Deret Fourier

1

Matematika Teknik II

MAKALAH DERET FOURIER

Disusun oleh

NAMA : DWI UTOMO

NPM : 1205 2000 5

PRODI TEKNIK MESIN / FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS RATU SAMBAN

TAHUN 2014

2


KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr. Wb

Puji syukur kami ucapkan atas kehadirat Allah SWT yang telah memberikan

rahmat dan hidayah-Nya kepada kami, sehingga kami dapat menyelesaikan

makalah ini.

Dan tidak lupa kami ucapkan terimakasih kepada seluruh pihak yang berjasa

dalam penyusunan makalah ini. Kami merasa bahwa makalah ini masih terlampau

jauh dari kata sempurna baik dalam penyusunan dan penyajiannya. Oleh sebab

itu, dengan hati terbuka kami menerima segala bentuk saran dan kritik yang

bersifat membangun dari semua pihak, demi perbaikan dan kemajuan dalam

rangka penulisan makalah selanjutnya. Kami berharap makalah ini dapat

bermanfaat dalam hal agama, nusa bangsa, bagi generasi yang akan datang,

khususnya yang membaca.

Dengan terselesainya makalah ini kami mengucapkan Alhamdulillah Hirobbil

Alamin.

Wassalamu’alaikum Wr. Wb.

Arga Makmur , 18 JUNI 2014

Penyusun

DWI UTOMO

3


DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL .................................................................................... i

KATA PENGANTAR .................................................................................... ii

DAFTAR ISI ................................................................................................... iii

BAB I PENDAHULUAN ............................................................................ 1

1.1. Latar Belakang .................................................................................... 1

1.2. Rumusan masalah .............................................................................. 1

1.3. Tujuan ................................................................................................. 1

BAB II PEMBAHASAN ............................................................................. 2

2.1.DERET FOURIER ................................................................................. 2

2.2. BENTUK KOMPLEKS DARI DERET FOURIER .............................. 4

2.3. FUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJIL ............................................ 5

a. Pengertian ................................................................................................... 5

b. Hubungan fungsi genap/ganjil dengan deret Fourier ................................ 6

2.4. DERET FOURIER YANG PERIODENYA TIDAK 2 persegi .............. 9

BAB III PENUTUP ...................................................................................... 12

3.1. Kesimpulan .............................................................................................. 12

3.2. Saran ......................................................................................................... 12

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................... 13

4


BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Suatu getaran atau osilasi merupakan suatu gelombang harmonik yang

tersusun atas banyak gelombang periodik berbentuk Sinus dan Cosinus,

dimana jumlah superposisi dari semua gelombang penyusunnya membentuk

getaran atau osilasi tersebut. Bentuk getaran atau osilasi di dalam fisika

banyak macamnya, misalnya vibrasi dari garpu tala, getaran atau ayunan dari

bandul, gelombang air, getaran dari sistem benda pegas, gelombang bunyi,

arus listrik, dan lain sebagainya. Uraian suatu gelombang ke dalam gelombang

penyusunnya dinamakan Deret Fourier. Setiap gelombang penyusun

mempunyai amplitudo yang dinamakan Koefisien Fourier. Pada akhir bab ini

dibahas tentang contoh-contoh deret Fourier. Setelah mengikuti kuliah ini

mahasiswa diharapkan dapat mengenal perumusan deret Fourier, melakukan

penguraian suatu fungsi periodik ke dalam bentuk deret Fourier, dan dapat

memahami bentuk deret Fourier fungsi genap dan fungsi ganjil.

1.2. Rumusan Masalah

Teknikp penghitungan menggunakan rumus deret fourier sangat

diperlukan untuk mendapatkan hasil yang sesuai dengan harapan. Hal ini

harus dimulai dari awal, yaitu dimulai dari pembacaan masalah yang ada

pada soal-soal.

1.3. Tujuan

Dalam penyusunan makalah ini, kami mempunyai beberapa tujuan. Yaitu:

1. Memberikan informasi mengenai DERET FOURIER.

2. Mengajak para pembaca agar saling bertukar fikiran tentang materi

DERET

FOURIER

3. Agar dapat mengetahui rumus atau penghitungan dari DERET FOURIER

5


BAB II

PEMBAHASAN

2.1.DERET FOURIER

Deret Fourier yaitu deret yang suku-sukunya adalah periodik. Karena

fungsi trigonometri merupakan fungsi periodik maka deret yang suku-sukunya

fungsi trigonometri, terutama sinus dan cosinus dapat disebut deret Fourier.

Dalam banyak hal deret Fourier ini lebih bermanfaat dari pada deret pangkat yang

telah kita pelajari, terutama untuk kasus-kasus yang berhubungan dengan gerak

periodik seperti vibrasi atau oscilasi (getaran periodik) maupun gerak gelombang

yang dideskripsikan oleh fungsi sinus dan atau cosinus.

Bentuk umum deret Fourier adalah :

f (x) = ½ a0 +

~

1 n

nn nxsin b nx cos a (2-1)

dengan ao =

dx f(x) 1

;

dxnx cos f(x) 1

an ;

dxnx sin f(x) 1

bn

Harga koefisien Fourier a0 ; an dan bn tersebut di atas diperoleh melalui langkah-

langkah yang dapat dilihat pada lampiran.

(Dengan memperhatikan bentuk umum deret Fourier tersebut, maka dapat dengan

Contoh :

1 untuk 0 < x < 1.

Jawab:

-3 -2 -

2 3 4 4o

6


Pernyataan f(x) pada soal di atas dapat ditulis: f(x) = {0 x , 0

x 0 , 1

ao =

dx f(x) 1

=

0

0

dx 1 dx 0 1

=

0x1

=

1

= 1

dxnx cos f(x) 1

an =

0

0

dxnx cos 1.dxnx cos 0. 1

=

0

dxnx cos 1

=

0

nx sinn

1.

1= 0

dxnx sin f(x) 1

bn =

0

0

dxnx sin 1.dxnx sin 0. 1

=

0

dxnx sin 1

=

0

nx cosn

1.

1

Untuk n ganjil, maka : bn = n

2

Untuk n genap, maka: bn = 0

Deret Fourier bentuk umum:

f (x) = ½ a0 +

~

1 n

nn nxsin b nx cos a

= ½ + a1 cos x + a2 cos 2x + a3 cos 3 x + a4 cos 4 x . . . + b1 sin x + b2

sin 2x + b3 sin 3x + . . .

= ½ +

2sin x +

3

2 sin 3x +

5

2 sin 5x . .. . . . . . . .

= ½ +

2

. . . . . . .

7

7xsin

5

5xsin

3

3xsin

1

xsin (2-2)

7


2.2. BENTUK KOMPLEKS DARI DERET FOURIER

Ingat bahwa sin dan cos real, dapat dinyatakan dalam bentuk pangkat komplek

menurut formula:

2

e e nx cos

i 2

e e nx sin

inxinx

inxinx

(3-1)

Jika (3-1) itu kita substitusikan pada deret fourier (2-2) maka diperoleh deret

fourier bentuk kompleks. Ini merupakan cara tidak langsung dalam menentukan

deret Fourier bentuk komplek, yaitu dengan cara membuat deret Fourier sin cos

lebih dulu.

Kita juga dapat menuliskan deret Fourier bentuk komplek secara langsung,

yaitu dengan formula sebagai berikut:

f(x) = c0 + c1eix + c e + c2e2ix + c e + c3e3ix + c e + . .

.

=

n

n

inxn ec (3-2)

dengan: dxe . )x(f 2

1 c inx

n

(3-3)

Contoh:

< x

< 0 dan = 1 untuk 0 < x < 1.

Jawab:

Pernyataan f(x) pada soal di atas dapat ditulis: f(x) = {0 x , 0

x 0 , 1

Kita tentukan dulu: dxe . )x(f 2

1 c inx

n

dxe .1 2

1 dxe . 0

2

1 dxe . )x(f

2

1 dxe . )x(f

2

1 c

0

inx0

inx

0

inx0

inxn

8


= dxe 2

1

0

inx

=

0

inxein

1

2

1 =

0

inxe in2

1

=

1 e in2

1 in

Untuk n ganjil in

1 cn

; untuk n genap bukan nol nc = 0

Selanjutnya kita tentukan c0:

c0 = dxe . )x(f 2

1 i0x

= dx )x(f

2

1

= dx 1 2

1 dx 0

2

1

0

0

=

0

dx 2

1 =

2

1

Jadi deret Fourier bentuk kompleknya adalah:

f(x) = 2

1 +

ix5ix3ix ei5

1e

i3

1e

i

1 . . . .

+

ix5ix3ix ei5

1e

i3

1e

i

1 . . . .

atau: f(x) = 2

1 +

. . .

5

e

3

e

1

e

i

1 ix5ix3ix

+

. . . 5

e

3

e

1

e

i

1 ix5ix3ix

2.3. FUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJIL

a. Pengertian

Suatu fungsi f (x) disebut fungsi genap, jika harga f (

dengan bahasa sederhana dapat dinyatakan bahwa suatu fungsi f(x) disebut fungsi

Contoh:

1) f (x) = x3 adalah fungsi ganjil sebab f (

3 =

3 =

2) f(x) = x4

4 = x

4 = f (x)

9


bayangan cermin (dengan sumbu Y sebagai cermin) terhadap kurva interval 0

Gambar 2-1: Contoh Kurva Fungsi Genap

Gambar 2-2: Contoh Kurva Fungsi Ganjil

b. Hubungan fungsi genap/ganjil dengan deret Fourier

Fungsi periodik genap mempunyai koefisien Fourier yang berbeda dengan

fungsi periodik ganjil. Koefisien Fourier untuk fungsi genap mengikuti teorema

berikut:

Teorema: Jika

diekspansi menjadi deret Fourier, maka koefisien-koefisien Fouriernya

adalah:

0

0 dx )x(f2

a ;

0

n dxnx cos )x(f2

a ; 0bn

Karena 0bn , maka hanya cosinus saja dalam deret Fourier fungsi genap,

sehingga deret Fourier fungsi genap disebut deret cosinus Fourier.

10


Selanjutnya untuk fungsi ganjil, berlaku:

Teorema:

diekspansi menjadi deret Fourier, maka koefisien-koefisien

Fouriernya adalah:

0 aa n0

0

n dxnx sin )x(f2

b

Karena 0an , maka hanya cosinus saja dalam deret Fourier fungsi ganjil,

sehingga deret Fourier fungsi ganjil disebut deret sinus Fourier.

Contoh Soal:

sebagai deret cosinus Fourier, maka:

a) Tentukan grafik f (x)

b) Tentukan Deret Cosinus Fouriernya

Jawab:

a) Karena diekspansi sebagai deret cosinus, berarti fungsi f(x) adalah fungsi

genap. Karena fungsi yang diketahui fungsi linear, maka kurvanya adalah garis

cermin Y, dari kurva interval 0 < x <

2

11


sehingga kurva periodiknya adalah:

Jadi Deret Cosinus Fourier :

f (x) = ½ a0 +

~

1 n

n nx cos a = 2

3 +

~

1 n2

nx cos 1 n cos n

2

= 2

3 +

~

1 n2

nx cos 1 n cos n

2

= 2

3 +

2

~

1 n2

n

nx cos 1 n cos

= 2

3 +

2

........................ . . . . . . . . . . . . . . .

25

5x cos2

9

3x cos2

1

xcos 2

= 2

3

4

........................ . . . . . . . . . . . . . . .

25

5x cos

9

3x cos

1

xcos

12


2.4. DERET FOURIER YANG PERIODENYA TIDAK

Tetapi problem-problem fisik tidak hanya terbatas pada fungsi-fungsi yang

ita ketahui deret Fouriernya adalah:

f (x) = ½ a0 +

~

1 n

nn nxsin b nx cos a

adalah:

f (x) = ½ a0 +

~

1 n

nn 2nxsin b 2nx cos a

hingga deret Fouriernya

adalah:

f (x) = ½ a0 +

~

1 n

nn x2nsin b x 2n cos a

adalah:

f (x) = ½ a0 +

~

1 n

nn xp

2nsin b x

p

2n cos a

ehingga deret Fouriernya

adalah:

f (x) = ½ a0 +

~

1 n

nn xp

nsin b x

p

n cos a

Jadi Secara Umum deret Fourier yang periodenya 2p adalah:

f (x) = ½ a0 +

~

1 n

nn xp

nsin b x

p

n cos a (5-1)

Sedang deret sinusnya (Fungsi ganjil) adalah:

13


f (x) =

~

1 n

n xp

nsin b (5-2)

Sedang deret cosinusnya (Fungsi Genap) :

f (x) = ½ a0 +

~

1 n

n x p

n cos a (5-3)

Bagaimana dengan koefisiennya ?

Koefisien cosinus sinus Fourier:

ao =

dx f(x) 1

;

dxnx cos f(x) 1

an ;

dxnx sin f(x) 1

bn

Koefisien cosinus Fourier (Fungsi Genap) =

0

0 dx )x(f2

a ;

0

n dxnx cos )x(f2

a ; 0bn

Koefisien sinus Fourier (Fungsi Ganjil) =

0 aa n0 ;

0

n dxnx sin )x(f2

b

mentransformasi:

p ; sin nx sin xp

n dan cos nx cos x

p

n

14



ao =

p

p

dx f(x) p

1 ;

p

p

n dxx p

n cos f(x)

p

1 a ;

p

p

n dxx p

n sin f(x)

p

1 b

Koefisien cosinus Fourier ( Fungsi Genap) =

p

0

0 dx )x(fp

2a ;

p

0

n dxx p

n cos )x(f

p

2a ; 0bn

Koefisien sinus Fourier ( Fungsi Ganjil) =

0 aa n0 ;

p

0

n dxx p

nsin )x(f

p

2b

1 sampai p2 dengan p2 – p1 =

2p, maka rumusnya menjadi:


ao = 2p

1p

dx f(x) p

1 ;

2p

1p

n dxx p

n cos f(x)

p

1 a ;

2p

1p

n dxx p

n sin f(x)

p

1 b

Koefisien cosinus Fourier ( Fungsi Genap) =

p

0

0 dx )x(fp

2a ;

p

0

n dxx p

n cos )x(f

p

2a ; 0bn

Koefisien sinus Fourier ( Fungsi Ganjil) =

0 aa n0 ;

p

0

n dxx p

nsin )x(f

p

2b

15


BAB III

PENUTUP

3.1.Kesimpulan

DERET FOURIER

Banyak digunakan sebagai fungsi dalam perhitungan panas permukaan

logam

Suku-sukunya periodic

Digunakan untuk mengubah sinyal domain waktu ke frekuensi atau

sebaliknya

3.2.Saran

Penulis meminta maaf jika di dalam penulisan makalah ini terdapat

kesalahan.Diharapkan kritik dan saran dari pembaca,demi

kesempurnaan penyusunan makalah yang akan datang.

16


DAFTAR PUSTAKA

http://www.google.com

Satria Azizi(2014). Deret fourier.

http://www.scribd.com/doc/115334622/Deret-Fourier

http://www.google.com/

Deret Fourier

Documents

Transcript of Deret Fourier