Diktat Kalkulus

8/18/2019 Diktat Kalkulus

1/14

NILAI MUTLAK

Secara khusus, dalam matematika untuk

memberikan jaminan bahwa sesuatu itu nilainya

selalu positif diberikanlah suatu pengertian yang

sering kita namakan sebagai harga mutlak. Jadi,

harga mutlak atau nilai mutlak adalah suatu konsepdalam matematika yang menyatakan selalu positif.

Secara matematis pengertian harga mutlak dari

setiap bilangan real x yang ditulis dengan simbol│x│, ialah nilai positif dari nilai x dan -x.

Jadi Nilai mutlak yaitu suatu bilangan real X,

dinyatakan dengan ⎤X⎜didefinisikan sebagai :

⎤X⎜= X jika X ≥ 0

⎤X⎜= - X jika X < 0

Sifat-sifat Nilai Mutlak

1. ⎤ab⎜= ⎤a⎜⎤b⎜

2. ⎜ ba ⎜= ⎜ b

a ⎜

1


2/14

3. ⎜a + b⎜≤ ⎤a⎜+ ⎤b⎜

4. ⎜a - b⎜≥ ⎤a⎜- ⎤b⎜

Peti!aksa"aa# $a#% Melibatka# Nilai

Mutlak

ontoh!

1. arilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan│ x " 1│# $.

%enyelesaian !

│ x " 1│# $.

Jika dan hanya jika-$ # x " 1 # $&iap ruas ditambah dengan -1, didapat -' # x # (

Jadi himpunan penyelesaiannya) x * -' # x # ( +impunan penyelesaian dapat pula ditulis denganmenggunakan simbul irisan !) x * x -' + ) x * x # ( +.

(. Selesaikanlah pertidaksamaan berikut !

(


3/14

⎜$/ 0 ⎜2 1%enyelesaian !

$/ 0 3 1 atau $/ 0 2 1 $/ 3 ' atau $/ 2 4

/ 3 $' atau / 2 (

Soal untuk dikerjakan

1. ⎜X & 2 ⎜≥ '2. ⎜X & 2 ⎜< 13. ⎜4X + ' ⎜≤ '4. ⎜2X & 1 ⎜( 2

'. ⎜ 5( X & ' ⎜≥ )*. ⎜ '

X + 1 ⎜< 1). ⎜'X + * ⎜( 1. ⎜2X & ) ⎜( 3,. ⎜ X

1 - 3 ⎜( *

10. ⎜' + X ⎜( 1

$


4/14

AKAR KUADRAT

=( X ⎜X⎜

#tuk e#/elesaia# a2 +b +

a!ala

a

acbb X

(

'( −±−

=

Diskriminan (D) = b2 – 4ac, apabila :

1.D > 0, maka mempunyai dua jawaban real

2.D 0, maka !idak mempunyai jawaban

real

".D = 0, maka mempunyai sa!u jawaban real

Den#an rumus kuadra! dapa! di#unakan

un!uk menyelesaikan per!idaksamaan

$%n!%& :

'


5/14

'elesaikanla& 2 – 2 – 4 0

*awab :

+da dua s%lusi, yai!u :

1 = (',11(14'6(7

−=−=+−−−

2 = ('.$1(14'6(7

=+=++−−

i!ik-!i!ik pemeca& memba#i #aris real

menjadi !i#a selan# :

*ika n #enap dan a 0, lambin# n a

selalu menya!akan akar !ak ne#a!i/e ke

n dari a. ilamana n #anjil, &anya

!erdapa! sa!u akar real ke n dan a

dinya!akan %le& lamban# n a

*adi : (14' = $(5$ = (8$ −=−

'%al un!uk dikerjakan :

1.2

– " – 4 0


6/14

2. "2 1 – 3 > 0

". 142 11 – 1 0

4. "2 – 22 " > 0

. 12 – 35 – 34 0

67+D8+

erdasarkan si9a! ⎜a⎜ ⎜b⎜= ⎜ab⎜ "aka

⎜2⎜= X2

'ecara umum pen#kuadra!an !idak

memper!a&ankan per!idaksamaan, c%n!%& :

+pabila -" 2, maka :

(-")2 > 22

'ebaliknya jika 2 ", maka :

2

2

"

2

+pabila ki!a bekerja den#an bilan#an

bukan ne#a!i/e, maka :

Y X < ⇔2 2

4


7/14

$%n!%& s%al :

⎜" 1 ⎜ 2⎜ - 3⎜

⎜" 1 ⎜ ⎜2 - 12⎜

3X + 152 < 2X & 1252

,X2 + *X + 1 < 4X2 & 4X + 144

'X2 + '4X - 143 < 0

X + 135'X & 115 < 0

S6al u#tuk !ikejaka#

1. $(1 −


8/14

1.4 Modulus dan Bilangan Kompleks Sekawan

;enyajian bilan#an k%mpleks seba#ai /ek!%r dapa! di#unakan

un!uk men#emban#kan k%nsep nilai mu!lak bilan#an riil padabilan#an k%mpleks.

7e8#isi"6!ulus#ilai"utlak5

•


9/14

c. *ika i z '$−= maka i z '$+= . ::

Sifat M6!ulus

!a# ;ila#%a#6"leksSeka9a#

a. (1(1 z z z z =

b. ( ) ( ) z z z ≤≤ ;e;e

c. ( ) ( ) z z z ≤≤


10/14

= 9, ≠ x x

ytg arc .

y z = x+ iy r

x

Nilai argumen dari z 7arg z 6 tidak tunggal teta!i meru!akan keli!atan

π ( "sesuai dengan kuadran dimana titik z berada#$ %edangkan,

nilai utama " principal value# dari

z arg

ditulis z Arg

denganπ π ≤


11/14

:6#t6

3

Diketa&uii

ii z

+−

++=

1

6$17617$ Tentukan bentuk kutub dari

z dan z $

Penyelesaian :

Menggunakan sifat argumen di!er+le& :

−=

−+==

4(

'

$

$'(

'

$(

6$

(76'

(7π π π π

π

π π

ciscis

cis

ciscis

z $

=4

( π

cis z $ ::

%elain dalam bentuk umum iy x z += dan bentuk kutub

( )θ θ sincos ir z += , bilangan k+m!leks z uga da!at dinyatakan

dalam bentuk eks!+nen$

;e#tukeks6#

e#

-entuk eks!+nen bilangan k+m!leks iy x z += yaituθ i

er z =

dengan θ θ θ sincos iie += dinamakan u"us >ule$

easialjababe#tukeks6#e#

Misalkan 111

θ ier z = dan (((

θ ier z = $

a$'erkalian

67 (1(1

(1(1(1

θ θ θ θ +== ier r ieier r z z

b$'embagian

67

(1

(

1

(

1 θ θ −= ier

r

z

z

)$ In*ers sebarang bilangan k+m!leks θ ier z = yaitu

θ i

er z

z −==−

111

;e#tuka#%ka

Misalkan θ ier z = , maka menggunakan aturan !angkat

se!erti !ada bilangan riil di!er+le&

11


12/14

t θ θ nienr nier n z == 67 , ,(,1,9 ±±=n

?u"usM6i@e

Jika 1=r , maka bentuk !angkat di atas menadi

θ θ nie

nie

n z == 67 , atau θ θ nienie =67 , ,(,1,9 ±±=n $

%elanutnya da!at ditulis dalam bentuk

θ θ θ θ ninn

i sincos6sin7cos +=+ yang disebut Rumus Moivre $

1.6 Bentuk Akar

;e#tukaka

Misalkan θ cisr z = , akar !angkat n dari bilangan

k+m!leks z ditulis n z 1 atau n z $ Jika diberikan bilangan

k+m!leks 9≠ z dan n bilangan bulat !+sitif, maka

di!er+le& n bua& akar untuk n z 1

yaitu

+++=

n

k i

n

k nr

k z

π θ π θ (sin

(cos , 617,,(,1,9 −= nk $

%e)ara ge+metri, n bua& akar tersebut meru!akan titik.

titik sudut segi n beraturan !ada suatu lingkaran dengan

!usat titik / dan ari.ari n r $

:6#t64

Tentukan semua akar dari$ 8i−

dan gambarkan akar.akar tersebut dalam bidang k+m!leks$

Penyelesaian :

Misalkan i z 8−= , maka 8== z r dan (98 π

θ −=−

= arctg ,

+−

++−

=−=$

((sin

$

((cos$8$ 8

π π

π π

k

i

k

ik

z , .(,1,9=k

1(


13/14

%e&ingga di!er+le&

iii z −=

−+−=

+−+−= $64

sin764

7cos($

(sin$

(cos$ 89

π π

π π

$

ii z (6(

sin76(

7cos(1

=

+=

π π $

ii z −−=

+= $6

4

5sin76

4

57cos(

(

π π $

y

0 1 z

x . ::

( z 9 z

?i#%kasa#

-ilangan k+m!leks iy x z += mem!unyai bentuk kutub θ cisr z = ,dan bentuk eks!+nen θ ier z = , dengan z arg=θ $

Soal-soal

1$ Tentukan 6;e7 z , 6


14/14

3$ Tentukan semua akar dari '1

6$887 i−− dan gambarkan akar.

akar tersebut

dalam bidang k+m!leks$

1'

Diktat Kalkulus

Documents

Transcript of Diktat Kalkulus