Kuswanto, 2007

Peubah acakPeubah acak

Peubah acakPeubah acak adalah suatu kejadian adalah suatu kejadian yang dapat diucapkan dalam bentuk yang dapat diucapkan dalam bentuk bilangan nyata. Notasi yang sering bilangan nyata. Notasi yang sering digunakan adalah X, Y, Z. digunakan adalah X, Y, Z.

Macam peubah acakMacam peubah acak PPeubah acak diskriteubah acak diskrit, misalnya : , misalnya : jumlah orang jumlah orang

dalam satu ruangandalam satu ruangan. . Dengan demikian ruang contoh diskrit adalah ruang Dengan demikian ruang contoh diskrit adalah ruang

contoh yang mengandung jumlah titik tak terhingga, contoh yang mengandung jumlah titik tak terhingga, tetapi sama banyaknya dengan bilangan cacah.tetapi sama banyaknya dengan bilangan cacah.

Peubah acak diskrit digunakan untuk data yang Peubah acak diskrit digunakan untuk data yang berupa cacahan.berupa cacahan.

Peubah acak kontinyuPeubah acak kontinyu, misalnya : , misalnya : produksi produksi padi/ha.padi/ha. Ruang contoh kontinyu adalah ruang contoh yang Ruang contoh kontinyu adalah ruang contoh yang

mengandung titik tak terhingga yang sama dengan mengandung titik tak terhingga yang sama dengan banyaknya titik pada sebuah garis.banyaknya titik pada sebuah garis.

Peubah acak kontinyu digunakan untuk data yang Peubah acak kontinyu digunakan untuk data yang diukurdiukur

Sebaran Peluang DiskritSebaran Peluang Diskrit

Sebaran peluang diskrit adalah Sebaran peluang diskrit adalah sebuah tabel atau rumus yang sebuah tabel atau rumus yang mencantumkan mencantumkan semua semua kemungkinankemungkinan nilai suatu peubah nilai suatu peubah acak diskrit berikut peluangnya.acak diskrit berikut peluangnya.

Sebaran peluang Binom dan Poisson Sebaran peluang Binom dan Poisson termasuk kelompok ini.termasuk kelompok ini.

Contoh Contoh Apabila sepasang dadu dilemparkan, maka Apabila sepasang dadu dilemparkan, maka

peubah acak X adalah jumlah bilangan. X peubah acak X adalah jumlah bilangan. X adalah nilai bulat 2 sampai 12. Dua dadu dapat adalah nilai bulat 2 sampai 12. Dua dadu dapat mendarat dalam (6) (6) cara masing-masing mendarat dalam (6) (6) cara masing-masing dengan peluang 1/36. P(X=3) = 2/36, karena dengan peluang 1/36. P(X=3) = 2/36, karena jumlah 3 hanya dapat terjadi dalam 2 cara. jumlah 3 hanya dapat terjadi dalam 2 cara.

x 2x 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 9 10 11 12 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

P(X=x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36P(X=x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Untuk menggambarkan sebaran peluang dapat Untuk menggambarkan sebaran peluang dapat mengggunakan grafik dalam bentuk histogram mengggunakan grafik dalam bentuk histogram peluang.peluang.

Sebaran Peluang kontinyuSebaran Peluang kontinyu Termasuk sebaran kontinyu adalah sebaran Termasuk sebaran kontinyu adalah sebaran

normal. Berbeda dengan sebaran peluang normal. Berbeda dengan sebaran peluang diskrit, apabila X kontinyu, maka :diskrit, apabila X kontinyu, maka :

P(a< X P(a< X b) = P(a < X < b) + P (X=b) b) = P(a < X < b) + P (X=b)

= P (a < X < b)= P (a < X < b) Dimana tidak ada bedanya apakah kita Dimana tidak ada bedanya apakah kita

memasukkan titik ujung selang atau tidak. memasukkan titik ujung selang atau tidak. Pada sebaran kontinyu tidak ditentukan batas Pada sebaran kontinyu tidak ditentukan batas

tegas antara titik b dan titik <b. tegas antara titik b dan titik <b.

Sebaran kontinyu (lanjutan….)Sebaran kontinyu (lanjutan….)

Sebaran ini tak dapat disajikan dalam Sebaran ini tak dapat disajikan dalam bentuk tabel, tetapi dapat dalam bentuk bentuk tabel, tetapi dapat dalam bentuk rumus yang dapat digambarkan sebagai rumus yang dapat digambarkan sebagai suatu kurva kontinyu dan disebut suatu kurva kontinyu dan disebut fungsi fungsi kepekatan peluang kepekatan peluang atauatau disingkat disingkat fungsi kepekatanfungsi kepekatan

Secara lengkap akan dijelaskan Secara lengkap akan dijelaskan kemudiankemudian

Sebaran peluang binomSebaran peluang binom

Berdasarkan percobaanBerdasarkan percobaan Bernoulli Bernoulli hasilnya hasilnya diklasifikasikan sebagai sukses S (berhasil) diklasifikasikan sebagai sukses S (berhasil) dan gagal (G).dan gagal (G).

P(S) = p = n dan P(G) = q = 1-nP(S) = p = n dan P(G) = q = 1-n p+q = 1 p+q = 1 Contoh :Contoh :

kontrol kualitaskontrol kualitas barang diklasifikasikan sebagai barang diklasifikasikan sebagai cacat (C) dan baik (B)cacat (C) dan baik (B)

efektifitas obat efektifitas obat sembuh (S) dan tak sembuh (G) sembuh (S) dan tak sembuh (G) kelahiran anak kelahiran anak pria (S) dan wanita (G) atau pria (S) dan wanita (G) atau

wanita (S) dan pria (Gwanita (S) dan pria (G

Fungsi sebaran binomialFungsi sebaran binomial

Misal X menyatakan banyaknya berhasil dalam n usaha Misal X menyatakan banyaknya berhasil dalam n usaha tsb, dimana n = 3 dan X=1, makatsb, dimana n = 3 dan X=1, maka

S -----S ----- S -----S ----- SS untuk X (banyaknya berhasil) = 1untuk X (banyaknya berhasil) = 1 GG SGG = pqq = pq²SGG = pqq = pq² G -----G ----- SS GSG = qpq = pq²GSG = qpq = pq² GG GGS = qqp = pq²GGS = qqp = pq² G -----G ----- S -----S ----- SS GG P(x=1) = 3(pq²) = (3 1) pP(x=1) = 3(pq²) = (3 1) p11 q q3-13-1

G -----G ----- SS karena n=3, x = sukses, (n-x) karena n=3, x = sukses, (n-x) GG gagal, maka kombinasi C(n x) = gagal, maka kombinasi C(n x) =

banyaknya susunanbanyaknya susunan

Jadi Jadi f(x) = (n x) pf(x) = (n x) pxx q qn-x dinamakan dinamakan fungsi sebaran fungsi sebaran binomialbinomial

Contoh sebaran binomialContoh sebaran binomial

Suatu pabrik elektronik menjamin produksinya Suatu pabrik elektronik menjamin produksinya mempunyai peluang tahan goncangan 0,90. Dari mempunyai peluang tahan goncangan 0,90. Dari kiriman 10 buah, tentukan peluang terhadap 8 yang kiriman 10 buah, tentukan peluang terhadap 8 yang tahan goncangan!tahan goncangan!

Jawab : n=10, x=8, p=0,90, q= 1-0,90 = 0,1, makaJawab : n=10, x=8, p=0,90, q= 1-0,90 = 0,1, maka P(x=8) = (10 8) (0,90)P(x=8) = (10 8) (0,90)88 (0,1) (0,1)22 = 10!/8!.2! . (0,90)= 10!/8!.2! . (0,90)88 (0,1) (0,1)22 = 0,1937 = 0,1937

Dapat pula dikerjakan dengan memanfaatkan tabel Dapat pula dikerjakan dengan memanfaatkan tabel peluang binom yang telah tersedia. peluang binom yang telah tersedia.

Dengan cara ini akan diperoleh hasil lebih cepat.Dengan cara ini akan diperoleh hasil lebih cepat.

Contoh lainContoh lain

Untuk n=15 dan p=0,4, hitung P(x Untuk n=15 dan p=0,4, hitung P(x ≥≥10) dan P(3 10) dan P(3 x x 8). Gunakan Tabel Binomial8). Gunakan Tabel Binomial

Jawab : Jawab : P(x P(x ≥≥ 10) = 1 - P(x 10) = 1 - P(x 9) = 1 - 0,966 = 0,034 9) = 1 - 0,966 = 0,034 lihat tabel lihat tabel P(3 P(3 x x 8) = P(x 8) = P(x 8) - P(x 8) - P(x 2) 2) = 0,905 - 0,0271 = 0,878= 0,905 - 0,0271 = 0,878

P (x=4) = P(x P (x=4) = P(x 4) - P(x 4) - P(x 3)3) = ??? Coba kerjakan= ??? Coba kerjakan

Soal-soal sebaran binomSoal-soal sebaran binom

1.1. Tentukan peluang mendapatkan tepat Tentukan peluang mendapatkan tepat bilangan 2 apabila sebuah dadu bilangan 2 apabila sebuah dadu setimbang dilemparkan!setimbang dilemparkan!

2.2. Peluang seseorang sembuh dari suatu Peluang seseorang sembuh dari suatu penyakit flu dalam dua hari adalah 0,4. penyakit flu dalam dua hari adalah 0,4. Bila 15 orang diketahui menderita Bila 15 orang diketahui menderita penyakit ini, berapa peluang bahwapenyakit ini, berapa peluang bahwa

a). sekurang-kurangnya 10 orang dapat a). sekurang-kurangnya 10 orang dapat sembuh, sembuh,

b). ada 3 sampai 8 orang yang sembuh dan b). ada 3 sampai 8 orang yang sembuh dan c). tepat 5 orang yang sembuhc). tepat 5 orang yang sembuh

Soal Soal 3. 3. A campus newspaper claims that 80% of the A campus newspaper claims that 80% of the

student support its view on a campus issue. A student support its view on a campus issue. A random sample of 20 students ia taken, 12 random sample of 20 students ia taken, 12 students agree with the newspaper. Find P(12 students agree with the newspaper. Find P(12 or less agree), if 80% support the view, and or less agree), if 80% support the view, and comment on the plausibility of the claim.comment on the plausibility of the claim.

4. 4. Suppose it is known that a new treatment is Suppose it is known that a new treatment is successful in curing a muscular pain in 50% of successful in curing a muscular pain in 50% of the cases. If it is tried on 15 patients, find the the cases. If it is tried on 15 patients, find the probability that probability that a). at most 6 will be cured, a). at most 6 will be cured, b). the number cured will be now fewer than 6 and no b). the number cured will be now fewer than 6 and no

more than 10, more than 10, c). 12 or more will be curedc). 12 or more will be cured

Sebaran peluang PoissonSebaran peluang Poisson Percobaan PoissonPercobaan Poisson : : suatu percobaan suatu percobaan

yang menghasilkan variabel random x, yang menghasilkan variabel random x, yang menyatakan jumlah yang menyatakan jumlah berhasilberhasil dalam dalam suatu selang (interval) tertentu atau suatu selang (interval) tertentu atau daerah tertentu. daerah tertentu.

Selang waktu mulai milidetik sampai Selang waktu mulai milidetik sampai tahunan. tahunan.

Daerah juga mulai dari satuan panjang, Daerah juga mulai dari satuan panjang, luas ataupun volume.luas ataupun volume.

Contoh percobaan Poisson :Contoh percobaan Poisson :

Jumlah sambungan telepon yang Jumlah sambungan telepon yang masuk suatu kantormasuk suatu kantor

Jumlah langganan yang datang pada Jumlah langganan yang datang pada suatu super market per 5 menitsuatu super market per 5 menit

Jumlah salah ketik per halamanJumlah salah ketik per halamanJumlah tikus sawah per hektarJumlah tikus sawah per hektar

Ciri-ciri lain sebaran PoissonCiri-ciri lain sebaran Poisson

Independen antar daerah atau waktuIndependen antar daerah atau waktu Peluang terjadinya suatu sukses relatif terhadap Peluang terjadinya suatu sukses relatif terhadap

suatu waktu sebanding dengan satuan waktu suatu waktu sebanding dengan satuan waktu tersebuttersebut

Peluang terjadinya lebih dari 2 sukses dalam Peluang terjadinya lebih dari 2 sukses dalam selang waktu atau daerah yang pendek, selang waktu atau daerah yang pendek, mendekati nolmendekati nol ee-- x x

f(x) = -------------f(x) = ------------- dimana x = 0,1,2,… dimana x = 0,1,2,… x!x! e = 2,71828 e = 2,71828

Contoh Contoh

Rata-rata sambungan telepon masuk Rata-rata sambungan telepon masuk suatu kantor adalah 7 sambungan per suatu kantor adalah 7 sambungan per jam. Tentukan peluang (dalam jam) jam. Tentukan peluang (dalam jam) terdapat 5 sambungan per jamterdapat 5 sambungan per jam terdapat kurang atau sma dengan 9 terdapat kurang atau sma dengan 9

sambungan per jamsambungan per jam lebih dari 12 sambungan per jamlebih dari 12 sambungan per jam

Jawab Jawab P(x=5, P(x=5, =7) = (e=7) = (e-7-7 . 7 . 755)/5! = ……. Atau …)/5! = ……. Atau …

Menggunakan tabel poissonMenggunakan tabel poisson

Dapat pula dikerjakan dengan memanfaatkan Dapat pula dikerjakan dengan memanfaatkan tabel peluang Poisson yang telah tersedia. tabel peluang Poisson yang telah tersedia. Dengan cara ini akan diperoleh hasil lebih cepatDengan cara ini akan diperoleh hasil lebih cepat..

5 45 4 a.. a.. (P(x,7) - (P(x,7) - P(x,7) = 0,3007 - 0,1730 = 0,1277 (lihat tabel) P(x,7) = 0,3007 - 0,1730 = 0,1277 (lihat tabel) x=0 x=0x=0 x=0

9 9 b) b) (P(x,7) = 0,8305 (P(x,7) = 0,8305 x=0x=0

1212 = 1 - = 1 - (P(x,7) = 1- 0,9730 = 0,00270 (P(x,7) = 1- 0,9730 = 0,00270 x=0 x=0

Soal sebaran PoissonSoal sebaran Poisson1.1. Rata-rata banyaknya tikus per ha dalam suatu ladang Rata-rata banyaknya tikus per ha dalam suatu ladang

gandum seluas 5 ha diduga sebesar 10 ekor. Hitung gandum seluas 5 ha diduga sebesar 10 ekor. Hitung peluang bahwa dalam suatu luasan 1 ha terhadap peluang bahwa dalam suatu luasan 1 ha terhadap lebih dari 15 tikus.lebih dari 15 tikus.

2.2. Di Kabupaten Malang secara rata-rata dilanda 6 angin Di Kabupaten Malang secara rata-rata dilanda 6 angin ribut per tahun. Hitunglah peluang bahwa dalam suatu ribut per tahun. Hitunglah peluang bahwa dalam suatu tahun tertentu daerah ini akan dilanda :tahun tertentu daerah ini akan dilanda :

kurang dari 4 kali angin ributkurang dari 4 kali angin ribut 6 sampai 8 kali angin ribut6 sampai 8 kali angin ribut

3.3. Seorang mahasiswa membuat 2 kesalahan ketik per Seorang mahasiswa membuat 2 kesalahan ketik per halaman dalam menyusun skripsi. Berapa peluang halaman dalam menyusun skripsi. Berapa peluang bahwa berikutnya ia membuat :bahwa berikutnya ia membuat :

4 atau lebih kesalahan4 atau lebih kesalahan tidak ada kesalahantidak ada kesalahan