Didownload dari ririez.blog.uns.ac · Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id Presented By...

Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id

Presented By Ririez-EkaHely-Kartini

HALAMAN 36 – 37

5. Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini :

a. lim�→� � �� = 0

PENYELESAIAN :

lim�→� � 12� + 3� = 0

∀� > 0 �� ∃ !" #$ℎ��&&� ∀� ≥

|)� − +| = , 12� + 3 − 0, = 12� + 3

≤ 12� ≤ 12� ≤ 12 < �

jadi terbukti bahwa lim�→∞ � �� = 0

b. lim�→� ��5��6 = 5

PENYELESAIAN :

+� → +, artinya

∀� > 0, ∃ ∈ " ∋ � ≥ berlaku

|+� − +| < �

Akan ditunjukkan ��5��6 → 2

Karena +� → +, maka untuk ∀� > 0, ∃ ∈ " ∋ � ≥ berlaku

;2� − 1� + 5 − 2; = ;2� − 1 − 2� − 10� + 5 ; = < 5��

��6< = ��

��6



≤ �� ≤ ��

�

≤ ��= < � ,

jadi terbukti bahwa lim�→∞ ��5��6 = 5

8. Misalkan (��) dan (+�) barisan bilangan real sehingga |+� − +| ≤ @|��| untuk semua � ∈ "

untuk suatu @ > 0 dan + ∈ A. Jika lim�→∞(+�) = +

PENYELESAIAN :

Diketahui |+� − +| ≤ @|��| � ≥ B

(��) → 0

∀� > 0 ∃C ∈ " sehingga � ≥ C berlaku

|+� − +| ≤ @|��| < D . FG = �

∃B ∈ " sehingga � ≥ B

|�� − 0| = |��| < FG , Untuk � ≥ B

|+� − +| ≤ @|��| + @|��| < D . FG + D . F

G = 2�

Sehingga terbukti bahwa lim�→ �(+�) = +.

9. Tunjukkan bahwa :

a. lim�→� �DHI = 1, D > 0

PENYELESAIAN :

Akan dibuktikan bahwa �� → 0

∀� > 0, ∃ !" sehingga ∀� ≥ , �J < �, berlaku |)� − +| < �



,1� − 0, = 1� ≤ 1C < �

Terbukti bahwa �� → 0, ��C� lim�→∞ �DHI = lim�→∞(DK) = 1

b. lim�→� ��HI = 1

PENYELESAIAN :

Akan dibuktikan lim�→� �� L = 1.

Ambil sembarang � > 0 ∃ < � ∈ ℕ akibatnya ∀� ≥ berlaku,

<�� L − 1< ≤ <�� L < + 1 ≤ �� L + 1 ≤ � + 1 ≤ + 1 < � + 1 = �

Terbukti bahwa lim�→� �� L = 1

HALAMAN 43 – 45

6. Misalkan (+�) barisan bilangan real tak nol dan N� = OI5OOI5OP , + ∈ A. Jika (N�) konvergen ke

0, tunjukkan bahwa (+�) konvergen. Hitung limitnya!

PENYELESAIAN :

Diketahui : (yn) konvergen ke 0 berarti ( ) 0lim =∞→ n

ny

Akan dibuktikan bahwa (xn) konvergen.

( )

)1()1(

)1()1(

n

nn

nnn

nnnn

nnnn

nnnn

nn

y

yxx

yxyx

xyxxyx

xxxyxy

xxxxyxx

xxy

−+=⇔

−=+⇔−=+⇔

−=+⇔

−=+⇔+−=

Diberikan sembarang ε > 0, terdapat K ∈ N dan untuk setiap n ≥ K berlaku



( )( )

( )( ) xx

y

yx

y

yxx

nn

nn

n

n

nn

n=

−+=

−

+=

−+=

∞→

∞→

∞→∞→ 01

01

)lim1(

)lim1(

1

1limlim

Karena ( ) xxnn

=∞→

lim maka ε<− xxn atau (xn) konvergen.

Misalkan (+�) barisan bilangan real tak nol dan N� = OI5OOI5OP , + ∈ A

Diketahui (N�) → 0, akan ditunjukkan (+�) konvergen

N� = +� − ++� − +Q

N�+� + N�+Q = +� − +

N�+� − +� = −+−N�+Q

|+� − +| < � Sehingga terbukti bahwa (+�) konvergen

9. Jika (+�) konvergen ke 0 dan (N�) terbatas, tunjukkan bahwa (+�N�) konvergen ke 0.

PENYELESAIAN :

(N�) terbatas,

|N�| ≤ B, ∀�!ℕ

Diketahui +� → 0

∀� > 0, ∃ ∈ " ∋ � > berlaku

|+� − +| < �

Akan ditunjukkan +� → 0

Karena +� → +, maka untuk ∀� > 0, ∃ ∈ " ∋ � > berlaku

|+� − 0| = |+�| < � BL



Untuk � ≥ maka R+�N� − 0R = |+�||N�| < � BL . B = �

Jadi,terbukti +�N� konvergen ke 0

10. Berikan contoh barisan (+�) yang tidak terbatas tetapi lim�→�(OI� ) = 0

PENYELESAIAN :

+� = √� − 1�

+� = √1 − 11 = 1 − 1 = 0

+ = √2 − 12 = 0.914 …

+� = √3 − 13 = 1.398 …

Sehingga +� tidak terbatas di atas.

lim�→�(OI� ) = 0 , lim�→�(√�5HI� ) = lim�→� �√�� − �

� = 0 − 0 = 0

11. Jika lim�→�(OI� ) = + ≠ 0, buktikan bahwa (+�) tidak terbatas!

PENYELESAIAN :

Diketahui : lim�→�(OI� ) = + ≠ 0

Akan dibuktikan (+�) tidak terbatas

Dengan kontradiksi :

Misalkan (+�) terbatas maka terdapat � > 0, sehingga |+�| ≤ � dan karena lim�→�(OI� )

ada maka (OI� ) terbatas.

<OI� < = <OI� − + + +< ≤ <OI� − +< + |+| = <OI5�O

� < + |+| ≤ |+� − �+| + |+| ≤ |+�|+|�+| + |+| = |+�| + �|+| + |+| = |+�|+(� + 1)|+| ≤ � + (� + 1)|+|



Adanya (� + 1)|+| menyebabkan (OI� ) tidak terbatas. Hal ini kontradiksi dengan yang

diketahui bahwa (OI� ) terbatas.

Jadi (+�) seharusnya tidak terbatas.

15. Misalkan +� = √� + 1 − √� untuk � ∈ ". Tunjukkan bahwa (+�) dan (√�+�) konvergen

PENYELESAIAN :

+� = √� + 1 − √� untuk ∀� ∈ "

• +� = √� + 1 − √�

= √� + 1 − √� . √��√�√��√� = (��)5�

√��√� = �√��√�

lim�→� �√��√� = 0 , jadi +� → 0

• Y�+� = √�(√� + 1 − √�)

= Y� + � − �

= √� + � − � . √��√�� = ��5�

√�� = �√�� = �

��ZHI(��) = �

[��Z��HI\

lim�→� Y�+� = lim�→� �[��Z��H

I\= �

[��Z�� H]\

= �^��√��K_ = �

, jadi Y�+� → �

21. Jika (+�) barisan bilangan real positif sehingga lim�→� �OI`HOI = a > 1. Tunjukkan bahwa

(+�) tidak terbatas dan sehingga tidak konvergen.

PENYELESAIAN :

Akan dibuktikan bahwa (+�) tidak terbatas,

Ambil b ∈ ℝ, sehingga 1 < b < a. Untuk � = a − b > 0. Karena lim�→� �OI`HOI =

a, ∃ ∈ ℕ ∋ ∀� ≥ berlaku



<OI`HOI − a< < � oleh karena itu, ∀� ≥ berlaku

OI`HOI < � − a = a − b − a = −b atau,

+�� < +�. −b < +�5�. b > +�5. −b� Terbukti bahwa (+�) tidak terbatas, Karena (+�)

tidak terbatas maka (+�) tidak konvergen . Terbukti.

24. Misalkan (+�) barisan konvergen dari (N�) sehingga untuk sembarang � > 0 terdapat d

sehingga |+� − N�| < � untuk semua � ≥ d. Apakah ini menyimpulkan bahwa (N�)

konvergen?

PENYELESAIAN :

Diketahui (+�) barisan yang konvergen misalkan ke +. Diberikan sembarang � > 0 terdapat

bilangan asli C sehingga untuk � ≥ C berlaku |+� − +| < F. Dengan yang diketahui untuk

� > 0 diatas terdapat B sehingga untuk � ≥ B, |+� − +| < F. Akibatnya untuk � ≥ C� =

��C# (C, B) berlaku :

|N� − +| = |N� − +� + +� − +| ≤ |N� − +�| + |+� − +| < �2 + �

2 = �

Sehingga barisan (N�) konvergen ke +.

HALAMAN 51 - 53

2. Misalkan barisan (+�) didefinisikan secara rekursif sebagai :

+� = 0, +�� = +� + 14 , � ∈ "

a) Dengan induksi tunjukkan bahwa 0 ≤ +� ≤ � untuk semua � ∈ "

PENYELESAIAN :

1) � = 1, 2

+� = 0;



+ = 0 + �f = �

f

0 ≤ +� = 0 < + = �f ≤ �

terbukti benar untuk � = 1, 2

2) Dianggap benar untuk � = C.

+=�� = += + �f

0 ≤ += ≤ �

3) Akan dibuktikan benar untuk � = C + 1

+=� = +=�� + 14

0 ≤ +=�� < +=� ≤ 12

0 ≤ 0 + 14 < +=�� < +=� ≤ �1

2� + 14

0 ≤ 14 < +=�� < +=� ≤ 1

2

0 ≤ +=� ≤ 12

Terbukti benar untuk � = C + 1

Jadi, dengan induksi terbukti bahwa 0 ≤ +� ≤ �

b) Tunjukkan bahwa (+�) naik

PENYELESAIAN :

Akan dibuktikan +�� − +� > 0 maka +� naik.

Bukti :

+�� − +� = +� + �f − +� = +� − +� + �

f

= �+� − � �+� − �

> 0

+� − � = 0

+� = �



Diketahui 0 ≤ +� ≤ � maka terbukti +�� − +� > 0 sehingga (+�) naik.

c) Simpulkan bahwa (+�) konvergen dan tentukan limitnya.

PENYELESAIAN :

1) Dari a) terbukti bahwa 0 ≤ +� ≤ � , ∀� ∈ ", artinya (+�) terbatas.

2) Dari b) terbukti bahwa +�� − +� > 0 , ∀� ∈ ", artinya (+�) monoton naik.

Kesimpulan :

Karena (+�) terbatas dan monoton naik maka (+�) konvergen.

Misalkan :

lim�→�(+�) = + , maka lim�→�(+��) = +

lim�→�(+��) = lim�→� �+� + �f = +

+ + �f = +

+ − + + �f = 0

�+ − � �+ − �

= 0

+ = �

Jadi, lim�→�(+�) = � , �bg��N� (+�) → �

5. Misalkan � > 0 dan h� > 0. Didefinisikan h�� = Y� + h� untuk � ∈ ". Tunjukkan bahwa

(h�) konvergen dan tentukan limitnya!

PENYELESAIAN :

8. Misalkan (��) barisan naik dan (i�) barisan turun sehingga (��) ≤ (i�) untuk semua � ∈". Tunjukkan bahwa lim�→�(��) ≤ lim�→�(i�).

PENYELESAIAN :



9. Misalkan j himpunan tak hingga di dalam A yang terbatas di atas dengan k = sup {+=|C ≥�}. Tunjukkan ada barisan naik (+�) dengan +� ∈ j untuk semua � ∈ " sehingga k =lim�→�(+�).

PENYELESAIAN :

(+�) naik , +� ∈ r, ∀� ∈ " , k = lim (+�)

k = sup r ↔ ∀� > 0, ∃#F ∈ " ∋ k − � < #F

• � = 1 , ∃+� ∈ " ∋ k − 1 < +�

• � = � , ∃+ ∈ " ∋ k − �

< +, +� < +

⋮ • � = �

� , ∃+� ∈ " ∋ k − �� < +�, +�5� < +�

Jadi, terbukti bahwa (+�) naik.

+� − k < �

k − � < +�

k − +� < �

0 < k − +� < 1�

↓ ↓ ↓

0 0 0

+� = 1� , � ∈ "

+�= = 12� , � ∈ "

(+�)Cv�w$b&$� → ∀(+�=)konvegen ke limit yang sama. 11. Misalkan +� = �

� + � + ⋯ + �

� untuk semua � ∈ ". Buktikan bahwa (+�) barisan naik dan

terbatas oleh karena itu (+�) konvergen.



PENYELESAIAN :

Akan dibuktikan (+�) barisan naik,

+�� − +� = �� + �

+ ⋯ + �� + �

�� − � �� + �

+ ⋯ + ��

= �� > 0

Karena +�� − +� > 0 maka +�� > +� Sehingga terbukti (+�) barisan naik,

Akan dibuktikan (+�) terbatas,

< �� + �

+ ⋯ + ��< ≤ �

, Artinya ∃B = � > 0 ∋ |+�| ≤ B. Sehingga terbukti (+�) terbatas.

Berdasarkan Teori Kekonvergenan Monoton, Barisan bilangan real monoton konvergen, jika

dan hanya jika terbatas Karena (+�) terbatas maka menurut Teori Kekonvergenan Monoton

(+�) konvergen. Terbukti.

15. Tunjukkan bahwa jika (+�) konvergen, maka +�� − +� → 0. Tunjukkan dengan contoh

bahwa sebaliknya tidak benar! {YANG SEBALIKNYA BLOMAN!!}

PENYELESAIAN :

Tunjukkan (+�) konvergen ⇒ +�� − +� → 0

Diketahui (+�) konvergen, missal (+�) → +

∀� > 0∃ = (�) ∈ " ∋ � ≥ i$b~�Ck |+� − +| < �2

Dari theorema diketahui bahwa jika (+�) → + maka

+�� → +

∀� > 0∃ = (�) ∈ " ∋ � ≥ i$b~�Ck |+�� − +| < �2

|(+�� − +�) − 0| = |+�� − + − +� + + − 0| = |(+�� − +) − (+� − +) + 0| ≤ |+�� − +| + |+� − +| + 0



< F + F

= �

Jadi terbukti jika (+�) konvergen, maka +�� − +� → 0

17. Misalkan (+�) barisan terbatas dan untuk setiap � ∈ ", #� didefinisikan seperti pada nomor 5

dan # = inf{#�|� ∈ "}. Tunjukkan bahwa ada subbarisan dari (+�) yang konvergen ke #.

PENYELESAIAN :

18. Jika +� > 0 untuk semua � ∈ " dan lim�→�((−1)�+�) ada, tunjukkan bahwa (+�)

konvergen,

PENYELESAIAN :

Diketahui +� > 0 untuk semua �!ℕ dan lim�→∞((−1)�+�) ada,

Akan ditunjukkan (+�) konvergen

Jika lim�→∞((−1)�+�) dianggap ada berarti ambil sembarang � > 0, ∃ ∈ " ∋ � ≥ berlaku

|(−1)�+� − +| < �

|(−1)�+� − +| ≤ |(−1)�+�| + |+�| = |+�| + |+| < �

Untuk � ≥ C maka,

|+�| = |+� − + + +| ≤ |+� − +| + |+| Karena dari yang diketahui +� ≥ 0 diperoleh

+� ≤ |+� − +| + |+| +� ≤ |+� − +| + +

+� − + ≤ |+� − +| ≤ |+�| + |+| Sehingga |+� − +| ≤ |+�| + |+| < �

Jadi, benar bahwa (+�) konvergen

21. Jika (+�) barisan terbatas dan # = sup {+=|� ∈ "} sehingga #∉{+=|� ∈ "}. Tunjukkan

bahwa terdapat subbarisan yang konvergen ke #.

PENYELESAIAN :

Misal (+�) terbatas



# = sup{+=; � ∈ " }

# ∈ {+=; � ∈ " }. Akan ditunjukkan bahwa terdapat subbarisan yang konvergen ke s.

Diambil sembarang � > 0, terdapat #� ∈ {#�; � ∈ " } #$ℎ��&&� #� < # + �

Dimana #� = sup{+�; � ∈ " }

Untuk � ≥ d ��C� # ≤ #� ≤ #�

# − � < # ≤ #� ≤ #� < # + �

# − � < #� − � ≤ #� ≤ #� < # + �

Sehingga jika diambil sembarang � > 0 , ∃�= ∈ ", � ≥ d #$ℎ��&&� #� − � ≤ +��

#� − � ≤ +��

# − � < #� − � ≤ +�� < # + �

# − � < +�� < # + �

−� < +�� < # + �

R+�� − #R < �

Jadi terdapat subbaris ^+��_�� (+�) yang konvergen ke s

HALAMAN 59 – 60

3. Tunjukkan secara langsung dari definisi bahwa barisan berikut bukan barisan Cauchy

+� = � + (−1)��

PENYELESAIAN :

Misalkan +� = � + (5�)I� , +� = � + (5�)�

� sehingga untuk � > �



|+� − +�| = |� + (5�)�� − (� + (5�)I

� )| = <� + (5�)�

� − � − (5�)I� <

= � − � + (5�)�� − (5�)I

�

= (�5�)��(5�)�5�(5�)I��

• Untuk � ganjil dan � genap

|+� − +�| = (� − �)�� + �(−1)� − �(−1)��

= (� − �)�� + � + ��

> (� − �)(�� + 1)�� > �� + 1�� = 1 + 1�� >

4. Tunjukkan secara langsung bahwa jika (+�) dan (N�) barisan Cauchy, maka (+� + N�) dan

(+�N�) juga barisan Cauchy.

PENYELESAIAN :

• �� barisan Cauchy

∀� > 0∃d = d(�) ∈ " ∋ ∀�, � > d berlaku |+� − +�| < F

• �� barisan Cauchy

∀� > 0∃d = d(�) ∈ " ∋ ∀�, � > d berlaku |N� − N�| < F

1. Akan dibuktikan bahwa (+� + N�) barisan Cauchy

∀� > 0∃d = d(�) ∈ " ∋ ∀�, � > d berlaku

|(+� + N�) − (+� + N�)| = |+� + N� − +� − N�| = |(+� − +�) + (N� − N�)| ≤ |(+� − +�)| + |(N� − N�)| < F

+ F = �

Jadi terbukti bahwa (+� + N�) merupakan barisan Cauchy

2. Akan dibuktikan bahwa (+�N�) barisan Cauchy

∀� > 0∃d = d(�) ∈ " ∋ ∀�, � > d berlaku



|(+�. N�) − (+�. N�)| < �

|(+�. N�) − (+�. N�)| = |+�. N� − +�N� + +�N� − +� . N�| = |(+� . N� − +�N�) + (+�N� − +�N�)| = |+�(N� − N�) + N�(+� − +�)| ≤ |+�(N� − N�)| + |N�(+� − +�)| = |+�||(N� − N�)| + |N�||(+� − +�)|

Diberikan sembarang � > 0∃d = d(�) ∈ " ∋ ∀�, � > d

|+� − +�| < �2|N�| , |N� − N�| < �2|+�|

Akibatnya

|(+�. N�) − (+�. N�)| = |+�(N� − N�) + N�(+� − +�)| ≤ |+�(N� − N�)| + |N�(+� − +�)| = |+�||(N� − N�)| + |N�||+� − +�| < |+�| F

|O�| + |N�| F|�I| = F

+ F = �

Jadi terbukti bahwa (+�. N�) merupakan barisan Cauchy

6. Tunjukkan secara langsung bahwa barisan monoton adalah barisan Cauchy!

PENYELESAIAN :

Menurut TKM, barisan monoton jika hanya jika terbatas.

(+�) terbatas jika ∃B > 0 Sehingga berlaku |+�| ≤ B

(+�) Cauchy, ∀� > 0, ∃d ∈ " ∀�, � ≥ d berlaku |+� − +�| < �

misal ambil � = 1, ∃d ∈ " ∀�, � ≥ d berlaku



|+� − +�| < 1

|+�| < |+�| + 1 ;

Pilih B = ��C# {|+�|, |+|, |+�|, |+f|, … , |+�| + 1}

Maka terbukti bahwa barisan monoton adalah Cauchy.

11. Misalkan (+�) sembarang barisan bilangan real dari :

#� = � +=, g� = � |+=|�

=��

�

=��

Tunjukkan jika g� barisan Cauchy, maka (#�) juga barisan Cauchy. Apakah berlaku

sebaliknya?

PENYELESAIAN:

Misal g� = ∑ |+C|�C=1 , g� = ∑ RNCR�C=1 , #� = ∑ +C�C=1 , #� = ∑ NC�C=1 " ⟹ ": (g�) Barisan Cauchy, artinya ∀ F > 0, ∃d� ∈ " ∋ k�gkC �, � ≥ d� berlaku

|g� − g�| = ��|+C|�C=1

− �RNCR�

C=1� ≤ ��RNCR

�C=1

� + ��|+C|�C=1

� < �2 + �2 = �

Maka ∀ F > 0, ∃d ∈ " ∋ k�gkC �, � ≥ d berlaku

|#� − #�| = �� +C�

C=1− � NC

�C=1

� ≤ �� +C�

C=1� + �� NC

�C=1

� = |+� + + + ⋯ + +�| + |N� + N + ⋯ + N�| ≤ |+�| + |+| + ⋯ + |+�| + |N�| + |N| + ⋯ + |N�|

= �|+=|�

=��+ �|N=|�

=��

≤ �2 + �2 = �

Jadi, (#�) juga barisan Chaucy " ⟸ ": (#�) barisan Cauchy, artinya

∀ F > 0, ∃d ∈ " ∋ k�gkC �, � ≥ d berlaku



|#� − #�| = �� +C�

C=1− � NC

�C=1

� ≤ �� +C�

C=1� + �� NC

�C=1

� < �2 + �2 = �

Akan ditunjukkan (g�) juga barisan Cauchy

∀ F > 0, ∃d� ∈ " ∋ k�gkC �, � ≥ d� berlaku

|g� − g�| = ��|+C|�C=1

− �RNCR�

C=1� ≤ ��|+C|�

C=1� + ��RNCR

�C=1

� = R|+�| + |+| + ⋯ + |+�|R + R|N�| + |N| + ⋯ + |N�|R ≤ |+�| + |+| + ⋯ + |+�| + |N�| + |N| + ⋯ + |N�| = ∑ |+=|�=�� + ∑ |N=|�=�� < F

+ F = �

(g�) barisan Cauchy. Jadi, berlaku pernyataan jika (#�) barisan Cauchy maka (g�) juga barisan Cauchy.

14. Polinomial +� − 9+ + 2 mempunyai akar b dengan 0 < b < 1. Gunakan pendekatan barisan

susut untuk menhitung b dengan error kurang 105f.

PENYELESAIAN :

��(+) = +� − 9+ + 2

��(0) = 2, ��(1) = −6

untuk + = 0 ; tinggi = 2

untuk + = 1 ; tinggi = −6

hal ini dikarenakan akar dari persamaan +� − 9+ + 2 = 0 terletak diantara 0 < b < 1. Didefinisikan barisan (+�) dengan 0 < +� < 1 dan

+� − 9+ + 2 = 0 → +� + 2 = 9+

+ = 19 (+� + 2)

Sehingga +�� = �� (+� + 2), � ∈ ℕ

Karena 0 < +� < 1 maka 0 < +� < 1, ∀ � ∈ ℕ.



|+�� − +��| ≤ <�� (+�� + 2) − �

� (+�� + 2)< ≤ <�

� (+�� − +��)< = �

� |+�� + +��+� + +�||+�� − +�| ≤ �

� |+�� − +�| Karena 0 < D < 1 , berarti (+�) barisan susut, terdapat b sehingga

b = lim�→�(+�). Jika diambil limit kedua ruas barisan +�� = �� (+� + 2) diperoleh

b = �� (b� + 2). Sehingga b� − 9b + 2 = 0 dihampiri b dengan memilih +� = 0.5

diperoleh,

+ = �� (+�� + 2) = 0.236111

+� = �� (+� + 2) = 0.223685

+f = �� (+�� + 2) = 0.223466

+6 = �� (+f + 2) = 0.223462

Menurut akibat 2.4.8

a) |b − +�| ≤ �H� I�H�5H�

|+ − +�| = �.�I 0.263889

Jika � = 5 maka

|b − +6| ≤ �.�� 0.263889 = 0.004887

b) |b − +�| ≤ � |+� − +�5�|

Jika � = 5 maka

|b − +6| ≤ � |+6 − +f| = �

. 4. 105f = 2. 105¡ < 105f

Jadi +6 merupakan hampiran dari b.



HALAMAN 63

7. Misalkan (+�) dan (N�) dua barisan bilangan positif sehingga lim�→�(OI�I) = 0

a. Tunjukkan bahwa jika lim�→�(+�) = +∞ , maka lim�→�(N�) = +∞.

PENYELESAIAN :

i. 0lim =∞→

n

n

n y

x, berarti ,0 1 NK ∈∃>∀ε sehingga untuk setiap n ≥ K1 berlaku

ε<=−n

n

n

n

y

x

y

x0

ii. ( ) +∞=∞→ n

nxlim , berarti untuk sembarang NKR ∈∃∈ )( , αα sehingga

untuk n ≥ K(α) berlaku xn > εα .

Akan dibuktikan bahwa ( ) +∞=∞→ n

nylim

0>∀ε , untuk sembarang ,R∈α pilih K = maks(K1, K(α)) sehingga untuk n ≥ K berlaku :

ε<n

n

y

x (dari i)

nn y

x <⇔ε

αε

εαε

=>>⇔ nn

xy (dari ii)

Jadi, terbukti ( ) +∞=∞→ n

nylim

b. Tunjukkan bahwa jika (N�) terbatas, makalim�→�(+�) = 0

PENYELESAIAN :



i. 0lim =∞→

n

n

n y

x, berarti ,0 1 NK ∈∃>∀ε sehingga untuk setiap n ≥ K1 berlaku

My

x

y

x

n

n

n

n ε<=− 0

ii. (yn) terbatas, berarti terdapat RM ∈ dengan M > 0 sehingga untuk semua

n ≥ K berlaku Myn ≤ atau MyM n ≤≤−

Akan dibuktikan bahwa ( ) 0lim =∞→ n

nx

0>∀ε , pilih K = maks(K1, M) sehingga untuk n ≥ K berlaku :

My

x

n

n ε< (dari i)

εεε =≤<⇔M

M

M

yx n

n (dari ii)

ε<−⇔ 0nx

Jadi, terbukti ( ) 0lim =∞→ n

nx

∀� > 0 , +� < �. N� , � ≥

|N�| ≤ B, ∀� ∈ "

Ambil � > 0 , ∃ ∈ " ∋ � ≥

; − 0; < → | − 0| = | | ≤ | | ≤ B = �, → 0

8. Misalkan (+�) dan (N�) dua barisan bilangan positif sehingga lim�→�(OI�I) = +∞

a. Tunjukkan bahwa jika lim�→�(N�) = +∞ , maka lim�→�(+�) = +∞.

PENYELESAIAN :

Akan ditunjukkan bahwa lim�→∞(N�) = +∞ maka lim�→∞(+�) = +∞

Misal lim�→∞(N�) = +∞

Ambil sembarang ¢!ℝ , ∃ ∈ " ∋ � ≥ maka berlaku N� > ¢

Karena lim�→∞ �OI�I = +∞ maka untuk � ≥ berlaku OI�I > ¢ sehingga +� > ¢N�



Karena ¢ > 0 maka lim�→∞(+�) = +∞

Terbukti lim�→∞(N�) = +∞ maka lim�→∞(+�) = +∞

b. Tunjukkan bahwa jika (+�) terbatas, makalim�→�(N�) = 0

PENYELESAIAN :

Akan ditunjukkan bahwa jika (+�) terbatas maka lim�→∞(N�) = 0

Jika terdapat |+�| ≤ B untuk �!"

Ambil sembarang � > 0

+� < B

+�N� > ¢

+� > ¢N�

N� < +�¢ < B¢

B¢ < �

Diambil ¢ = £F

Terdapat ∈ " ∋ � ≥ berlaku OI�I > ¢

Sehingga untuk � ≥

|+� − 0| = +� < +�¢ < B¢ = �

+� < � maka lim�→∞(N�) = 0

9. Tunjukkan bahwa jika lim�→�(OI� ) = a , a > 0 , maka lim�→�(+�) = +∞.

PENYELESAIAN :

Misalkan (+� �⁄ ) adalah sebuah barisan (+� N�⁄ ) dengan N� = �.

Karena (N�) divergen, sehingga lim�→�(N�) = +∞.



Berdasarkan Teorema Perbandingan Limit, dua barisan bilangan real dengan

lim�→�(+� N�⁄ ) = a, a > 0 maka ~��→�(+�) = +∞ jika dan hanya jika ~��→�(N�) =+∞. Karena lim�→�(N�) = +∞ Terbukti bahwa lim�→�(+�) = +∞.

Didownload dari ririez.blog.uns.ac · Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id Presented By...

Documents

Transcript of Didownload dari ririez.blog.uns.ac · Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id Presented By...