Dilatasi

Pernahkan kalian

memperbesar atau

memperkecil ukuran

foto untuk dicetak?

Ukuran Foto Panda 13 x 10,5 cm

Ukuran Foto Panda

6,5 x 5,25 cm

Contoh dalam Matematika

Seorang ibu menyimpan gula dalam sebuah tabung tanpa tutup

dengan luas alas 616 𝑐𝑚2(alas berbentuk lingkaran). Suatu saat,

semut masuk ke tempat gula tersebut. Kemudian ibu

membersihkan gula dari semut dan segera menutup tabung

tersebut dengan plastik serta mengikatnya dengan karet gelang

yang berbentuk lingkaran dengan diameter 7 cm. Hitunglah

pembesaran karet tersebut?

Karet gelang

Penyelesaian :

𝐽𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑡 𝑔𝑒𝑙𝑎𝑛𝑔 𝑟 =1

2∙ 𝑑

𝑟 =1

2∙ 7 =

7

2𝑐𝑚

𝐽𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑡 𝑔𝑒𝑙𝑎𝑛𝑔 𝑟

𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑎𝑙𝑎𝑠 𝑡𝑎𝑏𝑢𝑛𝑔 = 𝜋𝑟2 =22

7∙ 𝑟2 = 616 𝑐𝑚2

𝑟2 =7

22∙ 616 𝑐𝑚2

𝑟2 = 196 𝑐𝑚2

𝑟 = 14 𝑐𝑚

∴ 𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑡𝑎𝑏𝑢𝑛𝑔 ∶ 𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑡 𝑔𝑒𝑙𝑎𝑛𝑔 = 14:7

2𝑎𝑡𝑎𝑢 4: 1

sehingga pembesaran karet gelang adalah 4.

Dilatasi (pembesaran atau perkalian) ialah suatu

transformasi yang mengubah ukuran

(memperkecil atau memperbesar) suatu bangun

tetapi tidak mengubah bentuk bangun yang

bersangkutan. Dilatasi ditentukan oleh titik pusat

dan faktor (faktor skala) dilatasi.

Jadi, apa ya yang dimaksud

dengan dilatasi?

Pembesaran atau

perkalian itu nama

lain dari dilatasi

Apa yang dimaksud faktor

skala?

Faktor skala (k) adalah perbandingan antara jarak

titik bayangan dari titik pusat dilatasi dan jarak titik

benda berkaitan dari titik pusat dilatasi.

𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑠𝑘𝑎𝑙𝑎 𝑘 =𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑏𝑎𝑦𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛

𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑏𝑒𝑛𝑑𝑎

Sebuah segitiga ABC dengan titik

A(1,2), B(2,3), dan C(3,1) dilatasi

terhadap titik 0 dengan faktor skala 2.

tentukan koordinat bayangan titik-titik

segitiga ABC.

Penyelesaian:

Koordinat bayangan titik A, B, dan C masing-masing adalah A1(2,4),

B1(4,6), dan C1(6,2).

A

B

C

A1

C1

B1

Dilatasi pusat 𝑂(0,0) dan

faktor skala 𝑘

Jika titik 𝑃(𝑥, 𝑦) dilatasi terhadap pusat

𝑂(0,0) dan faktor skala 𝑘, didapat bayangan

𝑃’(𝑥’, 𝑦’) maka 𝑥’ = 𝑘𝑥 dan 𝑦’ = 𝑘𝑦 dan

dilambangkan dengan [𝑂, 𝑘]

𝑃(𝑥, 𝑦)𝐷[0,𝑘]

𝑃′(𝑘𝑥, 𝑘𝑦)

Contoh 1: Terdapat persegi ABCD dengan titik A(3,2), B(4,2),

C(4,3), dan D(3,3) dilatasi terhadap titik A dengan faktor skala

2. Tentukan koordinat bayangan titik-titik persegi ABCD!

A

D

B

C

Terdapat persegi ABCD dengan

titik A(3,2), B(4,2), C(4,3), dan

D(3,3)

Dilatasi

terhadap titik

A dengan

faktor skala 2.

B’

C’D’

A’

Penyelesaian:Koordinat bayangan titik A, B, C, dan D masing-masing adalah A’(3,2),

B’(5,2), C’(5,4), dan D’(3,4)

Dari contoh 1 dapat

disimpulkan bahwa “jika

k>1, maka bangun terlihat

diperbesar dan letaknya

searah terhadap pusat dilatasi

dengan bangun semula”.

Contoh 2: Terdapat persegi ABCD dengan titik A(3,2), B(4,2),

C(4,3), dan D(3,3) dilatasi terhadap titik A dengan faktor skala

−2 . Tentukan koordinat bayangan titik-titik persegi ABCD!

A

D

B

C

Terdapat persegi ABCD dengan

titik A(3,2), B(4,2), C(4,3), dan

D(3,3)

Dilatasi

terhadap titik A

dengan faktor

skala −2 .

B’

C’ D’

A’

Penyelesaian:Koordinat bayangan titik A, B, C, dan D masing-masing adalah A’(3,2),

B’(1,2), C’(1,0), dan D’(3,0)

Dari contoh 2 dapat

disimpulkan bahwa “jika

k<-1, maka bangun

terlihat diperbesar dan

letaknya berlawanan arah

terhadap pusat dilatasi

dengan bangun semula”.

Contoh 3: Terdapat persegi ABCD dengan titik A(3,2), B(4,2),

C(4,3), dan D(3,3) dilatasi terhadap titik A dengan faktor skala 1.

Tentukan koordinat bayangan titik-titik persegi ABCD!

A

D

B

C

Terdapat persegi ABCD dengan

titik A(3,2), B(4,2), C(4,3), dan

D(3,3)

Dilatasi

terhadap titik A

dengan faktor

skala 1.

Penyelesaian:Koordinat bayangan titik A, B, C, dan D tidak mengalami perubahan

(tidak diperbesar ataupun diperkecil), koordinatnya tetap.

Dari contoh 3

dapat disimpulkan

bahwa “jika 𝑘 =1 , maka bangun

tidak mengalami

perubahan ukuran

dan letak”.

Contoh 4: Terdapat persegi ABCD dengan titik A(3,2), B(5,2),

C(5,4), dan D(3,4) dilatasi terhadap titik A dengan faktor skala1

2. Tentukan koordinat bayangan titik-titik persegi ABCD!

A

D

B

C

Terdapat persegi ABCD dengan

titik A(3,2), B(5,2), C(5,4), dan

D(3,4)

Dilatasi

terhadap titik

A dengan

faktor skala 1

2.

B’

C’D’

A’

Penyelesaian:Koordinat bayangan titik A, B, C, dan D masing-masing adalah A’(3,2),

B’(4,2), C’(3,2), dan D’(3,3)

Dari contoh 4 dapat

disimpulkan bahwa “jika

0 < 𝑘 < 1 , maka bangun

terlihat diperkecil dan

letaknya searah terhadap

pusat dilatasi dengan

bangun semula”.

Contoh 5: Terdapat persegi ABCD dengan titik A(3,2), B(5,2),

C(5,4), dan D(3,4) dilatasi terhadap titik A dengan faktor skala

−1

2. Tentukan koordinat bayangan titik-titik persegi ABCD!

A

D

B

C

Terdapat persegi ABCD dengan

titik A(3,2), B(5,2), C(5,4), dan

D(3,4)

Dilatasi

terhadap titik

A dengan

faktor skala

−1

2.

B’

C’ D’

A’

Penyelesaian:Koordinat bayangan titik A, B, C, dan D masing-masing adalah A’(3,2),

B’(2,2), C’(2,1), dan D’(3,1)

Dari contoh 5 dapat

disimpulkan bahwa

“jika −1 < 𝑘 < 0 , maka

bangun terlihat diperkecil

dan letaknya berlawanan

arah terhadap pusat dilatasi

dengan bangun semula”.

Dilatasi pusat P(a,b)

dan faktor skala k

Bayangannya adalah 𝑥′ = 𝑘 𝑥 − 𝑎 + 𝑎 dan

𝑦′ = 𝑘 𝑦 − 𝑏 + 𝑏 dilambangkan dengan

𝑃(𝑎,𝑏), 𝑘

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐷𝑃 𝑎,𝑏 ,𝑘

𝐴′ 𝑘 𝑥 − 𝑎 + 𝑎, 𝑘 𝑦 − 𝑏 + 𝑏

Dapat disimpulakan bahwa Sifat Dilatasi adalah

Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat

mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah

bentuknya.

a. Jika k>1, maka bangun akan diperbesar dan terletak secara

terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

b. Jika k=1, maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan

letak.

c. Jika 0<k<1, maka bangun akan diperkecil dan terletak searah

terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

d. Jika -1<k<0, maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan

arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

e. Jika k<-1, maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan

arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

Terima Kasih