DILATASI

Dilatasi atau perubahan skala adalah suatu transformasi yang memperbesar atau memperkecil bangun tetapi bentuknya tetap. Jika suatu objek didilatasikan, ukurannya akan berubah teteapi bentuknya tetap. Lebih jauh lagi bisa dikatakan bahwa bayangan objek didilatasikan sebangun denganobjeknya semula. Dilatasi ditentukan oleh:

1. Pusat dilatasi atau2. Faktor dilatasi atau faktor skala.

Jika suatu titik T didilatasikan terhadap pusat P dengan faktor skala k menghasilkan bayangan T’(lihat gambar 1.1)

maka berlaku hubungan = k

Faktor k akan menetukan ukuran bayangan suatu bangun yang didilatasikan. Dilatasi yang berpusat

dititik asal O(0,0) dengan faktor skala k dinotasikan dengan , sedangkan dlatasi yang berpusat di

sembarang titik P(x,y) dengan faktor skala k dinotasikan .

Ada 4 jenis bayangan hasil dilatasi terhadap suatu bangun, Misalkan ABC akan didilatasikan terhadap O dengan faktor skala k.

1. k > 1perhatikan gambar 1.2. bayangkan titik-titik A,B,C adalah A´, B´, C´ sehingga

OA´ = k OA

OB´ = k OB

OC´ = k OC

Karena k > 1 maka letak bayangan titik A, juga tiap Titik lainnya, searah dengan OA dan lebih jauh.Bayangan objek oleh faktor skala k > 1 lebih besar dari objek asalnya dan juga dikatakan sepihakdengan objek asalnya

k.PT

P T T’

XO

Y

C

A

C’ B’

A’B

k > 1 => bayangan objek sepihak dengan objek asal dan lebih besar

Gambar 1.2

2. 0 < k < 1

Jika 0 < k < 1 , maka

OC´ Searah dengan OC dan lebih kecil,

OA´ Searah dengan OA dan lebih kecil,

OB´ Searah dengan OB dan lebih kecil,

A´B´C´ sepihak dengan ABC dan

lebih kecil (Gambar 1.3)

3. -1 < k < 0

Jika -1 < k < 0, maka OA´,OB´, dan OC´ masing-masing berlawanan arah dengan OA, OB, dan OC dan lebih kecil. A´B´C´ berlainan pihak dengan ABC dan lebih kecil. (Gambar 1.4)

XO

Y

C’

A’

C B

AB’

Gambar 1.3

0 < k < 1 => bayangan objek sepihak dengan objek asal dan lebih kecil

C’A’

B’

A

C

B

Gambar 1.4

-1 < k < 0 => Bayangan objek berlainan pihak dengan objek asal lebih kecil

4. k < -1

Perhatikanlah gambar 1.5

Gambar 1.5

C’

A’

B’

C

AB

K < -1 => Bayangan objek berlainan pihak dengan objek asal dan lebih besar

Dilatasi yang berpusat di titik O (0,0)

Untuk menyelesaikan dilatasi yang berpusat di titik O (0,0) dapat diselesaikan dengan dua cara , yaitu :

Contoh:

1. Tentukan bayangan titik P(6,8) karena dilatasi [O,-2]

Penyelesaian :

Cara I Cara II

a. P (x,y) P’ (kx,ky)

P(6,8) P’ ( (-2)(6), (-2)(8) )

P’ (-12, -16)

2. Diketahui ABC dengan koordinat titik A (-1,3), B (3,6), C(0,-3). Tentukan kordinat bayangan ABC jika didilatasikan oleh [0,3]

Penyelesaian :

Cara I Cara II

A (x,y) A’ (kx,ky)

A(-1,3) A’ ( (3)(-1), (3)(3) )

A’ (-3, 9)

P (x,y) P’ (kx,ky)[0,k]Atau

[0, k]

[0, -2]

x’

y’=

x

y

kx

ky=k

x’

y’

6

-2(8)

-2(6)

8= -2 =

x’

y’

x

ky

kx

y= k =

=-12

-16

[0, k]

[0, 3]

x’

y’

-1

3(3)

3(-1)

3= 3 =

x’

y’

x

ky

kx

y= k =

=-3

9

B (x,y) B’ (kx,ky)

B(3,6) B’ ( (3)(3), (3)(6) )

B’ (9, 18)

C (x,y) C’ (kx,ky)

C (0,-3) C’ ( (3)(0), (3)(-3) )

C’ (0,-9 )

Maka diperoleh gambar sebagai berikut:

[0, 3]

x’

y’

3

3(6)

3(3)

6= 3 =

x’

y’

x

ky

kx

y= k =

=9

18

[0,k]

[0, k]

[0, 3]

x’

y’

0

3(-3)

3(0)

-3= 3 =

x’

y’

x

ky

kx

y= k =

=0

-9

Dilatasi yang berpusat di titik P(a,b)

Untuk menyelesaikan dilatasi yang berpusat di titik O (0,0) dapat diselesaikan dengan dua cara , yaitu :

Contoh:

1. Diketahui dilatasi dengan pusat (2,1) dan faktor skala 3. Oleh dilatasi tersebut dan tentukan bayangan dari :

a. Titik A(3,2) dan B(-4,3)

b. Garis y – 2x + 5 = 0

Penyelesaian :

Cara I Cara II

a. A (x,y) A’ (x’,y’)

dengan x’ = k (x –a) + a

A(3,2) A’ (x’,y’ )

x’ = 3 (3 – 2) + 2 y’ = 3 (2 – 1) + 1

= 3(1) + 2 = 3(1) + 1

= 3 + 2 = 3 + 1

= 5 = 4

P (x,y) P’ (x’,y’)

Dengan x’ – a = k (x - a)

Y’ – b = k (y - b)

[P,k]Atau

[P, k]

[P, 3]

x’

y’ =x - a

y - bk0

0k+

a

b

x’

y’ =x - a

y - bk0

0k+

a

bA’

x’

y’ =3 - 2

2 - 130

03+

2

1

5

4=B’

Cara I

b. A (x,y) A’ (x’,y’) substitusikan ke pers. y – 2x + 5 = 0 shg:dengan x’ = k (x –a) + a dan y’ = k (y –b) + b y – 2x + 5 = 0A(3,2) A’ (x’,y’ ) y’+2 - x’+4 + 5 = 0

y’ + 2 – 2x’ – 8

x’ = k (x –a) + a y’ = k (y –b) + b y’ + 2 – 2x’ – 8 + 15= 3(x - 2) + 2 = 3(y - 1) + 1= 3x – 6 + 2 = 3y – 3 + 1 y’ -2x’ + 9 = 3 . 0= 3x - 4 = 3y – 2 y’ – 2x’ + 9 = 0

=> x’ = 3x-4 y’ = 3y-2x’+4 = 3x y’+2 = 3y x’+4 = x y’+2 = y

Cara II

Subtitusikan x dan y ke pers. y – 2x + 5 = 0y’+2 - x’+4 + 5 = 0

y’ + 2 – 2 (x’+4) + 15 = 0y’ + 2 – 2x’ – 8 + 15 = 0y’ – 2x’ + 9 = 0

Jadi bayangan dari garis y – 2x + 5 = 0Adalah y’ – 2x’ + 9 = 0

x’ = 3x – 4 x = x’ + 4

y’ = 3y – 2 y = y’ + 2

[P, 3]

x’

y’ =x - a

y - bk0

0k+

a

b

x’y’

=x - 2

y - 1

30

03+

2

1

= 3x – 6 + 2

3y – 3 + 1

= 3x – 4

3y – 2

3

[P,k]

3

3 32

3 5 + = 0

3= 0

3

3

32

3

Matriks yang bersesuaian dengan transformasi (dilatasi)

Pada subbab jenis-jenis transformasi, telah kita bahas bahwa jika titik P(x,y) didilatasikan terhadap [O,k] maka bayangannya P’(x’,y’) dengan

x’ = kx = k . x + 0 . yy’ = ky = 0.y + k . y

persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk persamaan matriks

Jadi, matriks yang bersesuaian dengan dilatasi [O,k] didilatasikan terhadap [A(a,b),k], maka bayangannya P’(x’,y’) dengan

Persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk persamaan matriks

Contoh:

1. Tentukan bayangan titik P(-2,1) karena dilatasi [O,3].

Penyelesaian:

Matriks yang bersesuaian dengan dilatasi [O,3] adalah . Misal bayangan

titik P(x,y) karena dilatasi itu adalah P’(x’,y’), maka

Jadi, bayangannya adalah P’ (6,-3)

2. Diketahui PQR dengan P(-2,1) , Q(3,1), dan R(3,3). Tentukan bayangan PQR karena dilatasi [O,3] !

Penyelesaian:

Misal P’Q’R’ bayangan PQR karena dilatasi [O, 3], maka

Jadi, P’(-6, 3), Q’(9, 3), dan R’(9, 9).