*Transformasi(Translasi, Rotasi danDilatasi)

*Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat

Menentukanpeta atau bayangan suatu kurvahasil dari suatu Translasi, Rotasi atau Dilatasi

*Transformasi

Untuk memindahkan suatu titik ataubangun pada sebuah bidang dapatdikerjakan dengan transformasi.Transformasi T pada suatu bidangmemetakan tiap titik P pada bidangmenjadi P pada bidang itu pula.Titik P disebut bayangan atau peta titik P

*Jenis-jenis Transformasi

a. Tranlasi*) b. Refleksi c. Rotasi*) d. Dilatasi*)

*) yang dibahas kali ini

* Tranlasiartinya pergeseran

*Jika translasi T =

memetakan titik P(x,y) ke P(x,y)maka x = x + a dan y = y + bditulis dalam bentuk matrik:

*Contoh 1Diketahui segitiga OAB dengankoordinat titik O(0,0), A(3,0) danB(3,5).Tentukan koordinat bayangansegitiga OAB tersebut biladitranslasi oleh T =

* Bahasan(0,0) (0 + 1, 0 + 3) 0(1,3) (3,0) (3 + 1, 0 + 3) A(4,3) (3,5) (3 + 1, 5 + 3) B(4,8)XyO

*Contoh 2Bayangan persamaan lingkaran x2 + y2 = 25oleh translasi T = adalah.

* BahasanX

P (-1,3)

*Karena translasi T = makax = x 1 x = x + 1..(1)y = y + 3 y = y 3..(2) dan (2) di substitusi ke x2 + y2 = 25 diperoleh (x + 1)2 + (y 3)2 = 25; Jadi bayangannya adalah: (x + 1)2 + (y 3)2 = 25

*Contoh 3Oleh suatu translasi, peta titik (1,-5)adalah (7,-8). Bayangan kurvay = x2 + 4x 12 oleh translasi tersebut adalah.

* BahasanMisalkan translasi tersebut T =Bayangan titik (1,-5) oleh translasi T adalah (1 + a, -5 + b) = (7,-8) 1+ a = 7 a = 6 -5+ b = -8 b = -3

*a = 6 dan b = -3 sehinggatranslasi tersebut adalah T =Karena T =

Maka x = x + 6 x = x 6 y = y 3 y = y + 6

*x = x 6 dan y = y + 3 disubstitusike y = x2 + 4x 12 y + 3 = (x 6)2 + 4(x 6) 12 y + 3 = (x)2 12x + 36 + 4x - 24 -12y = (x)2 8x 3 Jadi bayangannya: y = x2 8x 3

* Rotasiartinya perputaran

ditentukan olehpusat dan besar sudut putar

* Rotasi Pusat O(0,0) Titik P(x,y) dirotasi sebesar berlawanan arah jarum jamdengan pusat O(0,0) dandiperoleh bayangan P(x,y) maka: x = xcos - ysin y = xsin + ycos

* Jika sudut putar = (rotasinya dilambangkan dengan R)maka x = - y dan y = xdalam bentuk matriks:

Jadi R =

* Contoh 1

Persamaan bayangan garis x + y = 6 setelah dirotasikanpada pangkal koordinat dengansudut putaran +90o, adalah.

* PembahasanR+90o berarti: x = -y y = -x y = x x = ydisubstitusi ke: x + y = 6 y + (-x) = 6y x = 6 x y = -6Jadi bayangannya: x y = -6

* Contoh 2

Persamaan bayangan garis 2x - y + 6 = 0 setelah dirotasikanpada pangkal koordinat dengansudut putaran -90o , adalah.

* Pembahasan

R-90o berarti:x = xcos(-90) ysin(-90)y = xsin(-90) + ycos(-90)x = 0 y(-1) = yy = x(-1) + 0 = -x atau

dengan matriks:

*R-90o berarti: x = y y = x y = -x x = -ydisubstitusi ke: 2x - y + 6 = 0 2(-y) - x + 6 = 0 -2y x + 6 = 0 x + 2y 6 = 0Jadi bayangannya: x + y 6 = 0

* Jika sudut putar = (rotasinya dilambangkan dengan H)maka x = - x dan y = -ydalam bentuk matriks:

Jadi H =

* ContohPersamaan bayangan parabolay = 3x2 6x + 1 setelah dirotasikanpada pangkal koordinat dengansudut putaran +180o, adalah.

* PembahasanH berarti: x = -x x = -x y = -y y = -ydisubstitusi ke: y = 3x2 6x + 1 -y= 3(-x)2 6(-x) + 1 -y = 3(x)2 + 6x + 1 (dikali -1)Jadi bayangannya: y = -3x2 6x - 1

* Dilatasi

Adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun tetapi tidak mengubah bentuk bangunnya.

* Dilatasi Pusat O(0,0) dan faktor skala kJika titik P(x,y) didilatasi terhadappusat O(0,0) dan faktor skala kdidapat bayangan P(x,y) makax = kx dan y = kydan dilambangkan dengan [O,k]

* ContohGaris 2x 3y = 6 memotongsumbu X di A dan memotongsumbu Y di B. Karena dilatasi[O,-2], titik A menjadi A dan titik B menjadi B. Hitunglah luas segitiga OAB

* Pembahasangaris 2x 3y = 6 memotong sumbu X di A(3,0)memotong sumbu Y di B(0,2)karena dilatasi [O,-2] makaA(kx,ky) A(-6,0) danB(kx,ky) B(0,-4)

*Titik A(-6,0), B(0,-4) dan titik O(0,0) membentuk segitigaseperti pada gambar: Sehingga luasnya = x OA x OB = x 6 x 4 = 12

* Dilatasi Pusat P(a,b) dan faktor skala kbayangannya adalahx = k(x a) + a dan y = k(y b) + bdilambangkan dengan [P(a,b) ,k]

* Contoh

Titik A(-5,13) didilatasikanoleh [P,] menghasilkan A.Jika koordinat titik P(1,-2),makakoordinat titik A adalah.

* Pembahasan

A(x,y) A(x,y)x = k(x a) + ay = k(y b) + b

A(-5,13) A(x y) [P(a,b) ,k][P(1,-2),]

*x = k(x a) + ay = k(y b) + b

A(-5,13) A(x y)x = (-5 1) + 1 = -3y= (13 (-2)) + (-2) = 8Jadi koordinat titik A(-3,8) [P(1,-2),]

* Transformasi InversUntuk menentukan bayangan suatu kurva oleh transformasiyang ditulis dalam bentukmatriks, digunakantransformasi invers

* Contoh

Peta dari garis x 2y + 5 = 0oleh transformasi yang dinyatakan dengan matriksadalah.

* Pembahasan

A(x,y) A(x y)

Ingat: A = BX maka X = B-1.A

*Diperoleh: x = 3x y dan y = -2x + y

*x = 3x y dan y= -2x + ydisubstitusi ke x 2y + 5 = 03x y 2(-2x + y) + 5 = 03x y + 4x 2y + 5 = 07x 3y + 5 = 0Jadi bayangannya: 7x 3y + 5 = 0

SELAMAT BELAJAR*