Faisal Anwar H211 08 522

Dwi Febri Isradiati H211 08 523

Rosita Tahisa H211 08 520

Noorchalis M. Adjaran H211 08 521

Didik Kurniawan H211 08 518

1

Medan

listrik

sebagai

gradien dari

potensial:

Poisson’s Equation

VE

2

Hukum

Gauss dalam

bentuk

diferensial:

0

E

+

0

E

0

V

0

2

V Persamaan

Poisson

VE

• Operasi matematika “∇ ganda” pada persamaan poisson harus diuraikan terlebih dahulu, setidaknya dalam koordinat persegi, agar kita dapat menggunakannya. Dalam sistem koordinat persegi:

• Oleh Karenanya :

z

z

y

y

x

x AAAA

zyx az

Va

y

Va

x

VV

Z

V

ZY

V

YX

V

XV

2

2

2

2

2

2

Z

V

Y

V

X

V

• Besarnya operator ∇.∇ dituliskan secara singkat sebagai ∇2

(diucapkan sebagai “del kuadrat”), yang sekaligus mengindikasikan bahwa operasi ini melibatkan turunan derajat kedua. Sehingga , diperoleh:

0

2

2

2

2

2

22

z

V

Y

V

X

VV

Penggunaan Pers. Poisson dalam menetukan

potensial pada suatu bola.

• Suatu bola padat bermuatan homogen dengan rapat muatan

uniform. Tentukanlah potensial di luar dan di dalam bola.

• Persamaan poisson:

• Karena rapat muatan tidak bergantung sudut, maka potensial

bersimetri bola:

0

2

V

2

2

222

2

2

2

sin

1sin

sin

11

V

r

V

rr

Vr

rrV

0

2

2

1

r

dr

dVr

dr

d

r

R

• Di luar bola ρ=0:

• Di dalam bola:

• Andaikan syarat batas: sehingga A0=0

r

BArV

dr

dVr

dr

d

r

000

2

20

1

0

2

0

22

6

r

r

BArV

r

dr

dVr

dr

d iii

000 Vr

r

BrV 0

0

• Di pusat bola r=0, sehingga harus berlaku Bi=0

• V(r) harus kontinu di kulit bola, Vi(R)=Vo(R)

• Medan di sebelah dalam dan di sebelah luar permukaan bola

harus sama:

0

2

rArV ii

0

2

0

2

66

R

R

BA

R

BRA o

io

i

r

BrV o

o

o

oi

rR

r

BrV

6

6 22

o

o

o

o

Rr

i

Rr

o RB

R

R

B

r

V

r

V

33

3

2

;3

3

r

RrV

o

o

o

i

rRrV

6

3 22

Akhirnya:

• Untuk persoalan yang mempunyai bentuk

persamaan Poisson, dapat diperoleh bahwa

∇2u(x, y,z) = f(x, y, z) solusinya adalah

dzdydx

zzyyxx

zyxfzyxu

volume

'''''

)',','(

4

1),,(

222

Contoh:

• Bola konduktor yang digroundkan berada di pusat koordinat

dengan jari-jari R. Pada titik (0,0,a) diletakkan muatan titik

sebesar q. Tentukan bentuk potensial di seluruh ruang di luar

bola tersebut.

• Bentuk potensial dalam ruang dengan adanya sumber distribusi

muatan ρ dinyatakan dengan persamaan Poisson

• ∇ 2 V = −4πρ

• Dengan demikian bentuk solusi persamaan Poisson tersebut

adalah:

dzdydx

zzyyxx

zyxzyxu

volume

'''''

)',','(4

4

1),,(

222

• Karena sumber muatan adalah muatan titik sebesar

q yang terletak di (0,0,a), maka artinya

• ( x' , y ' , z ' ) = (0,0, a ) dan ρ = q, sehingga

• ini adalah bentuk potensial yang disebabkan oleh

muatan titik q yang terletak di (0,0,a)

222

,,azyx

qzyxVq

• dengan menggunakan sistem koordinat bola dapat

dinyatakan

22 cos2 aarr

qVq