informatikaunindra.orginformatikaunindra.org/file/KALKULUS 3/Diktat/KALKULUS 3... · Web...

Kalkulus 3 Teknik Informatika (Ari 1

SATUAN ACARA PENGAJARAN (SAP)

Pokok Bahasan Materi

Sistem Bilangan Kompleks 1. Konsep bilangan kompleks

2. Aturan bilangan kompleks

3. Operasi bilangan kompleks

Notasi Sigma 1. Aturan barisan bilangan notasi sigma

Barisan dan Deret Aritmatika 1. Aturan barisan aritmatika

2. Aturan deret aritmatika

Barisan dan Deret Geometri 1. Aturan barisan geometri

2. Aturan deret geometri

Persamaan Diferensial 1. Penyelesaian persamaan diferensial yang

dapat dipisahkan

2. Penyelesaikan persamaan diferensial

Eksak

3. Penyelesaian persamaan diferensial Linier

4. Persamaan diferensial Homogen

Referensi :

BAB I


BILANGAN KOMPLEKS

1. Pengertian dan Bentuk Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks adalah gabungan dari bilangan riil dan bilangan imajiner.

Bilangan imajener adalah akar kuadrat dari suatu bilangan negatif. Contoh √−1=i,

jika kita akan menghitung √−4=√4×−1=√4 ×√−1=2 i

Bentuk penulisan bilangan kompleks ada 3 yaitu :

a. Bentuk Rectanguler

b. Bentuk Kutub

c. Bentuk Eksponensial

Untuk lebih jelasnya tentang masing- masing penulisan bilangan kompleks tersebut

dapat dilihat pada penjelasan gambar dibawah ini.

Bentuk Rectanguler : z=a+bi ,dengan a sebagai real nya dan b sebagai imajenernya

Bentuk Polar : z=r ¿atau

z=√a2+b2¿dengan θ=tan−1( ba )

Bentuk Eksponen : z=r ei θ

Bilangan kompleks pada masing-masing kuadran, sehingga jika ditulis kedalam

bentuk kutub pada masing-masing nilai θ yang berbeda pada setiap kuadran.

z=a+bi

r=√a2+b2

θ=tan−1( ba )

a=r cosθ

b=r sin θb

a


Contoh soal :

Ubahlah kedalam bentuk kutub dan eksponensial dari suatu bilangan kompleks

z=2+2 i z=-2+2i

Jawab: Diketahui nilai a=2 dan nilai b=2

Bentuk Kutub √22+22 = √4+4 = √8=2√2

Mecari nilai θ=tan−1( 22 )=tan−11=45 °

Karena nilai a nya positif dan nilai b nya posotif maka bentuk

bilangan kompleks tersebut berada di kuadran 1 sehingga

penulisan bentuk kutubnya adalah z=2√2¿

Bentuk

Eksponenz=r ei θ

sehingga penulisannya menjadi z=2√2 e45 ° i atau kita dapat

merubah sudutnya menjadi kedalam bentuk π dengan cara membaginya

dengan 1800 sehingga menjadi (450/1800)π sehingga menjadi 14

π. Jadi

penulisannya menjadi z=2√2e14 π i

Latihan soal

1) Ubahlah bentuk rectanguler berikut menjadi bentuk kutub dan eksponen

a. z=3+√3 i

b. z=−3+√3 i

c. z=−3−√3 i

d. z=3−√3i

e. z=3+4 i

f. z=−3+4 i

g. z=−3−4 i

h. z=3−4 i

Kuadran 1Kuadran 2

Kuadran 3 Kuadran 4

z=a+biz=−a+bi

z=−a−bi z=a−bi


2) Ubahlah bentuk kutub berikut menjadi bentuk rectanguler dan eksponen

a. z=2√3¿)

b. z=2√3¿)

c. z=2√3(cos2100+i sin 2100)

d. z=2√3¿)

2. Operasi Aljabar Bilangan Kompleks Bentuk Rectanguler

Misalkan z1= x1+ iy1 dan z2=x2+iy2 .

a. Penjumlahan : z1+z2=(x1+x2)+ i ( y1+ y2)

b. Pengurangan : z1− z2=(x1−x2)+i ( y1− y2)

c. Perkalian :

z1 z2= (x1+iy1 ) (x2+iy2 )=(x1 x2− y1 y2 )+i ( x1 y2+x2 y1)

d. Pembagian :

z1

z2=z1 z2

−1=x1 x2+ y1 y2

x22+ y

22+ i

x2 y1−x1 y2

x22+ y

22, z2≠0

3. Operasi Aljabar Bilangan Kompleks Bentuk Kutub

Misalkan z1=r1 (cosθ1+i sin θ1 ) dan z2=r2 (cosθ2+i sin θ2)

dengan r1=|z1| , r2=|z2| , arg z1=θ1 , arg z2=θ2 .

a. Perkalian

z1 z2=r 1 r2 cos (θ1+θ2)=|z1 z2| cos (θ1+θ2)

arg z1 z2=arg z1+arg z2

b. Pembagian (z2≠0 )

z1

z2=

r1

r2cos (θ1−θ2 )=|

z1

z2| cos (θ1−θ2 )

.


arg

z1

z2=arg z1−arg z2

.

c. Invers sebarang bilangan kompleks z=r ei θyaitu

z−1=1

z=1

rcos (−θ )

.

arg 1

z=−arg z

.

4. Operasi Aljabar Bilangan Kompleks Bentuk Eksponen

Misalkan z1=r1 ei θ1

dan z2=r2 ei θ2

.

a. Perkalian

z1 z2=r 1 r2 ei θ1 e

i θ2=r1 r2 ei (θ1+θ2)

b. Pembagian

z1

z2=

r1

r2e

i (θ1−θ

2)

c. Invers sebarang bilangan kompleks z=r ei θyaitu

z−1=1

z=1

re−i θ

Contoh Soal

1. Diketahui z1=2+5 i dan z2=3+4 i Tentukanlah :

a. z1+ z2

b. z1−z2

c. z1× z2

d. z1: z2

2. Diketahui z1=2(cos 30°+i sin 30° ) dan z2=3(cos60 °+i sin 60 °) Tentukanlah :

a. z1+ z2

b. z1−z2

c. z1× z2

d. z1: z2

3. Diketahui z1=4 e i30 °an z2=5 e i 60° Tentukanlah :

a. z1+ z2

b. z1−z2


c. z1× z2

d. z1: z2

BAB II

NOTASI SIGMA

Secara umum, pengertian notasi sigma adalah sebagai berikut.

Dibaca “jumlah ak untuk k sama dengan 1 sampai n atau jumlah ak untuk k =1 sampai dengan k = n”

Berikut ini sifat – sifat notasi sigma yang perlu diperhatikan.

1. ∑k =1

n

1=n 6. ∑i=1

n

C=n.C

2. ∑k=a

b

C . f (k)=C∑k=a

b

f (k ) 7. ∑i=1

n

i=n (n+1)2

3. ∑k=a

b

( f (k ) ± g (k ))=∑k=a

b

f (k ) ±∑k=a

b

g (k ) 8. ∑i=1

n

i2=n (n+1 )(2n+1)6

4. ∑k=1

m−1

f (k )+∑k=m

n

f (k )=∑k=1

n

f (k ) 9. ∑i=1

n

i3=( n (n+1 )2 )

2

5. ∑k=m

n

f (k)= ∑k=m+p

n+p

f (k−p)

Contoh soal

1. Nyatakan dalam bentuk penjumlahan ∑k=1

5

k (k+1)

Jawab:Cara 1

∑k=1

5

k (k+1) = 1(1 + 1) + 2(2 + 1) + 3(3 + 1) + 4(4 + 1) + 5(5 + 1)

= 1 2 + 2 3 + 3 4 + 4 5 + 5 6 = 2 + 6 + 12 + 20 + 30 = 70

Cara 2

∑k=1

5

k (k+1)=∑k=1

5

(k2+k )=

∑k=1

5

k 2+∑k=1

5

k

∑k =1

5

k2=¿5 (5+1 )(2.5+1)

6=

5 (6 )(11)6

=55¿

∑k =1

5

k=¿ 5(5+1)2

=5 (6)2

=15¿

∑k=1

n

ak=a1+a2+a3+. . .+an−1+. ..+an


Jadi hasilnya adalah 55+15 = 70

2. Tulislah bentuk penjumlahan berikut dalam notasi sigma.a. 2 + 4 + 6 + 8 + 10

b. −1

2+ 2

3−3

4+ 4

5

c. ab5 + a2

b4 + a3

b3 + a4

b2

Jawab:a. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 2 ×1 + 2 ×2 + 2 ×3 + 2 ×4 + 2 ×5

= 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = ∑k=1

5

2 k

b. −1

2+ 2

3−3

4+ 4

5 = (–1) 1

1+1 + (–1) 22

2+1 + (–1) 33

3+1 + (–1) 44

4+1

= ∑k=1

4

(−1 )k . kk+1

c. ab5 + a2

b4 + a3

b3 + a4

b2 = a1

b6−1 + a2

b6−2 + a3

b6−3 + a4

b6−4 =

∑k=1

4

ak b6−k

Soal-soal

1. ∑k=7

13

k2 11. ∑i=1

54

(8i−7 )

2. ∑k=4

10 k−23

12. ∑k =1

5

( 2 k2−1 )

3. ∑k =3

8

2k+3 13. ∑k =1

5

(−1)k 2k

4.Buktikan bahwa

∑n=6

11

(2n−7 )=∑n=5

10

(2 n−9) 14. ∑n=1

4

(2n+1 )

5.Buktikan bahwa

∑p=1

6

( p+4 )2=96+8∑p=1

6

p+∑p=1

6

p 15. ∑k =1

4 k (k+1)2

6. ∑i=1

20

( i2−i−2 ) 16. ∑n=1

4

( n3−n2)

7. ∑i=1

30

i ( i+1 ) (i+2 ) 17. ∑i=1

6

(k−1 ) k

8. ∑i=1

100 (i+1 ) (i+2 )10

18. ∑k=1

4

(k2−4 k )


9. ∑i=4

8

(3 i−2 ) 19.

Buktikan bahwa

∑k=1

n

(2k−4 )2=4∑k=1

n

k2−16∑k=1

n

k+16 n

10. ∑

i=1

10

(2 i+4 ) 20. ∑k=0

4

(3−2k )

BAB III

BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

Barisan aritmatika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan suatu

bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih dan

dilambangkan dengan b, sedangkan suku yang pertama (U1) dilambangkan dengan a.

Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Un = a + (n – 1)b, dengan b = Un – Un – 1

Contoh Soal :

Diketahui barisan aritmetika 3, 8, 13, …

a. Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan tersebut!

b. Suku keberapakah yang nilainya 198 ?

Jawab :

a. Dari barisan aritmetika 3, 8, 13, … diperoleh suku pertama a = 3 dan beda b = 8 – 3 = 5.

Un = a + (n – 1)b

U10 = 3 + (10 – 1)5

= 3 + 9 x 5

= 3 + 45

= 48

Un = a + (n – 1)b

= 3 + (n – 1)5

= 3 + 5n – 5

= 5n – 2

b. Misalkan Un = 198, maka berlaku :

Un = 198

5n – 2 = 198

5n = 200

n = 40

Jadi 198 adalah suku ke- 40


Deret aritmetika disebut juga deret hitung. Apabila suku-suku di dalam barisan aritmetika

dijumlahkan, maka didapat deret aritmetika. Jadi, bentuk baku deret aritmetika adalah a + (a + b) +

(a + 2b) + (a + 3b) + ... + (a + (n – 1)b). Jika jumlah n suku deret aritmetika dinyatakan dengan Sn.

Maka didapat rumus :

karena Un = a + (n – 1)b maka Sn didapat rumus Sn :

Contoh soal :

Hitunglah jumlah 20 suku pertama dari deret arimetika 3 + 5 + 7 + …..

Jawab :

A = 3, b = 5 – 3 = 2, dan n = 20, maka :

S20 = 10( 6 + 19.2)

= 10 ( 6 + 38)

= 10 ( 44 }

= 440

Soal-soal

1. Tentukan beda pada setiap barisan aritmetika berikut.

a. 2, 7, 12, 17,……

b. 71, 58, 45, 32,….

c. 1,- 3, -7, -11,….

d. -10, -7, -4, -1,…

2. Tulislah lima suku pertama barisan aritmetika yang diketahui salah satu suku dan bedanya

berikut ini. suku ke- 1 = 3 dan beda 6

a. U1 = 9 dan b = -4

b. U6 = 7 dan b = 4

c. U1 = 5 dan U7 = 41

d. U19 = 91 dan U91 = 19

3. Suatu barisan aritmetika diketahui U5 = 14, U8 + U11 = 55, tentukan U20

4. Suku keberapakah dari barisan aritmetika 172, 166, 160, ……… yang merupakan

bilangan positif terkecil?

https://lh3.googleusercontent.com/-LfLyjAngHxk/TXb2azHJzoI/AAAAAAAAAFY/vBdn6Ul63WQ/s1600/CodeCogsEqn.png

https://lh4.googleusercontent.com/-0kLzxkuapes/TXb4KDqBgjI/AAAAAAAAAFc/G3e9XI75Lx0/s1600/sn2.png

https://lh3.googleusercontent.com/-LfLyjAngHxk/TXb2azHJzoI/AAAAAAAAAFY/vBdn6Ul63WQ/s1600/CodeCogsEqn.png


5. Tentukan nilai x jika ketiga suku barisan berikut adalah barisan aritmetika:

a. 2x – 1, 5x – 3, 4x + 3

b. x – 3, x + 3, 3x

c. 3x2 + x + 1, 2x2 + x, 4x2 – 6x + 1

d. 2x2 + 1, x2, 3x2 – 7x – 1

6. Diantara tiap dua suku yang berurutan dari barisan aritmetika dibawah ini disisipkan 6 buah

bilangan sehingga diperoleh barisan aritmetika baru, tentukan beda dan banyaknya suku pad

barisan aritmetika tersebut!

a. 1, 50, 99, 148.

b. 3, 8, 13, ……, 58

c. 19, 12, 5, ……, 48

d. 3, 6, 9, ……, 36

7. Suku pertama dan suku kelima sebuah deret aritmetika adalah 5 dan 11. Hitunglah jumlah

20 suku pertama deret tersebut!

8. Carilah nilai x jika diketahui jumlah suku-suku deret sebagai berikut:

a. 5 + 7 + 9 + …… + x = 192

b. 4 + 11 + 18 + …… + x = 280

c. 100 + 96 + 92 + …… + x = 0

9. Seorang karyawan suatu perusahaan setiap tahun menerima tambahan gaji yang besarnya

tetap. Pada tahun ke-3 ia menerima gaji Rp. 900.000,00 tiap bulan dan pada tahun ke-5

menerima gaji Rp. 1000.000,00 tiap bulan. Tentukan :

a. Besarnya gaji yang diterima pada tahun ke-10

b. Jumlah gaji yang telah diterima selama 10 tahun

10. Dalam suatu gedung pertemuan , kursi disusun dalam beberapa baris . Baris pertama

terdiri 10 kursi , baris berikutnya bertambah 5 kursi dibandingkan dengan baris

sebelumnya. Jika pada baris terakhir terdiri 110 kursi, maka tentukan :

a. Banyaknya baris kursi dalam gedung tersebut

b. Banyaknya kursi dalam gedung tersebut

11. Berapakah hasil penjunlahan 4+7+10+...+901=...

12. Hitunglah bilangan asli antara 10-100 yang habis dibagi 6 ?

13. Diketahui dere aritmatika 1+6+11+16+....

a. Bentuk notasi sigma jumlah n

b. Rumus jika n suku pertama

c. Jumlah 25 suku pertamanya


14. Diketahui barisan aritmetika dengan Un adalah suku ke–n. Jika U2 + U15 + U40 = 165,

maka U19

15. Seorang penjual daging pada bulan januari dapat menjual 120 kg, bulan Februari 130 kg,

Maret dan seterusnya selama 10 bulan selalu bertambah 10 kg dari bulan sebelumnya.

Jumlah daging yang terjual selama 10 bulan adalah ….

BAB IV

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Barisan geometri atau sering diistilahkan “barisan ukur” adalah barisan yang memenuhi sifat

hasil bagi sebuah suku dengan suku sebelumnya yang berurutan adalah bernilai konstan.

Misal barisan geometri tersebut adalah a,b, dan c maka c/b = b/a = konstan. Hasil bagi suku

yang berdekatan tersebut disebut dengan rasio barisan geometri (r).

Misalkan sobat punya sebuah deret geometri U1, U2, U3, …, Un-1, Un Maka U2/U1 =

U3/U2=U4/U3 = … Un/Un-1 = r (konstan) lalu bagaimana menetukan suku ke-n dari sebuah

barisan geometri? coba ambil contoh U3/U2 = r maka U3 = U2. r = a.r.r = ar2

U4/U3 = r maka U4 = U3. r = a.r2.r = ar3 sejalan dengan Un/Un-1 = r maka Un = Un-1. r = arn-2.r =

arn-2+1 = arn-1 jadi dari penjelasan di atas sobat bisa menyimpulkan

Rumus Suku ke-n dari barisan geometri dirumuskanUn = arn-1 dengan a = suku awal dan r =

rasio barisan geomteri

Contoh soal 1

Tentukan suku ke 10 dari barisan 1/8, 1/4, 1/2, ….

jawab :

kalau ditanya suku ke lima atau suku yang masih ke-sekian yang masih kecil mungkin sobat

bisa meneruskan barisan geometri tersebut tapi kalau ditanyakan suku ke-10, ke-50, atau ke-

100 akan sangat merepotkan dan mau tidak mau harus pakai rumus di atas.

r = 1/4 : 1/8 = 1/4 x 8 = 2 –> rasio

a = 1/8

Un = arn-1 = 1/8 2(10-1) = 1/8 . 29 = 2-3.29 = 26 = 64

Contoh soal 2


Sebuah amoeba dapat membelah diri menjadi 2 setiap 6 menit. Pertanyaannya, berapakah

jumlah amoeba setelah satu jam jika pada awalnya terdapat 2 amoeba?

a = 2

r = 2

n = 1 jam/ 6 menit = 10

Un = arn-1

U10 = 2.210-1 = 210 = 1024 buah amoeba.

Deret geometri didefinisikan sebagai jumlah n buah suku pertama dari barisan geometri.

Nilai dari n suku pertama dari sebuah barisan geometri dapat ditentukan dengan

Sn = a + ar + ar2 + ar3 +… + arn-2 + arn-1

r Sn = ar + ar2 + ar3 +… + arn-2 + arn-1 + arn (keduanya kita kurangkan)

———————————————————————————

Sn – rSn = a – arn

Sn (1-r) = a (1-rn)

Sn=a (rn−1)

r−1jika r>1

Sn=a (1−r n)

1−rjika r<1

dengan a = suku pertama dan r = rasio barisan geometri

Contoh Soal

Tentukan jumlah 6 suku pertama dari barisan 1,3,9,…

Jawab

a = 1

r = 3 dan n = 6

Sn = a (1-rn)/ (1-r) = 1 (1-36) / (1-3) = 1 (1-729) / -2 = -728/-2 = 364

Soal-soal

1. Tiga bilangan berentuk barisan geometri yang hasil kalinya adalah 1000. Jika

dijumlahkan 3 bilangan tersebut hasilnya adalah 35. Tentukan ketiga bilangan tersebut?

2. Sebuah daerah pada tahun 2008 memiliki jumlah penduduk 24 orang. Tiap tahunnya

jumlah penduduk bertambah dua kali lipatnya. Maka, jumlah penduduk pada tahun 2012

adalah...


3. Diketahui sebuah barisan geometri -192, 96, -48, 24, ... . Tentukan nilai suku ke delapan

dari barisan tersebut?

4. Pada sebuah deret geometri, rumus jumlah suku ke-n nya adalah Sn = 2n² + 4n. Tentukan

nilai suku ke-9 dari deret tersebut?

5. Diketahui sebuah barisan geometri 4p, 2q, r, ... . Maka nilai dari q² - pr adalah...

6. Diketahui sebuah barisan geometri a, b, c, .... Jika diketahui a x b x c = 1728 dan a + b + c

= 36, maka nilai a, b dan c adalah...

7. Jika Un suku ke-n dari sutu deret geometri dengan U1 = x1/3 dan U2 = x1/2, maka suku ke

lima dari deret tersebut adalah

8. Suku pertama dan suku kedua suatu deret geometri berturut-turut adalah a-4 dan ax. Jika

suku kedelapan adalah a52, maka berapa nilai x?

9. Suku ke-n suatu deret geometri adalah 4-n. Maka jumlah tak hingga deret tersebut sama

dengan?

10. Suku-suku suatu barisan geometri takhingga adalah positif, jumlah suku U1+U2 = 45dan

U3+U4 = 20, maka berapa jumlah suku-suku dalam barisan tersebut?

11. Jika jumlah takhingga deret a + a0 + a-1 + a-2 + a-3 + … adalah 4a, maka nilai a adalah?

12. Contoh soal deret geometri selanjutnya adalah : Coba sobat hitung amati gambar bujur

sangkar di bawah. Jika gambar tersebut diteruskan berapa total jumlah luasnya?

13. Sebuah tali dibagi menjadi 6 bagian yang panjangnya membentuk suatu barisan geometri.

Jika tali yang paling pendek adalah 3 cm dan yang paling panjang 96 cm maka panjang

tali semula adalah?

14. Sobat hitung berjalan lurus dengan kecepatan tetap 4 km/jam selama 1 jam pertama. Pada

jam kedua kecepatan dikurangi menjadi setengahnya, demikian seterusnya, setiap jam

kecepatan mejadi setengah dari kecepatan jam sebelumnya. Berapa km jarak terjauh yang

dapat sobat hitung capai?

15. Sobat hitung punya tiga buah bilangan. Tiga buah bilangan tersebut berurutan yang

berjumlah 12 dan merupakan suku-suku deret aritmatika. Jika bilangan yang ketiga

ditambah 2, maka diperoleh deret geometri. Hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah?

http://rumushitung.com/wp-content/uploads/2013/09/contoh-soal-deret-geometri.gif


BAB V

PERSAMAAN DIFERENSIAL YANG DAPAT DIPISAHKAN

PD yang dapat dipisahkan ini cara mengerjakannya adalah dengan persamaan fungsi y

dengan dy dan persamaan fungsi x dengan dx lalu dibuat sama dengan nol atau dapat ditulis :

f ( y ) dy+g ( x ) dx=0

Apabila telah dikelompokan tersebut maka dapat dilakukan integrasi dengan

mengintegealkan semua komponennya yaitu :

∫ f ( y ) dy+∫ g ( x ) dx=∫0 sehingga∫ f ( y ) dy+∫ g ( x )dx=C

Contoh :

1. dydx

=ex− y

Jawab :

dydx

=ex− y

dydx

= ex

ey

e y dy=ex dx

e y dy−ex dx=0

Lalu diintegralkan

∫ ey dy−∫ ex dx=∫ 0

e y−ex=C

2. dydx

= 1xy

Jawab :

xy dy=dx

y dy=dxx

y dy−1x

dx=0

Lalu diintegralkan

∫ y dy−∫ 1x

dx=∫ 0

12

y2−ln x=C

12

y2=ln x+C

y2=2¿


y=√2¿¿

Soal-soal :

1. dydx

= y−1x

5. dydx

=(1+x )(1+ y)

2. dydx

= y2+x y2

x2 y−x2

6. dydx

=3 x2−6 x+5

3.xy dy

dx= x2+1

y+17. (1+x2 ) dy

dx−xy=0

4. y tan x dydx

=( 4+ y2 ) sec2 x 8. x2 dydx

+ y2=0


BAB VI

PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK

M (x , y ) dx+N ( x , y ) dy=0

Dikatakan eksak jika fungsi Q(x , y) sedemikian sehingga dQdx

=M ( x , y )dan dQdy

=N ( x , y ) .

Dengan mengingat diferensial total dari fungsi Q ( x , y ), maka disimpulkan bahwa persamaan

M (x , y ) dx+N ( x , y ) dy=0 adalah eksak jika dan hanya jika

dMdy

=dNdx

Langkah-langkah untuk menyelesaikan Persamaan Diferensial Eksak adalah sebagai berikut:

Langkah 1 Tulis PD dalam bentuk M (x , y ) dx+N ( x , y ) dy=0

Langkah 2 Uji ke Eksakan PD

dMdy

=dNdx

(Turunkan fungsi M(x,y) terhadap y dan Turunkan fungsi N(x,y) terhadap x

lalu dilihat hasilnya sama atau tidak jika sama maka dia dikatakan eksak

dan jika tidak sama maka dia tidak eksak)

Langkah 3 Jika Eksak, integralkan M(x,y) terhadap x atau N(x,y) terhadap y (pilih

salah satu) Misal kita pilih adalah M, maka:

Q ( x , y )=∫M ( x , y ) dx+g ( y )

Langkah 4 Turunkan fungsi Q terhadap y dan samakan hasilnya dengan N(x,y)

N ( x , y )=dQdy

ataumenjadi

N ( x , y )= ddy (∫M ( x , y )dx )+g ' ( y)

Langkah 5 Integralkan g' ( y ) untuk memperoleh g( y )

Langkah 6 Tuliskan C jika diberikan kondisi awal tertentu

Contoh soal


dydx

=−(x−2 y )y2−2x

dengan y (0 )=3

Langkah 1 ( y2−2 x ) dy=−( x−2 y ) dx

( y2−2 x ) dy+( x−2 y ) dx=0

( x−2 y ) dx+ ( y2−2 x ) dy=0

Langkah 2 Uji Ke Eksakan

M (x , y )=(x−2 y)

N ( x , y )=( y2−2x )

Turunkan M (x , y )terhadap y dan Turunlan N (x , y)terhadap x. Sehingga

diperoleh hasil

dMdy

=−2

dNdx

=−2

Langkah 3 Misalkan dipili M(x,y) untuk di integralkan

Q ( x , y )=∫M ( x , y ) dx+g ( y )

Q ( x , y )=∫ ( x−2 y ) dx+g ( y )

Q ( x , y )=12

x2−2 xy+g ( y )

Langkah 4 Turunankan Q(x , y) terhadap y dan disamakan dengan N (x , y)

N ( x , y )= ddy (∫M ( x , y )dx )+g ' ( y)

y2−2 x= ddy ( 1

2x2−2 xy )+g ' ( y )

y2−2 x=0−2x+g' ( y )

g' ( y )= y2−2 x+2 x

g' ( y )= y2

Langkah 5 Integralkan g' ( y ) untuk memperolej g ( y )

g ( y )=∫ g' ( y )dy

g ( y )=∫ y2 dy

g ( y )=13

y3

Langkah 6 Penyelesaian umum dalam bentuk Q ( x , y )=C

Karena hasilnya sama maka dikatakan Eksak


12

x2−2 xy+g ( y )=C

12

x2−2 xy+ 13

y3=C

Langkah 7 Dengan kondisi awal y (0 )=3 diperoleh C=9 dari

12

x2−2 xy+ 13

y3=C

12

02−2 (o )(3)+ 13(3)3=C

C=9

Langlah 8 Sehinga bentuk penyelesaiann ya adalah:

12

x2−2 xy+ 13

y3=9

Soal-soal

1. ( x2+ y ) dx+ ( y3+x) dy=0

2. ( x+e− x sin y ) dx−¿

3.dydx

=−(x+2 y)y2+2 x

4. dydx

=−(3 x2+4 xy )

2 x2+2 ydengan y (0 )=3

5. (9 x¿¿2+ y−1)dx−(4 y−x ) dy=0¿

6.dydx

= cos yx sin y− y2

7. ( x e y−e2 y) dy−(e y+x ) dx=0

8. (e x sin y−2 y sin x ) dx+(e x cos y+2cos x ) dy=0

9. ( x2−2 xy ) dy−( y2−2xy+1 ) dx=0


BAB VII

PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER

Bentuk umum: a1 ( x ) dydx

+a2 ( x ) y=b(x )

dydx

+a2 ( x )a1 ( x )

y=b(x )a1 ( x )

misalkana2 ( x )a1 ( x )

=P (x ) danb(x)a1 (x )

=Q(x )

Sehingga dydx

+P ( x ) y=Q(x)

Langkah-langkah penyelesaian nya adalah sebagai berikut :

Langkah 1 Buat persamaan diferensial kedalam bentuk umum

dydx

+P ( x ) y=Q(x)

Langkah 2 Tentukan μ ( x )=e∫ P ( x ) dx

Langkah 3 Kalikan Q(x ) dengan μ(x ) dan diintegralkan

∫Q ( x ) . μ ( x )dx

Langkah 4 Tentukan penyelesaian umum

μ ( x ) y=∫Q ( x ) . μ ( x ) dx

y=∫Q ( x ) . μ (x ) dxμ (x )

Contoh soal

Contoh 1

x2 dydx

+ xy=2

Langkah 1 a1 ( x )=x2 dan a2 ( x )=x serta b ( x )=2sehingga didapat

P ( x )=1x

danQ ( x )= 2x2

Sehingga bentuk persamaan nya menjadi :


dydx

+ 1x

y= 2x2


μ ( x )=e∫ 1

x dx

μ ( x )=eln x

μ ( x )=x


∫Q ( x ) . μ ( x )dx

∫ 2x2 xdx

2∫ 1x

dx

2 ln x+C


y=∫Q ( x ) . μ (x ) dxμ (x )

y=2 ln x+Cx

Contoh 2

cos x dydx

+ y sin x=1

Langkah 1 a1 ( x )=cos x dan a2 ( x )=sin x serta b ( x )=1sehingga didapat

P ( x )= sin xcos x

=tan x , dan Q ( x )= 1cos x

=sec x

Sehingga bentuk persamaan nya menjadi :

dydx

+ y tan x=sec x


μ ( x )=e∫ tan x dx

μ ( x )=eln sec x

μ ( x )=sec x



∫Q ( x ) . μ ( x )dx

∫ sec x sec x dx

∫ sec2 x dx

tan x+C


y=∫Q ( x ) . μ (x ) dxμ (x )

y= tan x+Csec x

y=

sin xcos x

+C

1cos x

y=( sin xcos x

+C)cos x

y=sin x+C cos x

Soal-soal

1. ( x+2 y3 ) dydx

= y

2. x dydx

+ y=e x

3.dydx

+¿

4. x2dy+xy dy=(x−1)2dx

5. 2 dydx

− y=xex2

6. x dydx

− y=2x ln x

7.dydx

=2 yx

+ x3 ex−1


BAB VIII

PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN

dydx

=f ( x , y )=f ( yx )

Cara termudah untuk menyelesaikan Persamaan Diferensial Homogen dengan

mendefinisikan variabel baru yaitu z=yx atau y=zx . Dan Persamaan Diferensial menjadi

x dzdx

+ z=f (z)

Dimana ruas kiri Persamaan Diferensial ini diperoleh dengan menerapkan aturan rantai

y=zx : dydx

=dydz

dzdx

+ dydx

sehingga x dzdx

+z

Dalan bentuk ini kita selallu akan memisahkan variabel-variabelnya

dxx

= dzf (z )−z

Yang dengan mudah kita dapat menyelesaikan persamaan diferensial ditas dengan

mengintegralkan kedua ruas.

Contoh Soal

Contoh 1 Contoh 2 Contoh 3

dydx

= y2+2 xyx2

Jawab

dydx

= y2

x2 +2 xyx2

dydx

=( yx )

2

+ 2 yx

misalkan z=yx Sehingga

dydx

= x+ yx

Jawab

dydx

= xx+ y

x


menjadi

dydx

= x+3 y2 x

Jawab

dydx

= x2 x

+ 3 y2 x

dydx

=12+ 3 y

2 x



menjadi

x dzdx

+ z=z2+2 z

x dzdx

=z2+2 z−z

x dzdx

=z2+ z

x dz=(z¿¿2+z )dx ¿

dzz( z+1)

=dxx

Lalu kedua ruas di

integralkan

∫ 1z ( z+1 )

dz=∫ 1x

dx

………………=ln x+C

x dzdx

+ z=1+z

x dzdx

=1+z−z

x dzdx

=1

dz=1x

dx

Lalu kedua ruas

diintegralkan

∫1 dz=∫ 1x

dx

z=ln x+C

Kembali lagi z=yx

yx=ln x+C

y=x ln x+C

menjadi

x dzdx

+ z=12+ 3

2z

x dzdx

=12+ 3

2z−z

x dzdx

=12+ 1

2z

x dzdx

=12

(1+z )

2 xdz= (1+z ) dx

2(1+z )

dz=1x

dx

Lalu kedua ruas diintegralkan

∫ 2(1+z )

dz=∫ 1x

dx

2∫ 1(1+z )

dz=¿∫ 1x

dx ¿

2 ln (1+ z )=ln x+C

2 ln(1+ yx )= ln x+C

(1+ yx )

2

=x+C

(1+ yx )(1+ y

x )=x+C

1+2( yx )+ y2

x2 =x+C

Lalu semua ruas dikalikan x2

x2+2 xy+ y2=x3+C

x2+2 xy+ y2−x3=C

Soal-Soal

1. dydx

= x2+xy+ y2

x2 5. dydx

=3 y2−x2

2 xy 9. dydx

= x2−3 y2

2 xy


2.dydx

=4 y−3 x2 x− y 6. dy

dx= x2+3 y2

2 xy

3.dydx

= x+3 yx− y 7.

dydx

=−4 x+3 y2 x+ y

4. dydx

=4 x2 y− y3

x3−2 x y2 8.dydx

= 2 xyx2−3 y2

TUGAS 1

1. Ubahlah kedalam bentuk polar dan eksponensial dari bilangan kompleks Z = 3 – 6i

2. Hitunglah perkalian dan pembagian dari Z1 dengan Z2 Jika Z1 = 5 + 4i dan Z2 = 3 – 6i

3. Ubahlah kedalam bentuk polar dan eksponensial dari bilangan kompleks Z = 5 + 4i

4. Hitunglah perkalian dan pembagian dari Z1 dengan Z2 Jika Z1 = 3 – 6i dan Z2 = 5 + 4i

5. Diketahui deret aritmatika 1 + 6 + 11 + 16 + .... + 121. Tentukanlah rumus jumlah

suku ke n nya dan jumlah 25 suku pertamanya ?

TUGAS 2

1. Diketahui deret geometri 2 + 4 + 8 + 16 + .... + 2n = 510. Tentukanlah nilai n nya dan

jumlah 50 suku pertamanya ?

2. Buktikan bahwa ∑k=7

13

k2=∑k=1

7

k2+12∑k=1

7

k+252

3. Buktikan bahwa ∑k =5

10

(2k−7)2=4∑k =1

6

k2+4∑k=1

6

k+6

4. Hitunglah bilangan asli anatar 10 sampai 100 yang habis dibagi 6, dan menjadi deret

aritmatika. Tentukanlah :

a. Lima suku pertama deret aritmatika tersebut

b. Ada berapa suku deret tersebut

c. Jumlah 15 suku pertamanaya

5. Tiga bilangan berbentuk barisan geometri yang hasil kalinya 1.000. Jika jumlah tiga

bilangan tersebut adalah 35. Tentukanlah ketiga bilangan tersebut ?

TUGAS 3

1. Ubahlah kedalam bentuk polar dan eksponensial dari bilangan kompleks Z = 3 – 6i

2. Hitunglah perkalian dan pembagian dari Z1 dengan Z2 Jika Z1 = 8 + 2 i dan Z2 = 6 - 5 i


3. Ubahlah bentuk z = e4 + 1

3 π i menjadi bentuk z = a + bi (gunakan rumus

Euler)

4. Tentukan nilai dari

a. ∑−2

4

(−2 i+3)

b. ∑1

30

(2 i2+i−8)



TUGAS 4

1. Diketahui deret geometri 4, -8, 16, -32,...Tentukanlah jumlah 10 suku pertamanya ?

2. Cari ∂ zx dan

∂ zy dari

a. xz+2 x y2− yz=8

b.f(x,y) = 4x3y5 + 2x2y3 + 3x3 + 5y4

3. Ubahlah kedalam bentuk polar dari bilangan kompleks z = -15 + 8i

4. Hitunglah perkalian dan pembagian dari Z1 dengan Z2 Jika Z1 = -2 -3 i dan Z2 = 4 - 6 i

5. Ubahlah bentuk Z=e−2+3 /2 πi menjadi bentuk z = a + bi (gunakan rumus Euler)

TUGAS 5

1. Tentukan nilai dari

a.

b.



3. Diketahui deret geometri 4, -8, 16, -32,...Tentukanlah jumlah 10 suku pertamanya ?

4. Cari ∂ zx dan

∂ zy dari

a. 4x3y2 – 2z2y3 + 3x3 -3z4

b. f(x,y) = 4x3y2 - 2x2y3 + 3x3 -3y4


5. Nyatakan setiap bilangan kompleks berikut dalam bentuk polar 3√3−3 i

TUGAS 6

1. Hitunglah perkalian dan pembagian dari Z1 dengan Z2 Jika Z1 = 3 – 6i dan Z2= 5 + 4i

2. Ubahlah bentuk Z=e7/4 πi menjadi bentuk z = a + bi (gunakan rumus Euler)

3. Tentukn jumlah sigma berikut

a.

b.

4. Tentukan nilai U12, S40 dari barisan berikut

a. 4, -8, 16, -32,...

b. 40 ,20 , 10 ,5 , …

5. Cari ∂ zx dan

∂ zy dari

a. xz+2 x y2− yz=8b. f(x,y) = 4x3y5 + 2x2y3 + 3x3 + 5y4

TUGAS 7

1. Selesaikanlah Persamaan Diferensial yang dapat dipisahkan berikut ini !

a.dydx

=(1+x )(1+ y)

b. 9 y dydx

+4 x=0

2. Selesaikanlah Persamaan Diferensial Homogen berikut ini !

a.dydx

= x+3 y2 x

b. dydx

=3 y2−x2

2 xy

3. Selesaikanlah Persamaan Diferensial Linier berikut ini !

a. dydx

+2 xy=x

b.dydx

+3 x2 y=x2

4. Selesaikanlah Persamaan Diferensial Eksak berikut ini !

a. dydx

=3 x2+4 xy2 x2+2 y

dengan y (0)=3


b. (9 x2+ y−1 ) dx− (4 y−x ) dy=0

5. Buktikanlah persamaan di bawah merupakan Persamaan defferensial eksak dan

tentukan solusinya!

a. (2 x3+3 y ) dx+ (3 x+ y−1 ) dy=0

b. (3 x2+4 xy ) dx+(2 x2+2 y+10 ) dy=0 dengan y(0) = 3

TUGAS 8

1. Buktikanlah persamaan di bawah merupakan Persamaan defferensial Linier dan

tentukan solusinya!

a. x3 y ' +x2 y=5x2+1 denganf (1 )=5

b. y '+3 x2 y=x2

2. Buktikanlah persamaan di bawah merupakan Persamaan defferensial homogen dan

tentukan solusinya!

dydx

=4 x2 y− y3

x3−2x y2


dydx

=(1+x )(1+ y)


9 y dydx

+4 x=0

5. Selesaikanlah Persamaan Diferensial Homogen berikut ini !

dydx

=3 y2−x2

2 xy

TUGAS 9

1. Selesaikanlah Persamaan Diferensial Linier berikut ini !

a. dydx

+2 xy=x

b. y '− yx=3 x3 dengan f (1 )=3

2. Selesaikanlah Persamaan Diferensial Eksak berikut ini !

a. (6 x− y2 ) dx+(−2 xy−3 y2 ) dy=0

b. (9 x2+ y−1 ) dx− (4 y−x ) dy=0


3. Buktikanlah persamaan di bawah merupakan Persamaan defferensial eksak dan

tentukan solusinya!

a. ( y2+6 x2 y ) dx+(2 xy+2x2 ) dy=0

b. ( 4 x3 y3−2 y ) dx+(3 x4 y2−2 x+10 ) dy=0

4. Buktikanlah persamaan di bawah merupakan Persamaan defferensial Linier dan

tentukan solusinya!

y '+2 xy=2x+e− x2

dengan f (0 )=2

5. Buktikanlah persamaan di bawah merupakan Persamaan defferensial homogen dan

tentukan solusinya!

dydx

=3 y2−x2

2 xy


a.dydx

=(1+x )(1+ y)

b. 9 y dydx

+4 x=0

informatikaunindra.orginformatikaunindra.org/file/KALKULUS 3/Diktat/KALKULUS 3... · Web...

Documents

Transcript of informatikaunindra.orginformatikaunindra.org/file/KALKULUS 3/Diktat/KALKULUS 3... · Web...