1

Komposisi

Transformasi

2

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat

Menentukan

peta atau bayangan suatu kurva hasil dari suatu

komposisi transformasi

3

Transformasi

Untuk memindahkan suatu titik atau

bangun pada sebuah bidang dapat

dikerjakan dengan transformasi.

Transformasi T pada suatu bidang

‘memetakan’ tiap titik P pada

Bidang menjadi P’ pada bidang itu

pula.

Titik P’ disebut bayangan atau peta

titik P

4

Transformasi Invers

Untuk menentukan bayangan suatu kurva oleh transformasi

yang ditulis dalam bentuk matriks, digunakan transformasi invers

5

soal

Peta dari garis x – 2y + 5 = 0

oleh transformasi yang

dinyatakan dengan matriks

adalah…. 32

11

6

Pembahasan

A(x,y) A’(x’ y’)

Ingat: A = BX maka X = B-1.A

32

11

y

x

32

11

'

'

y

x

y'

x'

12

13

23

1

y

x

7

y'

x'

12

13

23

1

y

x

y'

x'

12

13

y

x

Diperoleh: x = 3x’ – y’ dan

y = -2x’ + y’

y' 2x'

y' 3x'

y

x

8

x = 3x’ – y’ dan y = -2x’ + y’

disubstitusi ke x – 2y + 5 = 0

3x’ – y’ – 2(-2x’ + y’) + 5 = 0

3x’ – y’ + 4x’ – 2y’ + 5 = 0

7x’ – 3y’ + 5 = 0

Jadi bayangannya:

7x – 3y + 5 = 0

9

Komposisi Transformasi Bila T1 adalah suatu transformasi

dari titik A(x,y) ke titik A’(x’,y’)

dilanjutkan dengan transformasi T2

adalah transformasi dari titik A’(x’,y’)

ke titik A”(x”,y”) maka dua transformasi

berturut-turut tsb disebut Komposisi

Transformasi dan ditulis T2 o T1

10

Komposisi Transformasi

Dengan matriks

Bila T1 dinyatakan dengan matriks

dan T2 dengan matriks

maka dua Transformasi berturut-turut

mula-mula T1 dilanjutkan dengan T2

ditulis T2 o T1 =

dc

ba

sr

qp

sr

qp

dc

ba

11

Soal 1

Matriks yang bersesuaian dengan

dilatasi dengan pusat (0,0) dan

faktor skala 3 dilanjutkan dengan

refleksi terhadap garis y = x

adalah…

12

Pembahasan

M1= Matrik dilatasi skala 3

adalah

M2 = Matrik refleksi terhadap

y = x adalah

30

03

01

10

13

Matriks yang bersesuaian dengan

M1 dilanjutkan M2

ditulis M2 o M1 =

=

Jadi matriknya adalah

01

10

30

03

03

30

0003

3000

03

30

14

Soal 2

Bayangan segitiga ABC, dengan

A (2,1), B (6,1), C (5,3) karena

refleksi terhadap sumbu Y

dilanjutkan rotasi (0,π)

adalah…

15

Pembahasan

Refleksi sb Y: (x,y) sb Y (-x, y)

Rotasi π: (x,y) [O, π] (-x,-y)

A(2,1) sb Y A’(-2,1) (O, π) A”(2,-1)

B(6,1) sb Y B’(-6,1) (O, π) B”(6,-1)

C(5,3) sb Y C’(-5,3) (O, π) Q”(5,-3)

16

Soal 3

Luas bayangan

persegi panjang PQRS

dengan P(-1,2), Q(3,2), R(3,-1),

S(-1,-1) karena dilatasi [O,3]

dilanjutkan rotasi pusat 0

bersudut ½π adalah…

17

Pembahasan

Dilatasi: (x,y) [O,k] (kx, ky)

Rotasi ½π: (x,y) [O,½π] (-y,x)

P(-1,2) [O,3] P’(-3,6) (O,½π) P”(-6,-3)

Q(3,2) [O,3] Q’(9,6) (O,½π) Q”(-6,9)

R(3,-1) [O,3] Q’(9,-3) (O,½π) Q”(3,9)

S(-1,-1) [0,3] S’(-3,-3) (O,½π) S”(3,-3)

18

P”(-6,-3), Q”(-6,9), R”(3,9),

dan S”(3,-3) membentuk

persegi panjang P”Q”R”S”

Q”P” = 9 – (-3)

= 12

Q”R” = 3 – (-6)

= 9

Luas = 12.9 = 108 P”(-6,-3)

Q”(-6,9) R”(3,9)

S”(3,-3)

X

Y

O

19

Soal 4

T1 adalah transformasi yang

bersesuaian dengan matrik

dan T2 adalah transformasi yang

bersesuaian dengan

matrik

21

11

12

23

20

Bayangan titik A(m,n) oleh

transformasi T1 dilanjutkan T2

adalah A’(-9,7).

Nilai m - 2n sama dengan….

21

Pembahasan

T1 = dan T2 =

T2 o T1 =

=

12

23

21

11

12

23

21

11

01

11

2212

4323

22

T2 o T1 =

A(m,n) A’(-9,7)

y

x

y

x

01

11

'

'

01

11

n

m

01

11

7

9

m

nm

7

9

23

diperoleh: -9 = m + n dan 7 = m

Nilai m = 7 disubstitusi ke

m + n = -9 7 + n = -9

n = -16

Jadi nilai m – 2n = 7 + 32 = 39

m

nm

7

9

24

Soal 5

Jika titik (a,b) dicerminkan

terhadap sumbu Y, dilanjutkan

dengan transformasi sesuai

matriks menghasilkan

titik (1,-8) maka nilai a + b =….

21

12

25

Pembahasan Matriks pencerminan terhadap

sumby Y: T1 =

T2 =

T2 o T1 =

10

01

21

12

21

12

10

01-

21

12

26

21

12

10

01-

21

12

8

1

b

a

21

12

8

1

21

12

)1(4

1

b

a

3

2

161

82

5

1

b

a

b

a

Jadi : a + b = 2 + (-3) = -1

27

Soal 6

Persamaan peta

garis x – 2y + 4 = 0

yang dirotasikan

dengan pusat (0,0) sejauh +900,

dilanjutkan dengan pencerminan

terhadap garis y = -x adalah….

28

Pembahasan

Rotasi +90o: (x,y) [O,+90o] (-y, x)

Refleksi y = -x: (-y,x) y = -x (-x,y)

Sehingga x” = -x → x = -x”

dan y” = y → y = y”

disubstitusi ke x – 2y + 4 = 0

diperoleh (-x”) – 2y” + 4 = 0

Jadi petanya: x + 2y – 4 = 0

29

Soal 7

Persamaan peta

kurva y = x2 - 3x + 2

karena pencerminan terhadap

sumbu x dilanjutkan dilatasi

dengan pusat 0 dan

faktor skala ⅓ adalah…

30

• Pembahasan

Refleksi terhadap sumbu x

x’ = x

y’ = -y

Dilanjutkan dengan dilatasi: [O,⅓]

x” = ⅓x’ = ⅓x

y” = ⅓y’ = -⅓y

31

dari x” = ⅓x dan y” = -⅓y

diperoleh x = 3x” dan y = -3y”

kemudian disubstitusi ke

y = x2 – 3x + 2

-3y” = (3x”)2 – 3(3x”) + 2

-3y” = 9(x”)2 – 9x” + 2

Jadi petanya: y = -3x2 + 3x - ⅔

32

Soal 8

Persamaan peta suatu kurva

oleh refleksi

terhadap sumbu X,

dilanjutkan translasi

adalah y = x2 – 2. Persamaan

kurva semula adalah….

3

2

33

Pembahasan Refleksi terhadap sumbu x

x’ = x

y’ = -y

Dilanjutkan dengan translasi:

x” = x’ + 2 = x + 2

y” = y’ + 3 = -y + 3

3

2

34

x” = x + 2 dan y” = -y + 3

disubtitusikan ke: y” = (x”)2 – 2

-y + 3 = (x + 2)2 – 2

-y = x2 + 4x + 4 – 2 – 3

-y = x2 + 4x – 1

Jadi persamaan kurva

semula: y = -x2 – 4x +1

35

Soal 9

Persamaan peta garis

3x – 4y = 12 karena refleksi

terhadap garis y – x = 0,

dilanjutkan oleh transformasi

yang bersesuaian dengan

matriks adalah….

11

53

36

Pembahasan 3x – 4y = 12 3y – 4x = 12

Dilanjutkan transformasi:

→

x’ = -3x + 5y

y’ = -x + y

y = x

y

x

11

53

y'

x'

yx

yx 53

y'

x'

x 1

x 3

x’ = -3x + 5y

3y’ =-3x + 3y

11

53

37

x’ = -3x + 5y

3y’ = -3x + 3y

x’ -3y’ = 2y diperoleh:

Disubstitusi ke 3y – 4x = 12 2

5'dan x

2

'3' yxyxy

38

Disubstitusi ke: 3y – 4x = 12

diperoleh:

ruas kiri dan kanan dikali 2

3x’ – 9y’ – 4x’ + 20y’ = 24

-x’ + 11y = 24

Jadi petanya adalah 11y – x = 24

122

'5'4

2

'3'3

yxyx

39

Soal 10

Parabola dengan titik puncak (1,2)

dan fokus (1,4) dicerminkan terhadap

garis x = 5, kemudian dilanjutkan

dengan transformasi putaran dengan

pusat O(0,0) sejauh 90o berlawanan

arah jarum jam. Persamaan peta

kurva tersebut adalah….

40

Pembahasan

(x,y) (2m – x,y) (-y, 2m –x)

Pusat (1,2)

(1,2) P’(9 ,2) P”(-2,9)

Fokus (1,4)

(1,4) F’(9,4) F”(-4,9)

Kurva tersebut puncaknya di

P”(-2,9) dan fokusnya di F”(-4,9)

M x = m R +90o

M x = 5 R +90o

M x = 5 R +90o

41

Kurva yang puncaknya di P”(-2,9)

dan fokusnya di F”(-4,9)

adalah parabola yang terbuka ke

kiri dan p = jarak puncak ke fokus

= 2, sehingga persamaanya

(y – b)2 = -4p(x – a)

(y – 9)2 = -4.2(x – (-2))

(y – 9)2 = -8(x + 2) Jadi persamaanya: y2 – 18y + 8x + 97 = 0

42