Analisis frekuensi sinyal waktu diskrit

Deret Fourier untuk sinyal waktu diskrit periodik

Transformasi Fourier untuk sinyal diskrit aperiodik

Deret Fourier untuk sinyal diskrit periodik

2

1f

2

1

N

kf

N

k2es

scec)n(x

kk

kk

nj

k

1N

0k

kk

1N

0k

N/kn2j

k

k

dasarperiodaN)n(x)Nn(x

kNk

1N

0n

N/kn2j cce)n(xN

1)k(c

Contoh Soal 7.3

Tentukan spektrum dari sinyal-sinyal di bawah ini.

4N0,0,1,1).b3

ncos)n(x).a

Jawab :

6N6

1f

n6

12cos

3

ncos)n(x).a

o

5

0n

6/kn2j1N

0n

N/kn2j e)n(xe)n(x)k(c

6/n2j6/n2j e2

1e

2

1n

6

12cos)n(x

1N

0k

6/kn2j

k

1N

0k

N/kn2j

k ecec)n(x

2

1ccc

0cccc2

1c

2

1c

1615

432o11

2

1ccc

0cccc2

1c

2

1c

1615

432o11

2/kj3

0n

4/kn2j e14

1e)n(x

4

1)k(c

4N0,0,1,1).b

1N

0n

N/kn2je)n(xN

1)k(c

)j1(4

1c0c)j1(

4

1c

2

1c 321o

)j1(4

1c0c)j1(

4

1c

2

1c 321o

Contoh Soal 7.4

Tentukan spektrum dari sinyal di bawah ini.

n5

2sinn

3

2cos)n(x

Jawab :

n15

32sinn

15

52cosn

5

2sinn

3

2cos)n(x

j2

ee

2

ee)n(x

n)15/3(2jn)15/3(2jn)15/5(2jn)15/5(2j

n)15/5(2jn)15/5(2jn)15/3(2jn)15/3(2j e2

1e

2

1e

2

je

2

j)n(x

n)15/5(2jn)15/5(2jn)15/3(2jn)15/3(2j e2

1e

2

1e

2

je

2

j)n(x

14

0k

15/kn2j

k

1N

0k

N/kn2j

k ecec)n(x

2

1c

2

jc

2

jc

2

1c 5335

1/2

kc

90o

kc

- 90o

Transformasi Fourier dari sinyal diskrit aperiodik

n

nje)n(x)(X

de)(X2

1)n(x nj

n

nj

n

kn2jnj

n

n)k2(j

)(Xe)n(xee)n(x

e)n(x)k2(X

Bentuk Deret Fourier

Contoh Soal 7.6

Tentukan sinyal diskrit yang transformasi Fouriernya

adalah :

Jawab :

c

c

,0

,1)(X

de)(X2

1)n(x nj

c

c

c

d2

1)0(x0n

n

nsin

n

nsin

j2

ee

n

1)n(x

ejn

1

2

1de

2

1)n(x0n

c

ccc

njnj

njnj

cc

c

c

c

c

n

nje)n(x)(X

N

Nn

njcN e

n

nsin)(X

Contoh Soal 7.8

Tentukan transformasi Fourier dari sinyal diskrit :

lainnyan,0

1Ln0,A)n(x

Jawab :

)2/sin(

)2/Lsin(Ae

e1

e1AAe)(X

)1L)(2/(j

j

Lj1L

0n

nj

)(j)1L)(2/(j e)(X)2/sin(

)2/Lsin(Ae)(X

)2/sin(

)2/sin()(

LAX

)1(2

)()( LX

Respon

magnitude

Respon fasa

Spektrum fasa

Spektrum

magnituda

A = 1

L = 5

Hubungan transformasi Z dengan transformasi Fourier

n

njn

n

nj

n

z e]r)n(x[)re)(n(xe)n(x)z(X

Transformasi Fourier :

n

nj )(Xe)n(x)z(X1r1z

Transformasi Z

zzrrez j

Transformasi Fourier pada lingkaran satu =

Contoh Soal 7.9

Tentukan transformasi Fourier dari : )n(u)1()n(x

Jawab :

1z

z

z1

1)z(X

1

)2/1k(2)2/cos(2

e

)ee)(e(

)e)(e(

1re

re

1z

z

z1

1)(X

2/j

2/j2/j2/j

2/j2/j

j

j

1

Klasifikasi sinyal dalam domain frekuensi

Sinyal frekuensi rendah

(Low Pass):

Sinyal frekuensi tinggi (High

Pass) :

Sinyal frekuensi menengah (bandpass signal) :

Daerah frekuensi pada beberapa sinyal asli

Sinyal-sinyal biologi :

Tipe sinyal Daerah frekuensi (Hz)

Electroretinogram 0 - 20

Electronystagmogram 0 - 20

Pneumogram 0 - 40

Electrocardiogram (ECG) 0 - 100

Electroencephalogram (EEG) 0 - 100

Electromyogram 10 - 200

Aphygmomanogram 0 - 200

Speech 100 - 4000

Sinyal-sinyal seismik :

Tipe sinyal Daerah frekuensi (Hz)

Wind noise 100 - 1000

Seismic exploration signals 10 - 100

Earthquake and nuclear

explosion signsld

0.01 - 10

Seismic noise 0,1 - 1

Sinyal-sinyal elektromagnetik :

Tipe sinyal Daerah frekuensi (Hz)

Radio broadcast 3x104 – 3x106

Shortwave radio signals 3x106 – 3x1010

Radar, sattellite comunications 3x108 – 3x1010

Infrared 3x1011 – 3x1014

Visible light 3,7x1014 – 7,7x1014

Ultraviolet 3x1015 – 3x1016

Gamma rays and x-rays 3x1017 – 3x1018

Sifat-sifat transformasi Fourier

Linieritas

Pergeseran waktu

Pembalikan waktu

Teorema konvolusi

Pergeseran frekuensi

Diferensiasi frekuensi

Linieritas

)(Xa)(Xa)(X)}n(x{F

)n(xa)n(xa)n(x

)(X)}n(x{F)(X)}n(x{F

2211

2211

2211

Contoh Soal 7.11

Tentukan transformasi Fourier dari : 1a1a)n(xn

0n,0

0n,a)n(x

0n,0

0n,a)n(x

)n(x)n(x)n(x

n

2

n

1

21

Jawab :

j

0n

nj

0n

njn

n

nj

11

ae1

1

)ae(eae)n(x)(X

j

j

1k

kj

1

n

nj1

n

njn

n

nj

22

ae1

ae)ae(

)ae(eae)n(x)(X

2

2

2jj

2jj

j

j

j21

acosa21

a1

a)aeae(1

aaeae1

ae1

ae

ae1

1)(X)(X)(X

Pergeseran waktu

)(Xe)}n(x{F)kn(x)n(x

)(X)}n(x{F

1

kj

1

11

Pembalikan waktu

)(X)}n(x{F)n(x)n(x

)(X)}n(x{F

11

11

Teorema konvolusi

)(X)(X)}n(x{F)n(x*)n(x)n(x

)(X)}n(x{F)(X)}n(x{F

2111

2211

Jawab :

Contoh Soal 7.12

Tentukan konvolusi antara x1(n) dan x2(n), dengan :

x1(n) = x2(n) ={1, 1, 1}

cos21ee1

ee)n(x)(X

jj

n

1

1n

njnj

11

)ee()ee(23

2cos2cos43

2

2cos14cos41

cos4cos41

)cos21()(X)(X)(X

cos21)(X)(X

2j2jjj

2

2

21

21

2jjj2j

n

nj ee23e2ee)n(x)(X

}12321{)n(x

Pergeseran frekuensi

)(X)}n(x{F)n(xe)n(x

)(X)}n(x{F

o11

nj

11

o

Diferensiasi frekuensi

)n(nx)n(x)(X)}n(x{F 111

d

)(dXj)}n(x{F 1

)}n(nx{jFe)n(nxj

ed

d)n(xe)n(x

d

d

d

)(dX

e)n(x)(X

1

n

nj

1

n

nj

1

n

nj

11

n

nj

11

Domain frekuensi sistem LTI

Fungsi respon frekuensi

Respon steady-state

Hubungan antara fungsi sistem dan fungsi

respon frekuensi

Komputasi dari fungsi respon frekuensi

Fungsi respon frekuensi

k

njkj

k

)kn(j

nj

k

e]Ae)k(h[AAe)k(h)n(y

Ae)n(xkompleksInput

)kn(x)k(h)n(y

nj

k

kj e)(AH)n(ye)k(h)(H

Eigen function

Eigen value

Contoh Soal 7.12

Respon impuls dari suatu sistem LTI adalah :

)n(u2

1)n(h

n

Jawab :

Tentukan outputnya bila mendapat input : 2/njAe)n(x

2

1j1

1

e2

11

1)(H

e2

11

1)(H

e2

1e

2

1)(H)n(hF

2/jj

n

n

j

n

nj

n

)6,262/n(2/nj6,26j

nj

6,26j

oo

o

e5

A2ee

5

2A

e)(AH)n(y

e5

2

2

1j1

1)(H

Amplituda

Frekuensi

Fasa

3

2

2

11

1

e2

11

1)(HAe)n(x

j

nj

njAe3

2)n(y

)sin)(cos()(

)()()(

kjkkhekh

jHHH

kk

kj

IR

)()(sin)()(

)()(cos)()(

II

k

I

RR

k

R

HHkkhH

HHkkhH

)(

)()()(

)()()(

1

22

I

I

IR

H

HtgH

HHH

njj

njjnj

njjnj

eeHA

eeHAnyAenx

eeHAnyAenx

)(

)(22

)(11

)(

)()()(

)()()(

)](cos[)()]()([2

1)(

cos][2

1)]()([

2

1)(

21

21

nHAnynyny

nAAeAenxnxnx njnj

)](sin[)()]()([2

1)(

sin][2

1)]()([

2

1)(

21

21

nHAnynyj

ny

nAAeAej

nxnxj

nx njnj