

3. Ruang gawat darurat sebuah rumah sakit memiliki tingkat kedatangan rata-rata pasien

sebanyak 4 orang per hari. Kedatangan pasien mengikuti proses Poisson.

a. Berapa probabilitas kedatangan 2 pasien per hari?

b. Berapa probabilitas kedatangan 2 pasien sampai pada siang hari saja?

Penyelesaian:

𝑡 = 1; 𝜆 = 4; 𝑥 = 2

a. 2 pasien per hari (𝑥 = 2)

𝑃 𝑋 = 2 =𝑒−𝜆𝑡 𝜆𝑡 𝑥

𝑥!=𝑒−4×1 4 × 1 2

2!=2,71828 −4 × 4 2

2=0,018 × 16

2= 0,1465

b. 2 pasien sampai pada siang hari(𝑥 = 2) berarti 𝑡 =12

24=1

2

𝑃 𝑋 = 2 =𝑒−𝜆𝑡 𝜆𝑡 𝑥

𝑥!=𝑒−4×

12 4 ×

12

2

2!=2,71828 −2 × 2 2

2=0,135 × 4

2= 0,271

b. Probabilitas distribusi Poisson kumulatif

Probabilitas Poisson kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa Poisson

lebih dari satu. Probabilitas Poisson kumulatif dapat dihitung dengan

rumus:

𝑃𝑃𝐾 =

𝑥=0

𝑛𝜆𝑥𝑒−𝜆

𝑥!

=

𝑥=0

𝑛

𝑃(𝑋 = 𝑥)

= 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 2 + …+ 𝑃(𝑋 = 𝑛)

Contoh soal:

1. Sebuah toko alat-alat listrik mencatat rata-rata penjualan lampu TL 40 W setiap hari 5 buah.

Permintaan akan lampu tersebut mengikuti distribusi Poisson.

a. Tentukan probabilitas penjualan paling banyak 2 lampu!

b. Andaikan persediaan (stock) lampu sisa 3, berapa probabilitas permintaan lebih dari 3

lampu?

Penyelesaian:

𝜆 = 5; 𝑒−5 = 2,71828−5 = 0,00674

a. Paling banyak 2 lampu (𝑥 = 0, 1, 2)

𝑃 𝑋 = 0, 1, 2 =

𝑥=0

2

𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 2 = 0,125

b. Permintaan lebih dari 3 lampu (𝑥 ≥ 3)

𝑃 𝑋 ≥ 3 = 1 −

𝑥=0

𝑛

𝑃 𝑋 = 𝑥 = 1 − 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 2 + 𝑃 𝑋 = 3 = 0,735

2. Suatu mesin diturunkan untuk diperbaiki rata-rata 2 kali sebulan. Penurunan mesin lebih

dari 4 kali menyebabkan rencana produksi tidak tercapai. Jika penurunan mesin

mengikuti proses Poisson, berapa probabilitas rencana produksi tidak tercapai?

Penyelesaian:

𝜆 = 2 𝑒−2 = 2,71828−2 = 0,135

𝑃 𝑋 ≥ 4 = 1 −

𝑥=0

𝑛

𝑃 𝑋 = 𝑥

= 1 − (𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 2 + 𝑃 𝑋 = 3 + 𝑃 𝑋 = 4 )

= 1 − 0,947

= 0,053

c. Distribusi Poisson sebagai pendekatan distribusi binomial

Distribusi Poisson sebagai pendekatan distribusi binomial dirumuskan:

𝑃 𝑋 = 𝑥 =𝑛𝑝 𝑥 × 𝑒−𝑛𝑝

𝑥!

Keterangan:

𝑛𝑝 = rata-rata distribusi binomial

Contoh soal:

Sebuah konveksi pakaian menggunakan 20 mesin jahit. Probabilitas sebuah mesin jahit

mengalami dan memerlukan perbaikan adalah 0,02. Tentukan probabilitas dari 3 mesin yang

akan mengalami gangguan dan memerlukan perbaikan, gunakan pendekatan Poisson dan

binomial!

Penyelesaian:

a. Pendekatan Poisson

𝑛 = 20; 𝑝 = 0,02; 𝑥 = 3

𝑃 𝑋 = 𝑥 =𝑛𝑝 𝑥 × 𝑒−𝑛𝑝

𝑥!

𝑃 𝑋 = 3 =20 × 0,02 3 × 2,71828 − 20×0,02

3!

=0,4 3 × 2,71828 −0,4

6

=0,064 × 0,67032

6= 0,0072

b. Pendekatan binomial

𝑛 = 20; 𝑝 = 0,02; 𝑥 = 3; 𝑞 = 1 − 0,02 = 0,98

𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝐶𝑥𝑛 . 𝑝𝑥 . 𝑞𝑛−𝑥

𝑃 𝑋 = 3 = 𝐶320 . 0,02 3 . 0,98 20−3

= 1.140 0,000008 0,71

= 0,0065

Distribusi Poisson memiliki rata-rata (mean), varians, dan simpangan baku

sebagai berikut:

a. Rata-rata

𝐸 𝑋 = 𝜇 = 𝜆 = 𝑛 × 𝑝

b. Varians

𝐸 𝑋 − 𝜆 2 = 𝜎2 = 𝑛 × 𝑝

c. Simpangan baku

𝜎 = 𝜆 = 𝑛 × 𝑝