aritmatika biner

MATERI KEGIATAN PEMBELAJARAN 4

ARITMATIKA BINER4.1. Tanda Bilangan

4.1.1. Menyatakan Tanda Bilangan Biner

Pada kegiatan pembelajaran sebelumnya kita hanya mengenal

bilangan biner positip atau bilangan biner tak bertanda. Sebagai contoh

bilangan biner 8-bit dapat mempunyai nilai antara 0000 00002 = 010 dan

1111 11112 = 25510 yang semuanya bernilai positip. Untuk menyatakan

bilangan desimal negatip diberi tanda ‘-‘ yang diletakkan di sebelah kiri,

misalnya -25510. Dalam sistem bilangan biner, tanda bilangan negatip

disandikan dengan cara tertentu yang mudah dikenal oleh sistem digital.

Bilangan negatip pada bilangan biner, dinyatakan dengan bit yang dikenal

dengan bit tanda bilangan (sign bit) diletakkan di sebelah kiri MSB. Bit

tanda bilangan positip diberi tanda 0, dan tanda bilangan negatip diberi

tanda 1. Tabel 4.1. menyatakan bilangan biner bertanda yang terdiri dari 8-

bit, bit yang paling kiri menunjukkan tanda bilangan dan bit-bit berikutnya

menyatakan besarnya bilangan.

Tabel 4.1.

Nomor Bit

7 6

26

(64)

5

25

(32)

4

24

(16)

3

23

(8)

2

22

(4)

1

21

(2)

0

20

(1)

Tanda Bit Bobot nilai besarnya bilangan

Contoh

0110 0111 = +(64+32+4+2+1) = +10310

1101 0101 = -(+64+16+4+1) = - 8510

of 16

1001 0001 = -(16 + 1) = -1710

0111 1111 = +(64+32+16+8+4+2+1) = +12710

1111 1111 = -(64+32+16+8+4+2+1) = - 12710

1000 0000 = -0 = 0

0000 0000 = +0 = 0

Dari contoh diatas dapat dilihat, karena besarnya bilangan hanya

tujuh bit maka bilangan terkecil dan terbesar yang ditunjukan bilangan

biner bertanda yang terdiri dari 8-bit adalah :[1]111 11112 = - 12710 dan

[0]111 11112 = + 12710 dengan bit dalam kurung menunjukkan bit tanda

bilangan.

Secara umum, bilangan biner tak bertanda yang terdiri dari n-bit

mempunyai nilai maksimum M = 2n – 1. Sementara itu, untuk bilangan

bertanda yang terdiri dari n-bit mempunyai nilai maksimum M = 2n-1 – 1.

Sehingga, untuk register 8-bit di dalam mikroprosesor yang menggunakan

sistem bilangan bertanda, nilai terbesar yang bisa disimpan dalam register

tersebut adalah :

M = 2(n-1) – 1

= 2(8-1) – 1

= 27 - 1

= 12810 – 1

= 12710

sehingga register 8-bit mikroprosesor mempunyai jangkauan – 12710

sampai +12710.

4.1.2. Menyatakan Tanda Bilangan Biner Negatip.

Ada tiga bentuk yang digunakan menyatakan besarnya bilangan biner

negatip yaitu: bentuk true-magnitude form atau bentuk besaran

sebenarnya, bentuk komplemen 1 dan bentuk komplemen 2.

of 16

4.1.2.1. Bentuk True-magnitude form.

Bentuk true-magnitude form ditunjukkan pada tabel 4.1. Bit paling kiri

selalu mempresentasikan sign bit (tanda bit) dan bit-bit berikutnya

menyatakan besarnya bilangan.

Contoh bentuk true-magnitude form:

101110012 menyatakan bilangan -57 dan 001110012 menyatakan bilangan

57.

4.1.2.2. Bentuk Komplemen 1.

Bentuk komplemen 1 dari setiap bilangan biner diperoleh dengan cara

mengubah setiap 0 pada bilangan biner tersebut menjadi 1 dan setiap 1

pada bilangan biner tersebut menjadi 0.

Contoh:

Komplemen1 dari 1 0 1 1 0 1 adalah 0 1 0 0 1 0, hasil ini diperoleh dengan

cara mengubah setiap 0 pada bilangan biner menjadi 1 dan setiap 1 pada

bilangan biner menjadi 0 sebagai berikut,

1 0 1 1 0 1 bilangan asli dalam bentuk true-magnitude form

0 1 0 0 1 0 hasil perubahan ke bentuk komplemen 1.

Dengan cara yang sama komplemen1 dari 011010 adalah 100101.

Untuk menyatakan bilangan biner negatip dalam bentuk komplemen1

sign bit tidak dikomplenkan, jadi sign bitnya tetap 1, yang dikomplenkan

hanya besaran bilangannya.

Contoh:

komplemen1 dari -5710 adalah:

Bilangan -5710 dinyatakan dalam bentuk true-magnitude form= 1 0 1 1 1 0 0

1

of 16

Bilangan -5710 dinyatakan dalam bentuk komplemen 1 = 1 1 0 0 0 1 1

0

Sign bit tetap

Dengan cara yang sama komplemen1 dari -1410 adalah


0


1

Sign bit tetap

4.1.2.3. Bentuk Komplemen 2.

Bentuk komplemen 2 dari setiap bilangan biner diperoleh dari bentuk

komplemen 1 dan menambah 1 pada posisi LSB nya.

Contoh:


1


0

+ 1

Bilangan -5710 dinyatakan dalam bentuk komplemen 2 = 1 1 0 0 0 1

1 1

Sign bit tetap

4.2. Penjumlahan Biner

Penjumlahan bilangan biner serupa dengan penjumlahan pada

bilangan desimal. Dua bilangan yang akan dijumlahkan disusun secara

vertikal, digit-digit yang mempunyai signifikansi (bobot) sama ditempatkan

of 16

pada kolom yang sama. Digit-digit ini kemudian dijumlahkan dan jika

jumlahnya lebih besar dari bilangan basisnya (10 untuk desimal, dan 2

untuk biner), maka ada bilangan yang disimpan. Bilangan yang disimpan ini

kemudian dijumlahkan dengan digit di sebelah kirinya, dan demikian

seterusnya. Dalam penjumlahan bilangan biner, penyimpanan akan terjadi

jika jumlah dari dua digit yang dijumlahkan adalah 2 atau lebih.

4.2.1. Penjumlahan Biner Pada Sistem True-magnitude form.

Penjumlahan biner pada sistem true-magnitude form mempunyai

aturan dasar untuk penjumlahan sebagai berikut,

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0, simpan 1 untuk ditambahkan pada posisi berikutnya

Tabel 4.2.a. dan tabel 4.2.b. menunjukkan perbandingan antara

penjumlahan pada sistem bilangan desimal dan sistem bilangan biner true-

magnitude form, tabel 4.2.a. contoh penjumlahan bilangan desimal 82310 +

23810 dan tabel 4.2.b. contoh penjumlahan bilangan biner true-magnitude

form 110012 + 110112.

Tabel 4.2.a. Penjumlahan sistem bilangan desimal.

103

(1000)

102

(100)

101

(10)

100

(1)

8

2

2

3

3

8

Jumlah 1 0 6 1

Simpan 1 0 1

Dari tabel 4.2.a. diperoleh hasil penjumlahan bilangan desimal 82310 + 23810

= 106110

of 16

Tabel 4.2.b. Penjumlahan sistem bilangan biner

Dari tabel 4.1.b.diperoleh hasil penjumlahan bilangan biner

110012+110112.= 1101002.

Langkah penjumlahan biner pada tabel 4.1.b. dapat dijelaskan sebagai

berikut:

Kolom satuan : 1 + 1 = 0, simpan 1

Kolom 2an : 0 + 1 + 1 (yang disimpan) = 0, simpan 1

Kolom 4an : 0 + 0 + 1 (yang disimpan) = 1

Kolom 8an : 1 + 1 = 0, simpan 1

Kolom 16an : 1 + 1 + 1 (yang disimpan) = 1, simpan 1

Kolom 32an : yang disimpan 1 = 1

Jika lebih dari dua buah digit biner dijumlahkan, ada kemungkinan yang

disimpan lebih besar dari 1. Sebagai contoh,

1 + 1 = 0, simpan 1

1 + 1 + 1 = 1, simpan 1

Contoh berikut menunjukkan penjumlahan dengan penyimpanan lebih besar

dari 1.

1 + 1 + 1 + 1 = (1 + 1) + (1 + 1)

= (0, simpan 1) + (0, simpan 1)

= 0, simpan 2;

1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + (1 + 1) + (1 + 1)

= 1, simpan 2

4.2.2. Perbedaan Penjumlahan OR dan Penjumlahan Aritmatik

of 16

25

(32)

24

(16)

23

(8)

22

(4)

21

(2)

20

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

Jumlah 1 1 0 1 0 0

Simpan 1 1 1 1

Penjumlahan OR merupakan operasi logika Boolean yang dilakukan

oleh OR gate, yang menghasilkan output 1 apabila salah satu input atau

semua inputnya 1. Adapun penjumlahan biner adalah suatu operasi aritmatik

yang menghasilkan suatu jumlah aritmatik dari dua buah bilangan biner.

Perbedaan penjumlahan OR dan penjumlahan Biner adalah sebagai berikut:

Penjumlahan OR Penjumlahan biner

1 + 1 = 1 1 + 1 = 0 + carry 1

1 + 1 + 1 = 1 1 + 1 + 1 = 1 + carry 1

4.2.3. Penjumlahan Biner Pada Sistem Komplemen 2.

Penjumlahan pada sitem komplemen 2 dan sistem komplemen 1

hampir sama, namun pada umumnya yang banyak dipakai adalah sistem

komplemen 2 karena mempunyai keuntungan pelaksanaan rangkaiannya

lebih mudah. Terdapat beberapa kasus pada penjumlahan biner bentuk

sistem komplemen 2

4.2.3.1. Untuk kasus I Penjumlahan dua bilangan posistip.

Contoh penjumlahan bilangan +9 dengan +4 dapat dilakukan sebagai

berikut:

+9 0 1 0 0 1 (yang ditambah)

+4 0 0 1 0 0 (yang menambah)

+

0 1 1 0 1 (jumlah = 13)

(sign bit)

Pada contoh kasus I sign bit dari yang ditambah dan yang menambah

keduanya 0 menujukkan keduanya bilangan positip, demikian juga yang

ditambah dan yang menambah jumlah kedua bitnya dibuat sama.

4.2.2.2. Untuk kasus II Penjumlahan bilangan posistip dan bilangan negatip

yang nilainya lebih kecil.

of 16

Contoh penjumlahan bilangan +9 dengan -4 dapat dilakukan sebagai

berikut, langkah pertama yang harus dilakukan pada kasus ini mengubah +4

(00100) dalam bentuk komplemen 2 menjadi -4 (11011+1)=(11100)


-4 1 1 1 0 0 (yang menambah)

+

Carry dibuang 1 0 0 1 0 1 (jumlah = +5)

Hasilnya 00101 = +5 (sign bit)

Pada contoh kasus II sign bit yang menambah adalah 1, sama dengan kasus

I sign bit juga ikut dalam proses penjumlahan dan pada contoh ini ternyata

pada proses terakhir diperoleh carry. Carry ini selalu diabaikan sehingga

diperoleh hasil akhir 00101 (+5).

4.2.2.3. Untuk kasus III Penjumlahan bilangan posistip dan bilangan negatip

yang nilainya lebih besar.






+

1 1 0 1 1 (jumlah = -5 dalam bentuk komplemen 2)

(sign bit)

Pada contoh kasus III menghasilkan sign bit 1, hal ini menunjukkan hasilnya

adalah bilangan negatip dengan empat bit yang lainnya (1011) yang masih

dalam bentuk komplemen 2, sehingga hasil akhirnya perlu diubah ke bentuk

komplemen 1 (1011-1) = (1010) dan ke bentuk true-magnitude form

of 16

=(0101) ekivalen dengan 5, karena hasil sign bitnya 1, maka diperoleh hasil

akhir (1 0101) ekivalen dengan (-5).

4.2.2.4. Untuk kasus IV Penjumlahan 2 bilangan negatip.

Contoh penjumlahan bilangan -4 dengan -9 dapat dilakukan sebagai


(01001) dalam bentuk komplemen 2 menjadi -9 (10110+1)=(10111) dan

mengubah +4(00100) dalam bentuk komplemen 2 menjadi -4

(11011+1)=(11100)

-9 1 0 1 1 1 (yang ditambah)


+

Carry dibuang 1 1 0 0 1 1 (jumlah = -13 dalam bentuk komplemen 2)

(sign bit)

Pada contoh kasus IV menghasilkan sign bit 1, hal ini menunjukkan hasilnya

adalah bilangan negatip dengan empat bit yang lainnya (0011) yang masih

dalam bentuk komplemen 2, sehingga hasil akhirnya perlu diubah ke bentuk

komplemen 1 (0011-1) = (0010) dan ke bentuk true-magnitude form

=(1101) ekivalen dengan 13, karena hasil sign bitnya 1, maka diperoleh hasil

akhir (1 1101) ekivalen dengan (-13).

4.2.2.5. Untuk kasus V Penjumlahan bilangan yang sama dengan tanda

berlawanan




+9 0 1 0 0 1 (yang ditambah) -9 1 0 1 1 1 (yang menambah) + 1 0 0 0 0 (jumlah = 0) (sign bit diabaikan)

of 16

Pada contoh kasus V proses menunjukkan hasil bilangannya = (0000)

ekivalen dengan (0).

4.3. Pengurangan Biner

Metode yang digunakan pada pengurangan biner sama dengan metode yang

digunakan untuk pengurangan pada bilangan desimal. Dalam pengurangan bilangan

biner jika, nilai yang dikurangi lebih kecil dari pengurangnya maka dibutuhkan pinjam 1

dari kolom di sebelah kirinya, yaitu kolom yang mempunyai derajat lebih tinggi.

4.3.1. Pengurangan Biner Pada Sistem True-magnitude form.

Aturan umum untuk pengurangan pada bilanagan biner sistem true-

magnitude form adalah sebagai berikut :

0 – 0 = 0

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

0 – 1 = 1, pinjam 1

Contoh : Kurangilah 11112 dengan 01012

Penyelesaian

Susunlah dua bilangan di atas ke dalam kolom sebagai berikut :

23

(8)22

(4)21

(2)20

(1)

10

11

10

11

Hasil 1 0 1 0 (tidak ada yang dipinjam)

Secara lebih rinci, dimulai dari LSB (20 = 1)

Kolom 20 1 – 1 = 0

Kolom 21 1 – 0 = 1

Kolom 22 1 – 0 = 0

of 16

Kolom 23 1 – 0 = 1

Sehingga, 11112 – 01012 = 10102

Contoh Kurangilah 11002 dengan 10102

Penyelesaian

23

(8)22

(4)21

(2)20

(1)Pinjam

11

10

(22)01

0 0

Hasil 0 0 1 0

Secara lebih terinci, dimulai dari LSB (20 = 1)

Kolom 20 0 – 0 = 0

Kolom 21 0 – 1 = 1

Dalam kasus ini kita harus meminjam 1 dari bit pada kolom 22. Karena datang dari

kolom 22, maka nilainya 2 kali nilai pada kolom 21. Sehingga, 1 (bernilai 22) – 1 (bernilai

21) = 1 (bernilai 21). Bila meminjam 1 dari kolom di sebelah kiri maka berlaku aturan

umum 1 – 1 = 1.

Kolom 22 0 – 0 = 0

Nilai 1 dari kolom 2 diubah menjadi nol karena sudah dipinjam seperti yang ditunjukkan

dengan anak panah.

Kolom 23 1 – 1 = 0

Sehingga, 11002 – 10102 = 00102

4.3.2. Pengurangan Biner Pada Sistem Komplemen 2.

Operasi pengurangan biner pada sistem komplemen 2 hampir sama

dengan operasi penjumlahan biner pada sistem komplemen 2. Untuk

melakukan proses pengurangan biner pada sistem komplemen 2 langkah

yang harus dilakukan adalah mempertahankan bilangan yang dikurangi ke

dalam bentuk aslinya dan mengubah bilangan pengurang menjadi bentuk

komplemen 2 termasuk sign bitnya (mengubah tanda + menjadi tanda –

atau sebaliknya), setelah pengurang diubah menjadi bentuk komplemen 2

of 16

langkah selanjutnya adalah menjumlahkan bilangan yang dikurangi dengan

bilangan pengurangnya hasil penjumlahannya adalah selisih yang dicari.

Contoh mengurangi bilangan +9 dengan bilangan +4 dapat dilakukan

sebagai berikut:

+ 9 0 1 0 0 1 (bilangan yang dikurangi)

- 4 1 1 1 0 0 (bilangan pengurang -4 dalam bentuk

komplemen 2)

+

Carry dibuang 1 0 0 1 0 1 (jumlah = +5)

(sign bit)

Pada kasus proses pengurangan setelah dijumlahkan ternyata diperoleh

hasil sgin bit 0 dan proses terakhir diperoleh carry. Carry ini selalu diabaikan

sehingga diperoleh hasil akhir 00101 (+5).

4.4. Perkalian Biner

Perkalian bilangan biner dapat dilakukan seperti perkalian pada bilangan

desimal. Perkalian pada bilangan biner mempunyai aturan sebagai berikut :

0 x 0 = 0

1 x 0 = 0

0 x 1 = 0

1 x 1 = 1

Sebagai contoh, untuk mengalikan 11102 = 1410 dengan 11012 = 1310 langkah-

langkah yang harus ditempuh adalah :

Biner Desimal

1 1 1 0 1 4

1 1 0 1 1 3

----------------------------- ----------

1 1 1 0 4 2

0 0 0 0 1 4

1 1 1 0

of 16

1 1 1 0

----------------------------------- + -------------- +

1 0 1 1 0 1 1 0 1 8 2

Perkalian juga bisa dilakukan dengan menambah bilangan yang dikalikan ke

bilangan itu sendiri sebanyak bilangan pengali.

Contoh di atas, hasil yang sama akan diperoleh dengan menambahkan 11102

ke bilangan itu senidiri sebanyak 11012 atau tiga belas kali.

4.5. Pembagian Biner

Pembagian pada sistem bilangan biner dapat dilakukan sama seperti

contoh pembagian pada sistem bilangan desimal.

Sebagai contoh:

Membagi 10012 (910) (disebut bilangan yang dibagi) dengan 112 (310)

(disebut pembagi), dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai

berikut,

0 0 11 Hasil pembagian (9 : 3 = 3)

Pembagi 1 1 1 0 0 1 Bilangan yang dibagi

0 1 1

0 1 1

0 1 1

0

Sehingga 10012 (910) dibagi dengan 112(310) hasilnya adalah 112 (310).

Contoh membagi 10102 (1010) dengan 1002 (410)

0 0 1 0.1 Hasil pembagian (10 : 4= 2.5)

Pembagi 100 1 0 1 0 Bilangan yang dibagi

of 16

1 0 0

1 0 0

1 0 0

0

Pembagian bisa juga dilakukan dengan cara mengurangkan secara

berulang kali bilangan pembagi dengan bilangan yang dibagi sampai

jumlahnya sama dengan bilangan yang dibagi.

of 16

aritmatika biner

Documents

Transcript of aritmatika biner