Nama: Dewi Sholichati Nur JannahKelas: 2014-BNIM: 145104Sudut Dua Vektor dan Himpunan Ortogonal Sudut Dua VektorDefinisi:

Panjang Jarak dan , Misalkan sudut antara dan dalam RHD, maka besar adalah :Jika dan saling tegak lurus maka

Bukti:

Contoh:Diketahui V adalah RHD dengan hasil kali dalam dengan , . Jika vektor-vektor dengan dan , tentukan Besar jika sudut yang dibentuk antara dan adalah !Jawab:

Jadi, Himpunan OrtogonalDefinisi:

Diketahui V ruang hasil kali dalam adalah vektor-vektor dalam V. disebut himpunan orthogonal bila setiap vektor dalam V saling tegak lurus, yaitu untuk dan

Contoh:Tunjukkan bahwa adalah himpunan ortogonal dalam jika: , , !Jawab:Harus ditunjukkan bahwa setiap pasang adalah ortogonal

Kesimpulan: adalah himpunan ortogonal

Sumber:1) Yuliant, Sibaroni. 2002. Buku Ajar Aljabar Linear. Sekolah Tinggi Teknologi Telkom: Bandung2) https://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&cad=rja&uact=8&ved=0CCEQFjAB&url=http%3A%2F%2Fwww.mdp.ac.id%2Fmateri%2F2012-2013-1%2FTI210%2F021005%2FTI210-021005-813-19.pptx&ei=l6uQVafhI4yLuASj4JG4DA&usg=AFQjCNEow_q6I3IRZT5YaTHjmdUKSqfbuw&sig2=qy5flJXp0oZK60gX-HKWPQ&bvm=bv.96783405,d.c2E

Himpunan Orthonormal, Basis Orthonormal, dan Proses Gramm-Schmidt Himpunan Orthonormal

Diketahui V ruang hasil kali dalam adalah vektor-vektor dalam V. disebut himpunan orthonormal bila:G himpunan orthogonalNorm dari , atau Definisi:

Proses Gramm-SchmidtMetode Gramm-Schmidt digunakan untuk merubah suatu himpunan vektor yang bebas linier menjadi himpunan yang orthonormal. Jadi dalam hal ini disyaratkan himpunan yang ditransformasikan adalah himpunan vektor yang merupakan basis dari ruang vektor V maka metode Gramm-Schmidt akan menghasilkan basis orthonormal untuk V..

Diketahui adalah himpunan vektor yang bebas linier dari ruang vektor V dengan dan merupakan himpunan yang orthonormal. Jika W menyatakan ruang yang dibangun oleh maka untuk setiap dalam W, dapat dituliskan dengan skalar.

Jika adalah sembarang vektor dalam V, maka tentunya dapat dituliskan sebagai jumlah dari dua vektor yang saling tegak lurus misalkan dan , jadi dapat dituliskan . Karena dalam W, maka sebenarnya merupakan proyeksi orthogonal terhadap W. Jadi untuk menentukan , maka harus ditentukan nilai sedemikian hingga nilai merupakan panjang proyeksi terhadap , merupakan panjang proyeksi terhadap dan seterusnya sehingga merupakan panjang proyeksi terhadap . Proyeksi orthogonal terhadap adalah :, dikarenakan merupakan vektor-vektor yang orthonormal.Jadi dapat dituliskan bahwa Proyeksi orthogonal terhadap adalah:

dengan merupakan himpunan orthonormal.

Misal diketahui adalah himpunan yang bebas linier, maka K dapat dirubah menjadi himpunan yang orthonormal dengan menggunakan metode Gramm-Schmidt yaitu:1. , pembagian dengan bertujuan agar memiliki panjang .pada akhir langkah ini didapatkan orthonormal.2. pada akhir langkah ini didapatkan dan orthonormal.3.

n. Secara umum dengan W merupakan ruang yang dibangun oleh .NB: Pada metode ini, pemilihan tidak harus mengikuti urutan vektor yang diberikan tetapi bebas sesuai keinginan kita karena satu hal yang perlu diingat bahwa basis suatu ruang vektor tidak tunggal. Jadi dengan mengubah urutan dari sangat memungkinkan didapatkan jawaban yang berbeda-beda. Pemilihan urutan dari yang disarankan adalah yang mengandung hasil kali dalam yang bernilai 0 yaitu , dalam kasus ini bisa diambil dan dan seterusnya.Contoh:Diketahui dengan , , a. Apakah H basis ?b. Jika ya, transformasikan H menjadi basis orthonormal dengan menggunakan hasil kali dalam Euclides !Jawab:a. Karena dan jumlah vektor dalam , maka untuk menentukan apakah H merupakan basis atau bukan, adalah dengan cara menghitung determinan matriks koefisien dari SPL dengan adalah sembarang vektor dalam , yaitu . Jika maka berarti H bukan merupakan basis , sebaliknya jika maka berarti vektor-vektor di H bebas linier dan membangun , jadi H merupakan basis .Dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ketiga, didapatkan

Karena , ini berarti H merupakan basis dari b. Hasil kali dalam antara dan , , Untuk memilih basis yang perhitungannya lebih sederhana dapat diambil , , 1.2.

3.

Jadi

Sumber:1. Yuliant, Sibaroni. 2002. Buku Ajar Aljabar Linear. Sekolah Tinggi Teknologi Telkom: Bandung2. http://bobo.staff.mipa.uns.ac.id/files/2012/09/BAB-VI.pdf

Koordinat Vektor dan Matriks Transisi Koordinat Vektor

Misalkan V suatu ruang vektor dengan basis dan . Koordinat vektor B terhadap basis B adalah: dimana . Dengan skalar. Jika V basis orthonormal, maka:Definisi :

Teorema :

Koordinat vektor terhadap suatu basis tertentu adalah tunggal.Misalkan V ruang vektor dengan basis maka terdapat korespondensi satu-satu antara V dengan

Matriks TransisiMisalkan dua basis berbeda basis berbeda dan untuk ruang vektor V, maka untuk sembarang bisa didapatkan dan . Hubungan dan adalah:Misalkan dan Dari didapat (persamaan 1)Dari didapat (persamaan 2)Untuk didapatkan (persamaan 3)Disubtitusikan dari persamaaan 1 dan 2 ke persamaan 3, didapatkan :

Jadi P disebut matriks transisi dari basis A ke basis B.

Jika dan berturut-turut merupakan basis ruang vektor V , maka matriks transisi basis A ke basis B adalah:Jika P dapat dibalik, maka merupakan matriks transisi dari B ke basis A.Definisi :

Contoh:Perhatikan basis dan basis untuk dimana ; ; ; a) Tentukan matriks transisi dari ke !b) Tentukan jika !Jawab:a) Pertama kita harus menentukan matriks-matriks koordinat untuk vektor-vektor basis yang baru dan relatif terhadap basis lama B dengan melalui inspeksi

Sehingga dan Maka matriks transisi dari ke adalah b)

Sumber:1. Sibaroni, Yuliant. 2002. Buku Ajar Aljabar Linear. Bandung : Sekolah Tinggi Teknologi Telkom2. Gozali, Sumanang Muhtar. 2005. Aljabar Linear Elementer. http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/197411242005011-SUMANANG_MUHTAR_GOZALI/ALJABAR_LINEAR_ELEMENTER.pdf

Pengertian Transformasi Linier, Kernel, dan Range Transformasi Linier

Jika adalah suatu fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka T dikatakan transformasi linier jika : untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k. untuk semua vektor u dan v di VDefinisi:

Contoh:Diketahui dengan , apakah T merupakan transformasi linier ?Jawab:Misalkan , Syarat 1 maka

Syarat 2Untuk sembarang skalar k,

Kedua syarat terpenuhi, jadi merupakan transformasi linier.Beberapa istilah dalam transformasi linier :Diketahui ruang vektor V,Wa. Transformasi linier yang bekerja pada ruang vektor yang sama, disebut operator linier.b. Transformasi linier dengan disebut transformasi nol.c. Transformasi linier dengan disebut transformasi matriks sedangkan A disebut matriks transformasi

Kernel (inti) dan Jangkauan

Diketahui transformasi linier dengan fungsi Kernel dari T ( disingkat ) adalah himpunan sedemikian hingga atau . juga disebut ruang nol dari T.Definisi:

Himpunan dari disebut jangkauan dari T atau disingkat . disebut juga dengan bayangan oleh . Range

Himpunan semua vektor pada yang merupakan bayangan karena T dari setidaknya satu buah vektor pada V disebut range dari T dan dinotasikan dengan . Untuk menunjukkan bahwa menurut subruang vektor dari maka berlaku 3 syarat: bukan himpunan kosong.Pada berlaku sifat tertutup T terhadap penjumlahan.Sifat tertutup terhadap perkalian skalar.Definisi:

Contoh:Tentukan basis dan dimensi dari dan dari transformasi linier dengan , dengan dan Jawab:a. Kernel adalah ruang nol dari . Jadi merupakan ruang solusi dari SPL . Dengan melakukan eliminasi Gauss-Jordan didapatkan solusi SPL adalah Jadi, basis dan dim b. Jangkauan merupakan himpunan dari dengan . Kalau kita perhatikan maka merupakan ruang kolom dari A. Dari eliminasi Gauss-Jordan pada A didapatkan Jadi, basis merupakan basis ruang kolom A yaitu: dan dim .

Sumber: Sibaroni, Yuliant. 2002. Buku Ajar Aljabar Linear. Bandung: Sekolah Tinggi Teknologi Telkom http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/PRODI._ILMU_KOMPUTER/HERI_SUTARNO/Aljabar_linier/BAB_7__TRANSFORMASI_LINEAR.pdf http://kseminar.staff.ipb.ac.id/files/2013/02/09_Transformasi-Linier.pdf

Invers Transformasi Linier dan Matriks Transformasi Linier Invers Transformasi Linier

Jika T satu ke satu, maka setiap vektor di dalam adalah bayangan dari sebuah vektor yang unik pada V. Keunikan ini memungkinkan kita untuk mendefinisikan sebuah fungsi baru, yang disebut invers dari T dan dinotasikan dengan , yang memetakan kembali ke .Dapat dibuktikan bahwa adalah sebuah transformasi linier. Lebih jauh lagi, dari definisi kita peroleh:Definisi:

Contoh:Misalkan adalah operator linier yang didefinisikan oleh rumus . Tentukan apakah T adalah satu ke satu. Jika ya, tentukan .Jawab:Matriks standar untuk T adalah Matriks ini dapat dibalik, matriks standar untuk adalah: Selanjutnya kita dapat mengetahui bahwa,

Dengan menyatukan hasil ini ke dalam notasi horizontal dan menghasilkan

Matriks Transformasi Linier

Jika V dan W adalah ruang vektor berdimensi terhingga (tidak harus dan ), maka dengan sedikit manipulasi transformasi linier sebarang dapat dipandang sebagai sebuah transformasi matriks.Definisi:

Ketika membahas masalah transformasi matriks, maka hal utama yang ingin diketahui tentunya adalah bayangan suatu vektor dari transformasi tersebut dan matriks transformasinya. Penentuan matriks transformasi tergantung dari faktor-faktor yang diketahui.Contoh:Misal merupakan basis . Transformasi linier memiliki fungsi , dengan , , , , , a) Tentukan matriks transformasi A sedemikian hingga !b) Tentukan bayangan dari transformasi tersebut !c) Jika , tentukan bayangan !Jawab :, jika dan maka karena basis maka B bujur sangkar dan ada sehingga didapatkan pada soal di atasa) , , kemudian dicari dan didapatkan Jadi b) Bayangan dari adalah

c) berarti , bayangan dapat ditentukan dengan beberapa cara, yaitu:1. , dengan A adalah matriks transformasi pada jawaban (a) !2. Dapat dicari tanpa menggunakan A. Karena , maka sehingga . Jadi

Sumber:1. Anton, Howard. 2004. Aljabar Linear Elementer. Jakarta: Erlangga.2. Sibaroni, Yuliant. 2002. Buku Ajar Aljabar Linear. Bandung: Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Nilai dan Vektor Karakteristik Nilai Eigen Suatu Matriks

Diketahui A matriks berukuran , vekor tak-nol berukuran , . Karena A berukuran , maka akan berupa vektor yang berukuran juga. Bila terdapat skalar sedemikian hingga ( menghasilkan vektor yang besarnya kali ). Semua nilai yang memenuhi persamaan tersebut sehingga ada nilai yang nyata (bukan vektor saja) disebut nilai eigen (karakteristik).Definisi:

Untuk menentukan nilai dari persamaan sebelumnya dirubah dahulu menjadi persamaan . Agar persamaan tersebut memiliki persamaan tak-trivial (sejati), maka dapat ditentukan melalui det yaitu . Persamaan ini disebut persamaan karakteristik. Banyaknya nilai eigen maksimal adaah n buah.Untuk mencari nilai eigen dari matrika A yang berukuran , maka : Persamaan karakteristik dari A, dimana skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen dari A. merupakan persamaan polinomial P dalam dan disebut polinomial karakteristik A.Dari nilai eigen yang telah diperoleh tersebut dapat ditentukan ruang solusi untuk dengan memasukkan nilai eigen yang diperoleh kedalam persamaan . Ruang solusi yang diperoleh dengan cara demikian ini disebut dengan ruang eigen. Dari ruang eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tertentu tersebut dapat dicari minimal sebuah basis ruang eigen yang bebas linier.Contoh:Diketahui Tentukan ruang eigen beserta basis ruang eigennya !Jawab:Persamaan karakteristik A adalah

Jadi, nilai eigen untuk A adalah : Basis ruang eigen diperoleh dengan memasukkan nilai eigen yang diperoleh ke dalam persamaan Untuk Didapatkan persamaan

Ruang eigen , basis ruang eigen bia berupa Untuk Didapatkan persamaan Ruang eigen , basis ruang eigen bia berupa Untuk Didapatkan persamaan Ruang eigen , basis ruang eigen bia berupa Jadi, terdapat tiga buah basis ruang eigen yang bebas linier yang bersesuaian dengan nilai eigen .Untuk kasus yang khusus, jika A memiliki n buah nilai eigen , maka akan memiliki nilai eigen . Jika banyaknya nilai eigen dari sebanyak n juga maka basis ruang eigennya tetap sama, tetapi jika jumlah nilai eigennya kurang dari n (ini terjadi jika nilai eigen yang saling berlawanan tanda). Maka salah satu nilai eigennya akan memiliki basis ruang eigen yang berbeda.

Sumber:1. Yuliant, Sibaroni. 2002. Buku Ajar Aljabar Linear. Sekolah Tinggi Teknologi Telkom: Bandung2. https://dafiqur.files.wordpress.com/2013/02/bab-7-vektor-eigen.pdf