Diktat PendukungKALKULUS I K0424Drs. Sangadji, M.Sc., Ph.D.D1808F S TUNIVERSITAS BINA NUSANTARAJAKARTADAFTAR ISIhalamanDAFTAR ISI 2KATA PENGANTAR4ABSTRAK 5BAB 1.LIMITFUNGSI 6BAB2. KEKONTINUAN FUNGSI 12BAB3.DERIVATIF FUNGSI 16BAB4.EKSTREMFUNGSI 29BAB5.LIMIT BENTUK TAK TERTENTUDAN RUMUS KHAS LIMIT 32BAB6. PENERAPAN DERIVATIF 37BAB7.INTEGRAL TIDAK TERTENTU44BAB8.RUMUS-RUMUS REDUKSI 45BAB9. SUBSTITUSI GONIOMETRI 47BAB 10. INTEGRASI FUNGSI RASIONAL 50BAB 11. INTEGRAL TERTENTU 53BAB 12 APLIKASI INTEGRAL 56BAB 13DERIVATIF PARSIAL DARI FUNGSI DUA PEUBAH 65BAB 14EKSTREM DARI FUNGSI DUA PEUBAH 69BAB 15 BILANGAN KOMPLEKS71BAB 16BARISAN TAK BERHINGGA DAN DERET TAK BERHINGGA 77BAB 17DERETPOSITIF82BAB 18DERETALTERNATING 87BAB 19DERET PANGKAT 89BAB 20DERET MACLAURIN DAN DERET TAYLOR91DAFTAR PUSTAKA 93KATA PENGANTARPuji dan syukur kita panjatkan kepada Allah s.w.t. atas limpahan rahmat dan karuniaNya, sehingga saya dapat menyelesaikan penyusunan Diktat Pendukung Kalkulus I K0424 ini.Mudah-mudahan diktat ini dapat bermanfaat dan khususnya dapat membantu para mahasiswa dan memperlancar jalannya perkuliahan.Atas kesalahan maupun kekurangan yang ada dalam diktat ini, penulis mohon maaf dan mohon saran untuk perbaikannya.Akhirnya penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penerbitan diktat ini, khususnya Angger Aji Winanto. Jakarta, November 2010Penulis, Drs.Sangadji, M.Sc., Ph.D.ABSTRAKPenulisan diktat ini dimaksudkan untuk membantu pembaca, terutama mahasiswa yang mengambil mata kuliah Kalkulus I K0424 dengan 4 sks. Diktat ini terdiri dari20bab. Tidak semua topik-topik dalam Kalkulus I dapat tertampung dalam diktat pendukung ini.Bab 1 tentang limit fungsi, Bab 2 tentang kekontinuan fungsi, Bab 3 mengenai derivatif fungsi, Bab 4 tentang ekstrem fungsi, Bab 5 mengenai limit bentuk tak tertentu dan rumus khas limit, Bab 6 tentang penerapan derivatif, Bab 7 tentang integral tidak tertentu,Bab 8 mengenai rumus-rumus reduksi, Bab 9 tentang substitusi goniometri,Bab 10 tentang integrasi fungsi rasional,Bab 11 tentang integral tertentu, Bab12mengenai aplikasi integral, Bab13mengenai derivatif parsial dari fungsi dua peubah, Bab 14 mengenai ekstrem dari fungsi dua peubah, Bab 15 mengenai bilangan kompleks, Bab 16 mengenai barisan tak berhingga dan deret tak berhingga, Bab 17 tentang deret positif, Bab 18 tentang deret alternating, Bab 19 tentang deret pangkat, dan Bab 20 tentang deret MacLaurin dan deret Taylor.Kata-kata kunci: Kalkulus, Kalkulus Dasar.BAB 1. LIMITFUNGSIDefinisi 1.1Diberikan fungsif dengan domain fD dan kodomain fK di mana R fD and . R fK Bila untuk setiap 0 > terdapat0 > sedemikian sehingga untuk setiapfD x di mana < terdapatlah2 / sedemikian sehingga untuk setiapR x , di mana < < 0 0 xatau, 0 < < x < + 2 2 2 3 ) 3 2 ( 3 ) ( x x x x fberlaku, i.e. < 3 ) (x fberlaku.Jadi dengan definisi di atas kita simpulkan bahwa

. 3 ) ( lim0x fxContoh1.2 Pandang fungsigdari } 1 { \ R ke R dengan ). 1 /( ) 1 ( ) (2 x x x g Kita akan memperlihatkan bahwa . 2 ) ( lim1x gxDalam hal ini . 1gD Perlu dicatat bahwauntuk, 1 x. 1) 1 () 1 )( 1 () ( + + xxx xx gUntuk setiap0 > terdapatlah sedemikian sehingga untuk setiap} 1 { \ R x , di mana < < 1 0 x , < + 1 2 ) 1 ( 2 ) ( x x x gberlaku, yaitu < 2 ) (x gberlaku. Jadi dengan definisi di atas kita simpulkan bahwa

. 2 ) ( lim1x gxDefinisi 1.2Misalkanf suatu fungsi dengan domainfD dan kodomain fK di mana R fD dan . R fK Bila untuk setiap0 > terdapat 0 > sedemikian sehingga untuk setiapfD x di mana 0 0x x x < < , < L x f ) ( berlaku, maka kita katakan bahwa limit kiri dari ) (x f untukx mendekati 0x adalahL ,dan kita tulis. ) ( lim0L x fx xDefinisi 1.3Misalkanf suatu fungsi dengan domain fD dan kodomain fK di mana R fD dan . R fK Bila untuk setiap0 > terdapat0 > sedemikian sehingga untuk setiapfD x di mana + < Mterdapat0 > sedemikian sehingga untuk setiapfD x di mana < ) ( berlaku, maka kita katakan bahwa limit dari ) (x f untukx mendekati 0x adalah dan kita tulis. ) ( lim0 x fx xUntuk kasus M x f > ) (kita tulis , ) ( lim0+ x fx xdan untuk kasus M x f < ) (kita tulis . ) ( lim0 x fx xDefinisi 1.5Misalkanfsuatu fungsi dengandomain fD dan kodomain fK di manaR fD and . R fK Bila untuk setiap 0 > terdapat0 > Msedemikian sehingga untuk setiapfD x di mana, M x> < L x f ) (berlaku, maka kita katakan bahwalimit dari) (x funtukx is, Ldan kita tulis. ) ( lim L x fx Untuk kasusM x >kita tulis, ) ( lim L x fx+ dan untuk kasusM x . 0, 0 1) (2x bila xx bila xx gMudah untuk dicek bahwa

1 ) ( lim0 x gxand, 0 ) ( lim0+x gxsehingga g tidak kontinu di. 0 xTetapi, g kontinu untuk setiap. 0 x

y

x o-1Gambar 2.3Bila suatu fungsiFkontinu untuk setiapR A A x , , kita katakana bahwa fungsiFkontinu padaA.Setiap polinomial kontinu pada domainnya. Setiap fungsi rasional tidak kontinudi titik-titik yang merupakan nilai nol dari penyebutnya, tetapi kontinu di titik-titik lainnya. Setiap fungsi kuadrat , 0 , ) (2 + + a c bx ax x y dariR ke R adalah kontinu pada R. Tetapi fungsi rasional ( ) ( ) 8 6 / 3 4 ) (2 2+ + x x x x x y dari } 4 , 2 { \ R ke R tidak kontinu di 2 xmaupun di , 4 xdan kontinu pada } 4 , 2 { \ R . Sifat-sifat fungsi kontinu1.Bila fungsi-fungsi fdan gkontinu di 0xmaka fungsi-fungsifg g f g f , , +andg f /juga kontinu di 0x , di mana . 0 ) (0 x gDiperluas, titik 0x di atas dapat diperluas ke himpunan bagianA dariR. Untuk kejadian khusus yang ke tiga, bila k adalah konstan sembarang,maka fungsikf is juga kontinubila fkontinu. y

Mo

fm oa b xOGambar 2.42. Teorema Nilai Ekstrem:Bila fungsi fkontinu pada selang [a, b], maka f dapat mencapai nilai minimumnya m dan nilai maksimumnya M pada selang [a, b].

y cf Oax0 b Gambar 2.53. Teorema Nilai Antara:Bila suatu gungsi fkontinu pada selang [a, b] dengan ), ( ) ( b f a f maka untuk setiap bilangan real c dengan) ( ) ( b f c a f < > b a dan tparameter. Bilakitaeleminasit, kitaperoleh . 1 sin cos2 22222 + + t tbyaxMenggunakan rumus di atas, kita juga mendapatkan. / ) cot (sincosa t bt at bdxdy Soal-soal3.7Carilah dxdy dan juga 22dxy d dari fungsi-fungsi parameter ini:1.' t b at xt b a ysincosdi manaa and b konstan positif.2.'+ + ) 1 /( 3) 1 /( 333 2t at xt at ydi manaa konstan positif.3. ' 23sin 2cos / sin 2A xA ydi mana A konstan positif.4. ' ) cos ) 2 / cot( (lnsin A xA ydi mana A is konstan positif.5.'.21te ye xCari juga22dxy d dit = 1.6. ' . 1 5323t t yt t xCari juga22dxy d dit = 2.7. '. sincos33t a yt a xdi manaa is a konstan positif.8. ' ) cos 1 () sin (t B yt t A xdi mana A dan B konstan positif.9.'tBe yt A x lndi mana A dan B konstan positif.10. '. sincos44t A yt A xdi mana A konstan positif.BAB4.EKSTREMFUNGSIFungsi-fungsi naik dan turunDefinisi 4.1Suatu fungsi) (x f y dikatakannaikpada selang ], , [ b a bila untuk setiap ] , [ ,2 1b a x x dengan 2 1x x Bila suatu fungsi naik atau turun pada] , [ b a kita katakan kurvanya berturut-turut naik atau turun pada ] , [ b a . If 0 ) ( ' > x f pada] , [ b a makafnaik pada ] , [ b a . If 0 ) ( ' < x f pada ] , [ b a makafturunpada ] , [ b a . Sebagai contohsederhana, thefungsi2x y turunpada ] 0 , 1 [ dan naik pada ]. 1 , 0 [ Nilai-nilai ekstrem (maksimum atau minimum)Bila0 ) ( '0 x fmaka0xdisebut titik kritis dari fungsif.Jelas bahwafungsi 2x y punya titik kritis di. 0 xBila0 ) ( '0 x f and0 ) ( ' '0< x f maka fmencapai maksimumnya (relatif atau lokal) di 0x x dan nilainya adalah). (0x fIf0 ) ( '0 x gand0 ) ( ' '0> x gmakagmencapai minimumnya (relatif atau lokal)di 0x x dan nilainya adalah). (0x gUntukmencari maksimumatauminimumabsolut dari suatufungsi padaselangyang diberikan, kita memerlukan pengamatan lebih lanjut pada selang tersebut.Sebagai contoh sederhana, fungsi52+ x yachieves mencapai minimum absolutnya di 0 xpada R dan nilainya 5. Sedangkan fungsi2x y mencapai maksimum absolutnya di 0 xpada R dan nilainya 0. Fungsi52+ x ytidak punyamaksimum pada R, sedangkan fungsi 2x y tidak punya minimum pada R.Kecekungan dan kecembunganDefinisi 4.2Kurva) (x f y disebutcekung atas(cembung bawah) pada ] , [ b a bilauntuksetiap titik yang terletak di kurvaf pada] , [ b a , garis singgungnya terletak di bawah kurva dari f. Kurva ) (x f y disebut cekung bawah(cembung atas) pada ] , [ b a bila untuk setiap titik yang terletak di kurvaf pada] , [ b a ,garis singgungnya terletak di atas kurva darif.Kurva2x y pada Rcekung atas sedangkan kurva 2x y padaR is cekung bawah.Bila0 ) ( ' ' > x f pada selang] , [ b a , kurva f cekung atas pada] , [ b a . Bila0 ) ( ' ' < x fpada selang] , [ b a ,kurvafis cekung bawah pada] , [ b a .Definisi 4.3Titik belok dari kurva fadalah titik di kurva f di mana terjadi perubahan dari cekung atas ke cekung bawahatau dari cekung bawah ke cekung atas.Bila0 ) ( ' ' ox f and0 ) ( ' ' ' ox f makakurvafpunyatitik belok di0x x . Kurva dari fungsi 3x y punya titik belok di). 0 , 0 ( OSoal-soal 4.11. Diberikan fungsi5 2 2 / 3 3 /2 3+ + x x x y pada R.(i) Tentukan di mana kurva dari fungsi tersebut naik atau turun.(ii)Tentukan titik-titik belok dari kurva fungsi tersebut.(iii) Tentukan nilai-nilai ekstrem dari fungsi tersebut.2. Tentukan di mana kurva dari fungsi6 205 + x x y on R naik atau turun.2 3. Pandang fungsi kuadratc bx ax y + + 2padaR. Buktikan:(i)Bila0 > amaka fungsi tersebut mencapai minimumnyadia b x 2 / dan nilainya . 4 / ) 4 (2a ac b (ii) Bila0 < amaka fungsi tersebut mencapai maksimumnya dia b x 2 / dan nilainya . 4 / ) 4 (2a ac b 3 4.Tentukan titik diparabolay x 82yang berjarak minimum terhadap titik (2, 4).5.Tentukan nilai-nilai ekstrem dari fungsi) 1 (2+ + x x e yxpadaR dan titik-titik belok dari kurvanya. Sket kurva dari fungsi tersebut.6. Jumlahduabilangan realadalah 150. Berapakahnilaidari bilangan-bilangan tersebutagar hasil kalinya maksimum.7.Tentukan titik-titik belok dari kurva fungsi-fungsi berikut:(i); cos x y (ii)); 2 / cos(x y (iii)). 2 sin( x y 8.Tentukan titik-titik belok dari kurva fungsi-fungsi berikut:(i); tan x y (ii); cosh x y (iii). sinh x y BAB5. LIMIT BENTUK TAK TERTENTUDAN RUMUS KHAS LIMIT Bentuk tak tertentu dari0/0 ( Aturan LHopital)Diberikan bilangan real a. Bila) (x fdan) (x gdiferensiabel dan0 ) ( x guntuksemuaxpadaselang < < a x 0 , danbila 0 ) ( lim x fa xand, 0 ) ( lim x ga xmaka ) ( ') ( 'lim) () (limx gx fx gx fa x a x bila) ( ') ( 'limx gx fa x eksis atautak berhingga.Catatan:Aturan LHopital masih sahihbila a xlimdiganti denganlimit kiri atau limit kanan, yaitu+a xlimora xlim. Bentuk tak tertentu /Kesimpulan dari Aturan LHopital tidak berubah, bila satu atau kedua perubahan berikut dipakai dalam hipotesisnya:1. 0 ) ( lim x fa x and 0 ) ( lim x ga x diganti dengan ) ( lim x fa x dan ) ( lim x ga x.2. bilanganrealadiganti dengan, , + aataudan < < a x 0diganti dengan . M x> Contoh5.11.( ),1) ( seclimtanlim20 0ccx cxcxx x c konstan;2.; 03019 /lim3 9lim2020

,_

+

,_

+ x xxxx x3.;3535lim11lim241351

,_

xxxxx x4. ,22lim22lim lim22papaq pxb axr qx pxc bx axx x x +++ ++ + di mana r q p c b a , , , , , konstan, . 0 , 0 p aCara mengubah bentuk tak tertentu yang lain ke0/01. Bentuk tak tertentu /Bila ) ( lim x fa x dan ) ( lim x ga x makaubah.) (1) (1) () (

,_

,_

x fx gx gx f2. Bentuk tak tertentu 0 Bila 0 ) ( lim x fa x dan ) ( lim x ga x maka ubah .) (1) () ( ) (

,_

x gx fx g x f3. Bentuk tak tertentu 00 Bila0 ) ( lim x fa x dan 0 ) ( lim x ga x maka ubah( ). ) () ( ln / 1) () ( ln ) ( ) ( x fx gx f x g x ge e x f 4. Bentuk tak tertentu 0 Bila ) ( lim x fa x and 0 ) ( lim x ga x maka ubah( ). ) () ( ln / 1) () ( ln ) ( ) ( x fx gx f x g x ge e x f 5. Bentuk tak tertentu 1Bila1 ) ( lim x fa xdan ) ( lim x ga x maka ubah . ) () (1) ( ln) ( ln ) ( ) (

,_

x gx fx f x g x ge e x f6. Bentuk tak tertentu Bila ) ( lim x fa x dan ) ( lim x ga x maka ubah( ) .) ( ) (1) (1) (1) ( ) () ( ) () ( ) () ( ) (

,_

,_

x g x fx f x gx g x fx g x fx g x fx g x fContoh 5.2. 1 sin limcos1limcot2lim tan2lim . 12222 2 2 ,_

xx ec xxx xxx x x . 020sin cos 2sinlimcos sin1 coslimsinsinlimsin1 1lim . 200 0 0

,_

+ ,_

,_

x x xxx x xxx xx xx xxx x xSoal-soal 5.1Carilah nilai limit-limit di bawah ini:1.;) 2 sin() 2 sin(lim0 x xx xx +10. ; lim111+xxx2. ;1lim20 xexx11. ; ) (cos lim210xxx3.;lnlimxxx + 12. ; ) (tan lim0xxx+4.;47 5 3lim22x xx xx ++ 13. ; limtan0xxx+5.; ln lim20x xx+14.;1lim0xxx

,_

+6.; lim2 xxe x+ 15. ( ) ; sin limsin0xxx+7.; lim2 xxe x 16. ( ) ; / 1 limtan0xxx+8. ;11 1lim0

,_

xxe x17. ( ) ; tan limcos2xxx9.;sin cos1cos1lim0

,_

x x x xx18. ( ) . sin limtan2xxx+Rumus khas limitMenggunakan rumus ( ) 718282 , 2 1 lim/ 10 +e xxx adalah jelas bahwa, bila0 ) ( lim0x ux x maka ( ) . ) ( 1 lim) ( / 10e x ux ux x +Bila0 ) ( lim0x ux xmakamaka( ) ( ) { }( ) { } . ) ( 1 lim) ( 1 lim ) ( 1 lim) ( ) ( lim) ( ) ( lim) ( / 1) ( ) () ( / 1 ) (0000 0x v x ux v x ux ux xx v x ux ux xx vx xx xx xe x ux u x u1]1

+ + + Contoh5.31. .311 lim311 lim311 lim3 / 53 / 533 / 53 5 11]1

,_

+ 11]1

,_

+ ,_

+ ex x xxxxxxx2.( ) ( ) [ ] ( ) [ ] . 1 sin 1 lim sin 1 lim sin 1 lim0cos sin limsin / 10cos sinsin / 10cos00 + + + e x x xx xxxx xxxxxxSoal-soal5.21. ;41 4lim10xxxx

,_

5.;1lim5

,_

+xxxx2. ;311 lim22xxx

,_

6.;2 3lim22xxxx x

,_

+ 3.( ) ; ) 2 cos( lim2tan2xxx 7.;ln11 lim0xxx

,_

++4.;1 32 3lim522xxxx

,_

++ 8.( ) . sin 1 limln0xxx ++ BAB6. PENERAPAN DERIVATIFA. Menentukan garis-garis singgung dan normalDiberikan fungsi diferensiabel) (x f y padaR. Misalkan titik ) , (P Py x Pterletak di kurva dari fungsif. Misalkan garisk adalah garis singgungdi P terhadap kurva darif. Misalkan garis llewatPand dan tegak lurusk.Maka ldisebut garisnormaldiPterhadap kurva f. Misalkan sudut antarak dan sumbu-x. Kemiringan atau gradien dari garis singgungkadalah ). ( 'Px f tg Jadi persamaan garis singgung k adalah ) )( ( 'P P Px x x f y y dan persamaan garis normal l adalah). () ( '1PPPx xx fy y k yPl O Q S RxGambar 6.1Misalkan garis singgungk memotong sumbu-xdititik Q dan garis normall memotong sumbu-xdi titikR..Maka SQ x xQ P disebut panjangsubtangendarikdiP, and SR x xR P disebut panjangsubnormal dari l di P (lihat Gambar 6.1).y=f(x)Contoh 6.1Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di titikA(2, 8)terhadap kurva dari fungsi . ) (3x x f y Tentukan juga panjang subtangen dari garis singgung dan panjang subnormal dari garis normal di A.Karena 3x y diperoleh 23 ' x y . Jelas bahwa titikA di kurvadari f. Persamaan garis singgung diAterhadapfadalah ) 2 ( 12 ) 2 )( 2 ( ' 8 x x f y atau . 16 12 x yPersamaan garis normall diA terhadap fadalah ) 2 (1218 x yor.649121+ x yTitik potongkdan sumbu-xadalah (4/3, 0).Jadi panjang subtangen darikdiAadalah 3 / 2 3 / 4 2 . Titik potong l dan sumbu-x adalah (98, 0). Jadi panjang subnormal dari l di A adalah. 96 2 98 Soal-soal 6.1 1. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di) 2 / 1 , 6 / ( Pterhadap kurva x y sin . Tentukan juga panjang subtangen dari garis singgung dan subnormal dari garis normal diP. 2. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal terhadap parabola6 52 + x x ydi titik-titik potong paraboladansumbu-x.3. Titik P dengan1 Pxterletak di kurva.14+xyTentukan persamaangaris singgung dan garis normal terhadap kurva tersebut di titikP.4. Tentukan persamaangaris singgung dan garis normal terhadap kurva5 32 2 + + y xy xdi titik). 1 , 1 ( A5. Buktikanbahwa persamaangaris singgung terhadap parabola px y 2dengan gradien 0 mis. / m p mx y + 6. Buktikanbahwapersamaangarissinggungterhadapelips12222 +byaxdi titik) , (0 0y x yang terletak pada elips tersebut adalah . 12020 +by yax xB. Soal-soal tentang maksimum atau minimumDiberikan fungsi diferensiabel ) (x f y pada selang ] , [ b a . Bila 0 ) ( '0 x f and 0 ) ( ' '0< x f makaf mencapai maksimumnya (relatif atau lokal)di 0x x dan nilainya ) (0x f sedangkan bila 0 ) ( '0 x fand0 ) ( ' '0> x fmaka f mencapai minimumnya (relatif atau lokal) di 0x x dan nilainya ). (0x f Contoh 6.2Bagilah bilangan 120 menjadi dua bilangan,sedemikian sehingga jumlahnya 120 dan hasil kali bagian pertama dan kuadrat bagian keduamaksimum.Misalkan x 120 bagianpertamadanxbagiankedua. Maka ) 120 ( ) (2x x x y adalahhasil kali bagianpertamadankuadrat bagiankedua, di mana . 120 0 x Jelas, ) 80 ( 3 x xdxdy dan . 240 622+ xdxy dUntuk 0x 80 diperoleh 0 ) ( ' ox y and . 0 240 ) ( ' '0< x yDenganhasil ini danpengamatankelakuanfungsi ) 120 ( ) (2x x x y padaselang120 0 x , dapat kitasimpulkanbahwamaksimumdari ) (x y dicapai untuk 800 x and . 000 , 256 ) 80 ( y Soal-soal 6.21. Carilah persamaan garis lurus lewat titik (3,4) yang memotong kuadran dalam suatu segitiga dengan luas minimum.2. Buktikan bahwa segitiga sama sisi dengan tinggi3r adalah segitiga sama kakidengan luas terkecilyang melingkupi dan menyinggung lingkaran berjari-jarir.3. Suatu empat persegi panjang dilingkupi oleh elips1225 4002 2 +y x (titik-titik sudutnya terletak padaelips)di manasisi-sisinyasejajar sumbu-sumbuelips. Tentukanukuranempat persegi panjang tersebut supaya(a) luasnya maksimum dan (b) kelilingnya maksimum.C.Gerak pada garis lurusGerak partikelP sepanjang garis lurus dapat digambarkan dengan persamaan) (t f s , di manat adalah waktu dan s adalah jarak berarah P dari titik O pada lintasannya.Kecepatan Ppada waktu tadalah v=.dtds Bila v> 0 maka Pbergerak dengan arah naiknyas, sedangkan bilav < 0 P bergerak dengan arah turunnyas. Kelajuan dari P adalah nilai absolut dari kecepatannya.Percepatan atau akselerasi dari P adalah.22dts ddtdva Bila a > 0 maka v naik danbila a < 0 maka v turun.Bila v dan a bertanda sama, kelajuan P naik . Bila v dan a bertanda sama, kelajuan P naik If v and a tandanya berlainan, kelajuan P turun.Contoh 6.3Suatu bodi bergerak sepanjang garis lurus dengan persamaant t s 2213 , di mana s dalam kakidant dalam detik .Tentukan kecepatandan percepatannya setelah dua detik.. / 6 ) 2 ( and / 4 ) 2 ( diperoleht, 3 , 223Karena2 2dtk kaki a dtk kaki vdtdva tdtdsv Contoh6.4Suatu partikel bergerak sepanjang garis lurus dengan persamaan 4 9 62 3+ + t t t sdi manas dalam kakidant dalam detik . (a) Tentukans and a ketika v=0. (d) Kapan v naik?(b) Tentukans and v ketikaa=0. (e) Kapan arah gerak berubah?(c) Kapan s naik?Jelas bahwa ). 2 ( 6 ), 3 )( 1 ( 3 9 12 32 + tdtdva t t t tdtdsv(a) Ketika v=0, t = 1 &t =3.Ketika t = 1, s = 8&a = -6.Ketikat = 3, s = 4&a = 6.(b) Ketikaa = 0,t = 2.Ketikat = 2, s = 6andv = -3.(c) s is decreasing when v > 0, yaituketikat < 1 dant >3.(d) v naik ketikaa > 0, yaitu ketika t > 2.(e) Arah gerak berubah ketika v = 0, dan. 0 aDengan (a) arah gerak berubah ketikat = 1 dan t = 3.Soal-soal6.3Untuk soal-soal berikut ini, satuan-satuan yang dipakai adalahkaki dandetik.1. Suatu partikel bergerak sepanjang garis lurus dengan persamaan . 9 62 3t t t s + Tentukan posisi partikel terhadapposisi awal (t=0) at0, tentukanarahdankecepatannya, dan tentukan percepatannya naik atau turun ketika(a) t = ,(b) t = 3/2,(c) t = 5/2,(d) t = 4.2. Jarak lokomotif dari dari suatu titik tertentu pada lintasan garis lurus pada waktu tdiberikan oleh persamaan. 144 44 32 3 4t t t s + Kapan lokomotif tersebut berbalik arah?3. Suatu bodi bergerak sepanjang garis horizontal menurut persamaan. 24 92 3t t t s + (a) Kapans naik or turun?(b) Kapanv naikatau turun?(c) Kapan kelajuan bodi naik atau turun?4. Suatu partikelbergerak sepanjang garis horizontal menurut persamaan . 3 10 12 62 3 4+ + t t t t s(a) Kapan kelajuan partikel naik atau turun? (b) Kapan arah gerak berubah? (c) Tentukan jarak total yang ditempuh setelah 5 detik.5.Suatupartikel bergeraksepanjanggarislurusdenganpersamaan5 18 12 22 3 + t t t sdi manas dalam kaki dant dalam detik.(a) Tentukan s and a ketika v = 0. (d) Kapanv naik?(b) Tentukans and v ketika a = 0. (e) Kapan arah gerak berubah?(c) Kapans naik?6. Lintasan partikel yang bergerak sepanjang garis lurus diberikan oleh persamaan t t t t s 108 90 28 32 3 4 + di mana s dalam kakidant dalam detik.(a) Tentukan s and a ketika v = 0. (d) Kapanv naik?(b) Tentukan s and v ketika a = 0. (e) Kapan arah gerak berubah?(c) Kapans naik?D. Solusi pendekatan persamaanPandangpersamaan . 0 ) ( x f Bilasolusi eksakatauakar-akarnnyasulit dicari, kita gunakan metode Newton-Raphson untuk mencari solusi pendekatannya. Dalam hal ini diasumsikan) ( ' ), ( x f x f and) ( ' ' x f kontinu. Prosedur metode Newton-Raphson :1. Pilih atau tebak pendekatan pertama dari. 0 ) ( x f Sket dari kurva ) (x f y akan membantu.2. Gunakan pendekatan pertama untuk mencari pendekatan ke dua, yang ke dua untuk mencari yang ke tiga dan seterusnya memakai rumus , 3 , 2 , 1 ,) ( ') (1 +nx fx fx xnnn n.13. Kita dapat mengakhiri proses iterasi setelah pendekatan ke-n ketika ) (nx f is relatif kecil. Contoh6.5Tentukan akar positif dari persamaa . 0 2 ) (2 x x fJelas, rumusNewton-Raphsondi atas menjadi .2221nnn nxxx x +Untuk memakai perhitungan dengan efisien, kita tulis lagi formula di atas yang lebih baik, yaitu.121nnnxxx + + Dengan memilih atau menebak5 . 11 xdiperoleh41667 . 12 x .1Soal-soal 6.4Menggunakan metode Newton-Raphson, tentukan akar-akar pendekatan dari persamaan-persamaan berikut: 1.; 0 5 ) (2 x x f 5.; 0 25 ) (3 x x f2.; 0 1 ) (2 + x x x f 6.; 0 1 ) (3 + x x x f3.; 0 15 ) (4 x x f 7.; 0 1 3 ) (4 + x x x f4.; 0 7 . 0 sin ) ( x x f 8.. 0 3 . 0 cos ) ( x x fSoal-soal6.5 1. MenggunakanmetodeNewton-Raphson, estimasikandi manakurva 3x y memotong garis lurus1 + x y .2. Menggunakan metode Newton-Raphson, estimasikan di mana kurvax y sin memotong parabola. 12 x y3. MenggunakanmetodeNewton-Raphson, estimasikandimanakurvax y cos memotong parabola. 12 x y4. MenggunakanmetodeNewton-Raphson, estimasikandimanakurvax y tan memotong parabola22+ x ydalam selang). 2 / , 2 / ( BAB7. INTEGRAL TIDAK TERTENTUDefinisi 7.1Bilad) () (x fdxx dF padasuatuselangdariRmakafungsi ) (x F dapat disebut integral tidaktertentuatau antiderivatifdari ) (x f pada interval tersebut, dankita tulis . ) ( ) ( dx x f x F Dalam ekspresi , ) ( dx x f fungsi ) (x f dapat disebut integran.Contoh-contoh 7.11. Diberikan5 2 3 ) (2 + x x x F padaR. Jelas,2 6) (+ xdxx dFpadaR. Kita dapat menulis + . ) 2 6 ( ) ( dx x x F2. Diberikanx x G cos ) ( padaR.Jelas, xdxx dGsin) ( padaR. Dapat kitatulis . ) sin ( ) ( dx x x GSifat-sifat integral tidak tertentu1. + + . ) ( ) ( )) ( ) ( ( dx x g dx x f dx x g x f2. . ) ( ) ( )) ( ) ( ( dx x g dx x f dx x g x f3. , ) ( ) ( dx x f c dx x f cc konstan sembarang.4. Metode substitusi: Bila ) ( ) ( x F dx x fdan ) (x u u maka ) ( ) ( u F du u f5. + , ) () (c x F dxdxx dF c konstan sembarang.6. Integrasi parsial: ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x du x v x v x u x dv x uBAB8. RUMUS-RUMUS REDUKSIMenggunakan integrasi parsial, kita dapat menurunkan rumus-rumus reduksi berikut:1. . 0 , sin1 cos sinsin21>+ m dx xmmmx xdx xmmm2. . 0 , cos1 sin coscos21>+ m dx xmmmx xdx xmmm3. . 0 m, n, m , cos sin1 cos sincos sin21 1> +++ +n dx xn mnn mx xdx x xn mn mn m4. . 0 m, n, m , cos sin1 cos sincos sin21 1> +++ + n dx xn mmn mx xdx x xn mn mn m5. > + . 0 , ) cos( ) cos( ) sin(1m dx bx xbmbxbxdx bx xmmm6. > . 0 , ) sin( ) sin( ) cos(1m dx bx xbmbxbxdx bx xmmm7. > . 0 , ,1n m dx e xnmne xdx e xnx mnx mnx m8. + . 2 , sec12tan sec11sec2 2m dx xmmx xmdx xm m m9. + . 2 , cos12cot cos11cos2 2m dx x ecmmx x ecmdx x ecm m m10. . 2 , tan tan11tan2 1m dx x xmdx xm m m11. . 2 , cot cot11cot2 1m dx x xmdx xm m mContoh8.1Turunkan rumus reduksi: >+ . 0 , sin1 cos sinsin21m dx xmmmx xdx xmmmMenggunakan integrasi parsial, dapat diperoleh:( )( ) . sin 1 sin ) 1 ( sin cos sin 1 ) (sin ) 1 ( sin cos cos sin ) 1 ( sin cos cos sin sin2 12 2 12 2 1 1dx x m dx x m x xdx x x m x xdx x x m x x x d x dx xm m mm mm m m m + + + Maka + , sin ) 1 ( sin cos sin2 1dx x m x x dx x mm m mdan dengan pembagian olehm kita peroleh hasil: >+ . 0 , sin1 cos sinsin21m dx xmmmx xdx xmmmContoh 8.2Derive the reduction formula: > . 0 , ) sin( ) sin( ) cos(1m dx bx xbmbxbxdx bx xmmmUsing integration by parts we get{ . ) sin( ) sin( ) sin( ) sin(1) sin(1x) cos(11dx bx xbmbxbxdx bx x m bx xbbx d xbd bx xmmm m m mSoal-soalTurunkan rumus-rumus 2, 3, 4, 5, dan 7 di atas menggunakan integrasi parsial.BAB 9. SUBSTITUSI GONIOMETRIBeberapa integrasi dapat diredusir menggunakan substutusi goniometri berikut:a) Bila integran mengandung ,2 2x a gunakan substitusit a x sin or. cos t a x b)Bila integran mengandung ,2 2x a + gunakan substitusi. tan t a x c) Bilaintegran mengandung ,2 2a x gunakan substitusi . sect a x Contoh 9.1Carilah dx x216 menggunakan substitusi. 2 / 0 , sin 4 < < t t xJelas bahwa . 2 / 0 , cos 4 16 , cos 4 , sin 42 < < t t x dt t dx t xMaka( ). ) 4 / arcsin( 8216cos sin 8 ) 4 / arcsin( 8) 2 cos( 1 8 cos 16 1622 2c xx xc t t xt dt t dx x+ + + + + Contoh9.2Carilah +dxx x 912 2menggunakan substitusi. 2 / 0 , tan 3 < < t t xJelas bahwa . 2 / 0 , sec 3 9 , sec 3 , tan 32 2 < < + t t x dt t dx t xMaka.99sin 91sinsin191 sincos91tan 9sec91222 22 2cxxctt dtdtttdtttdxx x++ + + Contoh9.3Carilah dxxx3225menggunakan substitusi. 2 / 0 , sec 5 < < t t xJelas bahwa . 2 / 0 , tan 5 25 , tan sec 5 , sec 52 < < t t x dt t t dx t xMaka( ).7525sin751sin sin251 cos sin251tan sec 5sec 625tan 5 2532 / 323 224 42cxxc t t d tdt t t dt t tttdxxx+ + Kita dapat menurunkan rumus-rumus berikut ini:1.; 0 , ) / arcsin(2 22 2 22 2> + + a c a xa x a xdx x a2.( ) ; 0 , ln2 22 22 2 22 2> + + ++ +a a x xa a x xdx a x3.; 0 , ln2 22 22 2 22 2> + a a x xa a x xdx a x4.; arcsin12 2caxdxx a+ ,_

5.( ) ; ln12 22 2c a x x dxa x+ + + +6. . ln12 22 2c a x x dxx a+ + Soal-soal9.1Carilah integral-integral di bawah ini menggunakan substitusi yang sesuai:1.( );2 / 32 2x adx7.( )+;252 / 32xdx2.;2 2dxxx a8.;42 2x xdx3.;2 2 2x a xdx9.;422xdx x4.( );2 / 32 22x adx x10. ;2 2 3dx x a x5.+;2 2dxxa x11.( )+;2 / 32 2x adx6.( );42 / 522xdx x12. +.16 92x xdxBAB10. INTEGRASI FUNGSI RASIONALSuatufungsi ) ( / ) ( ) ( x g x f x R dengan ) (x f dan ) (x g polinomial disebutfungsi rasional. Biladerajat ) (x f lebih kecil dariderajat ) (x g ,maka ) ( / ) ( ) ( x g x f x R disebut fungsi rasional sejati, bila tidak demikian disebut fungsi rasional tidak sejati.Suatu fungsi rasional tidak sejati dapat dinyatakan sebagai jumlah dari suatu polinomial dansuatufungsi rasional sejati. Fungsi rasional sejati sembarangdapatdinyatakansebagai jumlah dari fungsi-fungsi rasional yang lebih sederhana yang penyebut-penyebutnya berbentukmb ax ) ( +and ne dx cx ) (2+ + , m and n bilangan-bilangan bulat positif.Contoh 10.1Carilah + .6 52x xdxSebelum melakukan integrasi, kita perlu mengubah integran sebagai berikut.. 1 , 3 ; 1 , 2 ; 1 ) 2 ( ) 3 (,) 3 )( 2 () 2 ( ) 3 (3 2 ) 3 )( 2 (16 512 + + + + b x a x x b x ax xx b x axbxax x x xSehingga diperoleh1 , 1 b adan ini memberikan .) 3 (1216 512++ x x x xJadi. ) 3 ln( ) 2 ln(31216 52C x x dxxdxx x xdx+ + ++ Contoh 10.2Carilah +.123dxxx Kita selesaikan langsung menggunakan metode yang telah dibicarakan di atas.( ) + + ++ + + ++. 1 ln21211) 1 (2121 1 1) (12 22222 2323c x xxx dxdxxxdx x dxxx x xdxxxContoh 10.3Carilah +.) 1 (32dxxxSebelum melakukan integrasi, kita perlu mengubah integran sebagai berikut.. 0 3 , 2 ; 0 1 , 0 ; 1 , 1 ; ) 1 ( ) 1 (,) 1 () 1 ( ) 1 () 1 ( ) 1 ( 1 ) 1 (2 2323 2 32 + + + + + +++ + + +++++++b a x b a x c x x c x b x axc x b x axcxbxaxxSehingga kita peroleh 1 , 2 , 1 c b a dan ini memberikan .) 1 (1) 1 (211) 1 (3 2 32++++++ x x x xxJadi.) 1 ( 2112) 1 ln() 1 (1) 1 (211) 1 (23 2 32Cx xxdxxdxxdxxdxxx++++ + ++++++ Contoh 10.4Carilah.41 22 3dxx x xx+ Sebelum melakukan integrasi, kita perlu mengubah integran sebagai berikut.;) 4 () ( ) 4 (4 41 2222 2 3+ + + + + ++ + x x xc bx x x x ax xc bxxax x xx dalam hal ini untuk setiap. 4 ) ( ) ( ) ( ) 4 ( 1 2 , 0 4 ,2 2 2a x c a x b a c bx x x x a x x x x + + + + + + + > + Sehingga diperoleh , 1 4 , 2 , 0 + + a c a b a dan ini memberikan . 4 / 7 , 4 / 1 , 4 / 1 c b aJadi.151 2arctan415) 4 ln(81ln41 4 / 15 ) 2 / 1 (1815) 4 ln(81ln41 4 81541 281ln41 415 ) 1 2 (81ln41 474141 22222 222 2 3Cxx x xdxxx x xx xdxdxx xxxdxx xxxdxx xxdxx x xx+ ,_

+ + + + + + + + ++ + + + + + + + ProblemsTentukan integral-integralberikut menggunakan metode yang dibicarakan di atas:1. ;2 323dxx xx+ 5. ;) 2 (34dxxx2. ;4 51 32 32dxx x xx x+ 6. ;12 4dxx x+3. ;6 78 222dxx xx x+ 7. ;) 5 )( 3 (12 22 3dxx xx x x+ ++ + +4. ;512dxe ex x 8. .cos 2 cossin3dxx xx+BAB 11INTEGRAL TERTENTUBila ) ( ) ( | ) ( ) ( maka ) ( ) ( a F b F x F dx x f c x F dx x fbaba + disebut integral tertentu darif (x) dengan batas bawaha dan batas atas b, di mana a and b konstan.Contoh 11.1Tentukan +31) 5 2 ( dx x .Karenac x x dx x + + +5 ) 5 2 (2 maka. 18 ) 5 9 ( | ) 5 ( ) 5 2 (31231 + + + + +c c x x dx xContoh 11.2Tentukan 2 /0. ) 2 / sin(dx xKarena c x dx x + ) 2 / cos( 2 ) 2 / sin(maka. 2 2 0 cos 2 ) 4 / cos( 2 | ) 2 / cos( 2 ) 2 / sin(2 /02 /0 + x dx xContoh 11.3Tentukan 4 /03. sin cosdt t tKarenac t dt t t + 4 3cos41sin cosmaka.16341161| cos41sin cos4 /044 /03 + t dt t tSifat-sifat integral tertentu1. konstan. c , ) ( ) ( dx x f c dx x f cbaba 2. . ) ( ) ( )) ( ) ( ( dx x g dx x f dx x g x fbababa + +3. . ) ( ) ( )) ( ) ( ( dx x g dx x f dx x g x fbababa 4. . ) ( ) ( dx x f dx x fabba 5. . ) ( ) ( ) ( dx x f dx x f dx x fcacbba +6. Integrasi parsial untuk integral tertentu:). ( ) ( | ) ( ) ( ) ( ) ( x du x v x v x u x dv x ubababa 7. Bila) (x f kontinu pada ] , [ b amaka terdapat] , [0b a x sedemikian sehingga). ( ) ( ) (0x f a b dx x fba 8. Biladt t f x Fxa ) ( ) (then). ( ) ( x f x FdxdContoh 11.4Tentukan. sin2 /0dx x x. 1 ) 2 / sin( | sincos | cos cos sin2 /02 /02 /02 /02 /0 + xdx x x x x d x dx x xContoh 11.5Tentukan.10dx xex.21 | |10110101010ee e dx e xe de x dx xex x x x x + Soal-soalTentukan nilai dari integral-integral tertentu di bawah ini:1. ; ) 3 2 (1010 dx x 7. ;1210dxxx++2. ; sin cos2 /3 /3dx x x 8. ; tan4 /0dx x3. ; cos2 /0dt t t 9. ;12 / 10 62dxxx4.;101 2 yydy10. ; 1 0 ,1102